Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

4
Bilag 14: Quaterioner
Quaternioner kan, efter tilsvarende princip som for de komplekse tal, benyttes til at
beskrive rotationer i rummet. På følgende figur er vist hvorledes en 3-dimensional
stedvektor p pegende på punktet P, roteres omkring aksen langs enhedsvektoren û til
stedvektoren p’ pegende på punktet P’:
Af figur 2 ses, at:
O
p
P
OP'=
OC + CP'
C
Figur 2: Rotation i rummet omkring aksen û
= OC + cos( Φ)
CP + ( û × p)
sin( Φ)
= û(
û • p)
+ ( p − û(
û • p))
cos( Φ)
+ ( û × p)
sin( Φ)
= cos( Φ)
p + û(
û • p)(
1−
cos( Φ))
+ ( û × p)
sin( Φ)
Opfattes vektoren p som en ren quaternion uden skalar-del, der præ-muliplicers med
quaternionen q defineret som:
q = cos( θ ) + ûsin(
θ )
og efterfølgende post-multipliceres med q*, fås at
q ⋅ p ⋅ q*
= cos( 2θ
) p + ( 1−
cos( 2θ
))( û • p)
û + sin( 2θ
) û × p
Φ
û(û●p)
p’
û
Ved at sammenligne med den tidligere opstillede sammenhæng på baggrund af figur 2
ses det, at quaternionen q altså beskriver en rotation omkring aksen langs û med vinklen
2θ (Eberly s.3-4).
P’
P
C
Φ
P’
û×p