X - Repositories

1 A^
552
1V5
VA
'iß
4
BS5
F^
^^V
"^'^^fiS?^^
BrT^^'^StfS
^^ÄI!Z5
^^if. ^^^^
^M

L.^REBOG
ANALYTISK PLANGEOMETRI
AF
DR. NIELS NIELSEN
DOCENT I REN MATEMATIK VED KJOnENHAVNS UNIVERSITET
MEDLEM AF INDERVISNl NGSINSFKKTIONEN FOR DE L^RDE SKOLER
GYLDENDALSKE BOGHANDEL
NORDISK FORLAG
KJOBENHAVX 1905 KRISTIANIA

TRYKT HOS J. JORGENSEN & Co. (M. A. HANNOVER)

af saa faa almindelige Principper som muligt^). Det er af
denne Grund, at jeg definerer Keglesnittene ved Hjaelp at
Ledelinie og Braendpunkt, hvorved jeg fritages for at gennemfore
flere analoge Bestemmelser af Tangent, Diameter og
Polar. Desuden forekommer det mig, at Undersogelsen af
den ved Ligningen
jj/2 — ^;ir -f- qx'^
definerede Kurve giver Eleven bedre Midier ihaende til Behandling
af andre Kurver, der fremstilles ved Ligninger af
h0Jere Grader, end Tilfasldet er, naar man definerer Keglesnittene
ved deres Braendpunktsegenskaber.
Efter min Opfattelse bor det elementsere Kursus afsluttes
med Diskussionen af den almindelige Ligning af anden Grad
i X og j/, dels for at give Eleven dette Pensum i en virkelig
naturlig Begrsensning, dels for at lette ham Losningen af
forskellige Opgaver, der forer til Keglesnit i mindre simpel
Beliggenhed i Forhold til Koordinatsystemet. Derimod er
jeg, i Henhold til ovenstaaende Bemserkninger, slet ikke gaaet
ind paa Keglesnittenes Definition som Skaeringskurver mellem
Kegle og Plan, saa meget mere som vi jo i den danske Lasrebogsliteratur
besidder udforlige Fremstillinger af dette yEmne.
Det er mig en kaer Pligt at takke Hr. Mag. scient.
C R. Ette for hans fortrseffelige Gennemsyn af Korrekturerne
og Hr. cand. mag. 0, A. Smith for hans Bidrag af smukke
Opgaver til Losning.
Heidelberg, d. 5. August 1905.
Forf.
') Derimod finder jeg det fortr^effeligt, som adskillige Lserere virkelig
gennemforer det, ved Losningen af Opgaver at vise de forskellige Ivlctoders
Fordele og Mangler. Dette Princip har jeg ogsaa antydet i nogle
af Opgaverne til Losning.

INDHOLDSFORTEGNELSE
F0RSTE KAriTEL.
Harmonisk Deling. ^-^^^
§ I. Abscisser. Opg. i —2 i
§ 2. Harmonisk Deling i Forholdet m. Opg. 3—5 3
§ 3. Almindelige Betingelser for harmonisk Deling. Opg. 6—ii 5
§ 4. Konstruktioner ved harmonisk Deling, Opg. 12-—13 7
ANDET KAPITEL.
Koordinater. Kurver.
§ 5. Retvinklede og polaere Koordinater. Opg. 14—20 8
§ 6. Forhold. Trekantens Tyngdepunkt. Opg. 21—22 ii
§ 7. De retvinklede Koordinaters /Endring. Opg. 23 — 25 13
§ 8. Kurver og deres Ligninger. Opg. 26—31 15
§ 9. Kurvers Skoering, Opg. 32—35 18
§
§
000
coo §
§
§
§
§
10.
II.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
TREDJE KAPITEL.
Den rette Linie.
Ligningen af forste Grad i x og y. Opg. 36—39 21
To rette Liniers Sksering og Parallelisme. Opg. 40—43 24
Vmklen mellem to rette Linier. Opg. 44—49 26
Normalformen for en Linies Ligning. Opg. 50—53 28
Anvendelser af Xormalformen. Opg. 54—57 31
Trekantens Areal, Tre Punkter i ret Linie. Opg. 58—59 33
Tre rette Linier gennem samme Punkt. Opg. 60—61 34
Liniebundter. Opg. 62—65 37
Lignmger, der er homogene i x og y, Opg. 66—68 39
FJERDE KAPITEL.
Cirklen,
§ 19. Cirklens Ligning i retvinklede og polasre Koordinater. Opg. 69—75 41
§ 20. Cirklen gennem tre givne Punkter, Opg. 76—79 44
§21. Cirkelbundter og Radikalaxe. Opg. 80-86 46

Side
i^ 22. Cirklens Tangent. ()pg. 87—89 50
§ 23, Trekantens firc Roringscirkler 52
i:; 24. Geometriske Steder, Opg. 90—94 53
coo 25.
FEMTE KAPITEL.
Keglesnit med Toppunkt i Begyndelsespunktet.
§ F?ellesligningen for alle Keglesnit. Opg. 95—96 57
§ 26. Forskellige Former af Keglesnit. Opg. 97—98 60
§ 27. Hyperblens Asymptoter. Opg. 99—102 62
§ 28. Diametre, Opg. 103—105 64
§ 29. Tangenten. Opg. 106 66
§ 30. Polaren. Opg. 107 — 110 69
31- Parablens Tangent og Normal. Opg. iii —116 71
§ 32, Geometriske Konstruktioner ved Parablen. Opg. 117—123 .... 74
SJETTE KAPITEL.
Ellipse og Hyperbel.
§ 33- Symmetriaxerne som Koordinataxer. Opg. 124 —128 76
§ 34, Ellipsen som retvinklet Projektion af Cirklen. Opg. 129—132.. 80
§ 35, Den vilkaarlige Hyperbel som Projektion af den ligesidede.
Opg. 133 83
§ 36. Ligningerne for Tangent og Polar. Opg. 134—135 84
§ 37. Tangent og Normal. Opg. 136—138 87
§ 38. Geometriske Konstruktioner ved Ellipse og Hyperbel. Opg. 139 — 145 89
SVVENDE KAPITEL.
Ligningen af anden Grad i 00 og y.
§ 39. To rette Linier. Opg. 146 — 148 91
§ 40. Ellipse eller Hyperbel. Opg. 149 —150 94
§41. Parablen. Opg. 151 —152 97
§ 42, Oversigt over Diskussionen af Ligningen (39). Opg. 153—155, 98
§ 43. Bundter af Keglesnit, Opg. 156—157 100
TILLÄ^:G.
Bemserkninger om Tangentens Ligning 104
Om den kvadratiske Ligning 105

F0RSTE KAPITEL
Harmonisk Deling.
§ I. Abscisser.
Vaeiger vi paa en ret Linie et Punkt 0, Begyndelsespunktet,
som Udgangspunkt, kan vi entydig bestemme et
andet Punkt A paa Linien, naar vi opgiver Liniesegmentet
OA og desuden ved, til hvilken Side det skal afsaettes ud
fra 0.
Denne Bestemmelse af Punkterne bliver overskueligere,
naar vi karakteriserer Afstandene fra 0 til de forskellige
Punkter paa Linien ved at regne dem positive^ naar de skal
afsaettes til den ene Side, og negative, naar de skal afsaettes
til den modsatte Side paa Linien fra 0, Den Side af Linien,
til hvilken de positive Afstande skal afsaettes fra 0, kaldes
Liniens positive Retning, denne karakteriseres ved en Pil;
Liniesegmentet OA, maalt baade i St0rrelse og Fortegn,
kaldes Abscissen til A.
Liniens negative Retning er den modsatte af dens positive.
Naar vi saaledes regner Liniesegmenter med Fortegn, t0r
vi ikke mere naevne deres Endepunkter i en vilkaarlig Orden;
da nemlig AB og BA regnes modsat paa Linien, har man altid
(i) AB = — BA.
Vor Definition af Abscissen til et Punkt forer os imidlertid
til folgende Saetning:
N, Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri. I

Et Punkt paa en ret Linie med given positiv Retfting og
givet Begyndelsespunkt er entydig bestemt ved sin Abscisse^
ligesom omvendt Punktet entydig bestemmer deiine Abscisse.
Da den rette Linie ved et vilkaarligt af sine Punkter deles
i to fuldstaendig adskilte Dele, maa man med numerisk voxende
Abscisser stedse fjaerne sig mere og mere fra Begyndelsespunktet
0 i Liniens positive eller negative Retning uden
nogensinde mere at kunne vende tilbage til dette Punkt.
Et Punkt, hvis Abscisse numerisk voxer uden Graense,
kaldes uendelig fjcernt.
Begyndelsespunktet 0 har Abscissen NuL
Efter disse indledende Bemaerkninger vil det nu vaere let
at bevise folgende vigtige Saetning:
Betegner A^ B og C tre vilkaarlige Pu7tkter paa samme
rette Linie, haves altid
(la) AB^AC^ CB.
Ved Beviset maa vi betragte tre Tilfaelde:
i^. C falder paa Segmentet AB\ Identiteten (i a) er da
en umiddelbar Folge af et bekendt geometrisk Postulat.
2^. B falder paa Segmentet AC, da faas paa samme
Maade
AC^ CB = AB-{-BC+ CB^AB,
3^. A falder paa Segmentet CB, da faas ligeledes
AC+ CB = AC+ CA +AB=^AB;
dermed er vor Saetning fuldstaendig bevist.
Identiteten (i a) kan uden Vanskelighed generaliseres, idet
man atter under Anvendelse af (i a) kan indskyde et fjerde
Punkt I) mellem C og B, dernaest et femte Punkt E mellem
D og B o. s. V.
Som Anvendelse af (i a) vil vi betragte en i Planen beliggende
brudt Linie A^ A^ .... A^,, hvis Vinkelspidser
vi projicerer paa en i Planen beliggende ret Linie i henholdsvis
A\, A^, . . . ., A^, da udledes af (i a)
(I b) A\ Ar. = A\ A, +A,A, + ....+ A,_, An\
altsaa:

Projiceres de enkelte Segmenter af en brtidt Linie
A^ Ac, . . > . An paa en i dens Plan beliggende ret Linie, er
Sum>nen af de enkelte Projektioner Hg 7ned ProjektioneJi af
det Segment A^ Ar,, der forbinder den brudte Linies to Endepunkter.
Af ovennaevnte almindelige Identitet (i a) udleder man endvidere
folgende mere specielle Saetning:
Af standen fra et Puiikt til et a7idet faas ved at subtrahcre
det ferste Punkts Abscisse fra det sidstes.
Lad nemlig Punkterne A og B have Abscisserne x^ og x>^
altsaa OA = x^ og OB = x^, da faas ifolge (i a)
(i c) AB = AO + OB^x^—x^.
Lad dernaest Midtpunktet JM af ovennaevnte Segment AB
have Abscissen x, da er
hvoraf ifolge (i c)
AM = MB,
-^ —— ^ _— ^ ^ —^^ -^
altsaa
(id)
x^ + x^
x =
og dermed har vi bevist den ny Saetning:
Abscissen til Midtpu7iktet af et Linieseg7ne7it er de7i halve
SuTn af Endepu7tkter7ies Abscisser.
1. Vaeig en Enhed og konstruer de Punkter, hvis Abscisser
er 5, — I og ^(i + ]"^).
2. Endepunkterne af et Segment har Abscisserne —13 og 7;
find Laengden af Segmentet og Abscissen til dets Midtpunkt.
§ 2. Harmonisk Deling i Forholdet /w.
Vi taenker os givet to Punkter A og B med Abscisserne
•^1 og x^\ et tredje Punkt P paa samme rette Linie siges da
at dele Segmentet AB i Forholdet m, naar

(2) AP\BP^m\
dette Forhold er derfor negativt, naar P ligger paa selve
Segmentet AB, ellers positivt.
Betegner a^ Abscissen til P, faas af (2) if0lge (i c)
(2 a)
a. — X.
— ' = m,
cti — x^
a^ =
mx.2 — ^1
;;/ — I
Af Formlerne (2 a) fremgaar det, at Punktet P e7itydig
bestemmer Forholdet w, og omvendt, at Forholdet 7n entydig
bestemmer Punktet P.
For m ^ — I faas af (2 a) % = {x^ -\- x^): 2, saa at P
bliver Midtpunktet af Segmentet AB.
For m ^ i faas a^^ = oc; det tilsvarende Punkt P er derfor
uendelig fjaernt.
Endelig giver m = o og m = 00 henholdsvis a^ = x^,
ag = x^^ saa at P i disse Tilfaelde falder enten i A eller B.
Vi betragter endnu et fjerde Punkt Q med Abscissen ag
paa samme rette Linie som for, saaledes at Q deler Segmentet
AB i Forholdet — m, da erholdes af (2 a), idet m erstattes
med — m,
(2 b) a^ = —~~—i-
De to saaledes bestemte Punkter P og Q siges at dele
Segmentet AB harmonisk i Forholdet w; alle fire Punkter
siges at vaere harmonisk forbu7tdne.
For at undersoge, hvorledes Beliggenheden af /^ og Q
forandres, naar m varierer, tager vi (2 a) og (2 b) sammen og
behover da kun at lade m gennemlobe alle Vaerdier fra
o til + oc.
For m =^ o faas a^ ^ a.^ = x^\ ^ og Q falder derfor
begge i A.
Lader vi dernaest 7n voxe, vil P og Q fjaerne sig fra A,
saaledes at Q bevaeger sig ind paa Segmentet AB, medens
P fjaerner sig fra A til den modsatte Side.
For m = I falder Q i Midtpunktet af AB, medens P er
uendelig fjaernt.

5
Idet ;;/ passerer i, gaar Q over Midtpunktet af AB henimod
B, medens P Springer over paa den anden Side af
Linien og naermer sig B udefra.
For m ^^ oo faas a^ i^ a, = -tro; P og Q falder derfor
begge i B.
Loses endelig Ligningerne (2 a) og (2 b) med Hensyn til
•^1 og x^, og anvendes Identiteterne
(w + i) — {771 — i) = 2, {ßn + l) + {7n — i) = 27n,
giver en simpel Regning
771 + 1 771 -^ l
7n — I ^ ^ 7n — I 2 ' i
(2 c) .^i — ^ X.,
m -{- i " 771 -^ i
771 — 1 ;;/ — 1
hvoraf Saetningen :
Deler P og Q Seg7ne7itet AB har7no7iisk i Forholdet 771,
vil A og B dele Seg7ne7itet PQ harmonisk i Forholdet
{7n + i) : {771 — i).
3. Find Abscisserne til de Punkter, der deler Segmentet
AB harmonisk i Forholdet |, naar A og B har Abscisserne
6 og — 7.
4. Segmentet AB, hvis Endepunkter har Abscisserne 13 og
— 7, deles i tre ligestore Dele; find Abscisserne til de
Punkter, der sammen med ethvert af Delingspunkterne
er harmonisk forbundet med A og B.
5. Abscisserne til tre Punkter A, B og C er henholdsvis
3, — 7 og 8; find Abscissen til det Punkt D, der sammen
med A deler BC harmonisk. I hvilke Forhold deles
BC af A og Z)?
§ 3. Almindelige Betingelser for harmonisk Deling.
Betingelsen for, at to Punktpar A, B med Abscisserne
x^, X2 og P, Q med Abscisserne a^, ag, der alle ligger paa
samme rette Linie, er harmonisk forbundne, kan findes ud
fra Definitionen

(3)
eller ifolge (i c) .
{3 a)
AP\BP= —
«1 — ^1 _
A(J\.bl.
a^ x^
€69 Xi^
hvoraf, idet denne Ligning bringes paa hei Form,
(3 b) 2 (aia2 + x^x,^) = (a^ + a^) {x^ + x^),
hvilket er den nedvendige og tilstrcekkelige Betlngelse for, at
de to Punktpar A, B og P, Q er harmonisk forbundne.
Ligningen (3 b) kan ogsaa findes ved at eliminere m af
(2 a) og (2 b).
Betingelsen (3 b) er anvendelig, hvor Begyndelsespunktet
O end er beliggende paa den rette Linie. I Anvendelserne
har man ret hyppig Brug for en mere speciel Beliggenhed
af (9, nemlig:
lO. 0 er Midtpunktet af AB; da faas x^ = ~ x^, og
(3 b) antager den simplere Form
(3c) x,'- = a,a,, OA^ = OP.OQ\
heraf folger, at Midtpunktet 0 af Segmentet AB altid maa
falde udenfor PQ.
2^. 0 falder i A; her er x^ = o, hvoraf ifolge (3 b)
(3 d) 2aia2 = x^ (a^ + a^),
eller ved Division med Produktet .;r2a^a2
X2 kaldes de7i harmoniske Mellemproportional mellem % og ag.
6. Hvorledes kan man udlede Betingelsen (3 a) af (3 b)?
7. Angiv Betingelsen for, at Rodderne i de to kvadratiske
Ligninger
;ir- + ^;r + ^2 _ Q, X""- -{- CX -{- d- = O
kan vaere Abscisserne til to harmonisk forbundne Punktpar.

8. Find Abscissen til det Punkt, der sammen med 0 deler
AB harmonisk, naar Abscisserne til ^ og -5 er Rodder
i Ligningen
;r2 — 2ax -\- b'- = o.
9. Find Abscisserne til Punkterne A og B, der skal dele
Segmentet CD harmonisk, naar C og D har Abscisserne
2 og —7, medens Midtpunktet af AB har Abscissen 5.
I hvilke Forhold deler A og B Segmentet CD}
IG. Hvilken Betingelse maa Koeßicienterne i Ligningen
x'^ -|- ax"^ -\- dx -{- c = o
tilfredsstille, naar Rodderne skal vaere Abscisser til tre
Punkter, der sammen med 0 danner to harmonisk forbundne
Punktpar?
II. Under hvilken Betingelse kan Rodderne i Ligningen
x^ + ax^ + bx^ -{- ex -{- d — o
vaere Abscisser til fire harmonisk forbundne Punkter?
§ 4. Konstruktioner ved harmonisk Deling.
De i de to foregaaende Paragraffer udviklede Formler
giver et simpelt Middel til Udforelsen af visse fundamentale
Konstruktioner vedrorende harmonisk Deling; vi vil naermere
betragte folgende Opgaver:
i^. Ko7istruer de Pu7tkter P og Q, S0771 deler et givet
Li7tiesegme7it AB harmo7iisk i Forholdet 771.
Gennem A og B traekkes to Paralleler; paa den gennem
B gaaende Linie afsaettes til begge Sider fra B de numerisk
ligestore Segmenter BC og BD\ dernaest afsaettes paa Parallelen
gennem A et Segment AE=^7n,BC', Linierne EC og
ED vil da skaere den givne gennem ^ og ^ i de to Punkter
P og ö. Man faar nemlig
l\AEQ^/\BDQ, l\AEP^l\BCR
2^. Paa en ret Li7tie er der givet Pu7ikterne A, B og P;
ko7istruer Punktet Q, der sammen med P deler AB harinonisk.

8
Gennem A og B traekkes som for to Paralleler, der
skceres af en Linie gennem P i henholdsvis E og C; dernaest
afsaettes paa Linien gennem B Segmentet BD numerisk
lig med BC, men til modsat Side af B. Linien ED vil da
skaere den givne i Punktet Q.
3^. Paa e7t ret Li7iie er der givet Pu7ikter7te M, P og Q;
konstruer de to Punkter A og B, der har M til Midtpu7tkt,
og som deler PQ harmonisk.
Anvendes (3 c), og erindres det, at Tangenten er mellemproportional
mellem hele Sekanten og dens udenfor Cirklen
liggende Stykke, tegnes en vilkaarlig Cirkel gennem P og Q
og Tangenten MN til denne fra M. A og B bestemmes da
som Skaeringspunkter mellem den givne Linie og Cirklen
med M til Centrum og MN til Radius.
12. Konstruer x^ og x^y naar x^ — ;r2 = ^ og x^x^ = b\ hvor
^ og ^ er givne Linier.
13. Konstruer Rodderne i den kvadratiske Ligning
x^ — ax -^ b^ = o,
hvor a og b er givne Linier; Ligningen maa ikke loses.
ANDET KAPITEL.
Koordinater. Kurver.
§ 5. Retvinklede og polaere Koordinater.
For at bestemme Punkterne i en Plan, konstruerer vi i
denne to paa hinanden vinkelrette Linier med Skaeringspunktet
0 og med de positive Retninger x og y, der bestemmes
saaledes, at {xy) = -\-n\2. Planens positive Om-

lobsretning er derfor bestemt ved Opgivelsen af disse to
positive Retninger.
Linierne x og y kaldes henholdsvis Abscisse- og Ordinataxe;
tilsammen danner de et retvinklet Koordinatsystem med
Begyndelsespunktet 0.
Et Punkt 3/ 1 Planen, hvis Projektioner paa Axerne betegnes
med henholdsvis M^ og J/,, vil da vaere e7itydig
bestemt, naar man kender Beliggenheden af disse Projektioner,
eller med andre Ord, naar de to Segmenter OM^ = a
og OM2 = b er givne baade i Storrelse og Fortegn.
Er omvendt M givet i Planen, er baade M^ og M.y og
derfor ogsaa de to Segmenter ^ og ^ entydig bestemte.
OM^ =• a og OM.2 = b kaldes henholdsvis Abscisse og
Ordinat, tilsammen de retvinklede Koordinater, til M\ dette
Punkt betegnes kort ved (^, b).
Begyndelsespunktet O faar derfor Koordinaterne (o, o).
Vi vil dernaest betragte to Punkter i Planen M [x^, y^)
og N [x^, y^)\ den positive Retning af Linien gennem MN
betegnes ved /, og endvidere saettes
(5) JAV-r, [xl) = v.
Projiceres M og N paa Abscisse- og Ordinataxe i henholdsvis
M^, N^ og M^y No, haves ifolge (i c)
(5 a) J/^A; = x.^ — x^, M^N^ = 72 — J'i,
medens den saedvanlige Projektionssaetning giver
(5 b) -^^A-^i = ^ ^^^ ^' M.uVo = ^ sin v,
hvoraf ved Sammenligning med (5 a)
(5 c) X2 — x^ = r cos Vy y.2 —y^ = r sin v.
Kvadreres og adderes disse to Ligninger, faas dernaest
(5d) r= ±lK--^i)-^ + (j2-Ji)^
og ved Division af de samme Ligninger
j'2 — yi
(Se) tgt; = •^2 — -n

10
Hvis man kun kender Koordinaterne til M og N, kan
Formlerne (5 d) og (5 e) ikke entydig bestemme r og v, idet
Fortegnet for r er ubestemt, medens v kun er bestemt paa
et Multiplum af n naer; dette haenger sammen med, at den
positive Retning / ikke er opgivet.
Kendes derimod tiUige /, kan Fortegnet for r strax bestemmes,
hvbrefter Ligningerne (5 c) da angiver den Kvadrant,
hvori V er beliggende, saaledes at denne Vinkel er bestemt
paa et Multiplum af 2JT naer.
Af Grunde, som vi skal laere at kende i § 10, kaldes
igv Retningskoefficienten til Linien gennem M og N\ (5 e)
giver da Saetningen:
Retni7igskoefficie7ite7i til Linie7i ge7tne7fi to ^ Pu7ikter er
Kvotienten melle77t Differe7iser7ie af Punkter7ies Ordinater og
Abscisser.
En anden Bestemmelse af Planens Punkter faas ved Hjaelp
af de saakaldte polcEre Koordinater.
Vaeiges nemlig et fast Punkt P og gennem dette en fast
Linie med den positive Retning /, vil ethvert Punkt i Planen
va^re entydig bestemt, naar man kender Afstanden PM = p
og Vinklen 0 fra / til den positive Retning af PM.
Er omvendt Punktet M givet, faas derimod to Bestemmelser
af p og 0, saaledes som det tydelig fremgaar af
Formlerne (5 d) og (5e); hvis det ene Säet Koordinater til
M er p og 0, bliver det andet — p og 0 + JT.
Afsta7iden p og Vi7ikle7i 0 kaldes de pole^re Koordi7iater
til M med P som Pol og l sojn Polaraxe; p er Radiusvektor
og 0 Amplitude7i til M.
Lad os nu sammen med det polaere Koordinatsystem i
samme Plan betragte et retvinklet, i hvilket Polen P er
[x^, y^), medens / er parallel med ;i:-Axen, saaledes at
i^xl) = 2pn] lad endvidere Punktet {x, y) have de polaere
Koordinater p og 0, da faas ifolge (5 c)
(5 f) x=^ x^-\-pcos(d, y =y^ +p sin 0;
disse Formler kan tjene til Overgang fra det ene af de to
ovennaevnte Koordinatsystemer til det andet.

II
14- Segmentet AB, hvis Endepunkter har Abscisserne 5 og
— II, danner en Vinkel paa 60^ med Abscisseaxen;
find Laengden af AB.
15. Af to Punkter paa Linien gennem (3,4) og (5,1) har
det ene Abscissen 5, det andet Ordinaten —3; find
Ordinat og Abscisse til disse Punkter.
16. Find Laengderne af Sider og Medianer i Trekanten med
Vinkelspidserne (3,41 (1,3) og (2,2).
17. Bevis, at den Linie, der forbinder Midtpunkterne af de
to Sider i en Trekant, er parallel med den tredje Side
og halvt saa stör som denne.
18. For enhver Trekant skal man med de saedvanlige Betegnelser
bevise Formlen a- + /;- = 277/^'- 4- ^c-, (Uden
at indskraenke Bevisets Almengyldighed, kan man laegge
Koordinatsystemet, saa at Trekanten faar X^inkelspidserne
(o, o), (a, o) og (|3, Y); derved lettes Regningerne betydelig.)
19. Find de polaere Koordinater til (5,7), naar (— 1,3)
tages til Pol, og Polaraxen danner Vinklen z' med;r-Axen,
saaledes at cos v = 0,8.
20. Bestem det polaere Koordinatsystem, i hvilket (3,7) har
Koordinaterne p = i, 0 = 30*^.
§ 6. Forhold. Trekantens Tyngdepunkt.
De i §§ 2 og 3 udviklede Formler kan umiddelbart overfores
til Punkter paa en vilkaarlig ret Linie i en Plan med
et retvinklet Koordinatsystem; kun maa vi da erindre, at vi
her stedse faar Formelpar svarende til hver enkelt af de
tidligere udviklede Formler.
Soger vi saaledes Koordinaterne (a, |3) til det Punkt P, der
deler Segmentet AB med Endepunkterne [x^, y^) og [x^, y^)
i Forholdet w, projiceres de tre Punkter paa Abscisse- og
Ordinataxe i henholdsvis A^, B^, P^ og A^, B.,. Py- Det er
da aabenbart, at /\ og P^ ogsaa maa dele Segmenterne A^B^
og AoB.y i Forholdet w; derved faas ifolge (2 a)

12
(6) a = ^^-^, ^^^l^-^Il.
^ m — i 7n — I
Omvendt maa det ved (6) bestemte Punkt (a, ß) ligge
paa Linien gennem y^ og ^ og derfor dele Segmentet AB
i Forholdet ;;/; ti man finder af (6)
(6a) a — x^= ^ ~ i ' (^2 — ^i\ ß —yi = ^ZTl' (-^2 ~Ii\
saa at Liniesegmenterne PA og PB, der har Punktet A
faelles, tillige faar samme Retningskoefficient.
Skal dernaest de to Punktpar A, B med Koordinaterne
(•^1. ;'i)> (^2> y^ og P, Q med Koordinaterne (a^, ßi), (a2, ßa)
vaere harmonisk forbundne, faas paa samme Maade som for,
ifolge (3 b), de to Betingelser
^ ' y 2{^i^2+yiy2) = {^i + ^2){yi+y2)'
Er omvendt disse to Betingelser opfyldte, vil de fire
Punkter A, B, P og Q ogsaa vaere harmonisk forbundne og
derfor ligge i samme rette Linie, naar blot tre af dem har
denne sidste Egenskab.
Opgives nemlig Koordinaterne til tre af disse Punkter,
f. Ex. {x^, jj, [x^, Ja) og («1, ßi), saaledes at
BP a^—x^ ßi—J^2
og bestemmes derpaa det fjerde Punkt ö («2. ß2) ved Hjailp
af Ligningerne (6 b), saa haves, idet Betingelserne (3 a) og (3 b)
er identiske,
«2 — ^1 ^ ß2—7i ^ _
«2—^2 ß2—J2 ^'
og dermed er vor Paastand bevist.
Er det derimod paa Forhaand givet, at de fire ovennaevnte
Punkter ligger i .samme rette Linie, behover man kun at
anvende en af Ligningerne (6 b).
Ved Undersogelser af denne Art traeder Fordelen ved de
polaere Koordinater klart frem. Laegges nemlig Polen i den

13
rette Linie, hvorom' Talen er, behover man kun at indfore
de fire Radiivektorer i Stedet for de fire Säet retvinklede
Koordinater. De polaere Koordinater saetter os derfor i
Stand til at behandle Punkter paa en vilkaarlig ret Linie
med samme Lethed som Punkterne paa en af det retvinklede
Koordinatsystems Axer.
Som en anden Anvendelse af (6) vil vi finde Tyngdepunktet
T i en Trekant med Vinkelspidserne {x^, y^, (.r.,, jo)
og (^3> yz)^
Er il/Midtpunktet af Siden gennem [x^, ji'2) (^3, y^, medens
A er den modstaaende Vinkelspids, faar M Koordinaterne
[(x^ + x^ : 2, (j'.> -j-J3): 2), medens T deler Segmentet AM i
Forholdet —2; derved erholdes, ifolge (6), Saetningen:
TyngdepU7iktet 2 e7i Trekant 77ied Vinkelspidserne [x^. y^],
(^2. y-l) og {X^y J3) ^^
(6c) fe + ^- + -^, yi±yi±ih.
21. Siderne i en Trekant med Vinkelspidserne (7,1), (5,3) og
(17,5) deles i Forholdene — i, — 2 og — 3; find Tyngdepunktet
i den Trekant, der har sine Vinkelspidser i
Delingspunkterne.
22. I hvert af de 7i Punkter med Koordinaterne {x^, y^,
(•^2» y\ . . • ., (^n» jKn) anbringes en Partikel med samme
Vaegt; vis, at Systemets Tyngdepunkt er
/^^ + ;rg + — • • + -^n ^ .^1 + 72+ • • • ' + :>^n\
\ 71 71 j
§ 7. De retvinklede Koordinaters jEndring.
Ved mange Undersogelser har man Brug for at aendre
det oprindelig anvendte retvinklede Koordinatsystem, saaledes
at et bestemt Punkt i Planen bliver Begyndelsespunkt,
medens en bestemt ret Linie gennem dette Punkt bliver
Abscisseaxe i det ny System.

14
Denne almindelige ^ndring kan bekvemmest oploses i
to andre, nemlig en Parallelforskydning af begge Koordinataxer,
saa at det onskede Punkt bliver Begyndelsespunkt, og
en derpaa folgende Drejning om det ny Begyndelsespunkt af
det saaledes dannede System, saa at ;r-Axen falder sammen
med den onskede Linie. Vi vil i det folgende betragte
hver af disse ^ndringer for sig.
I ^. Parallelforskyd7ii7igen. Lad det ny Begyndelsespunkt
A i det oprindelige Koordinatsystem va^re {a, b);
betegnes dets Projektioner paa Axerne ved A^ og A^, er da
OA-^ — a, OA2 = b. Lad dernaest Punktet M i det oprindelige
System v^re {x, y), i det ny derimod {x^, y^), medens
dets Projektioner paa de gamle Axer er M^ og M^, paa de
ny N^ og N^y da faas
OM^ = X, OM^ =y] A^M^ = x^, A^M^ =y^,
saaledes at (i a) giver
X = OM^ = OA^ + A^M^ =x^-Y a
y = OM^ = OA, + A,M, =y, + b;
ti man har aabenbart AN^ = A^M^, AN, = A^M,.
Ved ovennaevnte Parallelforskydning faar man derfor -^ndringsformlerne
(7) x = x^-i- a, y =y^ + b.
2°. Drej7iingen. Gennem 0 laegges et nyt Koordinatsystem
med Axerne x' og f, saaledes at {xx') == v. Hvis et
Punkt J/ i de to Koordinatsystemer er [x, y) og {x\ f),
medens den positive Retning af OM betegnes ved /, og
[xl) =

(7 c) ;ir = x' cos v —y sin v, y = x' sin v •{• f cos v,
15
der altsaa tjener til Overgang fra det gamle Koordinatsystem
til det ny.
Behandles derpaa (7 b) paa lignende Maade, faas Formlerne
(7 d) x' =^ X cos V -\- y sinv, y' = — x sin v -\- y cos v,
hvorved man kan gaa over fra det ny System til det gamle
Sammenholdes yEndringsformlerne (7) og (7 c), haves Saetningen
:
ASndres et retvinklet Koordi7iatsystem saaledes, at [a. b)
tages til Begy7idelsespu7ikt, 77tedens de7i 7iy Abscisseaxe faas
ved at dreje de7i opri7idelige Vi7ikle7i v, og bestemmes et og
samme Punkt i de to Systemer som henholdsvis {x, y) og
[x\ y'), saa er
(7 e) ,r = Ä + x' cos z' —y sin v, y = b -{- x' sin v -{• y cos v.
23. Find Koordinaterne til Punktet (3,7), naar (— 1,3) tages
til Begyndelsespunkt, medens Koordinatsystemet drejes
Vinklen v^ saaledes bestemt at cos z; ^ 0,8, sinv^o,6.
24. Parallelforskyd Koordinatsystemet, saaledes at Punktet
(5,8) faar Koordinaterne (7,3).
25. Find cosz' og sin 7^ af de almindelige Drejningsformler
(7 c) eller (7 d).
§ 8. Kurver og deres Ligninger.
Ligningen med to Ubekendte
(8) f{x, y) = o
vil i Almindelighed tilfredsstilles af et ubegraenset Antal Vaerdisaet
af disse Ubekendte; man kan nemlig f. Ex. tillaegge x
forskellige Vaerdier og derpaa af (8) finde den eller de tilsvarende
Vaerdier af y.
Hvis de saaledes bestemte sammenhorende Vaerdisaet er
reelle, kan de opfattes som Koordinater til Punkter i en
Plan med et forud givet Koordinatsystem.

i6
Lad dernaest x og y, x -\- h og y -\- k va^re to sammenhorende
Vaerdisaetj som tilfredsstiller (8); det vil da i Almindelighed,
naar den forelagte Ligning (8) er nogenlunde
simpel, vaere muligt at vaeige | h \ saa lille, at \ k\ bliver
mindre end et forud opgivet nok saa lille positivt Tal.
Vi kan ikke her bevise denne Egenskab ved (8); men
gaar vi ud fra den som givet, kan vi deraf slutte, at de
Punkter, hvis Koordinater tilfredsstiller en saadan Ligning,
maa danne en Kurve K, der bestaar af en eller flere ko7itinuerte
Gre7ie, og som er fuldstaendig bestemt, naar vi
kender Ligningen (8), altsaa dens Koefficie7iter, hvis f er et
helt Polynomium i x og y.
Vi siger derfor, at f{x, jj/) = o er Ligningen i retvinklede
Koordinater for Kurven K. Dermed mener vi, at K er geoi7ietrisk
Sted for de Pu7tkter, hvis Koordi7iater tilfredsstiller
ovenncBV7ite Ligni7ig.
Skal en saadan Ligning virkelig kunne fremstille en Kurve,
maa xogy blot vaere bundne til at tilfredsstille Ligningen, men
iovrigt vaere ganske vilkaarlige; de kaldes l0be7ide Koordi7tater.
Onsker vi at omskrive (8) i polcEre Koordi7iater, anvendes
(5 f), hvoraf den sogte Ligning
(8 a) 9 (p, 0) =/(^L + p cos 0, /i + p sin 0) =. o.
Ex. I. Ligningen
maa fremstille en kontinuert Kurve; ti tilfredsstiller x og y,
X + h og y -r k denne Ligning, erholdes umiddelbart
k = h[lx^lh)',
vaeiges nu | >^ | saa lille, at \ h\

17
(8 b) F {x, y) =f{x, y). g {x, y) = o,
vil da fremstille en Kurve, der bestaar af K^ og K.^ tagne
under et; ti (8 b) er tilfredsstillet af Koordinaterne til de
Punkter, der ligger enten paa K^ eller K, eller paa dem
begge, men derimod ikke af Koordinaterne til andre Punkter.
Kurver, der fremstilles ved Ligninger af Formen (8 b), kaldes
sammensatte.
De foregaaende Bemserkninger viser, at den analytiske
Geometri strax stiller os folgende to Fundamentalopgaver til
Losning:
i^. Med e7i Kurv es geometriske Egenskab er som UdgangspU7tkt
skal 7na7i finde dens Lig7ii7tg.
Ex. 2. Find Ligningen for en Cirkel med Centrum i
[a, b) og Radius r.
Anvendes Cirklens Definition, faas af (5 d)
r= ±^[x-aY + {y-bYy
hvor [Xy y) er et vilkaarligt Punkt paa Cirklen; den sogte
Ligning, bragt paa rational Form, bliver derfor
[x — aY-i- {y — by = r^.
Ex. 3. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem
{a, a), og som med Abscisseaxen danner en Vinkel
paa 135^.
Anvendes (5 e), ser man, at Punkterne {x, y) paa denne
rette Linie karakteriseres ved at skulle opfylde Betingelsen
y :{x — a) = — i eller x -{- y ^ a,
der altsaa bliver den rette Linies Ligning.
2^. Med Kurvens Lig7ii7ig som Udgangspunkt skal m,a7i
finde de7is geometriske Egenskaber.
Ex. 4. Ligningen y = b fremstiller en ret Linie parallel
med Abscisseaxen i Afstanden b\ Abscisseaxen faar derfor
Ligningen jj/ = o.
N. Nielsen: Lasrebog i analytisk Plangeometri. 2

i8
Vi vil i det folgende faa Lejlighed til fuldstaendig at
gennemfore Losningen af specielle Exempler paa begge de
ovennaevnte almindelige Opgaver.
26. Plnd Ligningen i polaere Koordinater for en Cirkel med
Radius r og Centrum i Polen, samt for en ret Linie, der
gaar gennem Polen, og som ved Polaraxen danner
Vinklen v.
27. Hvilken Form antager Ligningen ;r2 -|- j/2 _ ^2^ ^^^j.
Koordinatsystemet drejes Vinklen v om Begyndelsespunktet.?
28. Hvilken Form antager Ligningen x^ — y^ = o, naar
Koordinatsystemet drejes Vinklen —45*^ om 0} Omskriv
ogsaa ovennaevnte Ligning i polaere Koordinater,
naar Polen falder i 0 og Abscisseaxen er Polaraxe.
Hvilken Kurve fremstiller den forelagte Ligning.?
29. Konstruer den Kurve, hvis Ligning er ^x -j- 4y = 24.
30. Konstruer Kurverne y = sinx, y = cos x, y == tgx og
y = cot X.
31. Find den numerisk storste Abscisse og Ordinat, som
noget Punkt af Kurven b^x^ + a^y^ = a^b^ kan faa, Hvorledes
ligger denne Kurve i Forhold til Koordinatsystemet?
Hvilke Egenskaber kan man udlede om 0 i Forhold til
ovennaevnte Kurve, naar dens Ligning omskrives i polaere
Koordinater med 0 som Pol og .^r-Axen som Polaraxe.^
§ 9. Kurvers Sksering.
Vi vil nu betragte to Kurver K og K^ med Ligningerne
(9) /(^> j) = o, g{Xy y)=^o\
Sk^ringspunkterne mellem K og K^ vil da have den Egenskab,
at deres Koordinater tilfredsstiller begge Ligninger (9),
hvoraf Saetningen:

19
Koordi7iaterne til Sk(Bri7igspu7ikter7ie melle^n to Kurver
bestemmes ved at lese de to tilsvare7ide Lig7ii7iger med Hensyn
til X og y.
Ved Losningen af denne Opgave, hvor imagincEre Rodsaet
altsaa maa forkastes, kan der indtraeße et Par ejendommelige
Tilfaelde, som vi naermere vil omtale:
i^. Hvis L0S7ii7ige7i af to Kurv ers Ligninger giver
samme7ifaldende Rods(Et, rorer de to Kurver hzna7ide7i i dit
eller de derved bestemte Pu7ikter.
Ex. I. Soges Skaering mellem Kurverne
9;r2 -[- 167- = 25,

20
Store Va^rdiery saa at de to Kurver skcBrer hi7ia7ide7i i q
uendelig fj(Br7ie Punktery)
Ex. 2. Soges Skaering mellem Kurverne
faas folgende Ligning i x
^3 j^ yz ^ laxy, X -^y + ^ = o,
l{a — q) x"^ + 3^ (^ — q) '^ — q^ = Oy
da denne Ligning skulde blive af tredje Grad i x, har de to
Kurver derfor altid et uendelig tjaernt Skaeringspunkt. Saettes
specielt q ==^ a, bliver alle tre Skaeringspunkter uendelig fjaerne.
Vi vil i denne Sammenhaeng endnu bevise Saetningen:
Hvis Lig7ii7iger7ie (9) fremstiller Kurver7ie K og K^, vil
den 7iy Kurve med Ligni7ige7i
(9 a) F {x, y) =f{x, y) + k.g{x, y) = o,
hvor k er e7i vilkaarlig af x og y uafhce7Zgig Konsta7it, gaa
gennem Sk(Eri7igspu7ikter7ie for K og K-y, hvis saadan7ie
existerer.
Er nemlig x-^ og y^ et Rodsaet for Ligningerne (9), faas
/(^i> Ji) = o og g[x^, y^) = o og derfor ogsaa F[x^, y^) =- o;
(9 a) vil derfor ogsaa vaere tilfredsstillet af de imagincsre
Rodsaet, som findes ved at lose Ligningerne (9) med Hensyn
til X og y.
32. Find Skaeringspunkterne mellem Kurven löx'^ -\- gy'^ = 36
og enhver af de to Linier, der halverer Vinklerne mellem
Koordinataxerne.
^) Man kan antyde dette Forhold ved at skrive ovennaevnte Ligning
a^x^ +

21
33- Bestem a og ^ saaledes, at de to Kurver y = ax + q
og x- —y^ — ax -j- by = c- skaerer hinanden i to uendelig
fjaerne Punkter.
34. Bestem q ved r og a, saaledes at Kurverne y = ax -~ q
og ;tr-+j- = r- rorer hinanden, Hvilken Form antager
den forste af disse Ligninger, naar Roringspunktets
Koordinater x^ og j'^ indfores i Stedet for a og cj:
35. Find Skaeringspunkterne mellem Kurverne y = 0,3 og
y = sin X samt mellem y = sin x og x = 0,3.
TREDJE KAPITEL
Den rette Linie.
^10. Ligningen af forste Grad i x og y.
Som forste Exempel paa den i ^ 8, 2*^ naevnte Fundamentalopgave
i den analytiske Geometri vil vi bestemme de
Kurver, der kan fremstilles ved den almindelige Ligning af
forste Grad i x og y; denne Ligning kan altid bringes paa
Formen
(10) ax -{- by = c,
hvor a, b og c er uafhaengige af x og y.
Bemaerkes det, at mindst en af Konstanterne i (10) maa
vaere forskellig fra NuL hvis denne Ligning overhovedet
skal kunne fremstille nogen Kurve, kan man bortdividere
denne Konstant, saa at (10) ikke kan indeholde mere end to
af hinanden uafhaengige Konstanter, men i AlmindeHghed
heller ikke faerre.
Kurven, der fremstilles ved (10), vil vaere bestemt ved to
Betingelser, den skal opfylde, og som tillader os at bestemme
de to Konstanter i (10). Skal f. Ex. ovennaevnte Kurve gaa

22
gennem de to givne Punkter [x^, y^) og [x.y, y.y), faas Betingelserne
{
ax. + b]\ = c
ax., -}- by, = c'y
de tre Ligninger (lo) og (loa) er homogene, lineaere i a, b
og ^; da nu mindst en af disse ubeke7idte Konstanter ikke
kan vaere Nul, faar man
(10 b)
X y \
x^ y^ I
X, y, I
= o.
Idet (lO b) da og kun da kan vaere tilfredsstillet, naar {x, y)
er et Punkt paa ovennaevnte Kurve, er (lob) derfor dennes
Ligning.
For at omforme (lob), traekkes anden Raekke fra de to
andre i Determinanten; derved faas Ligningen
(ro c) {y —y^ [x, — x^) = {x — x^) [y, —y^),
som altsaa er identisk med (lob).
Antages dernaest i (lo c) ;i;^> ^ ;ir^, kan (lOc) bringes paa
Formen
(lO d) [y — jJ : {x — x^) = [y, —y^) : [x, — x^);
denne Ligning udtrykker ifolge (5 e), at ForbindelsesUnien
mellem et fast Punkt [x^, y^) og ethvert andet Punkt [x, y)
paa Kurven danner Vinklen v med ;i:-Axen, idet
(10 e) ^g^-^?^^''
den sogte Kurve kan derfor ikke vaere nogen anden end en
ret Linie, der med .;t:-Axen danner den ved (loe) bestemte
Vinkel v.
Vi har endnu tilbage at betragte det specielle Tilfaelde af
(10 c), hvor X, = x-^y da faas, idet y.^ —yi = o maa udelukkes,
Ligningen
(lof) x = x^y

som fremstiller e7i ret Li7iie parallel 7ned Ordinataxe7i i Afstanden
x^\ ti denne Linie er geometrisk Sted for de
Punkter, der har Afstanden x-^ fra j'-Axen. Ordinataxen
faar derfor Ligningen
(lOg) ^ = 0.
Saettes i (lod) j'-> =j)^i, er x,—x^ =o udelukket; paa
samme Maade som for ser vi da, at Ligningerne
(loh) y =yx^ y = 0
fremstiller henholdsvis en ret Li7iie parallel 7ned Abscisseaxe7i
i Afsta7ide7i y^ og Abscisseaxe7i selv.
Antages i (loa) baade x.^ ^ x^ og y.-y

24
Er det i (lol) givne Punkt derimod (o, y^), afskaerer den
ovennaevnte Linie Stykket y^ af Ordinataxen, hvoraf Saetningen:
E7i ret Linie, der afskcErer Stykket q af Ordinataxe7i, og
S0771 har Retningskoefficie7iten a, faar Ligninge7i
(lO n) y =. ax -\- q.
Denne Form for den rette Linies Ligning er fuldt almindelig
og kan hyppig med Fordel anvendes.
Vi vil endnu betragte det Tilfaelde, hvor i7igen af Koefficienterne
i (lo) er Nul; saettes i (lo) x ^=- o og derpaa jj^ = o,
ser man, at den dertil svarende Linie vil afskaere Stykkerne
q = c: b og p =^ c\ a af henholdsvis Ordinat- og Abscisseaxe;
divideres dernaest med Cy antager Ligningen Formen
(loo) f + ^ = I.
36. Parallelforskyd en af Koordinataxerne, saa at Linien
ax -\- by ^=^ c kommer til at gaa gennem det ny Begyndelsespunkt.
37. Drej Koordinatsystemet, saaledes at Linien ax -\~ by =^ o
bliver enten Abscisse- eller Ordinataxe.
38. Find det geometriske Sted for de Punkter, der har
ligestore Afstande fra to givne. (Losningens Almengyldighed
indskraenkes ikke, hvis man tillaegger de givne
Punkter Koordinaterne {a, o) og (— ^, o)).
39. Find det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande
fra to givne har Kvadratdifferensen k"^, hvor k
er et givet Liniesegment.
§ II. To rette Liniers Sksering og Parallelisme.
For at finde Skaeringspunktet mellem to rette Linier, maa
vi lose deres Ligninger
ax -\- by = ^
{ X + b.j = c^
med Hensyn til x og y.
ax

25
Hvis den til (ii) hörende Determinant ab^—af) ikke er
Nul, har Linierne derfor Skaeringspunktet
( cb. —c.b ac^ —(^\c\
Oia \-T S.' -^ u)'
\ao^ — a^^b ab^ — a^oJ
Er derimod ovennaevnte Determinant Nul, er altsaa
/ ux a ay
(,.b) --ö=-x
har de to Linier ifolge § lO samme Ret7ii7igskoefficient; der
kan da taenkes to Muligheder:
i^. Hvis en af Taellerne i (na) ikke er Nul, maa den
anden have samme Egenskab; man faar nemlig da
a ^ >
a^ b^

26
41. I /\ ABC trs^kkes Medianen 6yl/og en Linie CE ^ AB]
bevis, at enhver ret Linie skaerer AC, BC og CM, CE
i to harmonisk forbundne Punktpar. (Laeg Koordinatsystemet,
saaledes at A, B og C faar Koordinaterne
(o, o), {a, o) og [b, c); man behover da tilmed kun at
betragte en Linie gaaende gennem J/.)
42. En vilkaarlig ret Linie skaerer Siderne i /\^ ABC i henholdsvis
My N og P\ bevis Formlen
AM BN CP _
'BM'TN' 'AP~ '^^'
43. Gennem et vilkaarligt Punkt i Planen og Vinkelspidserne
i /\ ABC traekkes rette Linier, der skaerer Trekantens
modstaaende Sider i henholdsvis i^, NogP\ bevis Formlen
AN CM BP^_ _
'CN' BM' AP~ '^"
§ 12. Vinklen mellem to rette Linier.
Soges Vinklen mellem to rette Linier, givne ved deres
Ligninger, kan man altid forudsaette, at ingen af disse Linier
er parallele med nogen af Axerne; ti disse specielle Tilfaelde
kan let behandles direkte. Skrives Ligningerne paa Formen
( y = ax ^r p
*'^' l y = ^^ + ,,
er derfor hverken a eller j3 Nul eller uendelig störe.
Betegner / og /^ Liniernes positive Retninger, er som bekendt
(/4) = [ix) + K) = K) - [xi),
hvoraf, idet a = tg [xl), |3 = tg [xl^):
Hvis de positive Retninger / og /^ virkelig er opgivne, er
dermed [11^) bestemt paa et Multiplum af 271 naer; kendes

27
derimod kun Ligningerne (12), bestemmer (12 a) kun ovennaevnte
Vinkel paa et Multiplum af rr naer.
Vi vil saerlig betragte folgende to Tilfaelde:
lO. (//^) ^ pn\ Li7iier7ie er parallele. Dette kan, med
vore Forudsaetninger om a og ß, kun indtraeffe for a = l^,
altsaa naar Linierne har sa7n77ie Ret7ii7tgskoeficie7it.
2^. (//^) — - -j- /:T; Li7iierne staar vi7ikelret paa /mi-
a7iden. Dette kan kun ske, naar Naevneren i (12 a) bliver
Nul, altsaa naar
(I2b) ß^_l,
hvoraf Saetningen:
To Linier er vi7ikelrette paa hi7ta7tde7t^ 7iaar de7i encs
Ret7iingskoefficie7it er lig med de7i a7ide7is reciproke Veerdi
7ned modsat Teg7i.
Vi vil dernaest söge Ligningen for en ret Linie l^, der
gaar gennem det givne Punkt {x^, y^, og som med den
givne Linie /, hvis Ligning er
{12 c) y ^1 ax -^ q,
danner en given Vinkel v. Af Identiteten
faas umiddelbart
K) = [xl] + (//,) = {xl) + V
(12 d tg ;tr/.) = ^-^—,
^ ^ ^^ ^^ \—a\.gv
saa at den sogte Ligning bliver
(12 e) y —j'i = ^~~ (x — xA.
Denne Form for Ligningen for /^ er dog ubrugelig, naar
enten a = 00 eller z' = rr: 2, altsaa enten l ^ y eller l ^ /^.
En simpel Omformning giver imidlertid henholdsvis
(12 f) y —j'i = — [x — x{) cot V,
(12 g) y-y^=. — -^{x-X,),
hvilket ogsaa let udledes direkte.

28
44- Find Vinklerne i Trekanten med Vinkelspidserne (I,5)T
(3>2) og (- 5,1).
45. Bestem a^ saaledes at Vinklen mellem Linierne "^x —jj^ = 7»
t^x -\r ay ^=^ 6 er 135 ^.
46. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem Punktet
(1,7), og som med Linien ix -{- jy = i danner en Vinkel
paa 45^.
47. Find Vinklerne mellem 'ix — yy = i og enhver af Linierne
I4;t: + l6y = 3 og 2iy = 9:1: + 8.
48. Find Ligningen for den vinkelrette paa Midten af Segmentet
mellem Punkterne {x^, y^) og [x,, y,).
49. Angiv Betingelsen for, at Trekanten med Vinkelspidserne
(^1. yi\ (^2> 72) og (^3> ^3) er retvinklet ved [x^, jJ, og
bevis dernaest Pythagoras's Laeresaetning.
§ 13. Normalformen for en Linies Ligning.
For at finde Afstanden d fra Linien / med Ligningen
(13) ax -^ by = c
til Punktet M{x^y y^) soger vi forst Skaeringspunktet [x,y y,)
mellem / og den vinkelrette /^ fra M paa /. Da /^ faar
Ligningen
(13a) bx — ay ^=^ bx^ — ay^,
findes x^^ og y, ved (na); derved erholdes
ac + b^x^ — aby^ _ ^^ — abx^ -f- a^^
^2 = a^J^b^ ' ^' ~ ^2 + ^2 '
hvoraf umiddelbart
^2—^i=-^j2i^—^^i—^yx\ y2—yi^-rj^j2{^—^^x—hi)r
saaledes at (5 d) strax giver folgende Udtryk for den sogte
Afstand
(13 b) ^^ax, + öy^-c^
hvoraf Saetningen:

29
Skrives Lig7ii7ige7i for de7i rette Li7iie ax -{- by ^=^ c paa
Formen
ax -^ by — c
bliver Afsta7ide7i d fra den7ie Linie til Pu7iktet {x^, y^ det
Udtryk, ma7i finder ved i venstre Side ^(130) for x og y
at i7ids(Ette Pu7iktets Koordinater x^

30
Af (13 c) faas den speciellere Saetning:
Skrives Lig7ii7ige7i for den rette Linie ge7inem (x^, y^) og
[x,, JK2) p^^ For77ie7i
(13 f) (^2 — ^1) (7 — j'i) — (72 — yx) (^ — ^'1) ^ o,
bri7iges de7ine Lig7ii7ig paa Nor7nalfor7n ved Divisio7i med
det re7ie Tal, der 7naaler Afsta7iden 7nelle77i de to givne
Pimkter [x^, y^) og {x„ y,).
Det fremgaar tydelig af (13 c) og (13 e), at den rette
Linies Ligning paa to Maader kan bringes paa Normalform;
i (13 c) er nemlig Fortegnet for Kvadratroden i Naevneren
ubestemt; i (13 e) gaelder dette derimod den positive Retning
for Normalen til den givne Linie, -andres denne positive
Retning, skifter p Fortegn, medens v erstattes med v ^n.
Den positive Retning for Normalen og dermed tillige
Fortegnet i (13 c) kan bestemmes derved, at Afstanden fra
Linien til et bestemt Punkt i Planen skal vaere positiv. Da
Vinklen v dermed er e7itydig bestemt, vil alle Normaler til
den givne Linie have deres positive Retninger til den Side,
hvor det ovennaevnte Punkt er beliggende.
Den givne Linie deler derfor Planen i to Halvplaner,
saaledes at alle Afstande fra Linien til Punkterne i den ene
Halvplan er positive, til Punkterne i den anden derimod
negative.
50. En Trekant har Vinkelspidserne (3, i), (7, 4) og (6, 3);
find Trekantens Hojder, der alle skal vaere positive.
51. Fra et Punkt i Grundlinien af en ligebenet Trekant
faeldes vinkelrette paa Benene; bevis, at Summen af
disse Vinkelrette er lig med Trekantens Hojde.
52. Ligningerne for Siderne i en ligesidet Trekant, hvis to
Vinkelspidser er {a, o) og (o, o), skal baade ved Anvendelse
af (i3e) og (13 f) bringes paa Normalform, saa
at alle Afstande ind mod Trekanten er positive.
53. Bevis, at Summen af Afstandene, regnede med Fortegn,
fra et vilkaarligt Punkt i Planen til Siderne i en ligesidet
Trekant er lig med Trekantens Hojde.

31
§ 14- Anvendelser af Normalformen.
Den i § 13 givne ny Form for den rette Linies Ligning
tillader en Maengde forskellige Anvendelser, af hvilke vi her
vil omtale nogle gennem Losningen af folgende Opgaver:
I ^. Find Lig7ii7ige7i for det geo7netriske Sted for de Pu7tkter,
der har Afsta7iden 5 fra de7i rette Li7iie
(14) I2;tr— 5j' = 2.
Bringes (14) paa Normalform, ser man, at Afstanden fra
denne Linie til Punktet [x, )>) bestemmes ved Udtrykket
\2X — 5j)/ — 2
saettes dette lig med 5, faas som geometrisk Sted de to
rette Linier, parallele med (14)
12;ir — 5j = 67
\2X—^y = — 63.
2^. Hvorvidt ligger Punktet (3, 4) melle77i de to parallele
Li7iier
(14a) 3.^ —4j=i, 6;r—8_^ = 7.?
Bringes de to Ligninger (14 a) paa Normalform, idet vi
lader den fra 0 udgaaende faelles Normal have samme positive
Retning for begge Linierne, faas f. Ex.
^x — 41/ — I 6x — 8y — 7
^ = o, ^—- = o;
5 ' 1 0
indsaettes derpaa 3 og 4 i Stedet for x og y \ disse Ligninger,
ser man, at Afstandene fra begge Linier (14 a) til ovennaevnte
Punkt er 7iegative\ Punktet (3, 4) ligger derfor ikke mellem
Parallelerne.
3^. Halveri7tgsli7iierne for Vi7tklerne mellem to Li7iier.
Lad to Liniers Ligninger paa Normalform vaere
(14b) ;i:cos u -{- y ^\nu +/ = O, ;i:cos e' + jj/sin z^ + ^ = O,

da vil Ligningerne for de Linier, der halverer Vinklerne
mellem de to givne, vaere
(14 c) ;ircos u -{-y s'm u -\- p = + (;rcosz/ -]- y sinv -|- q);
ti disse Ligninger udtrykker netop, at Afstandene fra de to
Linier (14 b) til Punktet {Xy y) er ligestore med samme eller
med modsatte Tegn.
For at skaelne de to Halveringslinier i (14 c) fra hinanden,
maa vi naermere karakterisere dem, som det f. Ex. vil ske i
folgende Opgave:
4^. Fi7id Lig7ii7tge7i for den Li7iie, der halverer det Par
Topvinkler mellem Li7iierne
(14 d) 3^-f 47=1, 5^—127 = 7,
hvori Pmiktet (i, i) er beligge7ide.
De to Ligninger (14 d) paa Normalform bliver
/ V 3-^ + 4r— I ^x—\2y—l
(•4e) ^ ^ — = °' +13 =° =
for at finde den forlangte Halveringslinie, bestemmer vi Fortegnene
i (14 e) saaledes, at Afstandene fra de givne Linier
til Punktet (i, i) begge bUver positive; Ligningerne (14 e)
bliver da
3;t; + 4y — I ^ ^ — 5;tr+ I2J/ + 7 ^ ^
5 ' 13
og den sogte Halveringslinie faar derfor Ligningen
%x — j|/ = 6.
54. Vis, at de to Halveringslinier i (14 c) staar vinkelret paa
hinanden.
55, Find det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande
fra Linierne
har Forholdet + 771.
2a , 2ß

33
56. Indeni Trekanten med Vinkelspidserne-^(2, l), B{— i, —|)
og C{—^-f'y —-\^-) skal man bestemme et Punkt, hvis
Afstande fra Trekantens Sider forholder sig som i : 2 : 3.
57. I /\ABC halveres A og dens Nabovinkel; vis, at Halveringslinierne
skaerer Siden BC i Punkter, der deler
^(T harmonisk i Forholdet AB: AC
§ 15. Trekantens Areal. Tre Punkter i ret Linie.
For at finde Arealet af Trekanten med Vinkelspidserne
(^1) yil (^2> 72) og {x^y 73), vaeiger vi [x^, y^) til Toppunkt,
Laengden g af Grundlinien bliver da
(15)
CT
^>
±i{^2 — ^3)' + {y2-ysr^
medens Laengden af den tilsvarende Hojde h findes, efter at
vi har bragt Grundliniens Ligning paa Normalform. Anvendes
Ligningen (10 b) eller den dermed identiske (13 f), bliver den
sogte Ligning paa Normalform
X
X,
Xc
y
72
ys
hvoraf ved at indsaette Toppunktets Koordinater i Stedet
for X og y
(15 a) 2T = g. h —
g
X, yi
^2 y2
^3 J's
hvor T betyder Trekantens Areal.
Udregnes Determinanten, faas, idet anden Raekke traekkes
fra forste og derpaa tredje fra anden,
{15 b) 2 7 = (^1 — .r,) [y, — J3) — [y^ —;',) [x, — x^).
Hvis Trekantens Areal bestemmes ved en af Formlerne
(15 a) eller (15 b), bliver dens Fortegn ubeste7nt. Det er
muligt ved Hjaelp af (15 a) at regne ovennaevnte Areal med
Fortegn, idet Koordinaterne til Vinkelspidserne indfores i
N. Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri. 3
o,

34
Determinantens Raekker i den Orden, hvori disse Vinkelspidser
kommer, naar vi gennemlober Trekantens Perimeter,
saaledes at dens Areal ligger til venstre. En bekendt Determinantsaetning
viser da, at det er ligegyldigt, hvilken Vinkelspids
vi begynder med.
Saettes i de ovennaevnte Formler 7^=0, faas Betingelsen
for, at Punkterne {x^, y^), (x„ y,) og [x^, y^) ligger paa samme
rette Linie; anvendes (15 b), faar man strax
(•5c) &^ii^^yi^=zii.
X, X-^ X^ X,
denne Betingelse udtrykker, at Linierne, der forbinder {x^yy^y
(^2» 72) og (-^2' -^2)> (-^s» y%) ^^ parallele] da de desuden har
Punktet {x„ y,) faelles, maa de falde sammen.
58. Bevis, at Arealet af den Trekant, der har sine Vinkelspidser
i Midtpunkterne af Siderne i en given Trekant^
er en Fjerdedel af den givnes.
59. Siderne i en Trekant har Ligningerne
2Ct 28 2Y
bevis, at Trekantens Areal, Hojder, Sider, fire Roringscirklers
Radier og omskrevne Cirkels Radius alle udtrykkes
ved rationale Tal, naar de sex Konstanter i (i)
alle er rationale.
§ 16. Tre rette Linier gennem samme Punkt.
Betingelsen for, at tre rette Linier gaar gennem samme
Punkt, er, at de tilsvarende Ligninger
(16)
a^x + d^j/ = ^1 (/J
^2^ + ^2^ = ^2 (4)
«3^ + h:y = ^s (4)

35
tilfredsstilles af samme endelige og bestemte Vaerdisaet af
X og y. En 7i0dve7idig Betingelse herfor er som bekendt
(i6a)
«1
«0
«3
K
h
h
^1
^2
H
= o;
men der kraeves tillige, at 7nindst en af Underdeterminanterne
(i6 b) a^b, — eif)^, af)^ — ^^b^, a,b^ — a^b,
ikke er Nul.
Det er let at bevise, at hvis to af Underdeterminanterne
(i6b) forsvinder, saa maa den tredje ogsaa göre det; er
nemlig f. Ex. de to forste Determinanter (i6b) Nul, faas
hvoraf ved Division
a^ b^ a^ b^
a, b, a^ b^
— = ^ eller a^bo — a^J?^ = o.
Der kan derfor kun taenkes folgende tre forskellige Tilfaelde
:
i*^. Lnge7i af Underdeterm.ina7iter7ie [i6h) forsvi7tder. De
tre rette Linier gaar da gennem samme endelige og bestemte
Punkt, hvis Koordinater findes ved at lose to af Ligningerne
(i6) med Hensyn til x og y.
Ex. l. 3;ir+4j/=I, x — y = Z. 5^+2^ = 7-
2^. En og ku7i en af U7iderdeter77iinanterne (i6b)yi?rsvi7tder.
Antag f. Ex. a-^b, = a,b^, eller
a^ by
-^ = ^ = m\
a, o,
det lader sig da bevise, at de to forste Ligninger i (i6) er
ide7itiskey naar tillige Betingelsen (i6a) er opfyldt.
Hvis dette ikke var Tilfaeldet, havde man nemlig
(i6c) m = — = -^^-^
3*

36
multipliceres nu i (i6a) Elementerne i anden Raekke med w,
og subtraheres de derpaa fra de tilsvarende Elementer i
forste, kan Ligningen (i6a) skrives paa Formen
(q 77lC,^ (

37
A — k .B = o, B—l.C=o, C—7n.A = o,
hvor k, l og 7)1 er Konstanter, gaar gennem samme
Punkt. Hvilken geometrisk Egenskab udtrykker denne
Betingelse.^
§ 17. Liniebundter.
Sämlingen af alle de rette Linier, der gaar gennem et og
samme Punkt {a, b), kaldes et Liniebundt med [a, b) som Toppunkt.
Man kan aabenbart efterhaanden finde hver enkelt
af disse Linier ved i Ligningen
(17) y — b = a[x — a)
at lade Retningskoefiicienten a gennemlobe alle mulige reelle
Vaerdier; (17) er derfor Ligningen for en vilkaarlig Linie i
ovennaevnte Bundt.
Mere almindelig kan man bestemme et Bundt ved Hjaelp
af to rette Linier gennem Toppunktet; har disse Linier
Ligningerne
(17 a) ^1 = a-yX -{- b^y -f q = o, A,= a.,x + /^j' + r^ = o,
vil, ifolge (9 a), den ny Ligning
(17b) Ay -^ k.A,=o,
hvor k er en vilkaarlig af x og y uathaengig Konstant, vaere
Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem Sk^ringspunktet
for Linierne (17 a), altsaa en vilkaarlig Linie i det Liniebundt,
hvis Toppunkt er ovennaevnte Skaeringspunkt.
Onskes en speciel Linie i dette Bundt bestemt, maa der
opgives endnu en Betingelse, som denne Linie skal opfylde,
saaledes at den tilsvarende Vaerdi af k kan bestemmes.
Ex. I. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem
Skaeringspunktet for Linierne
(17 c) 3.r-f-4;'=i, ^ — 2;'+ 7 = 0
og desuden gennem Punktet (3,4).

38
En vilkaarlig Linie i det Bundt, der har Toppunkt i
Skaeringspunktet mellem Linierne (17 c), faar Ligningen
3.r -f 4j — i ^ k[x— 2y + 7) = o,
der altsaa skal tilfredsstilles af Koordinaterne til (3,4); derved
findes k ^= — 12, saa at den sogte Linie faar Ligningen
gx— 28jj/ + 85 = o.
Ex. 2. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem
Skaeringspunktet mellem Linierne
yx— 2ijj/ + 50 = O, 14X — yy = 25,
og som desuden har Afstanden 5 fra Begyndelsespunktet.
Ligrtingen for den sogte Linie maa vaere af Formen
(17 d) yx — 2iy + 50 -f k{i4x — yy — 25) = o
eller paa Normalform
(17 e) 7^ — 21J + 50 + ^(14.^ _ ;j _ 25) ^ ^ ,
+ 7 is^^ + lOy^ + 10
da Afstanden fra (17 d) til (0,0) skal vaere 5, faas af (i7e)
folgende Ligning til Bestemmelse af k
10 — 5^ = + 7 isk^ + lOk + IG,
hvoraf k = — f eller k = — |-|, saa at Opgaven faar de to
Losnineer ^fc)
4^+3^^ = 25, 3x + 4y = 2S^
Ved Opgaver af denne Art bor man i Regien ikke söge
Skaering mellem de to Linier (17 a), da man derved kommer
til at lose to Ligninger med to Ubekendte, medens vor
ovenfor antydede Metode kun kraever Bestemmelsen af den
ene Ubekendte k.
62. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem Skaeringspunkterne
for 3x—y =7, c^x + 2y = 3, og som desuden
skal vaere parallel med S^— iiy = i.

39
63. Find Ligningen for den rette Linie, der gaar gennem
Skaeringspunkterne mellem Linieparrene
^x—yy=ii, S^ + V'^3 og x — 6y = g, 3^ + 47 = 8.
64. I det foranderlige Rektangel OABC, hvor A og C ligger
paa Axerne, er Differensen mellem Siderne konstant;
bevis, at den vinkelrette fra B paa Diagonalen y^^ stedse
gaar gennem et fast Punkt.
65. Bevis, at en foranderlig ret Linie, hvis Afstande fra 7t
faste Punkter, hver multipliceret med sin konstante
Faktor, har Summen Nul, stedse gaar gennem et fast
Punkt.
(18)
§ 18. Ligninger, der er homogene i x og y.
Ligningen
( f{x, y) = a^y^ + a^y^-^x + .... + a^y^-^xr> +
\ -f ^D-i/^°~^ + ^n^° = O,
hvis Koefficienter ar alle er uafhaengige af baade x og y,
kaldes ho77iogen af 7i^^ Grad i disse to Ubekendte; om denne
Ligning vil vi her bevise folgende Saetning:
Hvis e7i Ligning, der er homogen af 7t^^ Grad i x og y,
overhovedet fremstiller noge7i Kurvey er den7ie samme7tsat af
hßjst n rette Li7iier, der alle gaar ge7inem Begy7tdelsespunktet,
^g hvis Retni7igskoefficienter er de reelle Rodder i den Ligni7igy
ma7i faar ved at dividere de7i forelagte med x^.
Af (18) faas nemlig umiddelbart
{18 a)
+ ^p(^) + • \- an = 0'y
lad dernaest denne Ligning af n^^ Grad i y: x have Rodderne
cti, a^, ag, , an,
•da faas ifolge en bekendt Saetning, idet a^ ^ 0,

40
X ° •/(^> J) ^ ^0 (f - a,) (f -«,)••••(;;;- a„)
eller ved Multiplikation med x^
(i8 b) f[Xy y) = aQ{y — a^x) {y — a..^) ....(;/ — an;ir),
der viser, at den forelagte Ligning (i8) Spalter sig i folgende
71 Ligninger af forste Grad
(i8 c) y =: a^x, y = a,x, . . . ., y = a^x,
som hver for sig fremstiller en ret Linie gennem Begyndelsespunktet
og med Retningskoefficienten ar, saafremt denne Rod
i (18 a) er reel.
Hvis alle Rodderne i (i8a) er i7naginc^rey fremstiller den
forelagte Ligning (i8) derfor slet ingen Kurve. Endvidere
kan nogle af Linierne (i8 c) falde sammen, idet flere af
Rodderne ar bliver ligestore.
Haves endelig
a^ = ay = a, = '•*'— ap^y = Oy ^p ^ o,
viser (i8), at p af Linierne (i8 c) falder sammen med Ordinataxen.
Den homogene Ligning af anden Grad i x og y
(i8 d) ax'^ + by^ + 2cxy = o
fremstiller to rette Linier gennem Begyndelsespunktet, saafremt
c- ^ ab. Er specielt c^ = ab, faas to sammenfaldende
rette Linier gennem O, og hvis endelig r-

41
6y. Find den Ligning, der fremstiller Halveringslinierne for
Vinklerne mellem de to ved (i8 d) fremstillede rette
Linier.
68. Hvilken Betingelse maa Koefficienterne i Ligningen
(i) ax^ + bx^y + cx-f- + dxy'^ -\~ ey^ — o
tilfredsstille, naar (i) skal fremstille to Systemer af to
paa hinanden vinkelrette Linier.
FJERDE KAPITEL
Cirklen.
§19. Cirklens Ligning i retvinklede og polaere Koordinater.
Da Cirklen med Centrum {a, b) og Radius r er geometrisk
Sted for de Punkter [x, y), der har Afstanden r fra
[a, b), giver (5 d) umiddelbart folgende Ligning for ovennaevnte
Cirkel
(19) [x-aY-^{y-bY = r-^-
falder specielt Centrum i Begyndelsespunktet, faas den simplere
Ligning
(19 a) x- + j'2 = r-.
Det vil nu vaere let at bevise folgende Saetning:
E71 hver Lig7iing af a7iden Grad i x og y, hvori x'^ og y^
har samme Kocfficient, 7nede7is Leddet xy mangler, vil vcBre
Lig7ii7ige7i for e7i Cirkel, hvis de7i overhovedet kan fremstille
7iogen Kurve; 07nve7idt vil enhver" Cirkels Lig7iing vcere af
ovenncBV7ite For77i.
For at bevise forste Del af denne Saetning, skriver vi
ovennaevnte Ligning paa Formen

(19 b) x-^ + y'- + ax -\- by + c = 0,
42
hvilket aabenbart altid er muligt, hvoraf
Ligningen (19 b) vil derfor fremstille en Cirkel, der har Cen-
• T^ 1 f ^ b\ 1 . T^ ,. -^^d- b'^
trum 1 Punktet I » h og hvis Radius er / r,
V 2 2/ ^ [ 4 ^ 4
saafremt denne Kvadratrod er reel og ikke Nul; hvis denne
sidste Betingelse ikke er opfyldt,
Kurve.
fremstiller (19 b) ingen
Vi vil derpaa omskrive Ligningen (19) i polaere Koordinater,
hvis Pol er [x^, y^), og hvis Polaraxe er parallel med
;f-Axen; anvendes (5 f), faas efter en simpel Reduktion den
sogte Ligning
(19 c) p- + 2p [Xy — a) cos ö + (Ji — b) sin 0
+ (^1 — ^Y + [yi — ^Y — r^ = 0.
Taenkes her Vinklen 0 opgivet, bestemmer (19c) Afstandene
fra (^i,jKi) til Skaeringspunkterne mellem Cirklen og
den saaledes bestemte rette Linie.
Kaldes Polen [x^, y^) P, medens de to ovennaevnte Skaeringspunkter
betegnes ved M og N giver (19 c) strax Saetningen:
Produktet PM. PN er uafhmngigt af Vi7ikle7i 0 og derfor
det sa77ime for alle Li7iier gen7te7n P; dette Produkt
kaldes Punktets Pote7is med He7isy7i til Cirkle7i.
Da, ifolge (19 c),
(19 d) PM. PN= [Xy — aY + (ji ~ bY — r^-y
faas endvidere:
Et Pu7ikts Pote7is 7ned He7isyn til e7i Cirkel er Kvadratdifferense7i
7nellem Produktets Afstand fra Centrum og Cirkle7is
Radius.
Skrives (19) paa Formen
(19 e) [x - aY + [y — bY — r- = o,
giver (i9d) endeüg folgende Saetning:

43
Et Punkts Pote7is 77ied Hensyn til Cirkle7i (19 e) er det
Udtryk, 77ia7i faar ved at i7idscEtte Pu7iktets Koordi7iater for
X og y i Cirkellig7ii7ige7is venstre Side.
Alle Punkter paa Cirklen har derfor Potensen Nul.
Er Potensen i (19 d) positiv, altsaa hvis [x^, y^ falder
udenfor Cirklen (19 e), kan M og N falde sammen, hvoraf
den speciellere Saetning:
LcB7igde7i af Tangenten fra [x^, y^) til Cirklen (19 e).
regnet fra dette Pu7ikt til R0ri7tgspu7iktet, er
(19 f) + ] (^^ _ ^)2 4_ (_^,^ _ ^)-2 _ ^:
6g. Find Ligningen for Centerlinien i de to Cirkler
^'- + y- -{- ax + by -{- c = o, x~ -f y- -f a^x -f b^y + q = o.
70. Find det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande
til to givne Punkter har en given Kvadratdifferens.
71. Find det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande
fra to givne Punkter har det givne Forhold m. Hvorledes
konstrueres dette geometriske Sted.'
72. Find det geometriske Sted for de Punkter, hvorfra Tangenterne
til en given Cirkel har en given Laengde.
73. En vilkaarlig ret Linie gennem et givet Punkt 0 skaere
en given ret Linie i A\ paa OA bestemmes Punktet A^,
saaledes at OA . OA^ = k-, hvor k er en given Linie.
Find det geometriske Sted for Ay, naar OA drejer sig
om 0.
74. Find Lighedspunkterne for de to Cirkler
[x - aY + {y - bY = r\ [x -- a,Y + Ü' - b,Y = r,\
75. Ved Hjaelp af Udtrykket for Potensen af [x, q), hvor q
er konstant, med Hensyn til Cirklen
[x — aY + [j^ — bY — r'- = o
skal man diskutere Fortegnet for Polynomiet x- + Ax + B.

44
§ 20. Cirklen gennem tre givne Punkter.
Ligningen (19 b) viser, at enhver Cirkels Ligning hojst
kan indeholde tre af hinanden uafhaengige Konstanter; en
Cirkel vil derfor i Almindelighed vaere bestemt ved at skulle
opfylde tre Betingelser. Skal Cirklen saaledes gaa gennem
de tre givne Punkter [x^, y^), {x„ y,) og [x^, y^), skriver vi
dens Ligning paa Formen
(20) X' -{- y^ -\- ax -i- by + c = o,
hvor Konstanterne a, b og c altsaa maa opfylde Betingelserne
^1^ + 7i^ + aXy-\- byy + c^O
(20 a) { -^2" + J2^ + ^^2 + ^-^2 + ^ = o
^3^ + ys^ + ^^3 + ^Js + ^ = o.
De fire saaledes erholdte Ligninger (20) og (20 a), der er
lineaere i a, b og c, kan kun tilfredsstilles af det samme
endelige og bestemte Vaerdisaet af disse Ubekendte, naar
Betingelsen
(20 b)
x^ +y^ X
^x^+yi^ x^
^2 r J^2" ^2
V+^3^ X,
y
yi
^2
ys
= o
er opfyldt; (20 b) bliver derfor Ligningen for den sogte Cirkel
gennem de tre givne Punkter, hvis denne Cirkel existerer.
Angaaende dette Sporgsmaal vil vi bevise folgende Saetning:
Hvis
(20 c)
X,
X.
X,
yi
^2
ys
< o,
vil (20 b) vc^re Lig7ii7ige7i for Cirkle7i gennem de tre giv7ie
Pu7ikter [xy, y^), [x.y, y,) og [x^^, JK3); Beti7igelsen (20 c) er
baade 7i0dvendig og tilstrcskkelig.
At (20 c) er en n0dve7tdig Betingelse, ses umiddelbart; ti
hvis den ikke er opfyldt, kan (20 b) ikke indeholde Leddet
X--\- y'^-, medens (20 a) ikke tillader Bestemmelsen af 0:, b og c.

45
Hvis nu (20 c) er opfyldt, vil Ligningerne (20 a) give os
et endeligt og bestemt Vaerdisaet for a, b og c\ dette er
imidlertid ikke tilstraekkeligt; der kraeves endnu, at Cirklens
Radius bliver reel og forskellig fra Nul. Af den forste (20 a)
faar man imidlertid
hvoraf folger, at Betingelsen (20 c) ogsaa er tilstrcEkkelig.
Dette Stemmer med, at Betingelsen (20 c) udtrykker, at
de tre givne Punkter ikke ligger ud i en ret Linie.
Ved Formlen (20b) har vi teoretisk lost Opgaven: at
finde Ligningen for en Cirkel gennem tre givne Punkter;
denne Determinantform for Cirklens Ligning er imidlertid
kun praktisk brugbar, naar et af de givne Punkter er (0,0).
Ellers bor man gaa frem ad anden Vej.
Betegnes Koordinaterne til Centrum i den sogte Cirkel
ved a og ß, faas
a =^ — 2a, /^ = — 2ß;
indsaettes dette i (20 a), og subtraheres de to forste og derpaa
den forste og den sidste, faar man
(20 d)
I {^2 — ^1) (2a — X, — X,) + [y, — jKi) (2ß —yy —y,) = o
\ (^3 — ^1) (2Ct — Xy — X.^) -f (^3 —yy) (2ß —7i — J3) =0,
hvoraf a og [3 kan bestemmes. Opfattes a og (3 som lobende
Koordinater, vil (20 d) blive Ligningerne for de to Linier,
der er vinkelrette paa Midten af Segmenterne mellem [xy, yy),
(x,, y,) og [xy, yy), [x.^, y..). Centrum bestemmes altsaa ved
Skaering mellem disse to vinkelrette.
I Anvendelserne danner man derfor forst de to til (20 d)
svarende Ligninger for de vinkelrette paa Midten af Segmenterne
mellem de givne Punkter; efter at Centrums Koordinater
er bestemte ved Losning af disse Ligninger, findes
Radius som Afstanden fra Centrum til et af de givne Punkter.

46
y6. Bevis, at i enhver Trekant ligger Hojdernes Skaeringspunkt,
Tyngdepunktet og den indskrevne Cirkels Centrum
i en ret Linie.
yy. Find Ligningen for den Cirkel, der er omskreven om
Trekanten med Vinkelspidserne (i,i), (—2,4) og (16,4).
78. Bevis, at i enhver Trekant ligger Sidernes Midtpunkter
og Hojdernes Fodpunkter i samme Cirkelperiferi.
79. Centrum i den omskrevne Cirkel for en Trekant med
Vinkelspidserne [xy, yy), [x„ y,\ (x., y^) er (a, ß), medens
(y, h) er Centrum i den Cirkel, der gaar gennem Sidernes
Midtpunkter; bevis Formlerne
2-^ ^ a = Xy + x,+ x.;^y 2& + (3 =yy +y, + j/3.
§ 21. Cirkelbundter og Radikalaxe.
Sämlingen af alle de Cirkler, der gaar gennem de samme
to faste Punkter, kaldes et Cirkelbundt.
Cirkelbundtet kan behandles ganske paa samme Maade
som Liniebundtet; lad nemlig
!
C ^x'^ -^y^ -\- ax -\- by -\- c = o
Cy^x^ -{-y^ -{- ayX + byy + q = o
vaere to Cirkler i et Bundt, da vil Ligningen
(21 a) C— k . Cy = o,
hvor k er en fra i forskellig Konstant, vaere Ligningen for
en vilkaarlig Cirkel i det ovennaevnte Bundt.
En anden Fremstillingsform for denne vilkaarlige Cirkel
faar man ved at erstatte Cirklen Cy =^ o med den rette Linie
(21b) A^x cos 7c -\~ y sin u -\- p = o\
den vilkaarlige Cirkels Ligning bliver da
(21 C) C— k . A =Oy
hvilken Ligning ogsaa for ^ = i vil fremstille en Cirkel.
Om Ligningerne (21 a) og (21 c) bemaerker vi, at de altid,
med det for (21a) naevnte Undtagelsestilfaelde, vil fremstille

47
Cirkler, der gaar gennem Skaeringspunkterne for C=0 og
Cy = o eller for C ^ o og A =^ o, hvis saadanne Skaeringspunkter
existerer. Selv om dette ikke er Tilfaeldet, vil vi
dog kalde de ved (21 a) og (21 c) fremstillede Systemer af
Cirkler for Cirkelbundter.
Det er let at se den geometriske Betydning af Konstanten
k, der indgaar i de to ovennaevnte Ligninger; skrives nemlig
(21 a) paa Formen C: Cy = k, giver (19d) strax Saetningen:
Det geo7netriske Sted for de Punkter, hvis Pote7iser med
Hensy7i til Cirklerne (21) C ^^ O og Cy^O staar i det g2V7ie
Forhold k, er. for k^ i, e7i Cirkel med Ligni7igen C—k. Cy^^O\
dette geometriske Sted i7ideholder de giv7ie Cirklers Skceri7tgspunkter,
hvis saadan7ie existerer.
Skrives (21 c) paa Formen C\A^^k, giver (19 d) i Forbindelse
med (13 b) den analoge Saetning:
Det geometriske Sted for de Punkter, hvis Pote7iser i7ied
Hensy7i til Cirkle7i (21) C =^ O staar i det ko7tsta7ite For hold k
til deres Afstande fra Linie7i (21 b) ^ = o, er en Cirkel med
Lig7ii7igen C — k . A ^=^ o\ de7i7ie Cirkel gaar derfor gen7iem
SkcEringspunkterne for de to giv7ie Kurver, hvis saada7i7ie
findes.
For at betragte det for (21 a) naevnte Undtagelsestilfaelde
>^ = I vil vi bevise den speciellere Saetning:
Det geo77tetriske Sted for de Punkter, hvis Pote7iser med
He7isy7i til to gizmc Cirkler er ligestore, er en ret Li7iie, der
staar vi7ikelret paa Ce7iterli7iie7i, og som. gaar ge7i7iem. de
giv7ie Cirklers Sk(Eri7igspU7ikter, hvis saada7ine existerer.
De7ine rette Li7iie kaldes Cirkler7ies Radikalaxe.
Ifolge Definitionen faar Radikalaxen for Cirklerne (21)
Ligningen
(21 d) C— Cy'^{a — a^x •\- [b — b^y -\- c— Cy =0;
da nu denne Linie har Retningskoefficienten —{a — a^ : [b—z^^)^
medens Centerlinien har Retningskoefficienten [b — b^ : [a — a^,
ses det strax, at de to Linier staar vinkelret paa hinanden.
Vil man söge Skaering mellem to Cirkler, kan man derfor
erstatte den ene af dem med deres Radikalaxe.

48
Det er nu let at bevise folgende vigtige Saetning:
De tre Radikalaxer. der kan dan7ies for tre Cirkler,
tag7ie to og to, gaar alle ge7ine7n sa77t77ie Pu7ikt, der kaldes
Cirkler7ies Radikalce7itru77i.
Lad Cirklernes Ligninger, paa F'ormen (21), vaere
(7 = 0, Q = o, Co = o,
saaledes at deres Radikalaxer bliver
C — Cy^^ Oy Cy — C,=-0, Co — (^ = o;
da disse Ligninger ved Addition giver en Identitet, maa de
tre Radikalaxer gaa gennem samme Punkt.
Ved Hjaelp af denne Saetning kan man konstruere Radikalaxen
for to Cirkler, der ikke skaerer hinanden, idet man
tegner en vilkaarlig tredje Cirkel, der skaerer begge de givne
og fra de to derved bestemte Radikalaxers Skaeringspunkt
nedfaelder den vinkelrette paa de givne Cirklers Centerlinie.
Af Ligningen (21 d) faar man endvidere:
Radikalaxer7ie for e7i fast Cirkel og Cirkler7ie i et Bu7idt
danner et Li7iiebu7idt.
Er nemlig C= o og Cy —kC, = o Ligningerne for den
faste Cirkel og en vilkaarlig Cirkel i Bundtet, bliver Radikalaxen
for disse to Cirkler bestemt ved Ligningen
C[i —k) — [Cy — kC,) =C—Cy — k [C— C,) = o;
der fremstiller et Liniebundt.
Ved Hjaelp af den sidste Saetning konstruerer man en
Cirkel, der gaar gennem to givne Punkter A og B og tillige
rorer en given Cirkel. Hvis nemlig C er Skaeringspunktet
mellem Linien AB og Radikalaxen for den faste Cirkel og
en vilkaarlig Cirkel gennem A og B, medens Tangenterne
fra C til den givne Cirkel rorer denne i D og E, vil den
30gte Cirkel vaere bestemt ved at gaa gennem A, B og D
eller A, B og E\ Opgaven faar derfor i Almindelighed to
Losningen
Vi vil endnu anvende Laeren om Radikalaxen til at bevise
folgende velkendte Saetning:

49
Hvis to Cirkler rorer hi7ia7ide7i, er LcB7igde7i af Ce7iterli7iien
lig Tned Radier nes Su7n eil er Differens.
Uden at indskraenke Raekkevidden af Beviset for denne
rent geometriske Saetning gaar vi ud fra Cirklerne
(21 e) ;r2+j2 = ^2^ [x — aY^y^'-^ry^,
hvis Centerlinie har Laengden a, og hvis Radikalaxe faar
Ligningen
(21 f x= ^•
^ ^ 2a
Skal Cirklerne rore hinanden, maa Radikalaxen skaere
enhver af dem i to sammenfaldende Punkter. Kombineres
imidlertid (21 f) med en af Ligningerne (21 e), kan den saaledes
erholdte Ligning i y da og kun da faa lige Rodder,
naar disse Rodder er Nul; Betingelsen herfor giver imidlertid
let
(21 g) \r ±ry a.
Zo. Find Ligningen for de Cirkler, der har Radius i, og
som horer til det ved Cirklerne
'^'+/- + 3^+J' + I =0, ;i;2_|._y2_5^_|.2j = §
bestemte Bundt.
81. Find Ligningen for den Cirkel, der gaar gennem Begyndelsespunktet
og Roringspunkterne for de Tangenter,
der kan traekkes fra [a, o) til Cirklen x^ -{- [y — b)^ — r~.
82. Find Ligningen for den rette Linie, der gaar gennem
Roringspunkterne for Tangenterne fra [Xy, yy) til [x — a)-
+ {y- ^Y = r'^
83. Find Ligningen for de to Cirkler, der gaar gennem
Punkterne (1,4) og (2,3), og som rorer Cirklen [x— 17)*-
4-(j—12)2 = 64.
84. Gennem Punktet A [Xy, yy) traekkes en vilkaarlig ret Linie,
der anden Gang skaerer Cirklen x'^ -\-y- — XyX—j'j^=o
N. Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri. 4

50
i Punktet Cog Radikalaxen for denne Cirkel og x- -^-y- = ri
B'y bevis, at Produktet AB. AC er lig med Potensen
af Punktet A med Hensyn til den sidste af Cirklerne.
85. Hvis den i Opg, 84 naevnte Linie AB skaerer Cirklen
X- ^ y^ =z r- i Punkterne P og Q, skal man bevise, at
A^ B og Py Q er to harmonisk forbundne Punktpar.
86. Find det geometriske Sted for Centrum i en Cirkel, der
har en given Radius, og hvis Radikalaxe med en given
Cirkel gaar gennem et givet Punkt.
§ 22. Cirklens Tangent.
Vi vender nu tilbage til Cirklens Ligning i polaere Koordinater,
idet dens Centrum falder i (0,0); saettes derfor i (19 c)
Ä = ^ = o, faas den simplere Ligning
(22) p2 + 2p(;ri cos© -\-yy sin©) + Xy"^ + yi^ — ^^ = O.
Skal Linien gennem [Xy, y-^ og under Vinklen © med
4r-Axen vaere Tangent til Cirklen, maa Ligningen (22) give
to ligestore Vaerdier for p; dertil udkraeves Betingelsen
(22a) [Xy COS © +7i sin 0)2 = Xy'^ + Ji^ — r\
der viser, at den stillede Opgave kun er mulig, naar
Xy~ -\-yy->r~, hvoraf Saetningen:
Fra et Punkt kan der trcEkkes to, en eller inge7i Ta7igenter
til en Cirkel, eftersom Punktet ligger ude7ifor, paa
eller indenfor Cirkle7is Periferi.
Ligger specielt Punktet [Xy, y^ paa Cirkelperiferien, bliver
hojre Side i (22 a) Nul, eller med andre Ord
(22 b) x^^^yy^^r'-y
for Retningskoefficienten for Tangenten med Roringspunktet
(^i> y\) f^^s derfor Udtrykket
(22 c) tg0 = - ^ ;
y\
da nu Radius til Roringspunktet har Retningskoefficienten
yy : JT^, faas Saetningen:

51
Tange7ite7i staar vinkelret paa Radius til R0ringspti7iktet.
Ligningen for Tangenten med Roringspunktet [x^,y^ bliver
derfor under Anvendelse af (22 b) og (22 c)
(22 d) xXy -\- yyy = r'--
Har Cirklen derimod Centrum i (0:, b), behover vi blot at
parallelforskyde Koordinatsystemet, saa at Begyndelsespunktet
falder i (—Ä, —b)\ Tangenten med Roringspunktet [Xy, y^)
faar da Ligningen
(22 e) {X - a) [xy — a)-i-{y-b) {yy - b) = r\
hvor Xy og y^ skal tilfredsstille Cirklens Ligning, altsaa
(22 f) [x,~aY + [yr-bY = rK
Onskes (22 d) bragt paa Normalform, behover vi blot at
dividere denne Ligning med + V-^i" + JJ^i^ = + ^^ hvoraf den
sogte Ligning:
(22 g) X cos u -\-y sin u + r ^=^ Oy
der viser, at:
Afsta7ide7i fra enhver Cirkelta7tgent til Ce7itrum. er 7iumerisk
lig m.ed Cirklens Radius.
Heraf faas atter Saetningen:
Det geometriske Sted for Centrum. i e7i Cirkel, der rorer
to rette Linier, bestaar af de to Linier, som halverer Vi7ikler7ie
m^ellem. de givne.
For at finde den Ligning, der under et fremstiller de to
Tangenter, der fra [Xy, y^ kan traekkes til Cirklen x^-\-y'^—r^~'=- o,
multiplicerer vi (22 a) med p2; anvendes derpaa (5f), faas den
sogte Ligning
r {r'-yr'^^^-^xY + (^— ^i')b-yxY
^^^ ^ y +2^i7i(^ —^i)(7—Ji) = o,
der er homogen af anden Grad ix — Xy og y—yy. Kaldes
Retningskoefficienterne for de to ved (22 h) fremstillede rette
Linier for a^ og a,.^ faas derfor ifolge § 18
2x.y. f- — ^.2
a^ + a. = 5—^ :,' a^a, = — -
1 ' - y2 Xy- ^ r- Xy^

52
Skal Tangenterne (22 h) staa vinkelret paa hinanden, faas
derfor Betingelsen Xy- -{-yy- = 2/-', hvoraf Saetningen:
Det geo77ietriske Sted for de Pimkter, hvorfra Tangenterne
til en Cirkel med Radius r er vi7ikelrette paa hina7iden, er
en Cirkel konce7itrisk med de7i giv7ie og med Radiics r]l 2.
?>y. Find Ligningen for en Cirkel, der gaar gennem Punktet (1,1)
og rorer de to rette Linier 3:1: + j^-f 4 = o, x—3jj/ = 2.
88. Find Ligningen for en Cirkel, der gaar gennem Punkterne
(7, 8), (16, 17) og rorer den rette Linie ^x-i-4y — 66.
89. Find de to Ligninger, der under et fremstiller enten
begge de ydre eller begge de indre Faellestangenter til
Cirklerne x- + j'- = r- og [x— a)- -1-jj/2 _ ^^2^
§ 23. Trekantens fire Roringscirkler.
Som en Anvendelse af Saetningerne i § 22 og af Laeren
om den rette Linies Ligning paa Normalform vil vi finde
Ligningerne for de fire Cirkler, der rorer Siderne eller deres
Forlaengelser i Trekanten med Vinkelspidserne A (8, — 3),
Siderne AB, BC og CA faar da henholdsvis Ligningerne
yx—4y = 68, yx-\- 4y = 2y 4X-{- yy = 11
eller, paa Normalform, saaledes at Afstandene fra enhver
Side ind i Trekanten er positive:
yx — 4y — 68 ^ ^ yx + 4y—2 ^ ^ 4X -j- yy — 11 ^ ^
— ^65 ' I65 ' ~]6s
Linierne, der halverer Vinklerne Ay B og Cy faar derfor
Ligningerne
(23) 3^—117=57. '-^=5, ii^+iijj^= 13,
medens de Linier, der halverer Nabovinklerne til A, B og C,
fremstilles ved Ligningerne
(23 a) 11^ + 3y = 79, 4y = — s3y y — x= 3.

Loses derpaa to af Ligningerne (23) med Hensyn til
X og y, ser man, at den indskrevne Cirkel faar Centrum
(5, — ^^), hvorefter Radius r bestemmes som Afstanden fra
dette Punkt til en af Trekantens Sider; man finder
Paa samme Maade faar man ved at kombinere en af
Ligningerne (23) med en dertil svarende af (23 a), at Centrerne
i de Cirkler, der rorer Siden BC, Siden CA og Siden AB
udvendig, faar Koordinaterne
(--¥> -¥). (5, 8), (-V/-, -¥)>
hvorefter man for de tilsvarende Radier finder Udtrykkene
II
7165 -:^ 21 165
4 44
§ 24. Geometriske Steder.
Efter at vi i det foregaaende har fremstillet Grundtraekkene
af den rette Linies og Cirklens analytiske Geometri, vil vi
gennem Losningen af et Par specielle Opgaver angive en
almindelig Methode, som man bor folge ved Udledelsen af
Ligninger for geometriske Steder, hvis geometriske Definition
er saa kompliceret, at deres Ligninger ikke direkte kan udledes
af de lige udviklede fundamentale Formler.
Som Exempel vil vi gennemfore Losningen af Opgaven:
T /\ ABC trc^kkes en Transversal DE -^ BC; bevis, at
det geometriske Sted for e7iJiver af de frie Vi7ikelspidser i
Kvadratet med DE til Side er sa77tme7tsat af to rette Li7iier.
Ved Losningen af saadanne Opgaver bor man gaa frem
paa folgende Maade:
l^. Hvis Koordi7iatsyste7net ikke allerede er fastlagt af
selve de7i stillede Opgave, bor det IcBgges, saaledes at den
Figur, 77ia7i skal behandle, kom7ner til at i7idtage e7i simpel
Stilli7ig i Forhold til det.

54
Hvis dette ikke gores, udsaetter man sig for vidtloftige,
ofte uoverkommelige Regninger.
1 ovennaevnte Exempel laegges ;i:-Axen ud ad Siden BC,
der indtager en Saerstilling fremfor de to andre. Begyndelsespunktet
laegges i B, medens C og A faar Koordinaterne
[a, o) og (/;, c).
2 ^. Ma7i i7idf0rer saa inange Param^etre, ne7nlig ubekendte
Koordi7iater, Ret7ii7igskoefficienter o. s. v., at Figuren,
hvorofn Tale7t er, laa fast, hvis disse Parametre var bekendt
e.
I vort Exempel tillaegger vi D og E Koordinaterne (a, y)
og (ß, y), hvorved vi har udtrykt, at DE er parallel
med BC
3 ^. Figure7is giv7ie Egenskaber udtrykkes a7ialytisk i
Lig7ii7iger, saaledes at Koordi7iaterne til det Pu7ikt [x, y),
hvis geometriske Sted soges, kan beste7n7nes ved det giv7ie
og de i7tdf0rte Parametre.
I vort ovennaevnte Exempel maa vi udtrykke, 2X D og E
falder henholdsvis paa Trekantsiderne AB og A C\ derved
faas Betingelserne
(24) Y^ = ca, {b — ^) Y = ^[3 — ca\
hvis Punktet {x, y) skal vaere den Vinkelspids i Kvadratet,
der er modstaaende til E (|3, y), faas
(24 a) X — a, y — y = + (j3 — a).
4^. Mellem de U7ider 3 '^ 7i(BV7ite Lig7ii7iger elimineres
derpaa de i7idf0rte Para7netre; der 7naa derfor vcere e7i
Lig7ii7ig flere end Para7netre.
Denne Operation er i Regien Opgavens vanskeligste,
fordi vi ikke besidder noget almindeligt Middel til dens
Gennemforelse. Hvis alle Ligningerne, som i den stillede
specielle Opgave, er lineaere, kan man anvende Determ.ina7itteorien\
men dette bor dog ogsaa paa Grund af de vidtloftige
Regninger i Regien undgaas.
I ovennaevnte Exempel finder vi af (24) og den forste
Ligning i (24 a) folgende Udtryk for a, |3 og y:

o:)
ex ^ ab — ax -{- bx
a = x, y=^> |3 = y
hvoraf ved Indsaettelse i den sidste (24 a) det sogte geometriske
Sted
{24 b) by — ex = + a{b — x),
der altsaa er sammensat af to rette Linier.
5^. Det under 4^ fu7idne geo77ietriske Sted diskuteres.
Den ene af de to i (24 b) fundne rette Linier svarer ojensynlig
til det Tilfaelde, hvor Kvadratet ligger paa samme
Side af DE som BC eller paa modsat Side som Vinkelspidsen
A\ denne rette Linie maa aabenbart indeholde Punktet
(o, —a)\ dens Ligning bliver derfor
(24 c) [a -\- c)x — by = ab.
Ligger Kvadratet derimod til den modsatte Side, maa det
geometriske Sted indeholde Punktet (o, a); den tilsvarende
rette Linies Ligning bliver derfor
(24 d) {a — c)x -{- by = ab.
Da det geometriske Sted for den ene af Kvadratets Vinkelspidser
sammensaettes af to rette Linier, maa det samme vaere
Tilfaeldet med det geometriske Sted for den anden Vinkelspids.
De hertil svarende Ligninger findes paa lignende
Maade.
Som andet Exempel vil vi lose Opgaven:
Cirklen x- + y- + ax = b- skceres af Ordi7iataxe7i i
Punkterne A og Ay og af e7i vilkaarlig ret Linie gen7ie77t Ö
i B og By; fi7id det geo77ietriske Sted for det bevcEgelige
Skceringspimkt 77ielle77i de 077t Treka7iterne OAB og OAyBy
Ü7nskrev7ie Cirkler.
A faar Koordinaterne (o, b), Ay (o, —b)\ som Parametre
indforer vi Retningskoefficienten a for Linien gennem 0 og
Koordinaterne {Xy, jJ og {x,, ;,) til B og By\ OBBy faar
derfor Ligningen y = ax, hvoraf yy = a^r^, y, = ^x.^, medens
a\ og X, bestemmes ved Skaering mellem den givne Cirkel

56
Og Linien y = ax; disse Abscisser bliver derfor Rodder r
Ligningen
(l + a2) X- -}- ax — b~ = o,
hvoraf
(24e) ^,+,.^, = __^_, ^^,,, = __i!_,
For at finde Ligningen for den Cirkel, der er omskreven
om /\ OAB, oprejser vi de vinkelrette paa Midten af Linierne
OA og OB; disse vinkelrette faar Ligningerne
b ax. I / xÄ
y = -y y - = [x i ,
^ 2 ^ 2 a \ 2 )
saa at Centrums Koordinater bliver
/(i+a2);ir^ —a^ b\
[ 2 jj-
da Cirklen tillige skal gaa gennem (o, o), bliver dens Ligning
(24 f) ^- + 7- — (i + a2)Xy — ab]X— by == o.
Ligningen for den om /\ OAyBy omskrevne Cirkel findes
ved i (24 f) at saette x, for Xy og —b for b; denne Ligning
bliver altsaa
(24 g) ;tr2 + j^2 _ [(i j^ et2^ x.y -^ ab]x -^ by = o.
Adderes dernaest (24 f) og (24 g), faas ved Anvendelse af
(24 e) den sogte Ligning
(24 h) x- + y^ -}- ~ X = o.
90. Find det geometriske Sted for Midtpunkterne af de
Rektangier, der er indskrevne i en given Trekant.
91. I en Trekant traekkes en Transversal parallel med den
ene Side, og i dens Skaeringspunkter med de to andre
Sider oprejses vinkelrette paa disse. Find det geometriske
Sted for de vinkelrettes Skaeringspunkt.

57
92. To Cirkler rorer hinanden i A\ gennem A traekkes en
Linie, der anden Gang skaerer Cirklerne i B og C Find
det geometriske Sted for Midtpunktet af BC
93. Find det geometriske Sted for Midtpunkterne af de
Korder, en given Cirkel afskaerer af Linierne i et Liniebundt.
94. Givet en Cirkel og i denne en fast Diameter; find det
geometriske Sted for Centrerne i de Cirkler, der rorer
den givne Diameter, og som har deres Centrer beliggende
paa deres Radikalaxer med den faste Cirkel.
FEMTE KAPITEL,
Keglesnit med Toppunkt i Begyndelsespunktet
§ 25. Fsellesligningen for alle Keglesnit.
Vi vil nu söge det geometriske Sted for de Punkter, hvis
Afstande fra et givet Punkt F og en given Linie / staar i
det givne Forhold e. Af Grunde, som vi laerer at kende i
Stereometrien, kaldes denne Kurve et Kegles7iit. F kaldes
BrcendpU7ikt^ l Ledeli7tie og e Exce7itriciteten for denne Kurve.
Vi laegger Koordinatsystemet, saaledes at Abscisseaxen
gaar gennem F og er vinkelret paa /, medens Begyndelsespunktet
O vaeiges, saaledes at OF = e . POy hvor P er
Skaeringspunktet mellem Abscisseaxe og Ledelinie. Derved
opnaas nemlig, at Abscisseaxen bliver Symmetriaxe for
Kurven, og at 0 bliver et af dens Punkter,
Saettes PO = k, faar F Koordinaterne [ek, o) og / Ligningen
X -\- k ^^ o. Betyder da [x, y) et vilkaarligt Punkt
paa Kurven, faas af Definitionen
hvoraf den sogte Ligning
e{x-^k)= ±]y^J^[x~ke)\

58
(25) ;'2 = 2^(i ^ e)kx-\-[e'''— \)x'\
For at diskutere (25), saetter vi for Kortheds Skyld
(25a) 2^(i+^)>^=/, e'^—i^q,
hvorefter Ligningen antager den simplere Form
(25 b) y-^^pxJ^qx''^.
Ifolge vor Definition maa q her forudsaettes storre end — l,
hvorimod p kan antages positiv. Var nemlig / negativ, künde
vi blot skifte positiv Retning for ;ir-Axen, og Tilfaeldet / = o,
^>o giver de to rette Linier gennem O
(25c) y^ ±\~q^x\
p =• q ^=.0 giver ;r-Axen regnet dobbelt, medens Kurven for
/ = o, q

59
Saettes specielt i (25 d) Xy — yy = o, spalter denne Ligning
sig i de to andre
/ r^ P cos H

6o
§ 26. Forskellige Former af Keglesnit.
Vi vil begynde vor Diskussion af Ligningen (25 b)
(26) j'2 =px-\' qx""-, ^ = ^2 _ I
med at udlede nogle faelles Egenskaber for de Kurver, der
svarer til ^^o. Saettes i (26) j = o, faas
(26 a) X ^=^0, X •= — -1
der viser, at disse Kurver, foruden i Begyndelsespunktet, tillige
skaerer ;i;-Axen i Punktet (—/ : ^, o); da Skaeringen mellem
Kurven (26) og Ordinatlinien x = —/ : q, giver y- = o,
maa denne Ordinatlinie vaere Tangent til Kurven i Punktet
Q med Koordinaterne (—p'^qy o).
Det saaledes bestemte Punkt Q kaldes Kurvens a7idet
Toppunkt, Tangenten i Q Kurvens a7iden Toppu7iktstange7tt.
Om Kurverne med to Toppunkter vil vi dernaest bevise
Saetningen:
MidtpU7iktet M mellem de to Toppu7ikter 0 og Q er
Ce7itrum i Kurve7i; derTned me7ies, at enhver Korde gennem
M halveres af dette Pu7ikt.
Vaeiges M til Pol i det polaere Koordinatsystem, som er
anvendt i (25 d), skal man altsaa saette Xy = —p : {2q), yy = o,
hvorefter Ligningen (25 d) antager den simplere P'orm
(26 b) (sin2 e — q cos2 ©) p2 =, _ ^ ;
da (26 b) er rent kvadratisk i p, er dens to Rodder ligestore
med modsatte Tegn, hvilket viser, at Polen M er Midtpunktet
af den paa Linien afskaarne Korde.
For q

6i
disse Kurver har derfor endnu et Braendpunkt og en Ledelinie
med samme Egenskab som F og l.
For dernaest at bestemme de forskellige Former af Keglesnit
maa vi saerskilt betragte folgende Tilfaelde:
lO. ^^o, ^|;>>i; Kurve7i kaldes e7i Hyperbel.
For at danne os en Forestilling om Hyperblens Udseende
bemaerker vi, at (26) giver j' imagincer. naar o'^x'^—p : q,
saa at Kurven ikke har Punkter beliggende i Parallelstriben
mellem de to Toppunktstangenter.
Endvidere kan vi vaeige | x \ saa stör, at den numeriske
Vaerdi af de to tilsvarende Vaerdier for y bliver storre end
et forud opgivet nok saa stört Tal.
Hyperble7t bestaar derfor af to aab7ie, adskilte Grene.
2^. ^z=o, ^=1; Kurve7i kaldes en Parabel.
Af den saaledes erholdte Ligning
{26 d) y- = px
folger, at Parablen ikke kan have Punkter med negativ
Abscisse; den bestaar derfor af en aaben Gren, der rorer
jj/-Axen i (o, o) og er symmetrisk med Hensyn til :r-Axen.
Parablen har folgende geometriske Egenskaber:
Parablen er geometrisk Sted for de Punkter, der har ligestore
Afstande fra e7i give7i Li7tie, Ledelinie7i, og et givet
Punkt, BreB7idpunktet. Alle Parabler er Iigeda7i7iede.
Af (25 a) faas, for e =^ i, p = 4k; Braendpunktet har der­
for Koordinaterne I—> oj, medens Ledelinien faar Ligningen
P P
JT + — = o, og Braendstraalen til [Xy, y^ har Laengden ^1 + — •
4 4
3^. 0>^;> — I, e

62
p p
2]—g - 2i—q
saa at den störst mulige Vaerdi for y bliver p\ (2]/—q).
Ellipsen maa derfor vaere en lukket Kurve.
4^' q =^ — I; Kurve7i er e7i Cirkel.
5^- ^

63
For Hyperblen og Parablen faas derimod Saetningerne:
E7iliver ret Li7iie med Ret7ii7igskoeificie7ite7i
(27 b) tg©= +1^
skcsrer Hyperble7i i et ue7idelig fjcBr7it Punkt.
E7ihver ret Li7iie parallel med Parablens Axe skcErer
Kurve7i i et ue7idelig fjcBrnt Punkt.
Forsvinder i (27) samtidig Koefficienterne til p- og til p,
maa de saaledes erholdte Linier skaere Kurven i to ue7idelig
fj(Er7ie Pu7ikter; saadanne rette Linier kaldes Asymptoter til
vedkommende Kurve, hvis de da antager en endelig og bestemt
Stilling.
Den ny Betingelse
(27 c) 2yy sin © —/ cos © — 2qXy cos © = O
kan sammen med (27 a) ikke tilfredsstilles for Parablen; for
Hyperblen faas derimod ved Anvendelse af (27 b)
(27 d) P + ^q^x = + 2jil'^;
da nu {Xyy yy) er et vilkaarligt Punkt paa en af Hyperblens
Asymptoter, faas Saetningen:
Hyperble7i har to og ku7i to Asym^ptoter, nemlig
(27 e) p + 2qx ^ + 2y]qy
eller tag7ie U7ider et
(27 f) (/ + 2^.r)2 —4^j2 ^ o;
Asy77iptoterne gaar begge ge7inem Hyperblens Ce7itru77t
(_^:(2^), o).
Om Asymptoterne vil vi endvidere bevise folgende Saetning:
Paa en vilkaarlig ret Li7iie afsk(Bres der ligestore Stykker
i7iellem Hyperble7i og defis Asy77tptoter.
Vi vil bevise, at Hyperbelkorden og Segmentet mellem
Asymptoterne har samme Midtpunkt; skaeres derfor den
rette Linie j = a;ir + ^ med Hyperblen j'-—^^^ _}_ ^;i:2^ b^.
stemmes Abscisserne Xy og x^_ til Skaeringspunkterne ved
Ligningen
(a2 — q)x''-^ {2aa ~p)x ^ a- = o,

64
medens Abscisserne x^ og x^ til Skaeringspunkterne mellem
den samme rette Linie og Asymptoterne, fremstillede under
et ved Ligningen (27 f), bestemmes som Rodder i
(4^7a- — 4q-) x- -f {8qaa — 4pq) x + 4^^2 —p2 — Q;
derved faas
Xy + .i'.> ,r.. -\- x^ p — 2aa
2 ~~ 2 ^ 2 (a2 — q)
og dermed er Saetningen bevist.
Hvis ovennaevnte rette Linie er Tangent til Hyperblen,
faas specielt:
Ta7ige7itens R0ri7igspu7ikt 77ied Hyperble7i er MidtpU7ikt i
det Segme7it, Asy77tptoter7ie afskcerer paa Ta7igenten.
99. Naar to faste Punkter af en Hyperbel forbindes med
et vilkaarligt Punkt af Kurven, skal man bevise, at det
Segment, som Forbindelseslinierne afskaerer af en af
Asymptoterne, er konstant.
100. Et Parallelogram, hvis ene Diagonal er Korde i en
Hyperbel, har sine Sider parallele med Asymptoterne;
bevis, at den anden Diagonal i Parallelogrammet gaar
gennem Kurvens Centrum.
IUI. Bevis, at Afstandene fra et vilkaarligt Punkt af en
Hyperbel til Asymptoterne har det konstante Produkt
P^
Aq[q + i)
102. Bevis, at det er muligt at vaeige \xy\ saa stör, at den
numeriske Vaerdi af Afstanden fra Hyperbelpunktet
[Xy, yy) til en af Asymptoterne bliver mindre end en
forud opgiven nok saa lille positiv Storrelse.
Saettes i (27)
§ 28. Diametre.
{28) 21'; sin © —/ cos © — 2qXy cos © = o,
bliver Ligningen rent kvadratisk i p; Polen [xy, yy) maa derfor
vaere Midtpunktet af den Korde, som Keglesnittet afskaerer
paa den rette Linie.

65
Ligningen (28) maa derfor tilfredsstilles af Koordinaterne
{xy, yy) til Midtpunktet af enhver Korde, som danner Vinklen 0
med Abscisseaxen, hvoraf Saetningen:
Ved ethvert Kegles7iit er det geometriske Sted for ]\IidtpU7ikter7ie
af et Systefn af parallele Korder, so7n med Axeii
da7i7ier Vi7ikle7i ©^ e7i ret Li7iie med Lig7iingen
(28a) J = ^ - ^ + ^ •
tg © ' 2 tg ©'
den7ie rette Li7iie kaldes Kordesystemets Dia7neter.
Ved Ellipse og Hyperbel gaar alle Diametre gennem
Centrum; ved Parablen faas derimod Ligningen
{28b) y - ^
2te©
saa at Diametrene her er parallele med Axen.
For © = :T : 2 falder Diametren sammen med ;r-Axen,
hvoraf atter fremgaar, at denne Linie er Symmetriaxe for
alle Keglesnit.
Ved Ellipse og Hyperbel faar Diametren RetningskoeflBcienten
hvoraf Betingelsen
(28 d) tg^.tg© = ^ = e'^— I,
der er symmetrisk i Vinklerne u og ©. Diametren til et
Kordesystem, som danner Vinklen u med Axen, maa derfor
danne Vinklen © med denne Linie. Til enhver Diameter
svarer der derfor en anden, saaledes at de to Diametre gensidig
horer med til hinandens Kordesystemer. To saadanne
Diametre kaldes konjugerede\ deres Retningskoefficienter tilfredsstiller
Betingelsen (28 d).
Enhver af Asymptoterne er sin egen konjugerede Diameter.
Ved Cirklen staar de konjugerede Diametre vinkelret paa
hinanden.
N. Nielsen : Laerebog i analytisk Plangeometri. 5

66
Af (28 d) i Forbindelse med (26 c) ser man, at kun den
ene af to konjugerede Diametre ved Hyperblen kan skaere
Kurven.
103. Bevis, at enhver ret Linie skaerer Hyperblens Asymptoter
og et Par konjugerede Diametre i fire harmonisk forbundne
Punkter.
104. Anvend den i § 24 udviklede almindelige Metode til
at finde Ligningen for Diametren til et System af
parallele Korder i Ellipsen eller Hyperblen.
105. Gennem et Braendpunkt i Ellipse eller Hyperbel traekkes
to Korder parallele med to konjugerede Diametre;
bevis, at deres Sum er konstant.
§ 29. Tangenten.
Skal Linien fra {xy, yy) under Vinklen © med Axen vaere
Tangent til Kurven, maa (27) give to ligestore Vaerdier for p,
hvortil udkraeves Betingelsen
!
{2yy sin © —p cos © — 2qXy cos ©)2
= 4 (sin2 Q — q cos2 ©) {y^^ — pxy — qXy%
Multipliceres derpaa i denne Ligning med p2 paa begge
Sider af Lighedstegnet, og erindres Identiteterne
p cos Q = X — Xy, p sin © =jj/ —yy,
ser man efter en simpel Omformning, at Ligningen
f [2yyy —p[x + Xy) — 2qxXyY
\ ==4{y'-P^- q^') {yi' -P^i - q^i')
under et vil fremstille de to Tangenter, der muligvis kan
traekkes fra [xy, yy) til Keglesnittet.
Falder [Xyy yy) paa Kurven, er altsaa
yi^ = P^i + q^i^'y

^7
bliver de to Linier (29 a) samme7tfaldende, saa at Tangenten
med Roringspunktet [Xy, jj/J faar Ligningen
(29 b) 2yyy =/ (^ + ;ri) + 2qxXy,
medens dens Retningskoefficient bliver
For at diskutere Ligningen (29 a), divideres med cos2 0
paa begge Sider af Lighedstegnet i (29), hvoraf Ligningen
(29 d) {pxy + qxy^) tg2 0 —yy {p + 2qxy) tg © +^ + qyy^- = o,
4
der bestemmer Retningskoefficienterne for de Tangenter, som
muligvis kan traekkes fra {xy, yy) til Keglesnittet; (29 d) maa
i saa Tilfaelde have reelle Rodder, hvortil udkraeves
(29 e) yx'>P^i + ^^1':
Fra et Pu7ikt i Pla7ien ka7i der derfor trcskkes to, en
eller ingen Tange7iter til et Kegles7iit, eftersom dette Punkt
ligger ude7ifor, paa eller i7idenfor Keglesnittet.
Skal de to Tangenter fra {Xy, y^ staa vinkelret paa hinanden,
faas ifolge (29 d)
^(^r+/i')+/^i+^ = o;
altsaa:
Det geometriske Sted for de Punkter. hvorfra Ta7ige7iterne
til en Ellipse eller Hyperbel staar vi7ikelret paa hinanden, er
Cirkle7i
der har samme Centrum som Keglesnittet, og hvis Radius er
(29 g) ''"'^^'^^'
dette Sted existerer saaledes for alle Ellipser, men kun for
de Hyperbler, for hvilke q

68
Antages q = o, faas derimod specielt:
Det geo7netriske Sted for de Punkter, hvorfra Ta7ige7iter7ie
til Parable7i staar vi7ikelret paa hi7ia7iden, er Kurve7is Lede-
li7iic.
Taenkes i (29 d) Vinklen © mellem Keglesnittets Axe og
Tangent opgivet, vil Ligningen
(29 h) {px + qx^) tg2 (d—y{p-\- 2qx) tg © + - + qy'^ = O
4
under et fremstille de mulig existerende Tangenter, der i
den ved Vinklen © bestemte Retning kan traekkes til Ellipsen
eller Hyperblen; ved Parablen faas derimod kun en Tangent
i den opgivne Retning, nemlig
P
(29 i) y = x\.gQ -^ 4tg©
For naermere at undersoge (29 h), loses denne Ligning
med Hensyn tiljK; derved erholdes
(29 k) _;.=.(;,+ A) tg 0 + A . ytg-^0_^;
man kan derfor altid til Ellipsen traekke to Tangenter i en
given Retning; ved Hyperblen kraeves derimod
(291) tg © > + ]/^ eller tg © < — ]^^,
hvoraf ved Sammenligning med (27 b) Saetningen:
Hyperbeltange7ite7is spidse Vi7ikel m.ed Axe7i er altid
7tU77terisk storre end Asymptote7ts spidse Vi7ikel m.ed den7ie
Li7iie.
Ligningen (29 k) viser, at der i de to ved tg © = + 1 ^7
bestemte Retninger kun kan traekkes e7i Tangent til Hyperblen
nemlig den paagaeldende Asymptote.
106. Hvilken Form antager Hyperbeltangentens Ligning, naar
Roringspunktet fjaerner sig uden Graense?

69
§ 30. Polaren.
Ge7i7ie7n et Pu7ikt P [Xy, yy) trcekkes en ret Linie, der
skcBrer et Keglesnit i A og B. Det geometriske Sted for det
Pu7ikt Q, der sa7n7ne7z med P deler AB harmo7iisk. vil da,
naar Linie7i drejer sig om O. blive e7i ret Li7iie, der kaldes
Polare7i til P, medens P kaldes den7ie Linies Pol m,ed Hensyn
til Kegles7iittet.
Saettes PA = p^, PB — p^ og PQ — p, bliver Betingelsen
for harmonisk Deling ifolge (3 d)
(30) 2P1P2 = p(Pi -fPs);
nu er imidlertid p^ og p^ Rodder i (27), hvorved (30) gaar
over til folgende Ligning
(30a) 2{yy^—pXy — qXy-)-{-p[2yy sin © —p cos © — 2qXy cos ©)=0,
der fremstiller det sogte geometriske Sted i polaere Koordinater.
Betegner [x, y) de retvinklede Koordinater til Q, faas
X — ^1 = p cos ©, y —yy = p sin ©,
saaledes at (30 a) overfort i retvinklede Koordinater bliver
(30 b) 2yyy =p[x -{- Xy)-{- 2qxXyy
der altsaa er Polarens Ligning.
Man ser, at Polarens Ligning for7nelt er den samme
som Tangentens; kun mangler i Almindelighed i (30 b) Betingelsen
for, at {Xy, y^ ligger paa Keglesnittet; er dette
specielt Tilfaeldet, bliver Punktets Polar netop Tangenten
med Polen som Roringspunkt.
Af Definitionen for Polaren faas strax folgende Egenskab
ved denne Linie:
Ligger Pole7i udenfor KegleS7iittet, gaar Polaren ge7i7te7n
R0ri7igspU7ikter7ie for de Tange7iter, der ka7i trcekkes fra
Pole7t til Kurven.
Af (30 b) faas endvidere :
Hvis P ligger paa Polaren til Q, vil Q ligeledes ligge
paa Polare7i til P.

yo
Hvis de to Punkter har Koordinaterne [Xy, yy) og [x^, jg)»
bliver den faelles Betingelse nemlig
V'iyi =P{^i+ '^2) + 2qXyX^.
Derved faas atter Saetningerne:
Ge7i7ie7nl0ber Pole7i en ret Li7iie, vil Polare7i dreje sig 0771
de7i7ies Pol.
Drejer Polare7i sig om et fast Punkt, vil Polen ge7tnemlobe
dettes Polar.
Af (30b) udleder man endnu folgende Saetning:
Ethvert bestemt Pu7ikt i Pla7ie7i har e7i ganske bestemt
Polar 7)ied Hensy7i til et givet Keglesnit, naar blot Pu7iktet
ikke falder sammen Tned de7i7ie Kurves Ce7itrum, hvis et saada7it
findes.
At Centrum her er udelukket, haenger sammen med, at
det Punkt, der sammen med Midtpunktet af et Segment
deler dette harmonisk, er uendelig fjaernt.
Omvendt kan man bevise Saetningen:
E7ihver bestemt ret Li7iie har en ganske besternt Pol Tned
He7isy7i til et givet Kegles7iit, hvori de7i ikke er Diameter.
Soges nemlig Polen til Linien
(30 c) ax ^by ^ c,
maa denne Ligning bringes paa Formen (30 b); Polen til
(30 c) bestemmes derfor ved Ligningerne
— a b c — 2cq — ap
p -h 2qXy 2yy pXy f^
saa at Polen faar Koordinaterne
(30 d) l.=lP'^, -f^-);
^^ ^ \ap + 2cq 2 [ap + 2cq))'
disse Koordinater bliver ved Parablen uendelig störe, naar
^ = o, altsaa naar (30 c) er parallel med ;ir-Axen, ved Ellipse
eller Hyperbel derimod, naar ap -f 2cq — 0, altsaa naar (30 c)
gaar gennem Kurvens Centrum.

71
107- Bevis, at Skaeringspunktet mellem den vinkelrette fra
Polen paa Polaren og Keglesnittets Axe er uafhaengigt
af Polens Ordinat.
108. Bevis, at Diametren til det med Polaren parallele Kordesystem
gaar gennem Polen.
109, Hvorledes konstrueres ved Cirklen Polaren til et Punkt,
der ligger indenfor Kurven?
HO. Et vilkaarligt Punkt J/paa Cirklen ;tr2 _j_ ^2 — ^-2 p^Q.
jiceres paa Axerne i My og M^, medens Polen P til
MyM^ projiceres paa Axerne i Py og P^\ bevis, at
PyP2 er Tangent til Cirklen.
§ 31. Parablens Tangent og Normal.
For Parabeltangenten med Roringspunktet M{xyy yy) fandt
vi i § 29 Ligningen
{31) ^yyx =p{x + xyyy
for at finde Skaeringspunktet T mellem Tangent og Axe
saettes i (31) jj/ = o; 7" faar da Koordinaterne (—Xy, o). Projektionen
P 2i M paa Axen har Koordinaterne [xy.^ o); altsaa
faas Saetningen:
Parablens ToppU7ikt er Midtpunktet melleTU e7i Tangents
Sk(Bringspu7ikt m.ed Axen og R0ri7igspunktets Projektion paa
samme Li7iie.
Linien gennem M vinkelret paa Tangenten kaldes dette
Punkts Normal'y Normalen faar derfor Ligningen
2^1
(31a) y—yx = — y (^ —^1).
og dens Skaeringspunkt N med Axen faar Koordinaterne
(*i+f °)-
Liniesegmenterne PTog PN kaldes henholdsvis Subtangent
og Subnormal \ man finder

72
PT= PO -^ OT=—Xy — Xy = — 2;ir^
PN=PO+ 0N= - Xy^Xy-^r^^-^
hvoraf Saetningen:
Parablens Sub7tormal er ko7ista7it og lig m.ed ^ Kurve7is
halve Parameter.
Endvidere faar vi Saetningen:
Ved Parablen halverer Ta7igent og Normal Vinklerne
Tnellem BrcBndstraale7i til R0ri7igspunktet og e7t Li7iie ge7i7ie7Tt
dette parallel med Axen.
P
Da Braendstraalen EM har Laengden Xy'\-—'^ bliver dens
4
Ligning paa Normalform ifolge (13 f)
^'(^-i)-(^'-fV
(31b) _ •-- ^r_ = o,
medens Linien gennem M parallel med Axen faar Ligningen
(31c) y—yi = 0;
Halveringslinierne for Vinklerne mellem (31 b) og (31 c) bliver
imidlertid netop (31) og (31 a); endvidere ser man herved, at
Tangenten altid maa halvere det Par Topvinkler, i hvilke O
er beliggende.
Endvidere faas Saetningen:
Toppunktstange7iten er geometrisk Sted for BrcB7idpU7iktets
Projektio7i paa Tange7tter7ie.
Hvis Tangenten danner Vinklen v med Abscisseaxen^
kan dens Ligning ifolge (29 i) skrives paa Formen
(31 d) 4y cos ^^ sin z/ = 4X sin2 v -\- p cos^ Vy
medens den vinkelrette fra Braendpunktet faar Ligningen
(31 e) y= - y^ — j)
cos V sm V
cot V, = —
y P
^ - —X
4

73
saa at Elimination af v mellem (31 d) og (31 e) giver det
sogte geometriske Sted
hvoraf x = o, y' + ix— ~] =0. Den forste af disse Ligninger
fremstiller Toppunktstangenten, medens den sidste
ikke tilfredsstilles af andre reelle Punkter end Braendpunktet.
Denne sidste Losning maa derfor forkastes; den er kommen
med, fordi Ligningerne (31 d) og (31 e) begge kan tilfredsstilles
af Braendpunktets Koordinater, naar man tillaegger v en
passende imagincEr Vaerdi.
Det vil nu vaere let ogsaa at bevise folgende Saetning:
Ledeli7iie7i er geo7netrisk Sted for de Pimkter, der ligger
sym7netrisk med BrcEndpu7iktet 77ied He7isy7i til Ta7igenterne.
Ligger nemlig {x, j') og f — > o) symmetrisk med Hensyn
til Tangenten, maa deres Midtpunkt vaere Braendpunktets
P
Projektion paa Tangenten, altsaa faas x ~{- - = O] men dette
4
er netop Ledeliniens Ligning.
Endvidere finder man
FT=FO+ OT= — {xy + ^)
FN^ FO + ON=Xy + ^ = EM,
4
hvoraf Saetningen:
E71 Cirkel 77ted Br(^7idpu7iktet so7n Centrum og Br(B7idstraale7i
EM som Radius gaar ge7inem Skceringspu7ikterne
melle77i Axe7i og Tange7it og Nor77ial i M.
III. En Linie parallel med Parablens Axe skaerer Kurven i A,
to vilkaarlige Tangenter i B og C og deres Roringskorde
i D\ bevis, at AD er mellemproportional mellem
AB og AC

74
112. Til en Parabel traekkes tre Tangenter, den ene til Toppunktet;
bevis, at Arealet af den Trekant, de begraenser,
er det halve af Trekanten, der har sine Vinkelspidser
i Roringspunkterne. Bevis endvidere, at Hojderne i
den forste Trekant skaerer hinanden paa Ledelinien, og
at dens omskrevne Cirkel gaar gennem Braendpunktet.
113. Bevis ad syntetisk Vej de ovenfor udviklede Saetninger
om Ledelinie og Toppunktstangent.
114. Find Ligningen for den Cirkel, der gaar gennem de
tre Parabelpunkter, hvis Normaler udgaar fra et fast
Punkt; find dernaest det geometriske Sted for denne
Cirkels Centrum, naar Parablens Parameter varierer,
medens Toppunktet ligger fast.
115. Til en Parabel tegnes to faste Tangenter, der skaerer
hinanden paa Axen, og en tredje vilkaarlig Tangent.
Bevis, at Summen af de Stykker, som den sidste Tangent
afskaerer paa de to faste, regnede fra deres Skaeringspunkt,
har en konstant Sum.
116. Bevis, at ved Parablen kan si7ius af Vinklen mellem en
Tangent og Linien fra dens Roringspunkt til Parablens
Toppunkt aldrig vaere storre end \.
§ 32. Geometriske Konstruktioner ved Parablen.
Parablen, given ved Beliggenheden af Braendpunkt og
Ledelinie, kan ikke ko7itinuert konstrueres ved Passer og
Lineal; derimod kan man ad denne Vej bestemme saa mange
Punkter, man selv vil, af ovennaevnte Kurve, idet man soger
Skaering mellem Cirkler om Braendpunktet som Centrum og
Linier parallele med Ledelinien i Afstande, der er lig med
Cirklernes Radier.
Idet vi stedse taenker os Parablen given ved Beliggenheden
af Braendpunkt og Ledelinie, vil vi angive nogle vigtige
Konstruktioner vedrorende denne Kurve.
l^. Teg7i Tange7iten i et givet Pu7ikt M af Parablen.
Enten halveres Vinklen mellem Braendstraalen til M og
en Linie gennem dette Punkt parallel med Axen, eller man

75
tegner en Cirkel med Braendpunktet F som Centrum og EM
til Radius.
2^. Tegn Tange7iter7ie fra et givet Pu7ikt K til Par ab loi.
Det med Braendpunktet med Hensyn til den sogte Tangent
symmetriske Punkt bestemmes som Skaeringspunkt mellem
Ledelinien og en Cirkel med Centrum K og Radius KF\
hvis disse Skaeringspunkter er Qy og Q.^, vil Linierne vinkelrette
paa Midten af FQy og FQ^ vaere de sogte Tangenter;
Roringspunkterne bestemmes ved at skaere Tangenterne med
Linier gennem Qy og Q^ parallele med Axen.
Braendpunktets Projektion paa den sogte Tangent bestemmes
som Skaeringspunkterne Ry og R^ mellem Toppunktstangenten
og en Cirkel over KF som Diameter.
3^. Tegn til Parablen e7i Tange7it, der er parallel 77ied
en give7i Li7iie.
Punkterne Q og R i 2^ bestemmes ved Skaering mellem
Ledelinie eller Toppunktstangent og en Linie gennem F
vinkelret paa den givne Retning.
4^. Fi7id Sk

76
121. Konstruer en Parabel af to Tangenter, den enes Roringspunkt
og Toppunktet.
122. Konstruer en Parabel af to Tangenter og deres Roringspunkter.
123. Tegn en Parabelkorde lig og parallel med en given
Linie.
SJETTE KAPITEL.
ElHpse og Hyperbel.
§ 33* Symmetriaxerne som Koordinataxer.
Vi har i § 26 bevist, at de Kurver, der fremstilles ved
Ligningen
(33) y'^=px^qx\ q^o
har Centrum i Punktet (—/: (2^), 0], og at Ordinatlinien
gennem dette Punkt ligesaa vel som ;ir-Axen er Symmetriaxe
for Kurverne.
Vaeiger vi disse Symmetriaxer til Koordinataxer, parallelforskyder
vi blot y-Axen til ovennaevnte Centrum; vi skal
altsaa for x saette x—p:[2q), medens j holdes uforandret;
derved antager (33) Formen
^2
(33 a) qx^—y^ = ^. q = ei—l.
Aq
Vi indforer dernaest den positive Linie a, saaledes bestemt,
at
(33 b) —^=±ayP=:^2a (^2 _ i),
^q
hvor overste Fortegn svarer til Ellipsen [q

Indfores « og ^ i (33 a), antager denne Ligning Formen
(33 c) _^2_(i_^2)(^-2_^2),
der altsaa bliver den faelles Ligning for Ellipse og Hyperbel
i det ny Koordinatsystem; (33c) viser umiddelbart, at begge
Koordinataxer nu er Symmetriaxer for disse Kurver.
For at finde Koordinaterne til det i § 25 forekommende
Braendpunkt F og Ligningen for den tilsvarende Ledelinie /,
bemaerker vi, at (25 a) i Forbindelse med (33 b) giver
ek ^=- +

78
(33 0 EM = ^ 4- exy, FyM = a — eXy
og for Hyperblen, eftersom .r^ ^ o:
(33 g) FyM=a + exy, EM^ — a + eXy,
hvoraf henholdsvis for Ellipsen og Hyperblen
(33 h) EM + FyM = 2^, FyM— EM = 2^,
saa at vi har bevist Saetningen:
Ellipse og Hyperbel er geometrisk Sted for de Pu7ikter,
hvis 7iumeriske Afstande fra to giv7ie Pu7ikter har e7t give7i
Sum eller Differens.
Linien 2a kaldes Ellipsens störe Axe, Hyperblens forste
eller transverse Axe.
Ligningen (33 c) antager en anden Form, hvis vi indforer
Linien
(331) b = a^±{i-e%
derved erholdes nemlig
Ved Ellipsen kaldes Linien 2b Kurvens lille Axe, ved
Hyperblen dens anden Axe. Ved Ellipsen er 2b den Korde,
som Kurven afskaerer paa Ordinataxen; ved Hyperblen kan
vi derimod ikke tillaegge 2b en lignende geometrisk Betydning.
De fire Konstanter a, by p og e, som vi nu har indfort
ved Ellipse og Hyperbel, er forbundne ved Ligningerne
(331) +(,_,.) = ^ = A,
saa at vi kun behover at kende to af disse Konstanter for
at bestemme de ovrige.
Saettes e^=]2, kaldes Hyperblen ligesidet; man finder
af (33I)
(33 m) 2a = 2b=p,
saa at den ligesidede Hyperbel faar Ligningen
(33 n) x-^—y- = a^.

79
Af (33 1) finder man folgende ny Form for Asymptoternes
Ligninger
b
{330) y=±-x
Og for Retningskoefiicienterne til to konjugerede Diametre
Betingelsen
(33 P) tg?^. tgz; = + --•
a-
Vi har endnu tilbage at betragte Ligningen 72 _^;t;_^ ^;t;2
for q

8o
128. Find Ligningen for den Hyperbel, der gaar gennem
Punktet [c, d) og er konfokal med (har samme Braendpunkter
som) Ellipsen
X- Va-
/;-
§ 34. Ellipsen som retvinklet Projektion af Cirklen.
Ligningen for Ellipsen, der ifolge (33 k) kan bringes paa
Formen
(34) r-' = ^,(«^-n
leder naturlig til at sammenligne denne Kurve med Cirklen
{34 a) n^^a^-^\
der er konstrueret over Storaxen som Diameter. Saettes
nemlig i disse Ligninger ^ — ;f, faas uden Hensyn til Fortegnet
V b
(34 b ^ = ->
r
hvoraf folgende Saetning kan udledes:
Drejes Pla7ie7i Tned e7i Cirkel med Radius a en Vinkel v,
saaledes at cosv ^= b : a, vil Cirklens retvinklede Projektion
paa de7i oprindelige Pla7i blive en Ellipse med Halvaxerne
a og b.
Da Projektionerne af en vilkaarlig Figur paa parallele
Planer er kongruente, kan vi indskraenke os til at dreje
Cirklen (34 a) om Abscisseaxen. Da Ordinatlinierne i den
ny Stilling er vinkelrette paa Drejningsaxen, vil det samme
vaere Tilfaeldet med deres Projektioner paa den oprindelige
Plan, saa at Vinklen mellem enhver Ordinatlinie og dens
Projektion er v\ men dermed er ifolge en bekendt Projektionssaetning
og Formlen (34 b) vor Saetning bevist.
Samme Projektionssaetning giver endvidere folgende:
Ellipse7i Tned Halvaxer7ie a og b har Arealet nab.
Derimod kan Laengden af en Ellipsebue ikke findes ved
elementaere Midier.

8i
Endvidere faas folgende Projektionssaetning, analog med
den forrige:
Drejes Planen Tned en Ellipse med Halvaxer7ie a og b
^7n Lilleaxen e7i Vi7ikel v, saaledes at cos v — b\a, bliver
Ellipsens Projektio7i paa de7i opri7idelige Pla7t CirkleTi
(34 c) x'--\^y'- = b\
Beviset er analogt med det foregaaende.
Da en Kurves Tangent projiceres som Tangent til Kurvens
Projektion, udleder man umiddelbart folgende Tangentkonstruktioner
ved Ellipsen:
i^. Ellipseta7ige7ite7i med RoriTigspunkt A ko7istrueres.
idet Tna7i til Cirklen over Sto7'axe7i so77t DiaTfieter tegTier
Ta7igente7i i det Pu7ikt B, der har sani77ie Abscisse so77z A:
skcBrer Cirkeltange7ite7i Storaxe7is ForlcEngelse i C, vil AC
rore Ellipsen i A.
2^. Ta7igenter7ie fra et udve7idigt Pu7ikt A til EllipseTi
ko7istrueres, idet 7na7i bestemmer det Punkt B, hvis Ordi7iat
faas ved at Tnultiplicere OrdinateTi til A Tned a\ b; skeerer
Ta7ige7iter7ie fra B til Cirkle7i over Storaxe7i som DiaTneter
Storaxens ForlcETigelse i C og D. er CA og DA de sogte
Ellipsetange7tter-
Da et System af parallele Korder i Cirklen projiceres
som parallele Korder i Ellipsen, og da Midtpunktet af en
Korde projiceres som Midtpunkt i Kordens Projektion, ser
man, at:
Konjugerede Diametre i Ellipse7i er Projektioner af to
paa hi7ia7ide7i vinkelrette Cirkeldiafnetre.
Ved Hjaelp af denne Saetning er det let at bevise ogsaa
folgende:
Hl 'is E7idepunkter7ie af to konjugerede Halvdia77ietre i
e7i Ellipse Tned HalvaxerTie a og b er [Xy, yy) og [x^, y^j,
har Tna7t
(35 c) Xy^-\-x,^ = a\ j-2 4.^,^2 = ^2.
Heraf faas atter:
SuTfi7ne7i af Kvadraterne af to konjugerede HalvdiaTnetre
i en Ellipse Tned Halvaxerne a og b er a- -\- b^.
X. Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri. 6

82
Angaaende Ellipsens Form bemaerker vi, at denne Kurve
bliver en Cirkel for ^ = o, altsaa a = by men at den bliver
m^re og mere fladtrykt, jo mere e naermer sig til i. Holdes,
for e = ly Storaxen konstant, svinder Ellipsen ind til Segmentet
mellem [a, o) og (— a, o) regnet to Gange.
Ellipsen kan ikke koTitinuert konstrueres ved Passer og
Lineal; derimod kan man ad denne Vej bestemme saa
mange af dens Punkter, som man selv vil, idet man soger
Skaering mellem Cirkler, der tegnes om Braendpunkterne som
Centrer, og hvis Radiers Sum er lig med Ellipsens Storaxe.
En simplere Konstruktion angives af Formlen (34 b);
tegnes nemlig to Cirkler med Centrer i Begyndelsespunktet
og Radierne a og b, og skaerer en vilkaarlig Radius disse
Cirkler i henholdsvis A og B, vil Skaeringspunktet mellem
Ordinatlinien til A og en Linie gennem B parallel med
Abscisseaxen vaere et Punkt af Ellipsen. Tangenterne i A
og B til de to Kurver skaerer ;i:-Axen i samme Punkt.
Danner ovennaevnte Radius OA Vinklen v med Abscisseaxen,
faas for Koordinaterne til Ellipsepunktet B Udtrykkene
(34 d) X = a cos V, y =^ b sin v,
der undertiden med Fordel kan benyttes.
129. Bevis, at der mellem to ligedannede Ellipser, hvis Axer
falder ud ad hinanden, afskaeres ligestore Stykker af
en vilkaarlig ret Linie.
130. Bevis, at de Trekanter, hvori to Sider er konjugerede
Halvdiametre i en Ellipse, har det konstante Areal \ab.
131. Bevis, at den Trekant, der dannes af to Halvdiametre
i en ElUpse, har samme Areal som den Trekant, der
dannes af de konjugerede Halvdiametre.
132. Fra et Punkt i en Ellipse udgaar to Korder q og c^
parallele med to konjugerede Diametre dy og d^'y
bevis, at
r 2 /- 2
f?_ + ^ = I

83
§ 35* Den vilkaarlige Hyperbel som Projektion af den
ligesidede.
Den ligesidede Hyperbel spiller i Hyperblens Teori en
lignende Rolle som Cirklen i Ellipsens. Sammenlignes nemlig
de to Ligninger
(35) y' =
= ^'(^2_^2) ri2=E2 — ^2
a- j X .
faas for ^ ^ x
(35 a)
y b
hvoraf Saetningerne:
n a
Drejes e7i ligesidet Hyperbel med Axerne 2a om forste
Axe en ViTikel v, saaledes at cos v — b : a, vil dens Projektion
paa deTZ opri7idelige Pla7i blive e7i Hyperbel med Halvaxer7ie
a og b, hvor b

84
der netop udtrykker ovennaevnte Arealsaetning for den ligesidede
Hyperbel, hvorefter denne Saetning umiddelbart udvides
til at gaelde for en vilkaarlig Hyperbel ved Anvendelse
af de foregaaende Projektionssaetninger.
Ovennaevnte Arealsaetning kan ogsaa udtrykkes saaledes:
Den Treka7it, der dan7zes af e7Z vilkaarlig Tange7zt til en
Hyperbel Tned Halvaxerne a og b og deTznes to Asymptoter
har det konstante Areal ab.
Erindres det nemlig, at Roringspunktet er Midtpunktet af
det Segment, Asymptoterne afskaerer paa Tangenten, ser
man ved en simpel geometrisk Betragtning, at Trekantens
Areal bliver det dobbelte af det i den foregaaende Saetning
omtalte Parallelograms.
De foregaaende Projektionssaetninger giver os ikke nogen
synderlig Lettelse ved Konstruktionen af isolerede Hyperbelpunkter,
fordi den ligesidede Hyperbel ikke som Cirklen kan
konstrueres konti7Zuert ved Passer og Lineal.
Man kan konstruere saa mange Punkter, som man selv
vil, af en vilkaarlig Hyperbel ved at söge Skaering mellem
Cirkler, der tegnes om Braendpunkterne som Centrer, og
hvis Radier har Differensen 2a.
133. Bevis, at Ordinaten til et Punkt af den ligesidede
Hyperbel er lig med Laengden af den Tangent, der
kan tegnes fra dens Fodpunkt til Cirklen over Kurvens
Axe som Diameter.
§ 36. Ligningerne for Tangent og Polar.
For at overfore Ligningen for Tangent og Polar (29 b)
og (30 b), nemlig
2yyy =p[x ^ Xy) + 2qxxy,
i det Koordinatsystem, hvis Axer falder sammen med Kurvernes
Symmetriaxer saettes som for x—p : {2q) og Xy —/ : (2^)
i Stedet for henholdsvis x og Xy\ derved faas Ligningen

85
2yy^ = 2qxx^ —
hvoraf ved Anvendelse af (33 b) og (33 i) den S0gte Ligning
(36) ^1 + ^^'^ = I
^•5 > a-i - b"-
hvor overste og nederste Tegn som saedvanlig gaelder for
henholdsvis Ellipse og Hyperbel.
Ligningen (36) fremstiller derfor Tangenten med Roringspunktet
{x^, jj/i), saafremt dette Punkt falder paa Kurven, altsaa
hvis
(36a) ^ ± ^ = 1 .
«2 — ^>
Er denne Betingelse derimod ikke opfyldt, fremstiller (36)
Ligningen for Polaren med Polen [Xy, y^,
Ved Cirklen med Centrum (o, o) og Radius r faar Polaren
til {Xy, yy) derfor Ligningen
(36 b) XXy -\-yyy = ;'2.
falder Centrum derimod i {a, b), parallelforskydes Koordinatsystemet,
saa at Begyndelsespunktet falder i (—a, —b),
hvorved (36 b) antager Formen
(36c) {x^-a){x-a) + {y,-b){y-b) = rK
Af (36 b) faas strax Saetningen:
Ved Cirkle7Z er Polare7z vi7zkelret paa Forbindelsesli7zie7z
TnelleTn CeTitrum og Pole7z.
For at bringe Tangentligningen (36) paa Normalform,
maa vi bestemme d ved a, a og b, saaledes at
X cos a + _>' sin a = ^
bliver ide7ztisk med (36); dertil kraeves Betingelserne
cos a sin a d
hvoraf under Anvendelse af (36 a)

86
a cos a b sin a
d = = = -f I ^2 cos2 a + If- s\n- a,
(^) {±'1) "
saa at Tangentens Ligning paa Normalform derfor bliver
(36 d) X cos a + j^' sin a = + ]a'~ cos2 a + b^ sin2 a,
hvor det forste dobbelte Fortegn paa hojre Side viser, at
der muligvis kan traekkes to Tangenter, hvis Normal danner
Vinklen a med Abscisseaxen, medens det sidste dobbelte
Tegn svarer til Ellipse og Hyperbel.
En Diskussion af (36 d) forer os let til det i § 29 angivne
Resultat om Hyperbeltangentens Vinkel med Axen i Sammenligning
med Asymptotens Vinkel med den samme Linie.
Saettes endelig i (36 d) a + '— i Stedet for a, faas
(36 e) — xsina -{- y cos a = + ]/a'- sin2 a + b^ cos2 a;
elimineres derpaa a mellem (36 d) og (36 e), hvilket sker ved
at kvadrere og addere de to Ligninger, faas det geometriske
Sted for de Punkter, hvorfra Tangenterne til Ellipse og
Hyperbel staar vinkelret paa hinanden, nemlig Cirklen
(36 f) ;ir2+j2^^2 + ^2
Heraf folger, at dette geometriske Sted altid existerer for
Ellipsen, men kun for de Hyperbler, for hvilke b

87
§ 37- Tangent og Normal.
For Ellipse- og Hyperbeltangenten med Roringspunktet
M [Xy^ yy) fandt vi i § 36 Ligningen
XXy m _ -
ß2 ^ ^2
der viser, at denne Linie afskaerer Stykkerne
(37 -, + -
xx yx
af jr-Axen og j-Axen; disse Udtryk stemmer overens med
de i §§ 34, 35 udledte Projektionssaetninger, idet de viser, at
Tangenter til Ellipser eller Hyperbler med samme transverse
Axe skaerer denne Axe i samme Punkt, naar deres Roringspunkter
har samme Abscisse.
Den vinkelrette paa Tangenten i M, der kaldes Normalen
til My faar Ligningen
(37 a) y-yi = +f^(^--^i);
denne Linie skaerer derfor ;ir-Axen i Punktet N med Abscissen
^,(i + ^) = .2^„
saa at N faar Koordinaterne {e~Xy, o), medens Skaeringspunktet
T mellem Tangenten og ;i;-Axen faar Koordinaterne
{a~:xy, o).
Da Projektionen P af M paa .^ir-Axen har Koordinaterne
{Xy, ö), kan man nu uden Vanskelighed finde Laengderne af
Subtangenten PT og af Subnormalen PN. Vi vil ikke opholde
OS ved at nedskrive disse Udtryk, men strax gaa over
til at bevise Saetningen:
Tangent og Nor77ial ved Ellipse og Hyperbel halverer
Vinkler7ze T7telle7n Br

88
y, {a^ - XX,) = y {a^ - x^) = ± ^^.
altsaa Tangentens Ligning. Saettes derimod venstre Sider i
{37 b) ligestore med modsat Tegn, faas paa samme Maade
Normalens Ligning.
Undersoges Afstandene fra (37 b) til (o, o), ser man, at
ved Ellipsen halverer Normalen det Par Topvinkler, hvori
Centrum ligger, omvendt ved Hyperblen.
Dernaest vil vi bevise Saetningen:
Det geoTneiriske Sted for Brcendpunkternes Projektioner
paa Ta7igenter7ze er en Cirkel Tned Radius a og m.ed CentruTn
i Kurvens Ce7ztru77z.
Skrives Tangentens Ligning paa Formen (36 d), altsaa
(37 c) ;r cos a +7 sin a = + ^Id^ cos- a + ^2sin2 et,
faar den Vinkelrette paa Tangenten fra Braendpunktet {^aeyO)
Ligningen
/ i\ / — \. ,, sin a cos a
(37 d) y = [x -\- ae) tg a eller — —— ;
da nu (37 c) er homogen af forste Grad i cos a og sin a,
kan disse Storrelser ifolge (37 d) erstattes med henholdsvis
X'^ ae og y'y derved faas under Anvendelse af Identiteten
± b^ = ^2_^2^2.
eller
[x^ + ^2 ip aex)'^ = a^x+ aef + aY' — a'-eY'^
[31 e) [x^' +r^- a^ (72 + (^ + acY) = o,
saa at det geometriske Sted faar Ligningen
(37 f) ,r2_,__^2_^2.
den anden Faktor paa venstre Side i (37 e) giver intet virkeligt
geometrisk Sted; dette forklares paa samme Maade som
i § 31.
Det vil nu vaere let at bevise ogsaa folgende Saetning:
Det geo77zetriske Sted for de med det e7ie Brce7zdpU7zkt
T7zed He7isy7i til Ta7Zge7zter7ie sy7nmetriske Punkter er e7z Cirkel
Tned Radius 2a og Ce7ztrzi7n i det andet Brcsndpmzkt.

89
Kaldes nemlig det med (+ aCy o) med Hensyn til Tangenten
symmetriske Punkt {x, y), maa Midtpunktet mellem
disse to Punkter tilfredsstille (37 f); derved faas ifolge (i d)
for Punktet [x, y) folgende geometriske Sted
[x ± aeY + y^ = 4?iK
136. Fra Braendpunkterne i en Ellipse faeldes Vinkelrette
paa en Tangent, og ethvert af Fodpunkterne forbindes
med det andet Braendpunkt. Bevis, at disse Forbindelseslinier
skaerer hinanden paa den tilsvarende Normal, og
find det geometriske Sted for dette Skaeringspunkt,
naar Tangentens Roringspunkt gennemlober Ellipsen.
137. Ved Ellipse og Hyperbel traekkes to Tangenter, hvis
Roringskorde gaar gennem det ene Braendpunkt; bevis,
at P'orbindelseslinien gennem Tangenternes og de to
tilsvarende Normalers Skaeringspunkt gaar gennem et
fast Punkt.
138. Find Ligningen for den Cirkel, der er omskreven om
den retvinklede Trekant, der dannes af en Ellipses lille
Axe og Tangent og Normal til et vilkaarligt af Ellipsens
Punkter, og vis, at denne Cirkel gaar gennem
Braendpunkterne.
§38. Geometriske Konstruktioner ved Ellipse og Hyperbel»
Idet vi taenker os Ellipsen eller Hyperblen bestemt ved
Beliggenheden af Toppunkterne A og Ay og Braendpunkterne
F og Fyy vil vi lose folgende fundamentale Konstruktionsopgaver
vedrorende disse Kurver:
10. Ko7ZStruer Ta7zge7zt og Normal til et givet Pu7zkt M
af Kzcrven.
Dette sker ved at halvere Vinklerne mellem Braendstraalerne
EM og FyM.

90
2^. TrcBk Ta7tge7zterne fra et givet Pu7zkt K til
Kurve 71.
a) Betegnes Skaeringspunkterne mellem Cirklen med Centrum
F og Radius 2a og Cirklen med Centrum K og Radius
K.Fy ved Qy og Q.^, vil disse Punkter ligge symmetrisk med
Fy med Hensyn til de sogte Tangenter. Disse Tangenter
konstrueres derfor som de Vinkelrette paa Midten af Linierne
FyQy og FyQ^y mcdctts Roringspunkterne findes som Skaeringspunkter
mellem Tangenterne og henholdsvis FQy og FQ^.
ß) Skaeringspunkterne mellem de to Cirkler, der konstrueres
over KFy og AAy som Diametre, bliver Projektionerne
af Fy paa de sogte Tangenter, saa at disse Tangenter findes
ved at forbinde de ovennaevnte Skaeringspunkter med K.
3^. Trcsk Ta7igenter i en give7z Ret7zing til Ellipse og
Hyperbel.
Skaeringspunkterne mellem Cirklen over AAy som Diameter
og den Vinkelrette fra et af Braendpunkterne paa
den givne Retning ligger paa hver sin af de sogte Tangenter.
4^. Fi7zd SkcBri7zgspu7ikterne melleT7z e7z give7z ret Linie
og Ellipse7z eller Hyperble7z.
Tegnes en Cirkel med Centrum F og Radius 2a, og betegnes
et af de sogte Skaeringspunkter ved M, maa Cirklen
med Centrum i M og Radius FyM berore den forrige, saa
at Opgaven er reduceret til at tegne en Cirkel, der har Centrum
paa den givne Linie, gaar gennem Fy og rorer den
ovennaevnte givne Cirkel. Er Gy det med Fy med Hensyn
til den givne Linie symmetriske Punkt, gaar den sogte Cirkel
ogsaa gennem Gy, hvorved Opgaven er reduceret til den i
§ 21 loste.
Vi vil endnu i denne Sammenhaeng lose den analoge
Opgave:
5^. Fi7zd Sk(Eri7igspunkter7ze mellem e7z give7Z ret Linie
m^ og Ellipse eller Hyperbel givne ved Exce7iticitete7z og Beliggenhede7z
af et BrcBndpu7zkt F og e7z Ledelinze /.
Idet P betegner Skaeringspunktet mellem / og Tn, traekkes
Linien EP, medens K er et vilkaarligt Punkt paa ;;/, saa-

91
ledes at Afstanden fra / til K er p. Hvis dernaest Cirklen
med Centrum K og Radius e .p skaerer EP i A og B, vil
Linier gennem F parallele med AK og BK skaere TTZ i de
sogte Punkter.
139. Konstruer en Ellipse eller Hyperbel, naar man kender
Beliggenheden af to Tangenter og Centrum samt Laengden
af den störe eller transverse Axe.
140. Konstruer en Ellipse af en Tangent og den störe Axes
Endepunkter.
141. Konstruer en Ellipse eller Hyperbel, naar man kender
Beliggenheden af tre Tangenter og et Braendpunkt.
142. Bestem Skaeringspunkterne for to ElUpser, der har et
Braendpunkt faelles.
143. Konstruer en Ellipse eller Hyperbel af to Tangenter, et
Punkt og et Braendpunkt.
144. Traek i en Ellipse eller Hyperbel en Korde af given
Laengde og Retning.
145. Konstruer Skaeringspunkterne mellem en Ellipse eller
Hyperbel og en dermed koncentrisk Cirkel.
SYVENDE KAPITEL.
Ligningen af anden Grad i x og z/.
§ 39. To rette Linier.
Den almindelige Ligning af anden Grad i x og y kan
bringes paa Formen
(39) Ax""^ + Bf- + 2Cxy + 2Dx + 2Ey -^ F ^ o,
hvor Koefficienterne er uafhaengige af x og y.

92
Vi har allerede i § 19 angivet de nodvendige og tilstraekkelige
Betingelser, som Koefficienterne i (39) maa tilfredsstille,
for at denne Kurve kan vaere en Cirkel; vi vil
her, inden vi gaar over til den almindelige Diskussion af
(39), angive Betingelsen for, at denne Ligning kan fremstille
to rette Linier.
I dette Ojemed parallelforskyder vi Koordinatsystemet,
saa at {a, b) bliver Begyndelsespunkt; ifolge (7) skal vi da
erstatte x og y med henholdsvis x -\- a og y + b; derved
faas en Ligning af samme Form som (39), nemlig
(39 a) Ax^ + By^ + 2Cxy + 2DyX + 2Eyy -^ Fy = o,
hvor vi for Kortheds Skyld har sat
( Dy=Aa-{-Cb + D
(39b) Ey = Ca + Bb + E
[ Fy = Aa^ + Bb^ + 2Cab + 2Da + 2Eb + F.
Skal (39) nu fremstille to ikke parallele rette Linier, kan
vi lade det vilkaarlige Punkt {a, b) vaere disse Liniers endnu
ubekendte Skaeringspunkt. Er dette Tilfaeldet, maa (39 a)
ifolge § 18 blive homogen af anden Grad i x og y; altsaa
A =Ey = Fy =0;
erstattes den sidste af disse Ligninger med
Fy — aDy — bEy = o,
faas til Bestemmelse 2i{ a og b Ligningerne
Aa+ Cb + D = o
(39 c) I Ca -{- Bb + E =0
Da + Eb-{- F = Oy
der altsaa maa tilfredsstilles af samme endelige og bestemte
Vaerdisaet for a og b. En n0dve7zdig Betingelse herfor er, at
(39 d)
A C D
C B E
D E F
= o;

93
men ifolge § i6 kraeves det tillige, at hojst en af Underdeterminanterne
(39 e) AB—C\ AE—DC, CE—DB
er Nul.
AB— C- kan ikke forsvinde; ti saa blev, ifolge § i6,
de to forste Ligninger (39 c) identiske; altsaa
A_^_D^
C~ B~E'
hvoraf igen fulgte, at alle tre Underdeterminanter (39e) maatte
forsvinde; dermed har vi altsaa bevist Saetningen:
De nodvendige og tilstrcekkelige Betingelser for, at (39)
fremstiller to ikke parallele rette Li7zier, er, at Deter7ni7za7zte7z
(39 d) forsvi7zder, og at samtidig AB ^ C^.
For at undersoge Tilfaeldet AB = C-, bemaerker vi, at
^ og ^ da maa have samme Fortegn, saa at vi uden Indskraenkning
kan taenke os begge disse Koefficienter positive',
men da erholdes
(39 f) Ax^ + Z?y j^2Cxy = {xiıyi^y.
hvor Fortegnet for '^B paa hojre Side skal vaere det samme
som Fortegnet for C, naar A og B i (39) er positive.
Skal nu ogsaa i dette Tilfaelde (39) fremstille to rette
Linier, kan disse ifolge det foregaaende kun vaere parallele
eller samme7zfalde7zde\ ovennaevnte Ligning maa derfor antage
Formen
(39g) {xi'A±yiB^p){xi~A±yiB^q)=o\
Ligningerne (39) og (39 g) kan imidlertid da og kun da vaere
identiske, naar
2D 2E
(39h) ;, + , = _ = - ^ . pq = F,
saa at den sogte Betingelse ojensynlig bliver
(39 i) E\^^ ±Di^.

94
Det er imidlertid let at vise, at med Betingelsen AB — Cer
de to Ligninger (39 d) og (39 i) idcTztiske; udregnes nemlig
Determinanten i (39 d), reduceres Ligningen (39 d) til
hvoraf, idet C = ± iAB,
D [CE — DB) — E {AE—DC) = o,
(^y^ + Di^)^=Oy
hvilket netop er (39 i); altsaa har vi nu bevist folgende
almindelige Saetning:
De7z n0dve7zdige og tilstrcekkelige Beti7igelse for, at (39)
fremstiller to rette Li7zier^ er at Determina7zte7z (39 d) forsvinder.
Heraf folger igen den rent algebraiske Saetning:
Den n0dve7zdige og tilstrcekkelige BetiTzgelse for, at Poly-
7zomiet af a7zden Grad i x og y paa venstre Side af (39)
kan oploses i et Produkt af to Poly7zomier af forste Grad i
X og y, er at Koefficie7zter7ze tilfredsstiller (39 d).
Hvis Betingelsen (39 d) er opfyldt, findes Ligningerne for
de to ved (39) fremstillede rette Linier ved at lose (39) med
Hensyn til x eller y.
146. Bestem k ved ay saaledes at Ligningen
X- + ay^ + (ö^ + \)xy -^-{1 — a)y + >^ = o
fremstiller to rette Linier.
147. Undersog Ligningerne
4^' —3j'+4^ + i = o, 4^^+J^^+4^7 + i4^ + 7J^+i2=o.
148. Find den Ligning, der under et fremstiller de to Linier,
som halverer Vinklerne mellem de to rette Linier i (39).
§ 40. Ellipse eller Hyperbel.
Vor almindelige Diskussion af (39) maa ligeledes deles i
to Tilfaelde, eftersom AB J C- eller AB = C'\

95
Hvis AB-^C-, foretager vi den samme Parallelforskyd­
ning af Koordinatsystemet som i § 39, hvorefter a og b be­
stemmes, saaledes at
^. i Dy=Aa+ Cb-^D = o
\ Ey = Ca +Bb + E = o,
hvilket er muligt under ovenn^vnte Forudsaetning. Dernaest
kan Fy ved Anvendelse af (40) findes af Ligningen
(40 a) /)a + Eb + F — Fy = o.
Det er imidlertid muligt at bestemme Fy direkte uden
forst at finde a og b af (40). Elimineres nemlig paa saedvanlig
Maade a og b af de tre lineaere Ligninger (40) og
(40 a), faas
A C D
(40 b) C B E = o,
I D E F—Fy
hvilken Ligning ikke indeholder andre Ubekendte end Fy.
Efter denne Reduktion har vi nu tilbage at betragte
Ligningen
(40c) Ax'^ + By^ + 2Cxy -\-Fy=o,
der maa fremstille en Kurve med Centrum i Punktet (o, o);
hvis nemlig (40 c) tilfredsstilles af Koordinaterne til Punktet
{Xy y)y vil det samme vaere Tilfaeldet med Koordinaterne til
(—X, —y). ForbindelsesUnien mellem disse to Punkter gaar
imidlertid gennem (o, o) og halveres af dette Punkt,
For at diskutere (40 c), drejer vi Koordinatsystemet
Vinklen z' om Begyndelsespunktet og disponerer over v saaledes,
at Leddet Xyyy falder ud af den ny Ligning, der altsaa
bliver af Formen
(40 d) A^i' + ^xyx' + ^x=o;
for at bestemme v og Koefficienterne Ay og By drejer vi
det ny Koordinatsystem Vinklen — *^ og maa derved fra
(40 d) komme tilbage til (40 c).

Anvendes (7 d), faas
96
Xy ^=^ X cos V + y sin Vy yy = — xsinv -\- y cos 7',
hvoraf ved Indsaettelse i (40 d) og Sammenligning med (40 c)
A =^ Ay cos2 zj -[- By sin2 v
(40 e) l B — Ay sin2 z^ + ^5^ cos2 e/
(T = [Ay — By) cos ^^ sin v.
Af de to forste af disse Ligninger findes ved Addition
(40 f) A-hB=Ay+By,
medens en simpel Regning endvidere giver
(40 g) AB-C^ = AyBy,
saaledes at Ay og By kan bestemmes som Rodder i den
kvadratiske Ligning
(40 h) s'' — {A+B)z + AB—C^ = o.
Vil vi tillige bestemme Vinklen v, faas umiddelbart af (40e)
(40 i) tg 2V
2C
A - B
Ligningen (40 i) giver i Almindelighed for v fire Vaerdier
i de fire forste Kvadranter; dette stemmer med, at Koefficienterne
Ay og By indgaar symmetrisk i (40 h), og at (40 d)
kun indeholder Kvadraterne paa Xy og yy.
Sammenholdes Ligningerne (40 d) og (40 g), faas Saetningen
:
Hvis Determi7za7zte7z (39 d) ikke forsvi7zder, og Lig7zi7zgen
(39) overhovedet frcTnstiller nogeTZ Kurve, vil de7Z7ze v(Ere e7z
Ellipse eller e7z Hyperbel, eftersoTn AB^ C-.
Af (40 f) og (40 g) faas endvidere:
Underkastes Koordinater7ze i (39) e7i vilkaarlig 2Endri7zg,
vil A -j- B og AB— C~ stedse beholde de samTne VcBrdier.

149- Undersog Ligningen
97
84.^2 + giy^ + 24xy + 36OX — 4ioy + 175 = o.
150. Find det geometriske Sted for Centrum i de Keglesnit,
der fremstilles ved
{4x — 3y) {y— 3) + ^{x—3) (27 — 3x) = o,
idet T7i varierer.
§ 41. Parablen.
I det specielle Tilfaelde, hvor AB = C^, taenker vi os
som for A og B positive; (39) kan da skrives paa Formen
(41) {xiıyi^y + 2Dx-\- 2Ey + F=o,
hvor Fortegnet for \ B er det samme som Fortegnet for C i
den saaledes ordnede Ligning (39).
For at diskutere (41) drejer vi Koordinatsystemet Vinklen ^,
bestemt ved
(41 a) sin V = j / ^ : ^ ' cos z. = + ] / ^ - ^ '
hvilket er muligt, fordi Summen af disse reelle Tals Kvadrater
er I. Anvendes dernaest de saedvanlige Drejningsformler
(7 d), faas
hvorefter (41) antager Formen
xiÄ ±y]:B ^ -fÄr~-f:B .y„
(41 b) JI/1-' + 2D^X^ + 2^1 jKi + /^i = o,
idet vi for Kortheds Skyld har sat
(41c)
[A + Bf . E^ = —Di~Ä + E^^
\ [A + B).F, = E
N. Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri

98
Dernaest parallelforskydes Koordinatsystemet, saaledes at
Punktet [a, b) bliver Begyndelsespunkt; derved antager (41 b)
Formen
(41 d) yy^ + 2DyXy + 2(^1 + b)yy + 2Dya + 2Eyb-}-b^' + Fy = o;
vi soger nu at bestemme a og by saaledes at (41 d) antager
den simplere Form
(41 e) yy'^-i- 2DyXy =0;
dertil kraeves Betingelserne
f ^^-£^
(41 0 E,^-E,
[ "--2zr"'
som viser, at denne Bestemmelse 3.f a og b da og kun da er
mulig, naar Dy-^0.
Dette maa imidlertid altid vaere Tilfaeldet; ti var Z?^ = o,
viser (41 c) i Forbindelse med (39!), at Determinanten (39 d)
maatte forsvinde; vi har derfor her bevist Saetningen:
Hvis AB = C-, og Determi7za7zte7z (39 d) ikke forsvinder^
ka7i LigTzingeTZ (39) ikke fremstille nogeTZ ande7Z Kurve end
€71 Parabel.
151. Undersog Ligningen
I44.;ir2 + 25^2 _|_ Y20xy + ^2x + yt^4y + 1521 = O.
152. Find Ligningen for en Parabel, der gaar gennem
Punkterne (o, a) og (o, b), og som tillige rorer ;ir-Axen;
find endvidere Parablens Axeretning.
§ 42. Oversigt over Diskussionen af Ligningen (sg),
F'or Oversigtens Skyld vil vi her under et samle de
Resultater, vi i det foregaaende har udledt om Ligningen af
anden Grad i x og y:
(42) Ax^ + By'- + 2Cxy + 2Dx + 2Ey -^ F = o.

99
I. Hvis Deter7ninante7i (39 d) forsvinder, fremstiller (42)
to rette Linier, der bliver parallele, hvis tillige AB = C-.
Ligningerne for disse to rette Linier findes ved at lose
(42) med Hensyn til en af de Ubekendte x eller y.
Da man altid kan bortdividere en af Koefficienterne i
(42), ser man, at denne Ligning i dette Tilfaelde i Almindelighed
maa indeholde 7?r^ af hinanden uafhaengige Konstanter,
i det ovenfor naevnte specielle Tilfaelde derimod kun tre.
For at bestemme Antallet af Liniepar, som gaar gennem
fire, eller specielt tre, opgivne Punkter, indsaettes Koordinaterne
til de givne Punkter i (42). Efter at en af Koefficienterne
er bortdivideret, kan man af de saaledes erholdte
Ligninger i Forbindelse med (39 d), og specielt tillige i Forbindelse
med den yderligere Betingelse C^- = AB, bestemme
Forholdene mellem ovennaevnte Koefficienter. Opgaven faar
tre Losninger, hvilket ogsaa let eftervises ved Konstruktion.
Linieparrenes Ligninger findes dog lettere ved Anvendelse
af (lod).
II. Hvis Determi7zante7z (39 d) ikke forsvi7ider, og (42)
overhovedet freTnstiller nogcTZ Kurve, bliver de7i7ie en Cirkel,
dersoTfi A ^= B og C=^ O, T7ze7z e7i Ellipse, Parabel eller
Hyperbel, eftersom AB = C^.
Bestemmelsen af Cirklens Konstanter har vi allerede vist
i § 19-
Ellipsens eller Hyperblens Axer bestemmes ved Ligningerne
(40 b), (40 d) og (40 h), Koordinaterne til Centrum og
Axernes Retninger ved henholdsvis (40) og (40 i).
Ved Parablen bestemmes Parametren ved den forste af
Ligningerne (41 c), Axeretningen ved (41 a) og Toppunktets
Koordinater ved (41 f).
Skal Ligningen (42) fremstille en Cirkel, kan den kun
indeholde tre af hinanden uafhaengige Konstanter, ved Parablen
derimod fire og ved Ellipse eller Hyperbel fem saadanne.
Cirklens Bestemmelse ved tre Punkter er allerede gennemfort
i § 20.
For at bestemme en Parabel gennem fire Punkter gaar
vi ud fra Ligningen (41), efter at vi har bortdivideret A eller
7*

ICO
B\ de fire Konstanter kan da bestemmes af de Ligninger,
der udtrykker, at de fire givne Punkter skal ligge paa
Kurven. Denne Opgave faar i Almindelighed to Losninger.
En Ellipse eller en Hyperbel er derimod entydig bestemt
ved feTH opgivne Punkter.
153. Omskriv Ligningen (42) i polaere Koordinater, idet
[xy, y^ tages til Pol, medens Polaraxen er parallel
med Abscisseaxen, og find derved Ligningerne for
Tangent og Polar samt et Kordesystems Diameter.
154. Find Ligningerne for de Liniepar, der gaar gennem
Punkterne (i, i), (3, 4), (2, 7) og (5, 3).
155. Find Ligningerne for de Parabler, der gaar gennem de
i 154 opgivne Punkter.
§ 43. Bundter af Keglesnit.
Vi har i det foregaaende set, at der i Almindelighed kan
laegges et og kun et Keglesnit gennem fem opgivne Punkter;
gennem fire saadanne kan der derfor i Almindelighed laegges
et ubegraenset Antal af saadanne Kurver; disse siges da at
danne et BuTzdt af Keglesnit.
Bemaerkes det, at to Keglesnit i Almindelighed skaerer
hinanden i fire Punkter, fordi de fremstilles ved Ligninger af
Formen
(43) S ^Ax^ + By^ + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + /^ = o
(43 a) Sy = AyX'- + Byf + 2 CyXy + 2DyX + 2Eyy + Fy=Oy
kan Ligningen for et vilkaarligt Keglesnit i det Bundt, der
er bestemt ved Skaeringspunkterne mellem 5 = o og 5^ = o,
fremstilles paa Formen
(43 b) S+ kSy = o,
hvor k er en vilkaarlig a( x og y uafhaengig Konstant.
For fuldstaendig at bestemme et vist Keglesnit i Bundtet
(43 b) maa der opgives endnu en Betingelse, som dette skal

IUI
tilfredsstille, og som tillader os at bestemme den tilsvarende
Vaerdi af k.
Vi vil naermere betragte et Par Exempler:
i^. Hvilke7Z Betingelse Tnaa Koefiicienterne i S og Sy
-tilfredsstille, for at Bundtet (43 b) kan indeholde en Cirkel.-
Hertil kraeves aabenbart
altsaa:
A-\-kAy=B + kBy, C+kCy=o\
A — B _ C
" - Ay-By- Cy'
saa at den sogte Betingelse derfor bliver
(43 c) [A-B)Cy=^{Ay-By)C'y
man ser, at denne Betingelse altid er opfyldt, hvis de to
Keglesnit S = 0 og Sy = o har begge deres Symmetriaxer
faldende ud ad hinanden.
Som andet Exempel saetter vi
Cirklen
5 = 3;t:2 _|_ ^y2 j^ ßxy + 2x + 2y — 4
Sy = 3x^ + Sy- + i^xy -\- x+ y — g-y
[^ + kr- + {y + kY^l
vil da gaa gennem de fire Skaeringspunkter for Keglesnittene
5 = o og 5^ = 0.
2^. Hvorvidt ka7z 7Z0get af KegleS7zittene (43 b) v

Korden AB har Ligningen
102
(43 d) y = a(^x — ^;
dens Midtpunkt faar derfor ifolge (28 b) Koordinaterne
(— -4- ^H,' —), saa at ovennaevnte Cirkels Ligning maa blive
4 2a2 2a/ ^ ^
af Formen

10^. KJ
(43 h) y^ax + ^ = o,
4
medens Cirklen over AB som Diameter faar Ligningen
(43i) ..+,.-(1 + 5).-^, = i^.
156. Find Ligningen for den Cirkel, der gaar gennem Skaeringspunkterne
for Keglesnittene
157. Find Ligningen for den Cirkel, der gaar gennem Skaeringspunkterne
for Kurverne
X"^ 1/2
samt for en vilkaarlig Cirkel i det Bundt, der bestemmes
ved disse Kurvers reelle Skaeringspunkter.

TILL^G.
Bemaerkninger om Tangentens Ligning.
Vi fandt i § 29 Ligningen
(i) {2yy^-p{x^x^~2qxx^'^=^ä,{y''-px-qx'^){y^'^-px^-qx^^\
der under et fremstiller de to Tangenter, som muligvis kan
traekkes fra Punktet [x^, y^) til Keglesnittet med Toppunkt
i (o, o).
Anvendes derimod det i § 33 indforte Koordinatsystem,
antager (i) Formen
for Cirklen faas derfor specielt
(3) {XXy ^yyy — r^f = [x^ + y'^ - r^) [Xy'^ -^yy'- r%
saa at denne Ligning maa vaere identisk med (22 h).
Man erindrer sig let disse Tangentligninger, naar man
bemaerker Analogien mellem ethvert af de der forekommende
treleddede Udtryk og venstre Sider af Tangentens eller Kurvens
Ligninger, naar alle Led samles paa denne Side af Lighedstegnet.
Ovennaevnte Ligninger viser, at Tangenterne fra et Punkt
{Xy, yy), som ikke ligger paa Kurven, kun kan existere, naar
de to Faktorer paa hojre Side har samme Fortegn, idet
{x,y) betyder et hvilketsomhelst Punkt paa en af Tangenterne,

105
Roringspunkterne dog undtagne. Dette kan imidlertid kun
indtraeffe. naar begge de ovennaevnte Faktorer er positive.
altsaa naar {Xy, y^ ligger udenfor Kurven. I modsat Tilfaelde
maatte den forste Faktor nemlig kunne blive baade positiv

(5)
c
io6
2b— p
hvor det reelle Tal / skal tilfredsstille Betingelsen
I nr I
(6) \P\< ac
Da nu, ifolge (5) og (6), | a | >> | ^ | *: j ^3: |, faas \a\'^ K, naar
blot \a\

naar blot
107
,a\>K, |3|>/v,
1?'
K{i+]c + c)
hvoraf den ny Saetning:
Hvis c er et e7zdeligt og bestemt Tal, er det Tnuligt at
bestemme et positivt Tal ö, saa lille. at de nu7neriske VCÜ7dier
af begge Rodder z (i) bliver storre end et forzcd opgivet,
7zok saa storty positivt Tal K, 7zaar blot samtidig \a\ og \b\
er mindre e7zd c5.
De to lige beviste Saetningers Anvendelighed paa Teorien
for Hyperblens Asymptoter er aabenbar.
Betyder nemlig v den mindste positive Vinkel, for hvilken
tg^ = + \qy
medens 0 er den i (27) forekommende Retningsvinkel, er
det muligt at göre |z' + 0| saa lille, at den numeriske Vaerdi
af Afstanden fra det vilkaarlige Punkt [Xy, y^ til det ene
Skaeringspunkt mellem Hyperblen og den rette Linie bliver
storre end et forud opgivet, nok saa stört, positivt Tal.
Hvis tillige [Xy, yy) tilfredsstiller Betingelsen (27 d), er det
muligt at vaeige \v ^ Q \ saa lille, at begge Afstandene fra
{Xy, yy) til Hyperblens Skaeringspunkter med den rette Linie
faar ovennaevnte Egenskab.
Vi overlader det til Laeseren, ved Anvendelse af Ulighederne
(4), at bevise, at Ligningen
y- = px + qX'
vil fremstille en Kurve, der bestaar af en eller to ko7zti7zzterte
Grene.

;•"

1
'

-vT
,x^ ^J^^
^
r
^g
^ ^ ^
^iB^->^ ^^^^^^^
fc^>^^'!>5fl8^fc^
^ ^
^ ßBfjjriOn
WA
m
MM
^m
^^^^^^H
^—^^^1