Armerede bjælker

BETONELEMENTER, SEP. 2009 BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 

6 ARMEREDE BJÆLKER 

6 ARMEREDE BJÆLKER 1 

6.1 Brudgrænsetilstande 3 

6.1.1 Bøjning 3 

6.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode 3 

6.1.1.2 Kanttøjning 5 

6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 5 

6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering 8 

6.1.2 Forskydning 9 

6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden 10 

6.1.2.2 Minimumsarmering 15 

6.1.2.3 Dimensioneringsforløb 15 

6.1.3 Vridning 17 

6.1.3.1 Kombineret vridning og forskydning 19 

6.1.4 Beregning af forankringskraft 20 

6.1.4.1 Forankring ved ren forskydning 20 

6.1.4.2 Forankring ved ren vridning 21 

6.1.4.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning 22 

6.1.5 Eksempel – Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden 23 

6.1.5.1 Beregningsforudsætninger 23 

6.1.5.2 Bøjning 23 

6.1.5.3 Forskydning 25 

6.1.5.4 Vridning 28 

6.1.5.5 Kombineret vridning og forskydning 30 

6.1.5.6 Forankringskraft 31 

6.2 Anvendelsesgrænsetilstande 32 

6.2.1 Udbøjning 32 

6.2.1.1 Krybning 32 

6.2.1.2 Svind 32 

6.2.1.3 Tension stiffening 33 

6.2.1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit 35 

6.2.1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit 36 

6.2.2 Revnevidder 38 

6.2.3 Eksempel – Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden 39 

6.2.3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit 41 

6.2.3.2 Udbøjning for urevnet tværsnit 42 

6.2.3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet 42 

6.1


6.2.3.4 Revnevidder 44 

6.2


6.1 Brudgrænsetilstande 

I dette afsnit beskrives beregning af slapt armerede bjælker i det regningsmæssige brudstadie. Afsnit- 

tet omhandler dimensionering af bjælker udsat for bøjning, forskydning og vridning. Desuden angives 

en beregningsmetode til bestemmelse af den forankringskraft, som skal anvendes ved eftervisning af 

armeringens forankring ved vederlaget. 

6.1.1 Bøjning 

I forbindelse med styrkeeftervisning af slapt armerede betonbjælker anvendes den generelle metode 

for tværsnitsanalyse i EC2. Den generelle metode baserer sig på en ikke-lineær arbejdskurve af beto- 

nen og en lineær-elastisk ideal-plastisk arbejdskurve af armeringen. 

6.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode 

Tværsnittets ligevægtsbetingelser i brudgrænsetilstanden opstilles som beskrevet i afsnit 2.1.1. Her 

blev betonens trykbidrag til ligevægtsligningerne fundet. I dette afsnit findes armeringsbidraget og 

ligevægtsligningerne for en bjælke opstilles og løses. 

c1 

cc 

b 

h 

Nac 

Nc 

c2 N at2 

c 

Nat1 

Figur 6-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse 

y’ 

Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal A sc og to lag trækstænger 

med arealerne A st1 og A st2 og med den geometriske placering givet ved c c, c 1 og c 2. 

For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i tværsnitskanten 0, kan 

de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives 

som: 

0 

6.3 

x 

MRd


sc 

0 

st1 

0 

st 2 0 

x cc 

x 

h x 

x 

c1 

h x 

x 

c 

2 

Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved: 

Trykarmeringen 

Trækarmeringen 

Nac min 

x cc 

x 

0 A E 

A f 

sc yd 

h x c1 

Nat1 min x 

A f 

sc s 

st1 yd 

h x c2 

Nat 2 min x 

A f 

st 2 yd 

A E 

0 st1 s 

A E 

0 st 2 s 

Hvor f yd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Det er nu muligt at opstille ligevægtslignin- 

gerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne. 

Projektionsligningen: 

0 

Nac Nat1 

Nat2 

Momentligningen om tværsnittets nullinje: 

N 

c 

M y'N x c N h x c N h x c N 

Rd c c ac 1 at1 2 at 2 

Hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som bestemmes i afsnit 2.1.1. 

M Rd er tværsnittets momentkapacitet. 

Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen: 

1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0. 

2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen. 

3. Tværsnittets samlede momentkapacitet M Rd fås af momentligningen om tværsnittets nullinje. 

6.4


4. En ny værdi af kanttøjningen vælges og det undersøges om resultatet for M Rd er gunstigere. 

6.1.1.2 Kanttøjning 

I stedet for at udføre iterationen som beskrevet i foregående afsnit, har det vist sig rimeligt at antage, 

at kanttøjningen er lig med betonens brudtøjning, dvs. 0 = cu. Figur 6-2 viser kurver for ”arealet 

under spændingsblokken”, N c’, og ”placering af trykresultanten”, N c’’. De fuldt optrukne kurver er be- 

stemt ud fra antagelsen om at kanttøjningen er lig brudtøjningen. For de stiplede kurver er kanttøj- 

ningen blevet optimeret, så tværsnittets momentkapacitet bliver så stort som muligt. 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0,74 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 

Figur 6-2: N' c og N'' c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0 

6.5 

' 

Nc 

N 

'' 

c 

f ck [MPa] 

Forskellen på kurverne med kanttøjning sat lig brudtøjningen og kurverne med optimeret kanttøjning 

ses at være meget lille, hvorfor det ved praktisk dimensionering er rimeligt at antage 0 = cu. Hermed 

kan iterationen af kanttøjningen springes over og nullinjens beliggenhed, x, bestemmes direkte af 

projektionsligningen og momentkapaciteten, M Rd, af momentligningen. 

6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 

Trykarmering i en bjælke har normalt meget lille betydning for brudmomentet og det er derfor ofte 

rimeligt at se bort fra den i brudgrænsetilstanden. Derimod har trykarmeringen langt større betydning 

ved beregninger i anvendelsesgrænsetilstanden. 

For en bjælke uden trykarmering kan der opstilles en simpel formel for momentkapaciteten på bag- 

grund af tværsnittets armeringsgrad, . Armeringsgraden er givet ved:


Af 

s yd 

bdf 

cd 

Hvor d er afstanden fra trækarmeringen til betonkanten. 

d 

c 

b 

h 

Nc 

c 

y’ 

Nat 

Figur 6-3: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse 

Betonens trykresultant N c, ”arealet under spændingsblokken”, N c’, og ”placering af trykresultanten”, 

N c’’ findes som beskrevet i afsnit 2.1.1.1. Nullinjens placering ligger indenfor tværsnittet, dvs. x h, 

hvilket giver: 

1 

A B 2 

N bxk f 1 B 2B 2ln 1 B 

3 

B 

N 

N 

c 

2 

0 

c1 

cd 

c 

c 

' 

'' 

N 

bxf 

c 

cd 

yN ' 

c 

2 

bx fcd 

0 

6.6 

x 

MRd 

Projektionsligningen stilles op og trykzonens udbredelse bestemmes: 

d 

0 Nat Nc 0 bdfcdbxfcdNc' x 

N ' 

Resultantens placering målt fra nullinien fås jævnfør afsnit 2.1.1.1: 

Nc 

'' 

y'x N ' 

c 

Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen 

c 

d 

x udnyttes: 

N ' 

c


Værdien 

z 

h 

N N 

' '' 

c c 

' 

2 

Nc 

c 

x 

0,55 

y' 

d 

x 1 

N 

N 

'' 

c 

' 

c 

d 1 

6.7 

N 

' 

c 

'' 

Nc 

' 

Nc 

2 

d 1 

0, 

55 

er valgt som en konservativ betragtning på baggrund af en antagelse om, 

at den kanttøjning, der giver den største momentbæreevne, er brudtøjningen cu. Værdien ses at være 

rimelig ud fra Figur 6-4, hvor 

N N 

' '' 

c c 

' 

2 

Nc 

er optegnet for et bredt spektrum af betonstyrker. Den kraf- 

tigt optrukne linje er udregnet for en kanttøjning lig brudtøjningen. Den stiplede linje angiver de til- 

svarende værdier for et tværsnit, hvor kanttøjningen er optimeret. 

0,60 

0,59 

0,58 

0,57 

0,56 

0,55 

0,54 

0,53 

0,52 

0,51 

N 

' 

c 

'' 

Nc 

' 

Nc 

2 

Figur 6-4: 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 

N ' N '' 

c c 

N ' 

c 

2 

optegnet for 0 = cu og for optimeret 0 

f ck [MPa] 

Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed fås kun et bidrag fra 

trækarmeringen og momentkapaciteten kan bestemmes direkte: 

M z N 1 0,55 bd f for st sy 

2 

Rd at cd


Ovenstående udtryk gælder kun, når der er flydning i armeringen. Dette kontrolleres ved at undersø- 

ge om tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den balancerede armeringsgrad. Den balancere- 

de armeringsgrad, bal, er et udtryk for den armeringsgrad, der netop giver flydning i armeringen. 

bal 

Sammenhængen mellem tøjning og armeringsgrad kan skrives: 

d x d dN N 

1 1 1 

x x d 

' ' 

c c 

st cu cu cu cu 

Herved fås den balancerede armeringsgrad ved at erstatte armeringstøjningen, st, med armeringens 

flydetøjning, sy: 

bal 

1 

N 

' 

c 

sy 

cu 

På den sikre side kan der regnes med følgende værdier; se også Figur 6-2: 

N 0, 

74 for f 50 MPa 

' 

c 

sy 0,003 for f yk 600 MPa 

En armeringsgrad på den sikre side fås således til: 

1 

0, 

74 

0, 

003 

0, 

0035 

ck 

0, 

40 

6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering 

En armeret betonbjælke skal ifølge EC2 minimum have et armeringsareal, A s,min, for den langsgående 

trækarmering givet ved: 

b t 

f ctm 

A 

s,min 

max 

0, 26 

f 

f 

ctm 

yk 

bd 

0,0013bd 

t 

t 

er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås b t = b. 

er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke. 

6.8


0,30 

ctm ck 

23 

f f for betoner med f ck 50 MPa 

Armeringen begrænses i EC2 også med et maksimum for træk- eller trykarmeringens tværsnitsareal, 

A s,maks: 

Asmaks , 0,04 A c 

Udtrykket gælder uden for områder med stød. 

6.1.2 Forskydning 

En bjælkes forskydningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde forskydningskraften 

V Ed med forskydningskapaciteten V Rd. Når en bjælkes reaktioner er fastlagt, findes forskydningskraften 

i et snit ved at kræve ligevægt for en af de to bjælkedele, som det pågældende snit deler bjælken i. 

Ved bestemmelse af forskydningskraftkurven er det vigtigt at tage hensyn til om lasten er bunden 

eller fri, da forskydningskraften i visse snit øges ved at fjerne last fra dele af bjælken. Dette gælder 

især ved store enkeltkræfter. Den farligste lastopstilling kan findes på følgende måde: 

- Al last opfattes på den sikre side som fri last. 

- Forskydningskraften i et givent snit bestemmes henholdsvis umiddelbart til venstre og til højre 

for snittet, idet lasten opfattes som fri for den betragtede bjælkedel. Den maksimale værdi af 

forskydningskraften for de to beregninger benyttes. 

For bjælken Figur 6-5 bestemmes den kritiske forskydningskraft i snit A. 

A 

RA A 

RB 

x 

l 

Venstre bjælkedel betragtes ved at opfatte lasten på stykket x som fri: 

6.9 

pEd 

Figur 6-5: Bestemmelse af forskydningskraften for en bjælke


1 

V R p 

2 

Ed , venstre A Ed 

l x 

Højre bjælkedel betragtes og nu opfattes lasten på stykket l-x som fri: 

1 

V R p 

2 

Ed , højre B Ed 

x 

l 

2 

l 

2 

Forskydningskraften i snit A fås nu som den største værdi af forskydningskraften henholdsvis til ven- 

stre og til højre for snittet. 

V 

Ed 

max 

V 

Ed , venstre 

V 

Ed , højre 

Bestemmes forskydningskraftkurven på almindelig vis for udelukkende bunden last, vil kurven for 

bjælken i Figur 6-5 danne en ret linje med et nulpunkt på midten. Ved at benytte ovenstående metode 

til bestemmelse af forskydningskraftkurven, fås en forskydningskraftkurve på den sikre side uden 

nulpunkter, som vist på Figur 6-6. 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Forskydningskræfter i kN 

Figur 6-6: Forskydningskraftkurve for en bjælke 

6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden 

: 

: 

: 

: 

For armerede betonbjælker bestemmes forskydningskapaciteten ved diagonaltrykmetoden. Det forud- 

sættes i det følgende, at bjælken er forsynet med lodret forskydningsarmering, enten i form af lukke- 

de bøjler eller som en kombination af bøjler og opbøjede stænger, eksempelvis i T-tværsnit. Op til 50 

% af forskydningsarmering må udføres som opbøjede stænger. 

6.10


Figur 6-7: Forskydningsarmering udført som lukkede bøjler og opbøjede stænger 

Ved bestemmelse af bjælkens forskydningskapacitet i snit A betragtes det viste rombeformede udsnit 

af bjælken. Udsnittet overfører de lodrette kræfter som vist på Figur 6-8, mens vandret ligevægt og 

momentligevægt sikres via kræfter i bjælkens trykzone N c og i hovedarmeringen N at. Trykzone og 

trækzonen regnes her koncentreret i deres respektive tyngdepunkter. 

b w 

Figur 6-8: Placering af udsnit i bjælkekrop 

A 

A 

6.11 

N c 

V z 

N at


z 

N at 

Figur 6-9: Udsnit med diagonale tryklameller 

Selve bjælkekroppen tænkes nu opdelt i en række diagonale tryklameller, der som vist på Figur 6-9 

forbinder et knudepunkt mellem en bøjle og hovedarmeringen på den ene side af snit A med et tilsva- 

rende knudepunkt mellem bøjle og trykzone på den anden side af A. Forskydningskraften V Ed skal nu 

optages af de n bøjler over trækningen z·cot for at passere snit A, hvor z er den indre momentarm. 

Som en tilnærmelse kan z = 0,9d normalt benyttes. d er afstanden fra trækarmeringen til den trykke- 

de betonkant. 

V 

Ed 

n 

N 

t 

Bemærk at n ikke nødvendigvis er et heltal. Med bøjleafstanden s bliver n: 

n 

z cot 

s 

Den lodrette trækkraft i den enkelte bøjle findes til: 

s 

sb 

Nt VEd Nt 

z cot cot 

Hvor forskydningsspændingen i tværsnittet er indført ved følgende udtryk: 

VEd 

bz 

w 

N t 

a 

N c 

N t 

z cot 

N t 

w 

A 

A 

N’ t 

P Ed 

N’ t 

N at* 

6.12 

N c* 

N’ t = N t - a p Ed


b w betegner betonkroppens tykkelse. For et rektangulært tværsnit fås b w = b. 

Det ses, at jo større cot vælges, jo mindre bliver trækket i bøjlerne. Imidlertid kan cot ikke vælges 

vilkårlig stor, hvilket kan indses ved at betragte en enkelt tryklamel. 

Den skrå kraft i tryklamellen fås ved at kræve lodret ligevægt af knudepunktet mellem bøjle og ho- 

vedarmering: 

N N sin 0 N 

t b' b' 

N 

sin 

Kraften N b’ optages som enaksede betontrykspændinger i den skrå tryklamel: 

c 

Nb'Nt Nt 

b' b b' b sin s b sin 

w w w 

t 

Idet tryklamellens bredde er b’ =s·sin . Herefter indsættes det tidligere fundne udtryk for N t: 

c 

N t 

T T + N b’cos 

sbw 

cot 1 cot 

sbw 

1 

1 

2 

cot 

cot 

a 

Figur 6-10: Forhold i knudepunkt mellem bøjle og hovedarmering 

2 

2 

6.13 

N b’ 

b’


Hvor det ved indsætningen er benyttet, at 

2 

sin . 

2 

I henhold til EC2 skal trykspændingen i de skrå tryklameller overholde følgende: 

c v f cd 

Effektivitetsfaktoren v bestemmes for forskydning i henhold til det nationale anneks: 

v 

fck 

0,7 

200 

Derfor må cot ikke vælges større ende at følgende ulighed er opfyldt: 

2 

1 cot 

cot 

v f cd 

Er dette overholdt findes den nødvendige forskydningsarmering over strækningen z·cot ud mod ve- 

derlaget fra det betragtede snit A ved at kræve 

A sw 

f ywd 

Nt Aswf ywd 

1 

er forskydningsarmeringens tværsnitsareal i snittet, det vil sige for bøjlearmering snittes 

gennem begge bøjlens ben. 

6.14 

1 

cot 

er forskydningsarmeringens regningsmæssige flydespænding 

Med det fundne udtryk for N t må bøjleafstanden ikke vælges større end 

s 

A f 

sw ywd 

b 

cot 

w 

For slapt armerede bjælker med lodrette bøjler skal cot desuden holdes indenfor følgende intervaller: 

1 cot 2,5 

1 cot 2,0 for afkortet hovedarmering (normalt ikke interessant for elementer) 

Forskydningsbæreevnen kan kort opsummeres med følgende formler, hvor den første gælder flydning 

i forskydningsarmeringen og den anden svarer til det skrå betontrykbrud:


Asw zf · ywd ·cot 

s 

VRd min bz w vf cd 

cot 

1 

cot 

6.1.2.2 Minimumsarmering 

I det nationale anneks til EC2 stilles nogle minimumskrav til forskydningsarmeringsforholdet og af- 

standen mellem forskydningsarmeringen. 

Forskydningsarmeringsforholdet er givet ved: 

f ck 

f ywk 

w 

A 

sw 

sb hvor w w,min 

w 

er betonens karakteristiske trykstyrke 

0,063 fck 

f 

er forskydningsarmeringens karakteristiske flydespænding 

Den maksimale afstand mellem forskydningsarmering målt langs bjælkeaksen må ikke overstige s max. 

Bøjlearmering: sl,max 0,75d 

Opbøjede stænger: sb,max 0,6d 

Desuden må tværafstanden mellem benene i en række af bøjler ikke overstige s t,max: 

st,max 0,75d 600mm 

6.1.2.3 Dimensioneringsforløb 

Ved dimensionering efter diagonaltrykmetoden findes først den maksimale forskydningskraft i bjæl- 

ken, hvilket normalt i bjælkeelementer vil være ude ved et vederlag. Bøjleafstanden kan vælges kon- 

stant langs hele bjælkeaksen, svarende til den maksimale forskydningskraft. Dette er naturligvis på 

den sikre side. For større bjælker kan det imidlertid være hensigtsmæssigt at optimere bøjleafstanden 

lidt mere. Her vælges en bøjleafstand over strækningen l 1, bestemt på baggrund af forskydningen V 1 i 

snit 1, og en anden bøjleafstand over l 2 bestemt på baggrund af forskydningen i snit 2. 

ywk 

6.15


Dimensioneringen forløber på følgende vis. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget, cot vælges så 

begge nedenstående udtryk opfyldes: 

2 

1 cot 

cot 

v f cd og 1 cot 2,5 

Afstanden mellem bøjlearmeringen over strækningen l 1 bestemmes af: 

s 

1 

A f zcot 

sw ywd 

V 

1 

0 

, s1 s max 

Hvor A sw er en bøjles tværsnitsareal, f ywd er bøjlens regningsmæssige flydespænding og V 1 er forskyd- 

ningskraften i afstanden z·cot fra vederlaget. På tilsvarende vis findes bøjleafstanden s 2 over stræk- 

ningen l 2. 

0 1 2 

zcot 0 

0 1 

l 1 

Som vist er det tilladt at regne med forskellig værdi af cot hen langs bjælkeaksen. I så fald bestem- 

mes cot 0 ved V 0, cot 1 ved V 1, osv. 

zcot 1 

Figur 6-11: bjælke med forskellige trykhældninger 

Større koncentrerede laster, P, kræver ekstra forskydningsarmering. Dette kan der tages hensyn til 

ved eksempelvis at bestemme bøjleafstanden over strækningen l 2’ svarende til, at der i snit 2 regnes 

med en formel forskydningskraft af størrelsen V 2 + P, hvor V 2 er den reelle forskydningskraft i snit 2. 

Over strækningen l 2’ findes således bøjleafstanden: 

l 2 

6.16 

V = 0 

z


s 

2 

' 

A f zcot 

sw ywd 

V P 

2 

1 

, s2 s max 

På strækningen l 2-l 2’ bestemmes bøjleafstanden svarende til den reelle forskydningskraft V 2 i snit 2. 

6.1.3 Vridning 

0 1 2 

P 

l 1 

0 1 

Figur 6-12: bjælke med større enkeltkræfter 

l’ 2 

En bjælkes vridningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde vridningsmomentet, 

T Ed, med vridningskapaciteten, T Rd. Vridning i en bjælke opstår eksempelvis, hvis forskydningskraften 

eller reaktionen er placeret excentrisk i forhold til bjælkeaksen. 

l 2 

l 2 – l’ 2 

Bestemmelse af vridningsbæreevnen er baseret på diagonaltrykmetoden og minder i høj grad om 

bestemmelse af forskydningsbæreevnen. Vridningsmomentet forudsættes optaget som et lodret og et 

vandret kraftpar, V l og V v, som vist på Figur 6-13. Snitkræfterne antages at fordele sig svarende til en 

jævn fordelt forskydningsspænding t over et tyndfliget tværsnit rundt langs bjælkens periferi. 

6.17 

V = 0 

z


Den effektive vægtykkelse af det tyndfligede tværsnit sættes til: 

t 

ef 

A 

u 

Hvor A er tværsnittets totale areal, inklusive hulrum, og u er den udvendige omkreds: 

A bh 

u 2 b h 

t ef bør ikke regnes mindre end to gange afstanden mellem betonens yderkant og længdearmeringens 

midtpunkt. 

V v 

h’ Vl Vl Td = b’Vl + h’Vv V v 

b’ 

Figur 6-13: Indre kraftpar 

t ef 

b’ = b – t ef 

Figur 6-14: Tyndfliget tværsnit 

h’ = h – t ef 

For vridningsmomentet T Ed fås forskydningsspændingen i en væg i tværsnittet til: 

6.18


t 

TEd 

2At 

k ef 

Hvor Ak b tef h t ef er arealet omsluttet af midterlinjerne i det tyndfligede tværsnit, inklusive 

hulrum. 

Forskydningsspændingen t omskrives til en forskydningskraft i en væg i tværsnittet, V Ed,i. 

VEd , i ttefz i 

Hvor z i er sidelængden i den betragtede tværsnitsvæg. 

Eftervisningen af vridningsmomentets optagelse er nu reduceret til en opgave bestående i at eftervise 

forskydningsoptagelsen i det tyndfligede tværsnits vægge. Løsningen af denne opgave er helt analog 

til eftervisningen af bjælkens forskydningsbæreevne ved hjælp af diagonaltrykmetoden. Forskydnings- 

spændingen t indsættes i udtrykkende for forskydningskapaciteten og der isoleres med hensyn til T Rd: 

Asw 

zf · ywd ·cot 

s 

Asw 

Ak· fywd·cot 

s 

VRd min bz w v f cd TRd min 2 tef Akt fcd 

cot 

1 

cot 

cot 

1 

cot 

Her er udnyttet at den indre momentarm z = z i og tværsnitsbredden b w = t ef. Endvidere er armerings- 

arealet A sw det samme som ved forskydningsberegningen, det vil sige for en bøjle snittes gennem 

begge bøjlens ben. 

Effektivitetsfaktoren for vridningspåvirkning er i det nationale anneks til EC2 givet ved: 

t 

fck 

0,7 0,7 

200 

6.1.3.1 Kombineret vridning og forskydning 

Når bjælken påvirkes af kombineret forskydning og vridning, skal det eftervises, at nedenstående 

udtryk er opfyldt. 

T V 

T V 

Ed Ed 

Rd Rd 

1 

6.19


Vridningsmomentet udtrykkes ved forskydningskraften T Ed = V Ede. Ved indsættelse i ovenstående og 

isolering af V Ed fås: 

TEd VEd TRd· VRd 

1, 0 ... VEd 

T V V · e T 

Rd Rd Rd Rd 

Hermed fås en reduktion af tværsnittets forskydningskapacitet som kan sammenlignes direkte med 

forskydningskraftkurven. Excentriciteten e varierer gennem bjælken. På den sikre side kan den mak- 

simalt forekommende excentricitet, e max, anvendes i alle bjælkesnit. Alternativt laves en beregning for 

hvert kritisk snit, med anvendelse af den nøjagtige excentricitet i snittet. 

6.1.4 Beregning af forankringskraft 

Forskydnings- og vridningspåvirkning af en bjælke giver anledning til trækkræfter i længdearmerin- 

gen, se eksempelvis Figur 6-15. Ved dimensionering af længdearmeringen er det tilstrækkeligt at 

vælge en armeringsmængde svarende til det maksimale moment. Ved vederlaget, hvor forskydningen 

er ofte er størst, er det imidlertid vigtigt at sikre, at længdearmeringen er forankret for den trækkraft 

som forskydning og vridning er årsag til. I dette afsnit bestemmes forankringskraften for henholdsvis 

forskydning og vridning, hvorefter de kombineres. 

6.1.4.1 Forankring ved ren forskydning 

Forankringskraften for forskydningspåvirkning bestemmes ved simpel momentligevægt. Der tages 

moment om trykresultanten i afstanden zcot fra vederlaget. Under forudsætning af at der er tilstræk- 

keligt med bøjler og at de er jævnt fordelt, kan forskydningsresultanten antages at angribe ½ z cot 

fra vederlaget. Det ses at den lodrette kraft, der skal forankres for, er forskydningskraften ved veder- 

laget, V 0. 

1 1 

Vzcot Vzcot F z F V 

cot 

2 2 

Momentligevægt: 0 0 td td 0 

6.20


V0 

Ftd 

1/2·z·cot( ) 

V0 

z·cot( ) 

Figur 6-15 Forankringskraft ved ren forskydning 

Fc 

6.1.4.2 Forankring ved ren vridning 

z 

Ved vridningsoptagelse kan tværsnittet opfattes som et tyndfliget tværsnit med forskydningsspændin- 

ger i de tynde vægge som vist på Figur 6-14. Forankringskraften for længdearmering ved vridning kan 

herefter findes for de enkelte tynde vægge som forankring ved forskydning, afsnit 6.1.4.1. Dette giver 

en trækforankringskraft i hvert af tværsnittets hjørner. Den længdearmering, der tilføres tværsnittet 

af hensyn til vridning bør fordeles over sidelængden, men for mindre tværsnit kan den koncentreres i 

hjørnerne. 

tef 

b 

h 

Ftd,L 

Figur 6-16: Tværsnit påvirket til vridning 

Ftd,V 

Ftd,V 

Forskydningsspændingerne i en enkelt tynd væg, , kan bestemmes jævnfør afsnit 6.1.3 som: 

t 

TEd TEd 

2At 2 h t b t t 

k ef ef ef ef 

6.21 

Ftd,L


Forskydningskraften i hver af de fire vægskiver kan nu bestemmes af VEd , i ttefz i , hvilket giver føl- 

gende forskydningskræfter i henholdsvis de lodrette og vandrette vægge: 

TEd TEd 

VL ··( t h tef 

) 

2 t ( h t )( b t ) 2( b t ) 

ef ef ef ef 

TEd TEd 

VV · tef·( b tef 

) 

2 t ( h t )( b t ) 2( h t ) 

ef ef ef ef 

Forankringskraften i de fire hjørner fås af 

F 

F 

td , L 

td , V 

TEd 

·cot( ) 

4( b t ) 

ef 

TEd 

·cot( ) 

4( h t ) 

ef 

1 

Ftd V cot : 

2 

Forankringskraften i det ene hjørne kan være forskellig fra forankringskraften i det andet hjørne, af- 

hængigt af tværsnittets dimensioner. 

6.1.4.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning 

Som udgangspunkt bestemmes den samlede forankringskraft for vridning og forskydning som sum- 

men af de to bidrag. Forankringskraften i bunden af bjælken fås således principielt til: 

Ftd , bund FtdFtd , L F td , V 

Tilsvarende fås forankringskraften i toppen af bjælken principielt til: 

Ftd , top Ftd , L F td , V 

Da forankringskraften ikke nødvendigvis er ens i hjørnerne bør kræfterne på den sikre side bestem- 

mes som vist nedenfor, således at forankringskraften kan fordeles ligeligt mellem de to hjørner. 

F F 2·max F ; F 

td , bund td td , L td , V 

F 2·max F ; F 

td , top td , L td , V 

6.22


6.1.5 Eksempel – Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden 

I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetilstanden. Bjælkens 

bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning, forskydning, vridning og forankring. 

6.1.5.1 Beregningsforudsætninger 

Tværsnit 420 mm x 300 mm 

Karakteristisk betontrykstyrke f ck = 35 MPa 

Regningsmæssig betontrykstyrke f cd = 35 MPa/1,4 = 25 MPa 

Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. 

A sc = 402 mm 2 

A st = 402 mm 2 

c = 40 mm 

Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen f yk = 500 MPa 

Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen f yd = 500 MPa/1,2 = 417 MPa 

Forskydningsarmering bøjler Y6. 

A sw = 2 28 mm 2 

Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen f yk = 410 MPa 

Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen f yd = 410 MPa/1,2 = 342 MPa 

Bjælkelængde L = 5000 mm 

420 mm 

6.1.5.2 Bøjning 

300 mm 

Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen Figur 6-17. Moment- 

kurven er givet ved: 

2 stk. Y16 

Bjl. Y6 pr. 150/200 

2 stk. Y16 

Figur 6-17: Bjælketværsnit og statisk system 

6.23 

a=0,7 m 

Q d = 35 kN 

L=5,0 m 

p d = 14,0 kN/m


1 L x 1 2 1 Qa d 

M x pdx L x Qda pdx pdL x Qda 2 L 2 2 L 

Punktet for momentmaksimum findes: 

1 Qa d pL 

1 Qa d 

d 

M ' x 0 p 0 2 L 

dx pdL x 

2 L p 

1 kN 35kN 0,7m 

14 5,0m 

2 m 5,0m 

x 2,15m 

kN 

14 

m 

Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven: 

1 kN 

5, 0m 2,15m 

MEd 14 2,15m 5,0m 2,15m 35kN 0,7m 56,9kNm 

2 m 5,0m 

Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 6.1.1.3 benyttes. 

Armeringsgrad: 

Af s yd 402mm 417MPa 

bdf 300mm 380mm 25MPa 

cd 

0,0588 

0,4 det vil sige, at armeringsgraden er mindre end den balancerede armeringsgrad. Der er flyd- 

ning i armeringen og nedenstående udtryk for momentkapaciteten kan anvendes. 

Momentkapacitet: 

M 1 0,55 bd f 

2 

Rd cd 

M 0,0588 1 0,55 0,0588 300mm 380mm 25MPa 61,6 kNm 

Rd 

Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig: MEd 56,9kNm MRd61,6kNm Den indre momentarm bestemmes til brug for forskydningsberegningen: 

z d 1 0,55 380mm 1 0,55 0,0588 367,7mm 

6.24 

2 

d


6.1.5.3 Forskydning 

Tværsnittet forsynes med bøjlearmering bestemt efter diagonaltrykmetoden. Diagonaltrykkets vinkel 

ved vederlaget vælges til cot = 1,5, hvilket er indenfor intervallet 1 cot 2,5. Vinklen holdes 

konstant i hele bjælkens længde. Bjælken inddeles i længder af zcot 367,7mm 1,5 0,55m. 

Minimumsarmeringsgrad og den maksimale bøjleafstand findes: 

w w,min 

0,063 fck A f sw ywk 

s 

f b 0,063 f 

ywk w ck 

2 

228mm 410MPa 

s 205mm 

300mm 0,063 35MPa 

sl,max 0,75d 0,75 380mm 285mm 

Det vil sige at bøjlerne placeres pr. minimum 200 mm. 

Herudover tjekkes, om tværsnittet er så bredt, at der behøves mere end én bøjle pr. snit: 

st,max 0,75d 0,75 380mm 285mm 600mm 

300mm 2 40mm 2 6mm 208mm s 285mm 

, 

Afstanden mellem bøjlebenene fås til: t,max 

hvilket er ok. Der behøves kun én bøjle pr. snit. 

Forskydningskraften bestemmes for hvert område. Princippet fra afsnit 6.1.2 benyttes. 

6.25


V 1 (x=0,55m) 

1 

V p 

2 

l 1 

1, venstre d 

2 

L x Q L a 

2 

2 

1 x 1 kN 0,55m 

1, højre d 14 0, 4 

2 

1 kN 5, 0m 0,55 m 35kN 5, 0m 0, 7m 

14 27,7kN 30,1kN 57,8kN 

2 m 5,0m 5,0m 

V p kN 

2 L 2 m 5,0m 

1, højre 

l’ 2 

a=0,7 m 

l 2 – l’ 2 

Q d = 35 kN 

Figur 6-18: Bestemmelse af forskydningskræfter 

d 

L L 

V1, venstre 57,8kN 

V1max max 57,8kN 

V 0, 4kN 

Afstand mellem armeringsbøjler: 

2 

Asw fywdzcot 0 228mm 342MPa367,7mm 1,5 

1 183 

3 

V157,8 10 N 

s mm 

Bøjleafstanden vælges til 150 mm. 

V 1 V 2 V 3 

L=5,0 m 

6.26 

p d = 14,0 kN/m 

, s1 smax 200mm


V 2 (x=1,10m) 

2 2 

1 L x 1 kN 5,0m 1,10 m 

V2, venstre pd 14 21,3kN 

2 L 2 m 5,0m 

1 

2 

Qa d 1 

2 

1,1m 

35 0,7 

2, højre d 

x kN kN m 

V p 14 1,7 kN 4,9kN 6,6kN 

2 L L 2 m 5,0m 5,0m 

V2, venstre 21,3kN 


V 6,6kN 

2, højre 

Punktlasten Q d er beliggende på strækningen l 2. Derfor skal forskydningsarmeringen øges på stræk- 

ningen l’ 2. Her regnes med forskydningskraften V 2 + Q d. 

Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l 2: 

Asw fywdzcot 1 

2 

228mm 342MPa367,7mm1,5 2 

V2 3 

21,3 10 N 

s 496mm 

Bøjleafstanden er givet ved s max og sættes til 200 mm. 

Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l’ 2: 


2 

228mm 342MPa367,7mm1,5 2 

V2Qd 3 

21,3 10 N 

3 

35 10 N 

s' 188mm 

Bøjleafstanden vælges til 150 mm. 

V 3 (x=4,45m) 

6.27 

, s2 smax 200mm 

, s2' smax 200mm 

I den modsatte ende af bjælken bestemmes forskydningskraften V 3 beliggende 0,55 m fra understøt- 

ningen. Snit 3 er det snit, der giver den største forskydningskraft for den resterende del af bjælken. 

2 2 

1 L x 1 kN 5,0m 4, 45m 

V3, venstre pd 14 0,4kN 

2 L 2 m 5,0m 

1 

2 

Qa d 1 

2 

4,45m 

35 0,7 

3, højre d 

x kN kN m 

V p 14 27,7kN 4,9kN 32,6kN 

2 L L 2 m 5,0m 5,0m 

V3, venstre 0, 4kN 


V 32,6kN 

3, højre


Afstand mellem armeringsbøjler: 


2 

228mm 342MPa367,7mm 1,5 

3 

V3 3 

32,6 10 N 

s 324mm 

6.28 

, s3 smax 200mm 

Bøjleafstanden er givet ved s max og sættes til 200 mm, og den resterende del af bjælken forskyd- 

ningsarmeres ligeledes med minimumsarmering. 

Til slut undersøges om trykstyrken i betonen overskrides for den valgte vinkel : 

Største forskydningsspænding: 

Effektivitetsfaktor for forskydning: 

Følgende udtryk ligning skal opfyldes: 

v 

57,8 10 

bz 300mm367,7mm 3 

VEd N 

w 

0,5MPa 

fck 

35 

0,7 0,7 0,525 

200 200 

2 2 

1 cot 1 1,5 

v cd 

0,5 1,1 0,525 25 13,1 

f MPa MPa MPa MPa 

cot 1,5 

Der er således ikke problemer med betontrykket i forhold til diagonaltrykkets vinkel. 

Forskydningskapaciteten udregnes for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 200 mm og for tryk- 

brud i beton. Disse kapaciteter er praktiske i forhold til den følgende undersøgelse af kombineret vrid- 

ning og forskydning. 

Bøjler pr. 150 mm: 


Trykbrud i beton: 

6.1.5.4 Vridning 

2 

Asw 228mm 

VRd z· fywd·cot 367,7mm 342MPa 1,5 70,4kN 

s 150mm 

2 

Asw 228mm 

VRd z· fywd·cot 367,7mm 342MPa 1,5 52,8kN 

s 200mm 

bz w v fcd 300mm 367,7mm 0,525 25MPa 

VRd 668, 2kN 

1 1 

cot 1,5 

cot 1,5 

De påsatte laster antages nu at angribe bjælken med en excentricitet, hvilket giver en vridningspå- 

virkning. Excentriciteten for den jævnt fordelte last p d sættes til 20 mm, mens den for enkeltkraften 

Q d sættes lig 50 mm. Vridningsmomentet bestemmes i de samme tre snit, som vist i eksemplet afsnit


6.1.5.3. Vridningsmomentet er givet ved TEd VEde, hvilket giver følgende værdier for vridnings- 

moment og samlet excentricitet i de tre snit vist på Figur 6-19: 

T V e V e 27,7kN 20mm 30,1kN 50mm 2,1kNm 

1 1, p p 1, Q Q 

2,1kNm 

e136mm 27,7kN 30,1kN 

T V e V e 21,3kN 20mm 0,4kNm 

2 2, p p 2, Q Q 

e 20mm 

2 

T V e V e 27,7kN 20mm 4,9kN 50mm 0,8kNm 

3 3, p p 3, Q Q 

0,8kNm 

e325mm 27,7kN 4,9kN 

Det kritiske snit ses at være snit 1, både med hensyn til vridningsmoment og excentricitet. I den vide- 

re beregning benyttes følgende maksimale vridningsmoment og excentricitet: 

T 2,1kNm 

Ed 

e 36mm 

max 

De geometriske parametre bestemmes. 

Tværsnitsareal: 

A bh 300mm 420mm 126000mm 

Udvendig omkreds: u 2 b h 2 300mm 420mm 1440mm 

Effektiv tykkelse: 

Tværsnitsareal: 

2 

A 126000mm 

tef 87,5mm 

u 1440mm 

Hvilket er større end 2 c 2 40mm 80mm 

A b t h t 300mm 87,5mm 420mm 87,5mm 70656mm 

k ef ef 

Effektivitetsfaktoren for vridning er 

t 

fck 

35 

0,7 0,7 0,7 0,7 0,368 

200 200 

Vridningskapaciteten for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 200 mm og for trykbrud i beton fås 

nu af: 

6.29 

2 

2



2 

Asw 228mm 

2 

TRd Ak· fywd·cot 70656mm 342MPa 1,5 13,5kNm 

s 150mm 


Trykbrud i beton: 

2 

Asw 228mm 

2 

TRd Ak· fywd·cot 70656mm 342MPa 1,5 10,1kNm 

s 200mm 

2 

2 tef Akt fcd 287,5mm 70656mm 0,36825MPa 

TRd 52,5kNm 

1 1 

cot 1,5 

cot 1,5 

Det ses at vridningskapaciteten set isoleret er fuldt tilstrækkelig, da T Ed = 2,1 kNm T Rd for begge 

bøjleameringsgrader. 

6.1.5.5 Kombineret vridning og forskydning 

Vridning og forskydningskapaciteterne skal kombineres, hvilket giver en reduceret forskydningskapa- 

citet, der kan sammenlignes direkte med V Ed i det pågældende snit. På den sikre side benyttes e = 36 

mm for alle snit. 

Bøjler pr. 150: 

Bøjler pr. 200: 

TRd · VRd 13,5kNm 70,4kN 

VEd 59,3kN 

V · e T 70,4kN 0,036m 13,5kNm 

Rd Rd 

På strækningen l 1 fås V 1 = 57,8 kN 59,3 kN OK! 

På strækningen l’ 2 fås V 2 + Q d = 21,3 kN + 35 kN = 56,3 kN 59,3 kN OK! 

TRd · VRd 10,1kNm 52,8kN 

VEd 44,4kN 

V · e T 52,8kN 0,036m 10,1kNm 

Rd Rd 



Den nødvendige forskydningsarmering for en kombineret påvirkning med forskydning og vridning er 

vist på Figur 6-19. 

6.30


6.1.5.6 Forankringskraft 

Længdearmeringen skal forankres for vridning og forskydning. Forankringen skal ske for den maksi- 

male forskydningskraft, hvilket i dette tilfælde er V 0 ved vederlaget nærmest enkeltkraften. V 0 be- 

stemmes: 

l 1 l’ 2 l 2 – l’ 2 

1 QdL a 1 kN 35kN 5,0m 0,7m 

V0pdL 14 5,0m 65,1kN 

2 L 2 m 5,0m 

Forankring ved ren forskydning: td 0 

Forankring ved ren vridning: 

Q d = 35 kN / e= 50 mm 

V 1 V 2 V 3 

0,7 m 4,3 m 

Bjl. Y6 pr. 

150 mm 

Bjl. Y6 pr. 200 mm 

Figur 6-19: Nødvendig bøjlearmering for kombineret forskydning og vridning 

Forankring ved kombination af forskydning og vridning: 

td , bund td td , L td , V 

td , top td , L td , V 

1 1 

F V cot 65,1kN 1,5 48,8kN 

2 2 

TEd 2,1kNm 

Ftd , L ·cot( ) 1,5 3,7kN 

4( b t ) 4 300mm 87,5mm 

ef 

TEd 2,1kNm 

Ftd , V ·cot( ) 1,5 2, 4kN 

4( h t ) 4 420mm 87,5mm 

ef 

F F 2·max F ; F 48,8 kN 2 3, 7kN 56, 2kN 

F 2·max F ; F 2 3,7 kN 7, 4kN 

6.31 

p d = 14,0 kN/m / e = 20 mm


6.2 Anvendelsesgrænsetilstande 

I anvendelsesgrænsetilstanden er der principielt to væsentlige emner, nemlig udbøjning og revnevid- 

der. Der stilles normalt krav til udbøjningernes maksimale størrelse, dels af æstetiske årsager, men 

også rent funktionelt, hvor konstruktionen bygges sammen med andre og mere følsomme bygnings- 

dele, eksempelvis en glasfacade. Revnevidder har betydning for betonens holdbarhed og modstands- 

evne mod vandindtrængning. 

6.2.1 Udbøjning 

Der er mange faktorer, der spiller ind når der laves en tværsnitsanalyse i anvendelsesgrænsetilstan- 

den. Størrelsen på udbøjninger er betinget af belastningens størrelse samt krybning og svind. Kryb- 

ning afhænger af lastens varighed, mens svind relaterer sig til betonens alder. Begge dele er detalje- 

ret beskrevet i afsnit 2.1.3 samt i afsnit 6.2.1.1 og 6.2.1.2. 

Beregningerne vanskeliggøres yderligere, fordi betonens stivhed varierer afhængig af, hvor vidt tvær- 

snittet er revnet eller urevnet. I anvendelsesgrænsetilstanden regnes med en lineærelastisk arbejds- 

linje for betonen, hvor trækstyrken tages med i regning. Det urevnede tværsnit besidder således en 

trækkapacitet, mens der ikke kan overføres træk gennem et fuldt revnet tværsnit. I praksis befinder 

mange tværsnit sig i grænsetilstanden mellem urevnet og fuldt revnet tværsnit, hvor trækkapaciteten 

er begrænset men dog til stede. Tension stiffening er et udtryk for denne effekt i grænsetilstanden. 

Ved analyse af udbøjninger er det oftest nødvendigt at lave en beregning både for det urevnede og 

det revnede tværsnit, hvorefter effekten fra tension stiffening kan vurderes og den endelige udbøjning 

bestemmes. Dette vises i afsnit 6.2.1.3. 

6.2.1.1 Krybning 

Ved langvarig belastning kryber betonen, det vil sige at betonens tøjning øges mens spændingen for- 

bliver konstant. Dette har betydning for betonens stivhed og dermed størrelsen af udbøjninger. Den 

letteste måde at tage højde for krybning i anvendelsesstadiet er ved at benytte faktoren , som angi- 

ver forholdet mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul. Grunden til at dette er den mest 

rationelle måde er, at belastninger ofte består af en kombination af korttids- og langtidslaste, hvor 

kun langtidslasten giver anledning til krybning. Første skridt i en udbøjningsanalyse er således at 

skønne hvor stor en andel af belastningen, der er henholdsvis langtids- og korttidslast og dermed 

bestemme . Dette er nærmere beskrevet i afsnit 2.1.2. 

6.2.1.2 Svind 

Svindets bidrag til udbøjningen kan beregnes med følgende formel: 

1 S 

u L 

a 2 

s 

10 

cs 

IT 

s 

6.32


u s 

cs 

S a 

I T 

L s 

er udbøjningstillægget fra svind 

er svindtøjningen, der bestemmes iht. afsnit 2.1.3 

er det statiske moment af armeringen om tværsnittets tyngdepunktsakse 

er tværsnittets transformerede tværsnit 

er forholdet mellem armeringens elasticitetsmodul og betonens elasticitetsmodul, som be- 

skrevet i afsnit 6.2.1.1 

er søjlelængden 

For symmetriske urevnede tværsnit ses svindbidraget at falde bort, da det statiske moment af arme- 

ringen om tyngdepunktet er nul. 

6.2.1.3 Tension stiffening 

Konstruktionselementers udbøjning afhænger af om tværsnittet er revnet eller urevnet. I overgangs- 

tilstanden mellem det urevnede og det fuldt revnede tværsnit er der en reduceret trækkapacitet om- 

kring de begyndende revner. Effekten af dette kaldes tension stiffening. 

Grafen Figur 6-20 viser en udbøjningsberegning dels for et urevnet og et revnet tværsnit samt over- 

gangen mellem de to kurver givet ved en beregning, hvor tension stiffening medregnes. 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

M 0Ed [kNm] 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 

Udbøjningen i bestemmes ud fra følgende formel: 

u urevnet 1 u urevnet 

Beregnet udbøjning inkl. 

tension stiffening 

Udbøjning ved urevnet tværsnit 

Udbøjning ved revnet tværsnit 

Bæreevnen iht EC2 

6.33 

u [mm] 

Figur 6-20: Udbøjning for revnet og urevnet tværsnit, samt tension stiffening


s 

sr 

u revnet 

u urevnet 

er fordelingskoefficient, der tager hensyn til tension stiffening og den bestemmes ved 

1 

sr 

s 

2 

For urevnet tværsnit er =0. På den sikre side kan ses bort fra tension stiffening (i.e. =1), 

og u urevnet er i så fald ikke nødvendig at beregne. 

er en koefficient der tager hensyn til lastvarigheden. For vægge og søjler, hvor en stor andel 

af lasten som regel er egenvægt skal sættes til 0,5. For en enkelt forekommende kort- 

tidslast sættes . 

er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse om at tværsnittet er fuldt 

revnet. 

er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse af revnet tværsnit, men på- 

virket af den last, der netop forårsager den første revne. sr bestemmes ud fra det moment, 

der fremkalder spændingen f ctm i den nederste betonfiber, når tværsnittet er påvirket af den 

normalkraft, der er antaget i anvendelsesstadiet. 

er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om at tværsnittet er fuldt revnet, dvs. trækstyr- 

ken af betonen ikke længere har nogen betydning. 

er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om at tværsnittet er urevnet. 

For urevnet tværsnit sættes =0, hvilket betyder at der ikke er en kontinuert overgang mellem revnet 

og urevnet tværsnit for = 0,5. 

Det er vigtigt at gøre sig klart, at bidraget til udbøjningen fra tension stiffening gør, at de beregnede 

udbøjninger og tværsnitsspændinger ikke giver en statisk ækvivalent løsning. 

For asymmetrisk tværsnit skal der som nævnt i afsnit 6.2.1.2 tillægges et udbøjningsbidrag fra svind. 

Også for dette udbøjningsbidrag anvendes formlen for tension stiffening, nu på formen: 

1 S S 

u 1 

L 

Bestemmelse af sr 

arevnet , aurevnet , 2 

s 

10 

sc 

ITrevnet , ITurevnet 

, 

s 

Det moment, der netop revner tværsnittet, M r, fås ved at sætte betonspændingen i den trækpåvirkede 

betonkant lig trækstyrken f ctm. Momentet bestemmes ved hjælp af Navier, på baggrund af antagelse 

om urevnet tværsnit: 

6.34


f ctm 

M h 

f y M f 

ctm 

r 

ITurevnet 

, 2 

T r ctm 

I 

Turevnet , 

er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke. 

23 

f f for betoner med f ck 50 MPa 

0,30 

ctm ck 

h 

2 

I T,urevnet er det transformerede inertimoment for urevnet tværsnit, som bestemmes i afsnit 6.2.1.5. 

y T 

er afstanden fra tværsnittets centerlinje til tyngdepunktsaksen, ligeledes bestemt i afsnit 

6.2.1.5. Bemærk fortegnsregningen. 

sr er spændingen i trækarmeringen bestemt på baggrund af antagelse om revnet tværsnit. Momentet 

M r påføres tværsnittet og der udføres en tværsnitsanalyse som beskrevet i afsnit 6.2.1.4. Hvis tvær- 

snittet har mere end et trækarmeringslag, kan spændingen sr bestemmes som en vægtet værdi af 

trækarmeringsspændingerne. 

6.2.1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit 

Nedenfor opstilles den statiske ækvivalens for et betontværsnit med trykarmering samt to lag træk- 

armering påvirket af moment. I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje, 

hvor forholdet mellem spændingerne i beton og armering er givet ud fra tværsnittets geometri samt 

størrelsen . 

c2 

c1 

cc 

b 

h 

st2/ 

st1/ 

c 

sc/ 

y 

6.35 

T 

0(1+ ef) 


Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser giver hermed armeringsspændin- 

gerne: 

x 

MEd


sc c 

st1 c 

st 2 c 

x cc 

x 

h x 

x 

c1 

h x 

x 

c 

Ligevægtsligningerne kan nu opstilles. 

Projektionsligningen: 

0 

2 

1 

bx A A A 

2 

c sc sc st1 st1 st2 st2 

Momentligningen om tværsnittets centerlinje: 

1 h x h h h 

M bx A c A c A c 

2 2 3 2 2 2 

Ed c sc sc c st1 st1 1 st 2 st 2 2 

Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i projektionsligningen. Dette 

giver en 2.grads-ligning, der kan løses for x. 

Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændingen c findes ved ind- 

sættelse af x i momentligningen og armeringsspændingerne fås til slut af de geometriske betingelser 

ved at indsætte c. 

Bjælkens udbøjningskurve antages at være parabelformet. Udbøjningen kan tilnærmelsesvis skrives: 

1 

u L 

10 

2 

Hvor er bjælkens krumning. Udtrykkes krumningen ved hjælp af betonkantspændingen fås: 

1 c 

urevnet L 

10 Es x 

6.2.1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit 

2 

Når betontværsnittet er urevnet er spændings og udbøjningsbestemmelsen end del lettere end for 

revnet tværsnit. Beregningerne for urevnet tværsnit baseres på transformeret tværsnit, hvor areal, 

statisk moment og inertimoment bestemmes. Armerings- og betonspændinger kan herefter findes ved 

6.36


hjælp af Navier’s formel. I denne fremstilling påvirkes tværsnittet af både et bøjende moment og en 

normalkraft. Den anvendte metodik gælder derfor både for bjælker og søjler. 

For et rektangulært tværsnit med et lag trykarmering og to lag trækarmering kan tværsnitskonstan- 

terne opstilles på følgende vis. 

A A A A ( A A A ) 

Transformeret areal: T C S C sc st1 st2 

Transformeret statisk moment om centerlinjen: 

h h h 

S S S 0 A c A c A c 

2 2 2 

T C S sc c st1 1 st2 

2 

y T angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets centerlinje: 

y 

T 

S 

A 

T 

T 

Bemærk at y T her regnes positiv, når den ligger over centerlinjen. Dette betyder, at y T ofte vil være 

negativ. 

x 

½ h 

c 1 

c 2 

c c 

y 

0(1+ ef) 


Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen: 

1 3 2 h 

2 

h 

2 

h 

2 

T C S T sc T c st1 T 1 st2 T 2 

I I I bh bhy A y c A y c A y c 

12 2 2 2 

c 

st2/ 

st1/ 

6.37 

sc/ 

tyngdepunktsakse 

y T 

N Ed 

M Ed


Udbøjningen for en given momentpåvirkning M Ed er nu tilnærmelsesvis givet ved: 

1 M Ed 

uurevnet L 

10 ES I 

T 

2 

Hvor bjælkens krumning er udtrykt ved det påførte moment og det transformerede inertimoment: 

M 

Ed 

Es IT 

Armeringsspændinger og betonkantspændingen for urevnet tværsnit findes af Navier’s formel: 

NEd MEdh A I 2 

c T 

T T 

NEd MEdh A I 2 

sc T c 

T T 

Ed Ed 

st1 AT IT 

2 

T 1 

Ed Ed 

st 2 

AT IT 

2 

T 2 

y 

N M h 

N M h 

y c 

y c 

y c 

N Ed er lig nul for bjælker uden normalkraft, men er som nævnt medtaget her af hensyn til senere søj- 

le/væg beregninger. 

6.2.2 Revnevidder 

Revnevidder bestemmes i henhold til EC2. Revnevidderne bestemmes for langtidslast ud fra en anta- 

gelse om, at tværsnittet er fuldt revnet. Dette betyder, at de beregnede udbøjninger og revnevidder 

ikke svarer til den samme spændingstilstand. 

Den maksimale revnevidde er givet ved: 

s r,maks 

sm 

w k sr, 

maks 

sm 

cm 

er den maksimale revneafstand. 

er middeltøjningen i armeringen under den relevante lastkombination, inklusiv virkningen af 

tvangsdeformationer og under hensyntagen til virkningen fra tension stiffening. 

6.38


cm 

er middeltøjningen i betonen mellem revnerne. 

Forskellen mellem sm og cm kan beregnes som: 

s 

f ct,eff 

e 

k t 

p,eff 

sm cm 

k 

f 

1 

ct, eff 

s t e p, eff 

peff , 

s 

0,6 

E E 

s s 

er spændingen i trækarmeringen under antagelse af revnet tværsnit. 

er middelværdien af betonens effektive trækstyrke på det tidspunkt, hvor revnerne tidligst 

kan forventes at opstå. For betonelementer og andre betonkonstruktioner hvor revnedannel- 

sen først forventes efter 28 døgn fås: f ct,eff = f ctm. 

er forholdet E s/E cm 

er armeringsforholdet bestemt som 

peff , 

A A 3A 2A 

min ; ; 

A b 2,5c 

b h x bh 

st st st st 

ceff , 

er en faktor, der afhænger af belastningens varighed. k t = 0,4 for langtidslast. 

s r,maks er den maksimale revneafstand som beregnes af: 

srmaks , k3 c kk 1 2k4 3, 4 c 0,17 1,3 h x 

2 2 

Her er koefficienterne sat til: 

k 1 = 0,8 for armering med stor vedhæftning 

k 2 = 0,5 for bøjning 

k 3 = 3,4 anbefalet værdi 

k 4 = 0,425 anbefalet værdi 

peff , peff , 

er armeringsdiameteren for trækarmeringen 

6.2.3 Eksempel – Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden 

Bjælken fra afsnit 6.1.5 betragtes i anvendelsesgrænsetilstanden. Lastopstillingen er den samme som 

ved brudgrænsetilstanden, dog regnes med følgende karakteristiske laster: 

p 12,0kN 

m 

k 

Q 35kN 

k 

6.39


Det maksimale moment fås af momentkurven: 

1 L x 1 2 1 Qa k 

M x pkx L x Qka pkx pkL x Qka 2 L 2 2 L 

Punktet for momentmaksimum findes: 

1 Qa k pL 

1 Qa k 

k 

M ' x 0 p 0 2 L 

kx pkL x 

2 L p 

1 kN 35kN 0,7m 

12 5,0m 

2 m 5,0m 

x 2,09m 

kN 

12 

m 

Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven: 

1 kN 

5,0m 2,09 m 

MEd 12 2,09m 5,0m 2,09m 35kN 0,7m 50,8kNm 

2 m 5,0m 

Som udgangspunkt benyttes følgende elasticitetsmodul for korttidspåvirkninger af betonen i anvendel- 

sesgrænsetilstanden: 

fck 35MPa 

EcK , 0,7 51000 0,7 51000 26031MPa 

f 13 35MPa 13 

ck 

Ved langtidspåvirkninger skal krybning medtages. Dette gøres ved at benytte faktoren , der indirekte 

giver en reduktion af betonens elasticitetsmodul. For beton med en karakteristisk trykstyrke på 35 

MPa foreslås i afsnit 2.1.2 følgende -værdier: 

Langtidslast: 23,6 

Korttidslast: 7,7 

L 

K 

I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast mens de resterende 25% 

skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved vægtning: 

eff 

23,6 0,75 7,7 0,25 20 

6.40 

k


6.2.3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit 

De geometriske betingelser fås til: 

x c 

x 

20 

x 40mm 

x 

h x 

x 

c 

20 

420mm x 

x 

40mm 20 

380mm 

x 

x 

sc c c 

st c c c 

Dette indsættes i projektionsligningen og x bestemmes: 

0 

1 

bx 

2 

c scAsc stAst 1 

2 

300mmxc 

20 

x 40 

x 

402mm 20 

380mm 

x 

x 

402mm 

0 

2 

150x 16080x 3376800 x 105,7mm 

2 2 

c c 

Betonkantspændingen findes ved at tage moment om tværsnittets centerlinje: 

1 h x h h 

MEd bx c sc Ascc st Astc 2 2 3 2 2 

1 420mm 105,7mm 

50,8kNm 300mm 105,7mm 

c 

2 2 3 

105,7mm 40mm 420mm 

mm mm 

105,7mm 2 

2 

20 c 

402 40 

380mm 105,7mm 420mm 

mm mm 

105,7mm 2 

2 

20 c 

402 40 

c 

50,8kNm 

7,167 10 mm 

6 3 

7,1MPa 

Der er ikke brud i betonen da c fcd 25MPa 

Armeringsspændingerne fås af de geometriske betingelser: 

x 40mm 105,7mm 40mm 

20 20 7,1MPa 88MPa 

x 105,7mm 

sc c 

380mm x 380mm 105,7mm 

20 20 7,1MPa 369MPa 

x 105,7mm 

st c 

6.41


Der er ikke flydning i armeringen da s fyd 417MPa. 

Hvis der havde været flydning i armerin- 

gen må nullinje og tværsnitsspændinger bestemmes forfra, hvor armeringsspændingen sættes lig 

flydespændingen. 

Udbøjningen for revnet tværsnit bestemmes: 

1 1 7,1MPa 

c 2 

2 

urevnet L 5000mm 16,8mm 

5 

10 Es 10 2,0 10 MPa 

x 105,7mm 

20 

6.2.3.2 Udbøjning for urevnet tværsnit 

For urevnet tværsnit findes udbøjningen ved hjælp af transformeret inertimoment. 

Transformeret areal: 

A A A 300mm 420mm 20 2 402mm 142080mm 

T C S 

6.42 

2 2 

Tværsnittet er symmetrisk hvorfor tyngdepunktsaksen er sammenfaldende med tværsnittets center- 

linje. 

Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen: 

1 3 h 

2 

h 

2 

T C S sc c st st 

I I I bh A c A c 

12 2 2 

2 

3 2 mm 

9 4 

1 420 

420mm 300mm 20 2 402mm 40mm 2,317 10 mm 

12 2 

Udbøjningen for en given momentpåvirkning M Ed er nu for urevnet tværsnit, tilnærmelsesvis givet 

ved: 

1 M 1 50,8kNm 

Ed 2 

2 

uurevnet L 5000mm 5,9mm 

5 

10 ES 10 2,0 10 

9 4 

I 

MPa 

T 

2,317 10 mm 

6.2.3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet 

20 

Tværsnittet befinder sig et sted mellem fuldt revnet og urevnet. Den faktiske udbøjning i denne til- 

stand findes ved at tage hensyn til tension stiffening.


Det moment, der netop revner tværsnittet og armeringsspændingen sr bestemmes jævnfør afsnit 

6.2.1.3. 

Trækstyrken fås til: 

23 23 

ctm ck 

f 0,30 f 0,30 35 3, 2MPa 

Revnemoment udregnes på baggrund af urevnet tværsnit: 

I 2,317 10 mm 

h 

2 

y' 420mm 

2 

0mm 

9 4 

Mr fctm Turevnet , 

3, 2MPa 35,3 kNm 

Betonkantspændingen bestemmes på baggrund af revnet tværsnit, hvor nullinjedybden er givet ved x 

= 105,7 mm. Der sættes ind i momentligningen: 

1 h x h h 

Mr bx c scAsc c stAst c 

2 2 3 2 2 

1 420mm 105,7mm 

35,3kNm 300mm 105,7mm 

c 

2 2 3 

105,7mm 40mm 420mm 

mm mm 

105,7mm 2 

2 

20 c 

402 40 

380mm 105,7mm 420mm 

mm mm 

105,7mm 2 

2 

20 c 

402 40 

c 

35,3kNm 

7,177 10 mm 

6 3 

4,9MPa 

Armeringsspændingen findes ved de geometriske betingelser: 

380mm x 380mm 105,7mm 

20 20 4,9MPa 254MPa 

x 105,7mm 

sr c 

Fordelingskoefficienten, der tager hensyn til tension stiffening bestemmes af: 

2 2 

sr 

254MPa 

1 1 0,625 0,704 

369MPa 

s 

Hvor 0,5 0,5 1 0,75 0,625 svarer til, at belastning vurderes at bestå af 75 % langtidslast 

og 25 % korttidslast. Den faktiske lastbetingede udbøjning af bjælken kan nu bestemmes: 

6.43


u urevnet 1 uurevnet 0,704 16,8mm 1 0,704 5,9mm 13,6mm 

Da det betragtede tværsnit er symmetrisk, vil der ikke være noget svindbidrag til udbøjningen. Den 

samlede udbøjning for karakteristisk last fås derfor som u = 13,6 mm. Hvis svind havde givet et bi- 

drag, ville den samlede udbøjning været givet ved summen af lastinduceret udbøjning og tillægget fra 

svindudbøjningen. 

6.2.3.4 Revnevidder 

Revnevidden for langtidslast bestemmes jævnfør afsnit 6.2.2. Først findes forholdet sm - cm: 

Kontrol: 

sm cm 

sm cm 

f 

k 1 3, 2MPa 

369MPa 0,4 1 5,87 0,0064 

100 0,002 

ct, eff 

s t e p, eff 

peff , 

Es 5 

2,0 10 MPa 

369MPa 

0,6 0,6 0,001 

s 

5 

Es2,0 10 MPa 

Følgende hjælpestørrelser er benyttet i beregningen: 

fct, eff fctm3, 2MPa 

udregnet i afsnit 6.2.3.3. 

e 

peff , 

5 

Es 2,0 10 MPa 

E 34077MPa 

cm 

ceff , 

5,87 

A A 3A 2A 

min ; ; 

A b 2,5c 

b h x bh 

st st st st 

2 2 2 

402mm 3 402mm 2 402mm 

min ; ; 

300mm 2,5 40mm 300mm 420mm 105,7mm 300mm 420mm 

min 0,0134;0,0128;0,0064 0,0064 

Den maksimale revneafstand udregnes: 

srmaks , k3 c kk 1 2k4 3, 4 c 0,17 

2 2 

peff , peff , 

16mm 16mm 

3, 4 40mm 0,17 108,8 mm 

2 100 

Kontrol: srmaks , 1, 3 h x 1, 3 420 mm 105, 7mm 408, 6mm 

6.44


Den maksimale revnevidde fås til: 

wk sr, maks sm cm 108,8mm 0,002 0,22mm 

6.45

Armerede bjælker

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?