PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

8
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
NOGLE TEGNINGER PÅ TI-82
Af Jens Carstensen
Vi skal se på, hvordan man med
forholdsvis enkle programmer på
TI-82 kan få tegnet fraktale billeder.
Desuden skal vi beskrive et program
til tegning af plane kurver, hvis
ligninger kendes.
Affine transformationer
En såkaldt affin transformation f af
planen på sig selv er på matrixform
givet ved
⎛x
⎞ ⎛a
f ⎜
⎟ = ⎜
⎝y
⎠ ⎝c
b⎞⎛
x⎞
⎛ e ⎞
⎟
⎜
⎟ + ⎜
⎟
⎟.
d⎠⎝
y⎠
⎝ f ⎠
Vi vælger et passende tegnevindue,
nemlig [0;12]×[0;12], som vi indtaster
på forhånd. Dernæst indfører vi tre
affine transformationer f, g og h, der
alle benytter den samme matrix B
bestemt ved
1 ⎛ 3
B = ⎜
⎝ 0
0⎞
⎟.
1 ⎟
3 ⎠
Denne fremstiller en multiplikation
1
med 3 ud fra koordinatsystemets
begyndelsespunkt. Vi definerer nu
⎛ x⎞
⎛ x⎞
f ⎜
⎟ = B ⎜
⎟
⎝ y⎠
⎝ y⎠
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛8⎞
g ⎜
⎟ = B ⎜
⎟ + ⎜
0 ⎟
⎝ y⎠
⎝ y⎠
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛8⎞
h ⎜
⎟ = B ⎜
⎟ + ⎜ .
8 ⎟
⎝ y⎠
⎝ y⎠
⎝ ⎠
Vi kan skrive f, g og h ud i koordinater:
1 1
f ( x,
y)
= ( x,
y)
3
1 1
g(
x,
y)
= ( 3 x + 8,
3 y)
1 h(
x,
y)
= ( x + 8,
y + 8)
.
3
Vi samler konstanterne i en 3×7matrix,
som vi i programmet betegner
[A]:
3
1
3
⎛0,
33
⎜
⎜
⎜
⎝0,
33
0
[ A]
= 0,
33 0 0 0,
33 8 0 0,
66 .
0
0
0
0,
33
0,
33
0
8
0
8
0,
33⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎠
Denne matrix tastes ind på hovedskærmen
inden programmet sættes i
gang. Programmet kan nemlig så
referere til matricen. Første række
angiver konstanterne a, b, c, d, e, f
hørende til f og indeholder som sidste
element den kumulerede sandsynlighed
for at programmet vælger f, g
eller h. Tilsvarende indeholder 2.
række konstanterne for g og 3. række
for h.
Selve programmet, der tegner det
fraktale billede vises nedenfor.
Konstanten M angiver antallet af
iterationer. Hvis M som her sættes til
1000, får man billedet på figur 1, og
det tager ca. 3 minutter.
Programmet fungerer på den måde,
at det ved hvert gennemløb med
1
sandsynligheden 3 vælger afbildnin-
gen f, g eller h. Til slut i programmet
sørger vi for, at kun iterationer efter
de første 10 tegnes.
Fig. 1
Sierpinskitrekanten og snefnugfraktal
Vi kan ændre lidt på konstanterne i
den matrix [A], der beskriver de tre
affine afbildninger, fx sådan:
⎛0,
5
⎜
⎜
⎜
⎝0,
5
0
[ A]
= 0,
5 0 0 0,
5 6 0 0,
66 .
0
0
0
0,
5
0,
5
0
3
0
6
0,
33⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎠
Så får vi den velkendte Sierpinskitrekant
frem som vist på figur 2. Her er
der brugt M = 2000 iterationer.
Fig. 2
Prøv at ændre matricen [A] til
⎛0,
5
⎜
⎜
⎜
⎝0,
5
0
[ A]
= 0,
5 0 0 −0,
5 12 6 0,
66 .
0
0
0
−0,
5
−0,
5
6
9
6
12
0,
33⎞
⎟
⎟
1
⎟
⎠