Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber 

1 


I dette bilag redegøres for Draganflyer III helikopterens fysiske egenskaber såsom 

dimensioner, vægt og nyttelast. Helikopterens dimensioner er angivet på følgende figur 

og i tabel 1. 

11.7 cm 

47.8 cm 

6.1 cm 

47.8 cm 

29.0 cm 

8.0 cm 

Figur 1: Draganflyer III dimensioner

Tabel 1: Draganflyer III dimensioner 

Målinger foretaget d. 27.08.03 med digital skydelære og lineal. 

2 


Beskrivelse Længde 

Helikopter diameter, vingespids til vingespids (dvs. inkl. rotorer) 

rotor-akse til rotor-akse 

DC motor akse til DC motor akse 

Rotor diameter, spids til spids 

tandhjul diameter (56 ”tænder”) 

Kulfiber bund længde x bredde 

Tykkelse 

Vandret printplade længde x bredde 

Tykkelse 

Lodret printplade længde x bredde 

Tykkelse 

Kulfiber rør-arme længde (løsvægt) 

diameter (tykkelse) 

DC motor diameter 

længde 

tandhjul diameter (10 ”tænder”) 

Lodrette afstande, underlag til midt rør-arme ”kryds” 

underlag til midt vandret printplade 

underlag til midt kulfiber bund 

underlag til overkant lodret printplade 

underlag til midt rotor-tandhjul 

768.0 mm 

424.0 mm 

478.0 mm 

290.0 mm 

46.2 mm 

100.0 x 88.0 mm 

0.5 mm 

88.0 x 75.0 mm 

0.8 mm 

88.0 x 37.0 mm 

0.8 mm 

190.0 mm 

5.0 mm 

24.3 mm 

30.0 mm 

9.5 mm 

61.0 mm 

80.0 mm 

16.7 mm 

117.0 mm 

Antenne længde 180.0 mm

3 


Af Draganflyer III producentens hjemmeside fremgår, at helikopteren har en nyttelast 

på mindst 1 ounce dvs. ca. 31g (Draganfly Innovations). Dette er imidlertid kun 

gældende ved brug af NiCd batterier. Da der i vores tilfælde anvendes et væsentlig 

lettere Lithium-Polymer batteri, forventes nyttelasten at være forbedret. Derfor måles 

nyttelasten ved hjælp af en vægt. Ved samme lejlighed måles også vægten af de enkelte 

helikopter-dele (se tabel 3). 

Under helikopteren fastgøres et tungt lod (1124.0 gram) for at forhindre helikopteren i 

at lette. Lod og helikopter anbringes på vægten (se figur 2a) og den samlede vægt 

noteres (se tabel 2). Herefter sættes fuld fart på helikopterens rotorer (se figur 2b) og 

vægten aflæses atter (se tabel 2). På denne måde vurderes helikopterens nyttelast ved 

subtraktion af den noterede vægt med og uden rotorerne kørende. Nyttelasten findes til 

ca. 170 gram. 

Figur 2a Figur 2b 

Figur 2: Måling af helikopter-vægt og nyttelast 

Tabel 2: Draganflyer III nyttelast. 

Målinger foretaget d. 26.08.03 med mekanisk ”Struer”-vægt udlånt af Kjeld Nørgård. 

Helikopteren er under forsøget fastgjort til et lod (1124.0g) ved hjælp af tape. 

Beskrivelse Vægt 

Total vægt inkl. Lod og tape, alle propeller i hvile 1629g 

Total vægt inkl. Lod og tape, fuld fart på alle rotorer 955.g 

Draganflyer III løfteevne (1629.5g - 955.0g – 504.0g) 170.g 

Bemærk: Indstilling af den mekaniske vægt under ”flyvningen” var en smule 

vanskelig, målingerne forventes derfor behæftet med en usikkerhed på et par gram. 

Resultatet er desuden muligvis påvirket af turbulensforhold omkring vægten.

4 


Tabel 3: Draganflyer III vægtfordeling 

Målinger foretaget d. 26.08.03 med digitalvægt i Ingeniørhøjskolens kemilokale. 


Total vægt ekskl. batteri & kamera 370.0g 

Batteri med ledning 134.0g 

Rotor, 1 stk. (gennemsnitlig vægt). 5.5g 

kulfiber rør-arme (”carbon fiber tube arms”), 1 stk. 3.4g 

Motorholder (”motor mounts”), 1 stk. 2.8g 

Kamera (”eyecam”) 18.0g 

Plastic-dække til elektronik (”clear dome canopy”) 9.0g 

DC motor uden køleplade, 1 stk. 47.3g 

Køleplade til DC motor, 1 stk. 3.0g 

Rotor og motorholder med gear, 1 stk. 16.4g 

Tabel 4: Afledte resultater (baseret på tabel 3) 


Total vægt inkl. batteri og kamera 522.0g 

Total vægt inkl. batteri, ekskl. kamera. 504.0g 

Propel med tandhjul, 1 stk. 13.6g 

Elektronik med printplader, bundplade og 4 stk. vertikale støtter (”vertical 

riser”) 

89.6g 

Kilder: 

[1] Draganfly Innovations. “Draganflyer III.” RCTOYS.com // Inventing The 

Future of Radio Controlled Flight. 6. December. 2003. 

< http://www.rctoys.com/draganflyer3.php >

Bilag 2: Pulse Position Modulation 

1 

Bilag 2: Pulse Position Modulation 

Draganflyer III helikopteren styres ved Pulse Position Modulation (PPM). Signalet er 

udformet som angivet på nedenstående figur (figur 1). Positionen af flankerne eller 

bredderne af pulserne angiver cyclic (hvor cyclic-x benyttes til at justere pitch-vinklen og 

cyclic-y til roll-vinklen), collective og anti-torque input til helikopteren. 

5V 

0V 

412us 

18ms 

tcyclic-x tcyclic-y tcollective tanti-torque 560us 

Figur 1: PPM signalets form 

Det ses af nedenstående tabel at pulsbredderne varierer mellem 500us og 1700us. Tiderne 

er målt både med et HP54600B digitalt oscilloskop samt en Single-Board Computer (SBC) 

udstyret med 12bit A/D-converter. 

Absolut minimum Alle i center Absolut maksimum 

tcyclic-x 548us 1100us 1712us 

tcyclic-y 564us 1100us 1662us 

tcollective 642us 1100us 1544us 

tanti-torque 561us 1100us 1670us 

500us 1100us 1700us 

I den konstruerede I/O-controller kvantificeres området mellem 500us og 1700us til 8bit, 

hvor 0 svarer til 500us og 255 til 1700us.

Bilag 3: Kommercielle IMU/AHRS 

Produkt-navn 

Producent 

LN-200 

NorthrupGrumman 

Crista IMU 

Cloud Cap 

Technology, Inc. 

TCM2-50 

Precision 

Navigation, Inc. 

MP2028g 

MicroPilot 

REV2.4.6DOFK 

Rotomotion, LCC 

REV2.5AHRSA 

Rotomotion, LCC 

3DM-DH 

Microstrain 

Beskrivelse Dimensioner 

Vægt 

6-DOF IMU 

fiber-optic gyroer 

Pris 

8.9cm x 8.9cm x 8.5 cm 

700.0 g 

Pris ukendt (“low-cost”) 

6-DOF GPS-aided IMU 1.35” x 1.50” x 0.80” 

18.9 g 

3-axis sensing instrument 

(accelerometre og 

magnetometre) +/- 50 o 

UAV autopilot (AHRS) 

IMU, GPS modtager 

100-field telemetry (1Hz) 

6-DOF IMU 

AHRS 

(gyroer, accelerometre og 

magnetometre) 

Microminiature Solid State 3axis 

Pitch, Roll, & Yaw Sensor 

1,950.00$ 

63.5 x 50.8 x 31.75 mm 

45.5 g 

769.00$ 

10 cm x 4 cm x 1.5 cm 

28.0 g 

5,000.00$ 

Dimensioner og vægt ukendt 

300.00$ 

Dimensioner og vægt ukendt 

2090.95$ 

2.8cm x 6.7cm x 0.8cm 

Vægt ukendt 

795.00$ 

Kilde 

http://www.ngnavsys.com/ 

http://www.cloudcaptech.com/crista_imu.htm 

http://www.precisionnav.com 

http://www.micropilot.com/ 

http://www.rotomotion.com 

http://autopilot.sourceforge.net 

http://www.rotomotion.com 

http://autopilot.sourceforge.net 

http://www.microstrain.com/3DM-DH.html

Bilag 4: Andre modelhelikopter-baserede UAV projekter 

Projekt-navn 

Organisation/sted 

HUMMINGBIRD 

Aerospace 

robotics 

laboratory 

Stanford 

University 

Autonomous 

Helicopter Project 

Carnegie Mellon 

University 

Marvin 

Technischen 

Universität Berlin 

Helikopter / 

platform 

Excel 60 PRO 

(Benzin) 

Længde 1,57 m 

Rotor ø: 1,55 m 

Vægt: ~ 5 Kg (tanket) 

Nyttelast: 5-6 Kg 

Modified Yamaha R- 

50 “Unmanned 

helicopter for 

industrial use” 

(Benzin) 

Længde: 2,7 m 


Vægt: 67,0 kg 

Nyttelast 20,0 kg 

SSM Technik, Ukendt 

model 

(Benzin) 

Længde: Ukendt 


Vægt: 6,5 kg, 

Nyttelast: ~5,0 kg 

Sensorer Kilde 

4 stk. DGPS (Trimble Advanced Navigation 

System (TANS) Vector Differential Carrier 

Phase GPS). 

DGPS (Novatel RT-2). 

IMU (Litton LN-200). 

Kompas (KVH C100 fluxgate) . 

Laser højdemåler (ukendt fabrikat). 

Kamera (ukendt fabrikat). 

DGPS (Novatel, ukendt model). 

IMU, hjemmebygget (ADXL-05 Analog 

Devices, ENC-05E Murata). 

Kompas, hjemmebygget (3 stk SLC Fluxgate 

magnetometre). 

Kamera (Sanyo VPC-X350EX). 

Ultralyds sonar (Polaroid, ukendt model). 

Hamamatsu UVtron ”flamesensor”. 

Andrew R. Conway. 

Autonomous Control of an Unstable Helicopter 

Using Carrier Phase GPS Only. 

PhD thesis, Stanford University, Stanford, CA 

94305, March 1995. 

http://sun-alley.stanford.edu/~heli/info.html#Stats 

Miller R., B. Mettler & O.Amidi. 

Carnegie Mellon University´s 1997 International 

Aerial Robotics Competition Entry. Technical 

Report Carnegie Mellon University, USA 1997. 

http://user.cs.tu-berlin.de/~remuss/marvin.html 

http://pdv.cs.tu-berlin.de/MARVIN/index.html

Projekt-navn 

Organisation/sted 

AVATAR 

University of 

Southern 

California 

RAPTOR 

University of 

Southern 

California 

Helikopter / 

platform 

Bergen Industrial 

Helicopter (Benzin) 

Længde: 1,5 m 


Vægt 8,2 Kg 

Nyttelast ~9,0 Kg 

Lite Machine LMH- 

110 (Batterier) 

Længde 0,67 m 


Vægt: 0,8 kg (eksl 

batt.) 

Nyttelast ~1,0 kg 

Sensorer Kilde 

DGPS (Novatel RT-20). 

IMU (Boeing CMIGTS-II INS). 

Kamera (Sony Colour CCD ukendt model). 

Ultralyds sonar (ukendt fabrikat). 

IMU, hjemmebygget (ADXL-202 Analog 

Devices, CG-16D NEC Tokin). 

Kamera (Spectronix’s Robo-CAM2 CMOS 

kamera m. integreret frame-grabber). 

Ultralyds sonar (Polaroid 6500 sonar range 

finder). 

Laser-pointer (ukendt fabrikat). 

Saripalli, Srikanth, David J. Naffin og Guarav S. 

Sukhatme. 

Autonomous Flying Vehicle Research at the 

University of Southern California. Proceedings of 

First International Workshop on Multi-Robot 

Systems, Washington DC 2002. 

http://wwwrobotics.usc.edu/~avatar/hardware/hardframe.html 

http://www.bergenrc.com/IndustrialTwin.asp 

Saripalli, Srikanth, David J. Naffin og Guarav S. 

Sukhatme. 

Autonomous Flying Vehicle Research at the 

University of Southern California. Proceedings of 

First International Workshop on Multi-Robot 

Systems, Washington DC 2002. 

http://wwwrobotics.usc.edu/~dnaffin/Research/research.html

Bilag 5: I/O controller elektrisk kredsløb 

1 

Bilag 5: I/O controller elektrisk kredsløb

2 

Bilag 5: I/O controller elektrisk kredsløb 

Accelerometer-modul 

Bemærk at, i det endelige accelerometer-modul indgår 2 stk. af nedenstående kredsløb.

Bilag 6: Udsnit af MAX232 datablad 

1 

Bilag 6: Udsnit af MAX232 datablad

Bilag 7: Kommunikations-protokol mellem PC og I/O-controller 

Bilag 7: Kommunikations-protokol mellem PC og I/O- 

controller 

Der benyttes en simpel pakkeorienteret protokol til kommunikation mellem PC og I/Ocontroller. 

PC’en sender en pakke på 5 bytes, der indeholder helikopterens 4 regulerings 

parametre og en check sum. Når den konstruerede I/O-controller modtager denne pakke, 

returneres en ny pakke på 19 bytes. Denne indeholder data fra samtlige sensorer ombord på 

helikopteren og en checksum. Denne checksum beregnes simpelt, ved at lave en 8 bit 

addition af samtlige bytes i pakken (overflow ignoreres). 

Pakken der sendes er illustreret herunder på figur 1. 

Pakken der returneres er illustreret herunder på figur 2. 

2 bytes pr. værdi 

1 byte pr. værdi 

Roll Pitch Throttle Yaw ChkSum 

Figur 1: Pakke fra PC til I/O-controller 

Acc0(x) Acc0(y) Acc0(T2*) Acc1(x) Acc1(y) Acc1(T2*) 

1 byte pr. værdi 

Gyro0 Gyro1 Gyro2 AN3 AN4 Port C ChkSum 

Figur 2: Pakke fra I/O-controller til PC 

Gyro0:Roll Gyro1:Pitch Gyro2:Yaw 

1

Bilag 7: Kommunikations-protokol mellem PC og I/O-controller 

Ulemperne ved ovenstående protokol er følgende: 

1. PCen kontrollerer samplefrekvensen, derved opnås måske ikke optimal udnyttelse 

af helikopterens sensorer. 

2. Helikopterens styresignaler kan ikke sendes uden at den konstruerede I/O-controller 

returner data samtlige sensorer. Dvs. styresignaler og sensor-sampling er 

synkroniseret. 

Det blev forsøgt at konstruere en forbedret I/O controller, hvor samtlige sensorer blev 

samplet med en fast samplingsfrekvens. Derved blev data stream’et til PC’en med fast 

periode. Den implementerede signalbehandling på PC’en kunne herved synkroniseres efter 

data pakkerne, desuden kunne styresignaler sendes med vilkårligt interval. 

Desværre opstod problemer med COM-porten under Windows 2000, der ikke kunne 

håndtere vores data, når disse blev stream’et til RS232 COM-porten. COM-port driverens 

input buffer blev tilsyneladende fyldt og data overskrevet, efter flere ufrugtbare forsøg på at 

løse problemet blev ideen opgivet. Vi er overbeviste om, at en anden driver eller 

styresystem (f.eks. Linux) vil kunne håndtere denne opgave, men vi ville ikke bruge for 

mange ressourcerne på COM-port detaljer. Det blev derfor besluttet at anvende den 

originale protokol. 

2

Bilag 8: Datablad for accelerometer (ADXL210E) 


1


2

Bilag 9: Accelerometer-båndbredde 

1 

Bilag 9: Accelerometer-båndbredde 

Generelt er målinger fra elektroniske sensorer overlejret støj, det resulterende sensor 

output kan således skrives som 

y = m + 

n 

Hvor m er den ideelle sensor måling, n er målestøjen i sensoren. Målestøjen på 

sensorens output er proportional med sensorens båndbredde eller Band-Width (BW), en 

begrænsning i båndbredden medfører derfor ligeledes en reduktion af målestøjen. Af 

accelerometerets (ADXL210E) datablad oplyses, at målestøjen n kan beregnes således: 

hvor [ ] 

( 200 g / Hz ) ⋅ ( BW 1. 

) [ g] 

Noise( rms) 

= µ 

⋅ 6 

2 

g angiver tyngdeaccelerationen (9.82 m / s ). Accelerometerets båndbredde 

beregnes vha. nedenstående formel 

BW = f − 

3dB 

= 

2π 

1 5µ 

F 

= 

C 

( 32kΩ 

⋅ C ) 

x, 

y 

x, 

y 

[ Hz] 

Hvor kondensatorerne Cx,y danner et lavpas-filter i sammenhold med den interne 

modstand på 32K Ω i accelerometeret. Med en båndbredde BW på 10Hz fås Cx,y til: 

C x, 

y ≈ 

500nF 

Med en båndbredde BW på 10Hz fås en målestøj på: 

Noise( rms) 

= 0. 

8 

mg 

Af praktiske årsager anvendes en kondensator på 470nF, men da tolerancerne på den 

anvendte kondensator-type alligevel ligger mellem 10% - 20%, anses dette er ikke for 

værende et problem. Desuden øges den resulterende båndbredde ikke i et betydeligt 

omfang (ca. 6.5% ).

Bilag 10: Frekvenskarakteristik af Draganflyer gyroforstærker 

Bilag 10: Frekvenskarakteristik af Draganflyer 

gyroforstærker 

Herunder er frekvenskarakteristikken for den eksisterende gyro-forstærker på Draganflyer 

III helikopteren vist i dB. 

dB(Vout) 

9.652 

4.652 

-0.348 

-5.348 

-10.348 

-15.348 

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 

Frekvens [Hz] 

Figur 1: Frekvenskarakteristik for Draganflyer’s eksisterende gyroforstærker 

1

Bilag 11: Datablad for gyro (NEC/TOKIN CG-16D) 

Bilag 11: Datablad for gyro (NEC/TOKIN CG-16D) 

1

Bilag 12: Anvendte C++ programmer 

1 


Implementeringen af Kalman filter rutinerne baseres på en dertil indrettet matrix-vector 

pakke udvidet til at kunne håndtere assymetriske matrixer. Desuden implementeres 

klasser til kommunikation med den konstruerede I/O-controller m.m. 

Kildekoden er organiseret således: 

AttitudeEstimator 

• Et program der viser den estimerede attitude af helikopteren baseret på sensor-input. 

Autostabilization 

• Et program med implementering af eksperimentel regulator af helikopteren baseret på 3D Kalman filter. 

DensityFuncSampler 

Doc 

• Program til opsamling af 10000 tilfældige accelerometer og gyromålinger, samt efterfølgende konstruktion af 

histogrammer. 

• Auto-genereret dokumentation på baggrund af kommentarer i koden (Doxygen). 

GyroBias 

• Program til opsamling af gyro målinger, efterfølgende midling for at bestemme gyro bias-udvikling. 

Include 

lib 

src 

• Program til opsamling af gyro målinger, efterfølgende midling for at bestemme gyro bias-udvikling. 

• Fælles header- filer. 

• kildekode. 

Test 

• Diverse test-programmer. 

Her følger et udpluk af dokumentationen til de anvendte klasser, dokumentationen er 

automatisk genereret på baggrund af kommentarer i koden.

Template based Vector/Matrix library 

Detailed Description 

MatrixMxN.h M by N matrix template 

Note: : Based on original by Peter Ørbæk. 

Todo: 

2 


extraction of eigenvalues & vectors, computation of matrix rank 

Add #ifdefs for disabling use of exceptions 

Remarks: 

All angles are in Radians 

Quaternion.h Routines for using 4-element vectors as quaternions 

VectorN.h Vector implementation. Based on original by Peter Ørbæk. 

Classes 

Typedefs 

class Matrix 

class Vector 

typedef Vector< 4, double > Quatd 

typedef Vector< 4, float > Quatf 

Enumerations 

enum QElements { Q_W, Q_X, Q_Y, Q_Z } 

enum Axes { X, Y, Z, W } 

Generated on Fri Dec 5 17:09:09 2003 for Autostabilisering af en modelhelikopter by 

1.3.4

Attitude estimation library 


AccAHRS.h 

3 


Attitude & Heading Ref. System based on accelerometer input ONLY 

Attitude.h Contains functions for converting between different attitude representations. 

Note: 

Most of the functions in here are tightly coupled to the definitions of the 

helicopter- & navigation-frames (or references if you like), and the rotationorder 

of the Euler angles. Currently the used rotation-order for transforming 

from the helicopter-frame to the navigation-frame is Yaw-Pitch-Roll 

GyroAHRS.h 

Attitude & Heading Ref. System based on gyro input ONLY 

KalmanAHRS.v1.h Attitude & Heading Ref. System based on Kalman filtering of 

BOTH accelerometer & Gyro inputs 

Classes 

Typedefs 

class AccAHRS 

class GyroAHRS 

class KalmanAHRS_v1 

class KalmanAHRS_v1 

typedef KalmanAHRS_v1 KalmanAHRS

Enumerations 

Functions 

4 


enum OrderOfRotation { YAW, PITCH, ROLL } 

Matrix< 3, 3, double > euler2DCM (double yaw, double pitch, double roll) 

Matrix< 3, 3, float > euler2DCM (float yaw, float pitch, float roll) 

Vector< 4, double > euler2quaternion (double yaw, double pitch, double 

roll) 

Vector< 4, float > euler2quaternion (float yaw, float pitch, float roll) 

template Matrix< 3, 3, T > quaternion2DCM (const Vector< 4, T > &q) 

template Vector< 3, T > quaternion2euler (const Vector< 4, T > &q) 

Vector< 4, double > DCM2quaternion (const Matrix< 3, 3, double > 

&DCM) 

Vector< 4, float > DCM2quaternion (const Matrix< 3, 3, float > 

&DCM) 

Vector< 3, double > DCM2euler (const Matrix< 3, 3, double > &DCM) 

Vector< 3, float > DCM2euler (const Matrix< 3, 3, float > &DCM) 

template Vector< 3, T > acc2euler (const Vector< 3, T > &acc) 

template Vector< 4, T > acc2quaternion (const Vector< 3, T > &acc) 

template Vector< 3, T > quaternion2g (const Vector< 4, T > &q) 


1.3.4

IoCtrl.h File Reference 


Abstraction for I/O controller HW onboard the helicopter. 

#include "VectorN.h" 

#include "Win32/ComPort.h" 

Classes 

class Accelerometers 

class Gyros 

class IoCtrl 

Functions 

void printPDU (const uchar pdu[IoCtrl::PDU_LENGTH]) 

5 


void calibrateAccelerometersAndGyros (IoCtrl &ioctrl, Vector< 3 > *OUT accBias, 

Vector< 3 > *OUT gyrBias) 


1.3.4

Bilag 13: Eulervinkler 

1 


Følgende matrixer beskriver en rotation mod uret jf. ”Højrehåndsreglen” 1 (se fig. 1) 

omkring x,y & z-akserne i et ortogonalt koordinatsystem (Croft, Davidson & 

Hargreaves s.204): 

⎡1 

0 0 ⎤ ⎡ cos( ψ) 

0 sin( ψ) 

⎤ ⎡cos( φ) 

−sin( 

φ) 

0⎤ 

R ( ) = 

⎢ 

⎥ 

X θ 

⎢ 

0 cos( θ) 

−sin( 

θ) 

⎢ 

⎥ 

⎥ 

R Y ( ψ) 

= 

⎢ 

0 1 0 

⎥ 

R 

⎢ 

⎥ 

Z ( φ) 

= 

⎢ 

sin( φ) 

cos( φ) 

0 

⎥ 

⎢⎣ 

0 sin( θ) 

cos( θ) 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

−sin( 

ψ) 

0 cos( ψ) 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

0 0 1⎥⎦ 

Et eksempel er forsøgt visualiseret på følgende figur: 

0 

Sættes θ = 90 , roteres vektoren [ ] T 

v = 0 1 0 , således: 

'= 

R 

v X 

( 90 

0 

⎡1 

) ⋅ v = 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

0 

0 

0 

1 

0 ⎤ ⎡0⎤ 

⎡0⎤ 

− 1 

⎥ ⎢ ⎥ 

= 

⎢ ⎥ 

⎥ 

⋅ 

⎢ 

1 

⎥ ⎢ 

0 

⎥ 

0 ⎥⎦ 

⎢⎣ 

0⎥⎦ 

⎢⎣ 

1⎥⎦ 

Det ses, at enhedsvektoren i y-aksens retning roteres, så den resulterende vektor peger i 

z-aksens retning præcis som ventet. 

De 3 matrixer R X ( θ ), R Y ( ψ ) og R Z (φ ) kan multipliceres til en enkelt rotationsmatrix 

udtrykt ved 3 vinkler R ( θ , ψ , φ) 

. Eulers rotations-teorem (Weisstein) siger, at en 

vilkårlig rotation kan beskrives med 3 rotationer, vinklerne kaldes derfor ofte eulervinkler. 

1 ”Højrehånds-reglen”: Hold højre hånd lukket, men med tommelfingeren langs rotations-aksen. De 

øvrige fingre krummer nu i rotationens retning. 

Z´ 

X 

θ 

Z 

Figur 1: Rotation med vinklen θ omkring x-aksen 

Y´ 

(x-aksen peger ”ud af papiret”) 

Y

2 


Da matrix-multiplikation ikke kommuterer ( A ⋅ B ≠ B ⋅ A ), afhænger formen af den 

resulterende matrix af rotations-rækkefølgen. Dette hænger sammen med i hvilket 

koordinatsystem rotationerne og dermed vinklerne er beskrevet. 

Et eksempel: 

R( θ , ψ , φ) 

= R X ( θ ) ⋅ R Y ( ψ ) ⋅ R Z ( φ) 

= (( I ⋅ R X ( θ )) ⋅ R Y ( ψ )) ⋅ R Z ( φ) 

Hvor I er identitetsmatrixen. Udtrykkes ovenstående med ord, fås: 

”rotér omkring nuværende x-akse” 

”rotér omkring den resulterende y-akse fra forrige rotation” 

”rotér omkring den resulterende z-akse fra de to forrige rotationer” 

I eksemplet angiver vinklerne ψ og φ altså rotationer i forhold til midlertidige 

koordinatsystemer! Rotations-rækkefølgen er derfor naturligt nok bestemmende for 

betydningen af vinklerne. En given rotation kan altså beskrives som en vilkårlig 

rækkefølge af rotationer med forskellige vinkler, f.eks.: 

R ( θ , ψ , φ) 

= R( 

ψ ', 

φ', 

θ ') 

hvor 

R( 

θ , ψ , φ) 

= R 

X 

R( 

ψ ', 

φ', 

θ ') 

= R 

( θ ) ⋅ R 

Y 

Y 

( ψ ') 

⋅ R 

( ψ ) ⋅ R 

Z 

Z 

( φ) 

( φ' 

) ⋅ R 

X 

( θ ') 

En entydig beskrivelse af en rotation med euler-vinkler forudsætter derfor en 

fastlæggelse af rotations-rækkefølgen. 

Kilder: 

[1] Croft, Davidson & Hargreaves. Engineering Mathematics: A Modern 

Foundation for Electronic, Electrical and System Engineers. 2nd Ed. 

Addison-Wesley, Essex 1996. 

[2] Weisstein, Eric W. "Euler Angles." Eric Weisstein's world of 

Mathematics. Wolfram Research. 21. Oktober 2003. 

Bilag 14: Quaternioner 

1 

Bilag 14: Quaterioner 

Matematikken bag quaternionerne blev grundlagt af Sir William Rowan Hamilton, der i 

1843 spontant skal have ridset den karakteristiske formel: 

i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 

På Brougham Bridge i Dublin, i glæde over endelig at have indset løsningen til 

multiplikation af vektorer eller triplets (Wilkins). Quaternionerne er en udvidelse af de 

komplekse tal: 

q = w + xi 

+ yj 

+ zk 

hvor w er den reelle del og vektoren [ y z] 

Re( q) 

= w 

Im( q) 

= 

[ x y z] 

x er den imaginære del. 

Quaternioner hvorom gælder, at Re( q ) = 0 kaldes ”ren”. 

Hamilton viser at multiplikation af quaternioner er givet ved (Hamilton s. 2): 

q ⋅ q'= 

ww'+ 

wx'i 

+ wy' 

j + wz'k 

+ xw'i 

+ xx'i 

+ yw' 

j + yx' 

ji + yy' 

j 

2 

+ xy'ij 

+ xz'ik 

+ zw'k 

+ zx'ki 

+ zy'kj 

+ zz'k 

2 

+ yz' 

jk 

Givet følgende definitioner (Hamilton s. 2): 

i 

2 

2 2 

= j = k = −1 

ij = k 

ji = −k 

jk = i 

kj = −i 

ki = j 

ik = −j 

Kan produktet af quaternionerne q og q’ omskrives til: 

w'' 

= ww'−xx'− 

yy'−zz', 

x'' 

= wx'+ 

xw'+ 

yz'−zy', 

y'' 

= wy'+ 

yw'+ 

zx'−xz', 

z'' 

= wz'+ 

zw'+ 

xy'− 

yx' 

Dette resultat ligger til grund for de gængse definitioner af ”prik-produktet” og ”krydsproduktet” 

for vektorer. 

2

Vi kan alternativt udtrykke en quaternion som: 

2 


q = s, 

v , hvor skalaren s er den reelle del og vektoren v den imaginære 

del. Herved kan produktet q ' af quaternionerne q og q ' kort skrives: 

q' '= 

q ⋅ q'= 

ss'−v 

• v', 

v × v'+ 

s ⋅ v'+ 

v ⋅ s 

hvor • angiver et ”prik-produkt” og × et ”kryds-produkt”. Af definitionerne følger 

yderligere, at: 

q + q'= 

s + s', 

v + v' 

q − q'= 

s − s', 

v − v' 

Quaternionerne er som tidligere nævnt en generalisering af de komplekse tal. En 

quaternion kan, præcis som de komplekse tal kan det, konjugeres ved følgende 

definition (Hamilton s. 14): 

q * = s, 

−v 

hvoraf følger, at 

( q*)* 

= ( s, 

−v)* 

= s, 

v = q 

( q + q')* 

= s + s', 

−( 

v + v') 

= s + s', 

−v 

− v'= 

q * + q'* 

( q ⋅ q')* 

= ss'−v 

• v', 

−( 

v × v'+ 

s ⋅ v'+ 

s'⋅v) 

= ss'−( 

−v) 

• ( −v' 

), ( v') 

× ( v) 

− s ⋅ v'−s'⋅v 

= ss'−( 

−v' 

) • ( −v), 

( −v' 

) × ( −v) 

+ s'⋅( 

−v) 

+ s ⋅ ( −v' 

) 

= q'* 

⋅ q * 

Normen 1 af en quaternion defineres som (Hamilton s. 13): 

2 2 

norm( 

q) 

= q = w + x + y 

+ z 

q ⋅ q* 

= ss − v • ( −v), 

v × ( −v) 

+ s ⋅ v + s ⋅ ( −v) 

= s 

2 

2 

2 

+ v • v = 

1 2 2 2 

Hamilton skriver ”(TQ) = (SQ) - (VQ) , and if we suppose TQ to be always a real 

and positive or absolute number, which we may call the tensor of the quaternion Q, we 

shall not thereby diminish the generality of that quaternion. The tensor is what was 

called in former articles the modulus” (s.13). Hamilton skriver videre, at han ikke finder 

”modulus” en passende betegnelse. 

q

3 


En quaternion hvor om gælder at q = 1 kaldes en enheds- eller unit-quaternion (Eberly 

s.2). 

−1 

−1 

Den inverse quaternion hvor om gælder, at q ⋅ q = q ⋅ q = 1 (Eberly s. 2), findes ved: 

q ⋅ q * 

q ⋅ q* 

= q ⇒ = 1 

q 

−1 

= 

q * 

q 

[] q 

Quaternionerne er som tidligere nævnt en udvidelse af de komplekse tal. Et komplekst 

tal kan opfattes som et punkt, der roterer i planen, jf. Euler-relationen: 

i 

isin(θ) 

e 

iθ 

θ 

cos(θ) 

= cos( θ ) + i sin( θ ) 

Figur 1: Komplekst tal roterende i planen 

Ifølge Eberly, kan Euler-relationen generaliseres til quaternioner (Eberly s.2): 

q = cos( θ ) + ûsin( 

θ ) 

exp( ûθ 

) = cos( θ ) + ûsin( 

θ ) 

1 

Hvor û er en ren enheds quaternion, hvorom det således gælder, at: 

û ⋅ û = −1

4 


Quaternioner kan, efter tilsvarende princip som for de komplekse tal, benyttes til at 

beskrive rotationer i rummet. På følgende figur er vist hvorledes en 3-dimensional 

stedvektor p pegende på punktet P, roteres omkring aksen langs enhedsvektoren û til 

stedvektoren p’ pegende på punktet P’: 

Af figur 2 ses, at: 

O 

p 

P 

OP'= 

OC + CP' 

C 

Figur 2: Rotation i rummet omkring aksen û 

= OC + cos( Φ) 

CP + ( û × p) 

sin( Φ) 

= û( 

û • p) 

+ ( p − û( 

û • p)) 

cos( Φ) 

+ ( û × p) 

sin( Φ) 

= cos( Φ) 

p + û( 

û • p)( 

1− 

cos( Φ)) 

+ ( û × p) 

sin( Φ) 

Opfattes vektoren p som en ren quaternion uden skalar-del, der præ-muliplicers med 

quaternionen q defineret som: 

q = cos( θ ) + ûsin( 

θ ) 

og efterfølgende post-multipliceres med q*, fås at 

q ⋅ p ⋅ q* 

= cos( 2θ 

) p + ( 1− 

cos( 2θ 

))( û • p) 

û + sin( 2θ 

) û × p 

Φ 

û(û●p) 

p’ 

û 

Ved at sammenligne med den tidligere opstillede sammenhæng på baggrund af figur 2 

ses det, at quaternionen q altså beskriver en rotation omkring aksen langs û med vinklen 

2θ (Eberly s.3-4). 

P’ 

P 

C 

Φ 

P’ 

û×p

5 


Rotationen beskrevet ved en enheds quaternion kan omskrives til matrix form, idet 

⎡q0 

⎤ 

⎢ ⎥ ⎡x⎤ 

p '= q ⋅p 

⋅ q * , hvor ⎢ 

q1 

q = ⎥ og p = 

⎢ ⎥ 

⎢q 

⎥ ⎢ 

y 

⎥ 

2 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎣q 

⎣z 

⎦ 

3 ⎦ 

Skrives alle leddene for quaternions-produkterne ud og samles udtrykkene for x-,y- og 

z-komposanterne af p’, fås: 

⎡ 

0 

⎤ 

⎢ 2 2 2 2 

⎥ 

⎢ 

( q0 

+ q1 

− q2 

− q3 

) x 2( 

q1q 

2 − q0q 

3) 

y 2( 

q1q3 

+ q0q 

2 ) z 

p '= 

⎥ 

2 2 2 2 

⎢ 2( 

q q + q q ) x ( q − q + q − q ) y 2( 

q q − q q ) z ⎥ 

1 2 0 3 

0 1 2 3 

2 3 0 1 

⎢ 

2 2 2 2 ⎥ 

⎣ 2( 

q1q3 

− q0q 

2 ) 2( 

q2q 

3 + q0q1 

) y ( q0 

− q1 

− q2 

+ q3 

) z⎦ 

Hvilket let omskrives til et matrix-vektor produkt, og dermed kan den ønskede matrix 

opstilles (Titterton & Weston s. 49): 

2 2 2 2 

⎡( 

q 

⎤ 

0 + q1 

− q2 

− q3 

) 2( 

q1q 

2 − q0q 

3) 

2( 

q1q3 

+ q0q 

2 ) 

⎢ 

2 2 2 2 

⎥ 

R = ⎢ 2( 

q1q2 

+ q0q 

3) 

( q0 

− q1 

+ q2 

− q3 

) 2( 

q2q 

3 − q0q1 

) ⎥ 

⎢ 

2 2 2 2 ⎥ 

⎣ 2( 

q1q3 

− q0q 

2 ) 2( 

q2q 

3 + q0q1 

) ( q0 

− q1 

− q2 

+ q3 

) ⎦ 

Kilder: 

[1] Wilkins, D.R.. Letters describing the Discovery of Quaternions. School of 

Mathematics, Trinity College, Dublin, 21. Oktober 2003 

. 

[2] Hamilton, William R. On Quaternions, or on a new system of imaginaries 

in algebra. Red. D.R. Wilkins. Philosophical Magazine, 1844–1850. 21. 

Oktober 2003 

. 

[3] Titterton, D.H. og J.L. Weston. Strapdown inertial navigation technology. 

Peter Peregrinus Ltd., London 1997. 

[4] Eberly, David. Quaternion Algebra and Calculus. Magic Software, Inc. 

2002. November 2003 

.

Bilag 15: Tidskonstant for rotorsystem 

1 


Formålet med dette eksperiment er at måle den samlede tidskonstant for helikopterens 

eksisterende rotorsystem dvs. tidskonstanten gennem mikroprocessor-styring, motor og 

rotor. Hastigheden af rotorerne måles med et dertil indrettet kredsløb baseret på IR-dioder. 

Dette kredsløb og tilhørende test-opstilling er skitseret herunder på figur 1. 

Spændingen Vout på kredsløbets udgang falder, når den infrarøde stråle fra IR-LED’en 

afbrydes af rotor-bladet. Ved at måle puls-frekvensen med en digital analysator kan 

rotationshastigheden af rotoren bestemmes (se figur 2). 

IR sensor 

Figur 1: RPM målers elektriske kredsløb 

Digital 

Analysator 

5V 

Figur 2: Måling af rotationshastighed 

tp

2 


Der sættes et step på systemet, således: 

1. Måling med den digitale analysator startes. 

2. Der gives i ét ryk fuld gas på motorene vha. fjernbetjeningen mens helikopteren 

holdes fastspændt. 

Resultatet er en graf, hvor rotorens Revolutions-Per-Minute (RPM) vises som funktion af 

tiden. Heraf kan stige-tiden og dermed tidskonstanten for det samlede system bestemmes. 

Periodetiden tp er tiden det tager rotoren at rotere en halv omgang, da der er 2 blade på 

propellen (se figur 2). 

Rotorens RPM derfor beregnes på følgende måde: 

Periode tiden T for en rotation er givet ved: = 2 ⋅t 

[ s] 

1 

T 

1 

2 ⋅ t 

Frekvensen er derved: f = = [ Hz] 

p 

T p 

60 

2 ⋅ t 

Frekvensen i RPM er givet ved: RPM = 60 ⋅ f = [ omdr / min] 

Det resulterende RPM signal som funktion af tiden, er angivet på nedenstående figur (figur 

3). 

2.861e3 

2.270e3 

1.679e3 

1.089e3 

497.871 

-92.935 

-8.156e-3 0.225 0.459 0.693 0.926 1.160 

Den målte kurve og den approksimeret (firkant) 

Figur 3: Rotorernes RPM 

p

RPM-signalet approksimeres med et simpelt ekspontielt udtryk: 

y( 

t) 

= B 

− A ⋅t 

( 1− 

e ) + C 

hvor konstanterne bestemmes til: A=13.9 ; B=4130 ; C=-1500 

3 


Tids-konstanten for rotorsystemet (mikroprocessor-styring, motor og rotor) findes nu ved 

Herved fås 

1 

−t⋅ 

τ 

y ( t) 

= B( 

1− 

e ) ; hvor τ er tids-konstanten. 

τ = 

1 

= 0, 

072 

A 

[] s 

Hvilket giver båndbredde på ca. 

BW 14 

1 ≈ 

= τ 

Hz

Bilag 16: Altitude estimering med Kalman filter 


I dette bilag beskrives et Kalman filter, hvormed helikopterens altitude, dvs. dens højde 

over jorden, kan estimeres. De vedlagte resultater er baseret på simuleret input, men den 

benyttede sensor målestøj er den samme, som benyttet i de øvrige Kalman filtre i specialet. 

Udover accelerometer-modulet anvendes en ultralyds-afstandsmåler (SRF04) fra 

Devantech Ltd. Det er hensigten, at ultralyds-afstandsmåleren monteres under helikopteren. 

Udledningen af Kalman filtret er angivet i detaljer, dels for at give indsigt i Kalman filtret, 

dels fordi der anvendes et specielt trick i filteret, men mere herom senere. Der tages 

udgangspunkt i følgende blokdiagram 

hvor 

x2 : vertikal hastigheden [m/s] 

x1 : højde over gulvet [m] 

Vi modeller vores accelerometer system diskret med nedenstående ligning: 

hvor 

x = φ x + u + w 

k + 1 

k 

k 

k 

φ k : matrice der relaterer xk til xk+1 

uk : deterministisk kontrol input 

wk : model støj 

u + w 

k 

x 

1 

s 

x 

x 2 

1 

1 

s 

x2 1 x 

Figur 1: state-space model 

x


Målingerne opsamles diskret og antages at kunne beskrives ved nedenstående ligning 

hvor 

z = H x + v 

k 

zk : målevektor 

k 

k 

k 

vk : målestøj for den benyttede sensor 

Hk : matrice der relaterer sensorerne til tilstandsvektoren xk. 

Vi kan skrive vores accelerometer måling som: 

dx2 

a m = + g + a 

dt 

n 

2 

Hvor an er normalt fordelt hvidstød n ( 0, 

n ) N a σ 

omskrives til: 

= x 

+ g + an 

⇒ x 

2 

= am 

− g − an 

= u + w 

am 2 

≡ og g er tyngdeaccelerationen. Dette kan 

Tilstandsligningen for systemet kan diskretiseres ved at benytte Taylor-udvikling 

2 

( τ − a) 

p( 

τ ) = f ( a) 

+ f 

( a)( 

τ − a) 

+ f 

( 

a) 

+ .... hvor a = t og τ = t + ∆t 

2! 

Derved fås det diskrete system: 

x1 k + 1) 

= x1( 

k) 

+ x2 

( k) 

⋅ ∆t 

+ 0. 

5( 

am 

− g − an 

( ) ∆t 

x k + 1) 

= x ( k) 

+ 0. 

5( 

a − g − a 

2 ( 2 

m 

n 

Dette kan skrives på matrix form som: 

⎡ x1( 

k + 1) 

⎤ ⎡1 ∆t⎤ 

⎡ x1( 

k) 

⎤ ⎡0. 

5∆ 

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ + ⎢ 

⎣x2 

( k + 1) 

⎦ ⎣0 

1 ⎦ ⎣x 

2 ( k) 

⎦ ⎣ 0. 

5 

) 

2 

2 

t ( am 

− g) 

( a − g) 

m 

2 

2 

⎤ ⎡− 

0. 

5∆t 

a 

⎥ + ⎢ 

⎦ ⎣ − 0. 

5an 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

n


Nu kan systemets covarians matrix Qk bestemmes af støjen wk som: 

Q k 

1 

= 

1 

⎡ 

2 

T ⎡− 

0. 

5∆t 

a ⎤ n 

2 

[ k k ] = E⎢⎢ 

⎥ ⋅ [ − 0. 

5∆t 

an 

⎢⎣ 

⎣ − 0. 

5an 

⎦ 

− 0. 

5a 

⎡Ew1w1 

] ⎥ = ⎢ 

⎥⎦ 

⎣Ew1w2 

Ew1w2 

⎤ 

Ew 

⎥ 

2w2 

⎦ 

w w 

2 2 

4 2 

= E[ 

( − 0. 5∆t 

an 

) ] = 0. 

25∆t 

an 

4 

= 0. 

25∆t 

2 

n 

= E[ 

( − 

2 

. 5∆t 

a )( − 0. 

5a 

2 2 

) ] = 0. 

25∆t 

a 

2 

= 0. 

25∆t 

2 

E n 

Ew w 

σ 

Ew w 0 n 

n 

n σ n 

1 

2 

2 

2 

2 

[ ( − . 5a 

) ] = 0. 

25a 

= 0. 

25 

Ew2w2 = E 0 n 

n σ n 

Qk bliver dermed: 

Q 

k 

4 2 ⎡0. 

25∆t 

σ n 

= ⎢ 

2 2 

⎣ 0. 

25∆t 

σ n 

2 2 

0. 

25∆t 

σ ⎤ n 

2 ⎥ 

0. 

25σ 

n ⎦ 

Som tidligere nævnt kan målingen beskrives ved nedenstående ligning: 

z = H x + v 

k 

k 

k 

k 

Vi måler vores højde med en ultralydssensor, derved fås: 

H k 

= 

[ 1 0] 

Det ses at matrixen Hk bestemmer, hvilke tilstandsvariabler der måles af sensorerne. Jo 

flere der måles jo bedre estimater, dvs. jo flere sensorer jo større præcision. 

z = x1 

+ v ; hvor det huskes at x1 er positionen 

k 

k 

Målestøjen v k er normal fordelt hvidstøj v ~ Ν( 

0, 

σ ) 

Covarians matrixen k R af vk v k bestemmes som: 

R 

k 

T 

2 2 

[ v ] = E[ 

v ] = 

= E v σ 

k 

k 

k 

v 

k 

3 

2 

v 

⎤

Kalman filteret kan nu beregnes vha. nedenstående ligninger: 

Start estimat af 

Kalman gain 

K 

P 

H 

− 

xˆ og 

( ) 1 − 

− T 

H P H + R 

− T 

k = k k k k k k 

Opdatér estimat og måling 

− 

P 0 . Se fodnote 1 

zk er ny måling, xˆ k er nyt beregnet estimat 

− ( z − H x ) 

xˆ ˆ 

ˆ 

− 

k = x k + K k k k k 

Beregn fejl covarians matrice 

k 

− 

T 

T 

( I − K H ) P ( I − K H ) K R K 

P = 

+ 

Projicér fremad 

− ˆ k + 1 = φ k 

x xˆ 

k 

k 

+ u 

P = φ P φ + Q 

− 

k + 1 

k 

k 

T 

k 

k 

k 

k 

k 

1 ^ betyder estimat og – betyder bedste estimat før tiden tk. 

k 

k 

k 

k 


k 

4

Estimaternes fejl covarians matrix Pk er givet ved: 

k 

T 

T 

[ e e ] = E[ 

( x − xˆ 

)( x − ) ] 

P = E xˆ 

− 

k 

k 

k 

k 

− −T 

− 

− T 

[ e ke 

k ] = E[ 

( x k − xˆ 

k )( x k − k ) ] 

P = E 

xˆ 

k 

Ved ukorreleret fejl ek fås (for 2 dimensionel vektor): 

2 

2 

T ⎡ e ⎤ ⎡ ⎤ 

1 e1e2 

Ee1 

0 

[ e ke 

k ] = E⎢ 

⎥ = 2 ⎢ ⎥ 

⎣e1e2 

e2 

⎦ ⎣ 0 Ee2 

⎦ 

k 

k 


P k = E 

; hvor e1 er fejlen i estimering af x1, osv. 

2 

da [ e e ] = 0 

E for ukorreleret ek. 

1 

Det ses også at 

2 

Ee = σ da middelværdien af fejlen er 0. 

2 2 

1 e1 

Ovenstående kan naturligvis generaliseres til n-dimensionelle vektorer. 

Den estimerede højde og hastighed fås af tilstandsvektoren k x . 

Hvis f.eks. hastigheden ønskes fås: x2 = [ 0 1] 

xk 

Dog er denne udregning normalt overflødig, da Kalman filteret implementeres som 

computer program. Derfor har brugeren normalt direkte adgang til samtlige elementer i 

tilstandsvektoren. 

5


Fordelen ved accelerometer måling som kontrol input 

I det netop beskrevne Kalman filter benyttes accelerometer målingerne som kontrol input, 

dvs. de ikke indsættes i målevektoren zk. Denne metode er beskrevet af Joseph (s. 7-11) og 

karakteriseres som et smart trick, dette trick har været anvendt helt tilbage i 1960’erne. 

Da accelerometeret ikke kan modelleres simpelt, vil en tilnærmet beskrivelse være 

fejlbehæftet. Problemet består i, at effekten af modelstøjen ikke kendes. Hvis denne antages 

lille, vil Kalman filteret give små fejl ved små accelerationer, men store fejl ved store 

accelerationer. Hvis modelstøjseffekten derimod øges, vil Kalman filteret give små fejl ved 

store accelerationer, men store fejl ved små accelerationer. Størrelsen af modelstøjseffekten 

må derfor blive et kompromis. Modelstøjen wk bestemmer så at sige dynamikken 

af Kalman filteret, dvs. filterets evne til at reagere på målingerne. Ovenstående kompromis 

undgås, hvis accelerometer målingerne udnyttes på samme vis, som angivet i det netop 

beskrevne Kalman filter. Her indgår accelerometer-målingerne direkte som kontrol input til 

Kalman filteret. Udsættes systemet for en pludselig acceleration, vil denne indgå direkte i 

modellen og dermed elimineres problemet med dynamikken. Dynamikken af Kalman 

filteret bestemmes altså af accelerometeret og ikke modelstøjen. 

6


Eksperimenter af altitude estimering med kalman filter 

Resultaterne i dette afsnit er fremstillet på grundlag af simulerede måledata. Støjeffekten 

fra accelerometeret er målt, men støjeffekten fra ultralyds-afstandsmåleren oplyses ikke i 

databladet. I denne simulering er støjens spredning for ultralyds-afstandsmåleren sat til 

1cm. 

De anvendte værdier ses herunder: 

Variansen af støjen på accelerometeret: σ = 50mg 

Variansen af målestøjen på ultralydssensoren: σ = 1cm 

Samplefrekvensen er 50Hz, så derfor fås 

Qk og Rk kan nu bestemmes. 

Q k 

R k 

− ⎡ 1⋅10 

⎢ 

⎣2. 

5⋅10 

10 

− 

2. 

5⋅10 

6. 

25 ⋅10 

= −7 

−4 

4 

10 − 

= 

7 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

n 

7 

v 

1 

∆ t = 

50Hz 

Sensor måledata for hhv. accelerometer og ultralyds-afstandsmåler er defineret på følgende 

måde: 

a = 0 + w 

m 

og 

z 1 = 0 + 

vk 

k 

Hvor wk og vk er 2 uafhængige hvidstøjsprocessor med spredningerne σ n og σ v . På figur 2 

herunder er vist resultatet af simuleringen.

Figur 2 herunder viser outputtet x1 af filteret for 1000 samples. 

højde (m) 


Det bemærkes at signalet ligger pænt omkring højden 0m. 

Fejleffekten i estimeringen af højde og hastighed kan ses af pk matrixen. 

p k 

0.015 

8.348e-3 

1.766e-3 

-4.815e-3 

-0.011 

-0.018 

-48.950 170.830 390.610 610.390 830.170 1.050e3 

⎡2. 

72E 

⎢ 

⎣2. 

13E 

−5 

2. 

13E 

−4 

= −4 

−3 

3. 

96E 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

tid (n) 

Figur 2: Output x1 af kalman filter 

−5 

Det ses at fejlen i estimering af x1 har en spredning på: 2. 

72E 

= 0. 

52cm 

forbedring i forhold til ultralydsmålerens spredning. 

8 

altså en klar


Flyver helikopteren ind over et bord, vil dette pludselig ændre den målte højde med 

ultralyds-afstandsmåleren, men accelerometeret vil ikke måle en ændring. Et eksempel er 

angivet på følgende figur. Hvor z1 efter 250 samples ændres fra 1 vk 

til 1 vk 

hastighed (m/s) 

5.496 

4.243 

2.990 

1.737 

0.485 

-0.768 

9 

tid (n) 

z = 0 + 

z = 1+ 

-48.950 170.830 390.610 610.390 830.170 1.050e3 

Figur 3: output x2 af kalman filter 

Det ses at hastighedsændringen giver en nål i den estimerede hastighed, netop når 

helikopteren passerer over bordet. Hvis helikopteren reguleres efter hastighedssignalet x2, 

vil nålen formentlig ikke forårsage en væsentlig ændring af helikopterens højde. Det 

antages at inertien af helikopterens mekaniske system virker som et lavpas-filter, der 

således undertrykker nålen. Ovenstående eksempel kunne være en god øvelse i 

undervisningssammenhæng, da der implementeres en simpel adfærd: ”Hold afstand over 

gulvet”. 

Kilder: 

[1] Joseph, Peter D. "Kalman lessons 0 to 4" Kalman filters. Oktober 2003 

< http://ourworld.compuserve.com/homepages/PDJoseph/kalman.htm>

Bilag 17: Resumé af journal 

1 


I dette bilag gives et kronologisk resumé af specialeforløbet på baggrund af indholdet i 

vores journal. 

Efter at have modtaget helikopteren, blev helikopterens fysiske egenskaber tabellagt, dvs. 

dimensioner, vægt, løfte evne, strømforbrug, mv. Herefter blev helikopterens 

ombordværende elektronik ”reverse engineered”, dvs. funktionaliteten af den 

ombordværende elektronik blev analyseret. Yderligere blev rotorernes maksimale 

omdrejningshastighed målt og i samme forbindelse blev tidskonstanten fra styringen til 

motorerne bestemt. På baggrund af RAPTOR-projektet ved University of Southern 

California, som benytter samme type gyroer som anvendt i helikopterens eksisterende 

regulering, bestiltes ADXL-202 accelerometre som vareprøver fra Analog Devices. 

Herefter fremstilles en IMU prototype og I/O-controller til dataopsamling. Sideløbende 

påbegyndes research af egnede strukturer for Kalman filtrering. 

Indledende forsøg med attitude-bestemmelse ved midling af accelerometer-målinger. Det 

konstateres at den estimerede tyngdevektor hælder til den ene side af (på det tidspunkt) 

ukendte årsager. Problemer med COM porten i windows 2000, da det lader til at COM 

portens buffer ”løber over”. 

Teorien vedrørende extended Kalman filter volder problemer, sideløbende undersøges brug 

af accelerometre som kontrol input til simpelt Kalman filter. På dette tidspunkt bruges 

relativ lang tid til, at omsætte teori til praksis. Her kunne en vejleder med god praktisk 

erfaring med Kalman filtrering måske have bistået. 

Ved nærmere undersøgelse af de eksisterende gyro-forstærkerkredsløb ombord på 

helikopteren findes, at disse fungerer som båndpas filtre og således ikke kan måle bias 

signalet fra gyroerne. Nyt forstærkerkredsløb konstrueres.

2 


Mistanke vedrørende ”mætnings”-problem for accelerometrene verificeres med brug af en 

højtaler. Erfarer at skolen råder over accelerometre. B&O accelerometer og mini shaker 

benyttes til yderligere at undersøge ”mætnings”-problem, samt måle vibrationerne ombord 

på helikopteren. Nye accelerometre (ADXL 210E) bestilles. 

Nye accelerometre monteres. 

Prototype færdig, men kvaliteten vanskelig at vurdere, da 

• Der ikke rådes over en mekanisk opstilling, hvor kendte påvirkninger (rotation og 

bevægelser) kan påtrykkes. 

• COM-port problemer udelukker brug af ønsket sample-frekvens. 

• Prototypen er ikke trådløs, så helikopteren kan ikke flyve ”frit” 

• Tilkobling af helikopterens fjernbetjening til PC ikke færdig, så virkningen af den 

eksperimentelle regulator kan ikke opleves ”på egen krop”.

Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?