Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

Bilag 13: Eulervinkler
1
Bilag 13: Eulervinkler
Følgende matrixer beskriver en rotation mod uret jf. ”Højrehåndsreglen” 1 (se fig. 1)
omkring x,y & z-akserne i et ortogonalt koordinatsystem (Croft, Davidson &
Hargreaves s.204):
⎡1
0 0 ⎤ ⎡ cos( ψ)
0 sin( ψ)
⎤ ⎡cos( φ)
−sin(
φ)
0⎤
R ( ) =
⎢
⎥
X θ
⎢
0 cos( θ)
−sin(
θ)
⎢
⎥
⎥
R Y ( ψ)
=
⎢
0 1 0
⎥
R
⎢
⎥
Z ( φ)
=
⎢
sin( φ)
cos( φ)
0
⎥
⎢⎣
0 sin( θ)
cos( θ)
⎥⎦
⎢⎣
−sin(
ψ)
0 cos( ψ)
⎥⎦
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
Et eksempel er forsøgt visualiseret på følgende figur:
0
Sættes θ = 90 , roteres vektoren [ ] T
v = 0 1 0 , således:
'=
R
v X
( 90
0
⎡1
) ⋅ v =
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
0
1
0 ⎤ ⎡0⎤
⎡0⎤
− 1
⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎥
⋅
⎢
1
⎥ ⎢
0
⎥
0 ⎥⎦
⎢⎣
0⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
Det ses, at enhedsvektoren i y-aksens retning roteres, så den resulterende vektor peger i
z-aksens retning præcis som ventet.
De 3 matrixer R X ( θ ), R Y ( ψ ) og R Z (φ ) kan multipliceres til en enkelt rotationsmatrix
udtrykt ved 3 vinkler R ( θ , ψ , φ)
. Eulers rotations-teorem (Weisstein) siger, at en
vilkårlig rotation kan beskrives med 3 rotationer, vinklerne kaldes derfor ofte eulervinkler.
1 ”Højrehånds-reglen”: Hold højre hånd lukket, men med tommelfingeren langs rotations-aksen. De
øvrige fingre krummer nu i rotationens retning.
Z´
X
θ
Z
Figur 1: Rotation med vinklen θ omkring x-aksen
Y´
(x-aksen peger ”ud af papiret”)
Y