Hyperbolske funktioner

Hyperbolske funktioner
De to reelle funktioner hyperbolsk–sinus og hyperbolsk–cosinus - i daglig tale
sinushyperbolsk og cosinushyperbolsk er defineret s˚aledes:
sinushyperbolsk : sinh(x) = 1
2 (ex − e −x ), x ∈ R
cosinushyperbolsk : cosh(x) = 1
2 (ex + e −x ), x ∈ R
De to s˚aledes definerede funktioner er linearkombinationer af eksponentialfunktioner,
hvorfor det er komplet uforst˚aeligt, at de to funktioners navne
indeholder sinus og cosinus. Grunden til dette skal findes i den komplekse
funktionsteori, hvor det fremg˚ar at de trigonometriske og de hyperbolske
funktioner er tæt sammenknyttede.
Ved at tegne graferne for de to funktioner p˚a lommeregneren ser man, at
cosh(x) ≥ 1 og sinh(x) er voksende. Begge dele er let at vise ved formel
udregning.
Da funktionen sinh(x) er voksende, har den en omvendt funktion kaldet “areasinushyperbolsk”.
Det skrives s˚adan: arsinh(x). Vi har alts˚a:
y = sinh(x) ⇔ x = arsinh(y)
Funktionerne sinh og cosh er differentiable og vi f˚ar uden videre:
cosh ′ (x) = 1
2 (ex − e −x ) = sinh(x)
sinh ′ (x) = 1
2 (ex + e −x ) = cosh(x)
De to funktioner er alts˚a hinandens differentialkvotienter. Heraf følger s˚a:
sinh(x)dx = cosh(x)
cosh(x)dx = sinh(x)
Der gælder en formel svarende til “Idiotformlen”:
cosh 2 (x) − sinh 2 (x) = 1
4 (e2x + e −2x + 2) − 1
4 (e2x + e −2x − 2) = 1
Sammenlign med den almindelige formel cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1.
1

Vi vil nu se lidt nøjere p˚a den omvendte funktion til sinh nemlig arsinh.
Idet vi har y = sinh(x) ⇔ x = arsinh(y) f˚as:
dx
dy = arsinh′ (y) = 1
dy
dx
=
1
sinh ′ (x) =
1
cosh(x)
Af “Idiotformlen” f˚as cosh(x) = ± 1 + sinh 2 (x). Men da cosh(x) er positiv,
kan vi ikke bruge -tegnet. Vi har nu fundet:
arsinh ′ (y) =
Eller med sædvanlige betegnelser:
arsinh ′ (x) =
1
1 + sinh 2 (x)
=
1
√ 1 + x 2 ⇒
1
1 + y 2
1
√ dx = arsinh(x)
1 + x2 En anvendelse:
Betragt den ikke–lineære differentialligningen y ′′ (x) = k 1 + (y ′ (x)) 2 .
Vi substituerer z = y ′ og f˚ar s˚a z ′ = k √ 1 + z 2 . Nu kan vi løse differential-
ligningen med seperation af de variable:
dz
dx = k√1 + z2
⇔
1
√ dz =
1 + z2 kdx + c1 ⇔ arsinh(z) = kx + c1
⇔ z = sinh(kx + c1) ⇔ y ′
= sinh(kx + c1) ⇔ y = sinh(kx + c1)dx + c2
Her af f˚ar vi s˚a slutresultatet:
GC
y = 1
k cosh(kx + c1) + c2
2