Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

Vi kan alternativt udtrykke en quaternion som:
2
Bilag 14: Quaterioner
q = s,
v , hvor skalaren s er den reelle del og vektoren v den imaginære
del. Herved kan produktet q ' af quaternionerne q og q ' kort skrives:
q' '=
q ⋅ q'=
ss'−v
• v',
v × v'+
s ⋅ v'+
v ⋅ s
hvor • angiver et ”prik-produkt” og × et ”kryds-produkt”. Af definitionerne følger
yderligere, at:
q + q'=
s + s',
v + v'
q − q'=
s − s',
v − v'
Quaternionerne er som tidligere nævnt en generalisering af de komplekse tal. En
quaternion kan, præcis som de komplekse tal kan det, konjugeres ved følgende
definition (Hamilton s. 14):
q * = s,
−v
hvoraf følger, at
( q*)*
= ( s,
−v)*
= s,
v = q
( q + q')*
= s + s',
−(
v + v')
= s + s',
−v
− v'=
q * + q'*
( q ⋅ q')*
= ss'−v
• v',
−(
v × v'+
s ⋅ v'+
s'⋅v)
= ss'−(
−v)
• ( −v'
), ( v')
× ( v)
− s ⋅ v'−s'⋅v
= ss'−(
−v'
) • ( −v),
( −v'
) × ( −v)
+ s'⋅(
−v)
+ s ⋅ ( −v'
)
= q'*
⋅ q *
Normen 1 af en quaternion defineres som (Hamilton s. 13):
2 2
norm(
q)
= q = w + x + y
+ z
q ⋅ q*
= ss − v • ( −v),
v × ( −v)
+ s ⋅ v + s ⋅ ( −v)
= s
2
2
2
+ v • v =
1 2 2 2
Hamilton skriver ”(TQ) = (SQ) - (VQ) , and if we suppose TQ to be always a real
and positive or absolute number, which we may call the tensor of the quaternion Q, we
shall not thereby diminish the generality of that quaternion. The tensor is what was
called in former articles the modulus” (s.13). Hamilton skriver videre, at han ikke finder
”modulus” en passende betegnelse.
q