Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

Bilag 14: Quaternioner
1
Bilag 14: Quaterioner
Matematikken bag quaternionerne blev grundlagt af Sir William Rowan Hamilton, der i
1843 spontant skal have ridset den karakteristiske formel:
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1
På Brougham Bridge i Dublin, i glæde over endelig at have indset løsningen til
multiplikation af vektorer eller triplets (Wilkins). Quaternionerne er en udvidelse af de
komplekse tal:
q = w + xi
+ yj
+ zk
hvor w er den reelle del og vektoren [ y z]
Re( q)
= w
Im( q)
=
[ x y z]
x er den imaginære del.
Quaternioner hvorom gælder, at Re( q ) = 0 kaldes ”ren”.
Hamilton viser at multiplikation af quaternioner er givet ved (Hamilton s. 2):
q ⋅ q'=
ww'+
wx'i
+ wy'
j + wz'k
+ xw'i
+ xx'i
+ yw'
j + yx'
ji + yy'
j
2
+ xy'ij
+ xz'ik
+ zw'k
+ zx'ki
+ zy'kj
+ zz'k
2
+ yz'
jk
Givet følgende definitioner (Hamilton s. 2):
i
2
2 2
= j = k = −1
ij = k
ji = −k
jk = i
kj = −i
ki = j
ik = −j
Kan produktet af quaternionerne q og q’ omskrives til:
w''
= ww'−xx'−
yy'−zz',
x''
= wx'+
xw'+
yz'−zy',
y''
= wy'+
yw'+
zx'−xz',
z''
= wz'+
zw'+
xy'−
yx'
Dette resultat ligger til grund for de gængse definitioner af ”prik-produktet” og ”krydsproduktet”
for vektorer.
2