PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

More documents

Recommendations

Info

8 Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN NOGLE TEGNINGER PÅ TI-82 Af Jens Carstensen Vi skal se på, hvordan man med forholdsvis enkle programmer på TI-82 kan få tegnet fraktale billeder. Desuden skal vi beskrive et program til tegning af plane kurver, hvis ligninger kendes. Affine transformationer En såkaldt affin transformation f af planen på sig selv er på matrixform givet ved ⎛x ⎞ ⎛a f ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝y ⎠ ⎝c b⎞⎛ x⎞ ⎛ e ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟. d⎠⎝ y⎠ ⎝ f ⎠ Vi vælger et passende tegnevindue, nemlig [0;12]×[0;12], som vi indtaster på forhånd. Dernæst indfører vi tre affine transformationer f, g og h, der alle benytter den samme matrix B bestemt ved 1 ⎛ 3 B = ⎜ ⎝ 0 0⎞ ⎟. 1 ⎟ 3 ⎠ Denne fremstiller en multiplikation 1 med 3 ud fra koordinatsystemets begyndelsespunkt. Vi definerer nu ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ f ⎜ ⎟ = B ⎜ ⎟ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛8⎞ g ⎜ ⎟ = B ⎜ ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛8⎞ h ⎜ ⎟ = B ⎜ ⎟ + ⎜ . 8 ⎟ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ ⎝ ⎠ Vi kan skrive f, g og h ud i koordinater: 1 1 f ( x, y) = ( x, y) 3 1 1 g( x, y) = ( 3 x + 8, 3 y) 1 h( x, y) = ( x + 8, y + 8) . 3 Vi samler konstanterne i en 3×7matrix, som vi i programmet betegner [A]: 3 1 3 ⎛0, 33 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0, 33 0 [ A] = 0, 33 0 0 0, 33 8 0 0, 66 . 0 0 0 0, 33 0, 33 0 8 0 8 0, 33⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠ Denne matrix tastes ind på hovedskærmen inden programmet sættes i gang. Programmet kan nemlig så referere til matricen. Første række angiver konstanterne a, b, c, d, e, f hørende til f og indeholder som sidste element den kumulerede sandsynlighed for at programmet vælger f, g eller h. Tilsvarende indeholder 2. række konstanterne for g og 3. række for h. Selve programmet, der tegner det fraktale billede vises nedenfor. Konstanten M angiver antallet af iterationer. Hvis M som her sættes til 1000, får man billedet på figur 1, og det tager ca. 3 minutter. Programmet fungerer på den måde, at det ved hvert gennemløb med 1 sandsynligheden 3 vælger afbildnin- gen f, g eller h. Til slut i programmet sørger vi for, at kun iterationer efter de første 10 tegnes. Fig. 1 Sierpinskitrekanten og snefnugfraktal Vi kan ændre lidt på konstanterne i den matrix [A], der beskriver de tre affine afbildninger, fx sådan: ⎛0, 5 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0, 5 0 [ A] = 0, 5 0 0 0, 5 6 0 0, 66 . 0 0 0 0, 5 0, 5 0 3 0 6 0, 33⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠ Så får vi den velkendte Sierpinskitrekant frem som vist på figur 2. Her er der brugt M = 2000 iterationer. Fig. 2 Prøv at ændre matricen [A] til ⎛0, 5 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0, 5 0 [ A] = 0, 5 0 0 −0, 5 12 6 0, 66 . 0 0 0 −0, 5 −0, 5 6 9 6 12 0, 33⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠
GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998 Dette giver den meget smukke snefnugfraktal på fig. 3, der også er frembragt med M = 2000 iterationer. Fig. 3 Som man kan se er der rigeligt med muligheder for eksperimenter, der kan frembringe smukke figurer - men man må være forberedt på forholdsvis lange regnetider. Egeløv Hvis man indfører 4 affine afbildninger og andre matricer med nye sandsynligheder, kan man frembringe andre figurer. Prøv at ændre matricen [A] til følgende ⎛ 0, 02 −0, 07 −0, 02 0, 48 141 83 0, 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0, 4 0 − 0, 04 0, 65 88 10 0, 5⎟ [ A] = ⎜ . − 0, 02 0, 45 − 0, 37 0, 1 82 132 0, 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0, 11 0, 6 0, 34 0, 22 237 125 1 ⎟ ⎝ − − − ⎠ Man skal på forhånd indstille tegnevinduet til [75;225] × [0;175]. Derved får man det meget smukke egeløv på fig. 4. Fig. 4 Tegning af kurver Mange kendte plane kurver er givet ved ligninger i x og y. Vi ser altså ikke på kurverne givet ved deres parameterfremstillinger. Fx er den kendte Descartes blad givet ved ligningen x 3 + y 3 = 3axy , hvor a er en konstant. Også andre mere eller mindre fantasifulde ligninger i x og y angiver kurver i planen og i reglen kender man ikke deres parameterfremstillinger. Af og til kan det derfor være af interesse med et program, der ‚tegner en ligning‘ i x og y. En udgave af Descartes blad er for a = 1 givet ved ligningen x 3 + y 3 - 3xy = 0 . Et program, der tegner denne lignings løsningsmængde i vinduet [-3;3]×[-3;3], er vist på fig. 5 Fig. 5 Programmet forudsætter, at venstre side af ligningen er indtastet som Y 1 , altså Y 1 = X^3+Y^3-3XY. Så får man en punkttegning af kurven på fig. 6. Men regnetiden er over et kvarter! Fig. 6 Parameterfremstillingen for Descartes blad er iøvrigt for de interesserede: 3at x = 1 + t 3 , 2 3at y = 1 + t Kurven har linien x+y+a = 0 som asymptote. Fig. 7 viser kurven (‚stropløs kjole‘) med ligningen Fig. 8 (x 2 -1) 2 = y 2 (3-2y) . Der er rig mulighed for selv at opfinde nye ligninger i x og y, som kan tegnes på maskinen. 3 . 9
Page 1 and 2: GALAXEN Marts 1998 - Nr. 17 Magasin
Page 3 and 4: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 VÆRD A
Page 5 and 6: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 0.14 0.
Page 7: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Da p-va
Page 11 and 12: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Frac-ru
Page 13 and 14: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Noget o
Page 15 and 16: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 I SHALL

PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?