Asymmetriske tværsnit opgaver

Asymmetriske tværsnit. Opgaver.
Opgave 1:
Opgave 2:
Opgave 3:
Udled følgende udtryk:
Iz =
Iy =
maj 2012, LC
4a 3
t
3
a 3 t
4
a
Iyz
3 t
=
3
2.1)
Find tyngdepunktet for tværsnittet.
2.2)
Beregn Iy, Iz og Iyz og sammenlign med
resultaterne for opgave 1.
2.3)
Find bøjningsspændingerne i hjørnepunkterne for
et moment på Mz = 800Nm Tværsnittet i opgave 2 skal fungere som bjælke og skal overføre en forskydningskraft i y-aksens retning
på 900·N. Der anvendes tværsnitskonstanter fra opgave 2.
3.1)
Find forskydningskraften i limfugen.
Vy
900N Vz 0
Iz 2.4 10 5
mm 4
Iy 1.42 10 6
mm 4
Iyz 3.21 10 5
mm 4
y0
z0
85
7 mm
260
7 mm

Opgave 4:
4.1)
Find tyngdepunkt og forskydningscentrum for det viste profil.
4.2)
Find forskydningskraften mellem kroppen og venstre flange og find
forskydningskraften mellem kroppen og højre flange for en last F i z-aksens
retning.
Opgave 5:
Bjælken er indspændt i den ene ende og frit udkraget i den anden ende.
Længden af bjælken er 1m.
Bjælken er belastet med en enkeltkkraft i z-retningen på 2kN på den udkragede del 1m fra indspændingen.
E-modulet sættes 70000MPa. Aluminium.
5.1)
Find udbøjningerne i z-retningen og i y-retningen.
2 of 11
z

Løsningsforslag
Opgave 1:
A = 3at Statisk moment om midterlinie for den vandrette flange:
2a ta = ( 2a t at ) y0
⇒ y0 =
2
3 a
Statisk moment om midterlinie for den lodrette flange:
at a
= ( 2a t at ) z0
⇒ z0
2
=
Inertimoment om Z-aksen:
1
6 a
1
Iz1
3 t 2a
2
1
= (
)3 Iz = Iz1 Ay0 ⇒ Iz
3 t 2a
2
( )33a
t
3 a
=
⇒ Iz =
Inertimoment om Y-aksen:
1
Iy1
3 t
2
1
= a3
Iy = Iz1 Az0 ⇒ Iy
3 t
1
a3 3a t
6 a
=
⇒ Iy =
Zentrifugalmoment om C:
1
Iy1z1 = 0 Iyz = Iy1z1 Ay0 z0
⇒ Iyz 0 3at 6 a
2
3 a
a
=
⇒ Iyz
3 t
=
3
Nulliniens placering:
2
2
4a 3
t
3
σ =
yIy zIyz
Mz
= 0
2
IyIz Iyz
⇒ y =
Iyz
z
Iy
⇒ y =
1
3
1
4
z
⇒
4z
y =
3
3 of 11
a 3 t
4

Opgave 2:
A = ( 90 50)
10
( 90 50)
10y0 = 90105 501025 ⇒ y0
85
=
7
90
( 90 50)
10z0= 901010 50105 ⇒ z0
2
1
Iz1
3 90
1
103
3 10
1340000
= 503
⇒ Iz1 =
3
260
=
7
Iz Iz1 Ay0 2
2
1340000
85
=
⇒ Iz
( 90 50)
10
5045000
=
⇒ Iz =
3
7
21
1
Iy1
3 50
1
103
12 10
2
90
903
9010 10040000
= 10
⇒ Iy1 =
2
3
Iy Iy1 Az0 2
2
10040000
260
=
⇒ Iy
( 90 50)
10
29720000
=
⇒ Iy =
3
7
21
90
Iy1z1 = 5010255 9010510
Iyz = Iy1z1 Ay0 z0
2
85 260
2250000
Iyz = 310000 ( 90 50)
10
⇒ Iyz = 3.21 10
7 7
7
5
=
Resultater fra opgave 1:
Iz =
4a
Iz
3
t
4
= ⇒ Iz
3
3 10 = 503
1.67 10 6
=
Resultater fra opgave 2
5045000
Iz = 2.4 10
21
5
=
a
Iy
3 t
1
= ⇒ Iy
4
4 503
29720000
= 10
Iy = 312500
Iy = 1.42 10
21
6
=
4 of 11

a
Iyz
3 t
50
= ⇒ Iyz
3
3 10
= 4.17 10
3
5
2250000
=
Iyz = 3.21 10
7
5
=
Bøjningsspændinger:
Iz 2.4 10 5
mm 4
85
Mz 800Nm y0
7 mm
Iy 1.42 10 6
mm 4
My 0kN m
260
z0
7 mm
Iyz 3.21 10 5
mm 4
N 0
Nulliniens placering:
yIy zIyz
Iyz
σ = Mz
= 0 ⇒ y = z
⇒ y = 0.23z 2
Iy
IyIz Iyz
Øverste venstre hjørne:
y y0
z ( 9010) mm z0 z 62.86mm yIy zIyz
σ
IyIz Iyz 2 Mz
zIz yIyz
IyIz Iyz 2 My
σ 9.87MPa 10mm lodret under øverste venstre hjørne:
Nullinje
y y0 10mm z ( 90 10)
mm z0
z 62.86mm yIy zIyz
σ
IyIz Iyz 2 Mz
zIz yIyz
IyIz Iyz 2 My
σ 57.65MPa 5 of 11

Øverste højre hjørne:
y y0
z z0
yIy zIyz
σ
2 IyIzIyz Mz
zIz yIyz
2 IyIzIyz My
σ 98.14MPa Nederste højre hjørne - 10mm:
y 50mm y0
z z0 10mm yIy zIyz
σ
2 IyIzIyz Mz
zIz yIyz
2 IyIzIyz My
σ 151.56MPa Opgave 3:
Tværsnittet i opgave 2 skal fungere som bjælke og skal overføre en forskydningskraft i y-aksens
retning på 900·N. Der anvendes tværsnitskonstanter fra opgave 2.
Vy
0.9kN Vz 0
Iz 2.4 10 5
mm 4
85
y0
7 mm Sz 50mm10mm 50
2 mm
y0
Iy 1.42 10 6
mm 4
260
z0
7 mm
Iyz 3.21 10 5
mm 4
Sy 50mm10mm z0 5mm
VyIy VzIyz K
IyIz Iyz 2
VzIz VyIyz Sz
IyIz Iyz 2
Sy
⇒ K 15.03
kN
OK
m
6 of 11

Opgave 4:
Find tyngdepunkt og forskydningscentrum for det viste profil:
Statisk moment om midten af venstre flange:
Sy = 2b tb 2t 2b2b A = 2t2b 2b t
2t b
Sy 2b tb 2t 2b2b a1 = =
A 2t 2b 2b t
2t b
=
5
4 b
VyIy VzIyz VzIz VyIxy K = Sz
Sy
Iyz = 0 Vz = 0 Vy = V
2
2
IyIz Iyz IyIz Iyz
Vy
b
K = Sz
Szh
Iz
2 2
b
= t bt
4
1
= b
Szv b2 t 4
b
= b
2
2 = t
1
Iz
12 2 t 2b ( )3b
3
=
=
Kv =
VSyv
Iz
=
V b 2 t
3b 3
t
2
3b 3
t
2
2 V
=
Kh =
3 b
VSyh
Iz
=
z
V 1
4 b2
t
3b 3
t
2
7 of 11
1 V
=
6 b
Tyngdepunkt: a1 =
5b
4
Forskydningscentrum:
a2 =
16b 9

Resultant i venstre side:
2 2
3 3
V
2b b
=
8
9 V
Resultant i højre side:
2 1
3 6
V 1
b
b 9 V =
8
9 V
1
9 V V =
Moment om tyngdepunkt:
8
9 V 2b a1
a2 = a1 c
Vandret kraft F:
1
9 V
8
a1
= Vc c
9 2b
5
4 b
1 5
=
b
c =
9 4
5
4 b
19b =
a2
36
=
VyIy VzIyz K
IyIz Iyz 2
VzIz VyIyz Sz
IyIz Iyz 2
=
Sy
Snit mellem venstre flange og kroppen.
16
9 b
Statisk moment om en vandret akse z: Sz = 0
19b 36
Statisk moment om en lodret akse y:
5
Sy 2b 2t 2b
4 b
=
⇒ Sy 3b 2
= t
Vz = F Vy = 0 Iz
1
12 2t 2b ( )32t
b 3
=
⇒ Iz
3
2 t = b3
Lidt groft sættes højden af kroppen til 2·b
1
Iy
12 t 2b
5
( )32b
t
4 b b
2
5
2b 2t 2b
4 b
2
5
2t b
4 b
2
37 b
=
⇒ Iy
3
t
= Iyz = 0
6
K 0
F
37 b 3
3b
t
6
2
= t
⇒ K =
18F 37b
8 of 11

Snit mellem højre flange og kroppen.
Statisk moment om en vandret akse z: Sz = 0
Statisk moment om en lodret akse y: Sy b2 t 5
= b
4
K 0
F
37 b 3
5
t
2
6
b2
=
t
⇒ K =
Opgave 5:
uy = 12.9mm uz = 9.7mm 15F 37b Iz 2.4 10 5
mm 4
85
E 70000MPa y0
7 mm
Iy 1.42 10 6
mm 4
260
z0
7 mm
Iyz 3.21 10 5
mm 4
2
d 1
IyMz IyzMy uy =
2
dx
E
2
IyIz Iyz
My( x)
= F( L x)
Mz = 0
2
d 1
IyMz IyzMy uy =
2
dx
E
2
IyIz Iyz
2
d FIyz (
L x)
uy =
2
2
dx
EIyIzIyz αy = 0 for x =
0
⇒ C1 = 0
2
d 1
IzMy IyzMz uz =
2
dx
E
2
IyIz Iyz
2
d 1
0Iyz uy = F( L x)
2
dx
E
2
IyIz Iyz
1
FIyz Lx
2
αy
x2
=
C1
2
EIyIzIyz
9 of 11

1
FIyz
2
uy
L
1
x2
6 x3
= C2
uy = 0 for x = 0 ⇒ C2 = 0
2
EIyIzIyz
1
FIyz
2
uy
L
1
x2
6 x3
=
2
EIyIzIyz
1
FIyz
2
uy
L
1
x2
6 x3
uy 0mm
2
EIyIzIyz
x 1000mm F 2000N L 1000mm 1
2
Iz F Lx d 1
IzMy IyzMz 1
2
uz = [
F( L x)
]
αz
2
dx
E
2
E
IyIz Iyz
x2
= C1
2
IyIz Iyz
αz = 0 for x =
0
⇒ C1 = 0
Iz F
1
uz
E
1
2 L
1
x2
6 x3
=
C2
uz = 0 for x = 0 ⇒ C2 = 0
2
IyIz Iyz
Iz F
1
uz
E
1
2 L
1
x2
6 x3
uz 0mm
2
IyIz Iyz
Mohrs cirkel:
Iz Iy
C C 8.3 10
2
5
mm 4
R IzC 2
Iyz 2
R 6.72 10 5
mm 4
I1 C R
I1 1.5 10 6
mm 4
I2 C R I2 1.58 10 5
mm 4
I1 I2 1.66 10 6
mm 4
Iy Iz 1.66 10 6
mm 4
tan( 2v) =
2Iyz
Iz Iy
2Iyz
atan
Iz Iy
v
v 14.27deg 2
10 of 11

11 of 11