Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

2
Bilag 13: Eulervinkler
Da matrix-multiplikation ikke kommuterer ( A ⋅ B ≠ B ⋅ A ), afhænger formen af den
resulterende matrix af rotations-rækkefølgen. Dette hænger sammen med i hvilket
koordinatsystem rotationerne og dermed vinklerne er beskrevet.
Et eksempel:
R( θ , ψ , φ)
= R X ( θ ) ⋅ R Y ( ψ ) ⋅ R Z ( φ)
= (( I ⋅ R X ( θ )) ⋅ R Y ( ψ )) ⋅ R Z ( φ)
Hvor I er identitetsmatrixen. Udtrykkes ovenstående med ord, fås:
”rotér omkring nuværende x-akse”
”rotér omkring den resulterende y-akse fra forrige rotation”
”rotér omkring den resulterende z-akse fra de to forrige rotationer”
I eksemplet angiver vinklerne ψ og φ altså rotationer i forhold til midlertidige
koordinatsystemer! Rotations-rækkefølgen er derfor naturligt nok bestemmende for
betydningen af vinklerne. En given rotation kan altså beskrives som en vilkårlig
rækkefølge af rotationer med forskellige vinkler, f.eks.:
R ( θ , ψ , φ)
= R(
ψ ',
φ',
θ ')
hvor
R(
θ , ψ , φ)
= R
X
R(
ψ ',
φ',
θ ')
= R
( θ ) ⋅ R
Y
Y
( ψ ')
⋅ R
( ψ ) ⋅ R
Z
Z
( φ)
( φ'
) ⋅ R
X
( θ ')
En entydig beskrivelse af en rotation med euler-vinkler forudsætter derfor en
fastlæggelse af rotations-rækkefølgen.
Kilder:
[1] Croft, Davidson & Hargreaves. Engineering Mathematics: A Modern
Foundation for Electronic, Electrical and System Engineers. 2nd Ed.
Addison-Wesley, Essex 1996.
[2] Weisstein, Eric W. "Euler Angles." Eric Weisstein's world of
Mathematics. Wolfram Research. 21. Oktober 2003.