PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

More documents

Recommendations

Info

12 Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN selvfølgelig mere speget, fordi den grafiske lommeregner kun arbejder med en endelig præcision! For at afgøre om et lommeregnertal opfører sig rationalt, skal vi altså udvikle det i en kædebrøk. Hvis der fremkommer en endelig kædebrøk er sagen selvfølgelig i orden. Men på grund af afrundingsfejl, behøver resten ikke blive eksakt nul: Fig. 7 Da 22/7 = 3 + 1/7 består spektret netop af tallene 3 og 7. Den tredje heltalsdel 4.76·10 11 skyldes afrundingsfejl i lommeregneren. Spørgsmålet er så hvor lille en rest, vi vil acceptere som værende tæt nok på nul: Valget af denne grænse giver et ’filter’, som accepterer nogle lommeregnertal som opførende sig rationalt, mens andre forkastes, fordi de ikke udviser den rette rationale opførsel. I praksis ønsker vi selvfølgelig at genkende så mange rationale tal som muligt. På den anden side ønsker vi ikke at genkende et tal som rationalt, hvis det klart er fremkommet ved en irrational udregning. Vi skulle helst holde fingrene fra 100 2 og 1000π. Nu er de kvadratiske irrationaliteter ikke noget større problem, fordi de netop udgør den type tal, som adskiller sig mest fra de rationale tal. Det er langt mere problematisk med transcendente tal som 1000π. For at få en fornemmelse for problemet, kan vi starte med at prøve at udregne spektret for π: 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 21, 3, 1, 1, 2, 64, 4, 1, 48 (NB! Det er de første tyve tal i lommeregnerens spektrum – og de stemmer jo ikke nødvendigvis overens med tallene i det eksakte spektrum! Faktisk er det kun de første 12 tal i det ovenfor anførte spektrum, der er korrekte). Læg mærke til tallet 292 i starten, som er overraskende højt! Det viser, at et filter under fx 1/250 ville lade slippe π igennem som et rationalt tal! Prøver vi i stedet med 1000π fås spektret 3141; 1, 1, 2, 5, 22, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 6, 2, 1, 1, 3, 2 Her er det største tal i brøkdelsspektret givet ved 22, så der er faktisk ingen fare for at genkende det som rationalt. (Og derved har vi fundet endnu en måde at undgå Fracrutinens fejlagtige genkendelse af 1000π som værende et rationalt tal!) Et af de virkeligt grimme tal, som man skal gardere sig mod er π 4 , som har en usædvanlig lille rest i starten af kædebrøksudviklingen, idet spektret indeholder det usædvanligt høje tal 16539: Fig. 8 I praksis benytter man derfor et filter som 10 -5 til at afgøre om resten er lille nok. Hvis man nu ikke indenfor de første 20 iterationer kan finde en rest som er lille nok opfører lommeregner tallet sig altså ikke rationalt. Man kan da undersøge om tallet i stedet skulle være en kvadratisk irrationalitet, dvs. om spektret ser ud til at være periodisk. Det sker i praksis ved at undersøge om en passende forskydning af spektret stemmer overens med det oprindelige spektrum. Hvis vi fx ser på spektret for tallet (9– 3 )/6, som er givet ved L1 = {1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 …}, så vil den to gange forskudte liste L1″ L1″ = {1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 … } netop ende på samme måde som L1, idet differensen ender på lutter nuller: L1–L1″ = {0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0…}. Altså er spektret periodisk med perioden 2. Dermed har vi samlet ingredienserne til et program, som kan genkende simple typer af tal, og dermed udføre simple inverse symbolske udregninger. De ovenstående rutiner er samlet i programmet NICE, der findes til såvel TI-82, TI-83 som TI-86. Det adskiller sig fra Frac-rutinen på to forskellige måder: Dels kan det også genkende simple kvadratrodskombinationer, dels er det meget mere forsigtigt med at genkende rationale tal, idet det både checker om tallet opfører sig rationalt, og om det rationale tal genskaber alle cifrene indefor regnemaskinens nøjagtighed. Til gengæld er det selvfølgelig ikke så hurtigt som Frac-rutinen, da det jo skal fortolkes under udføreslen, i modsætning til Frac-rutinen, som jo er skrevet i maskinkode. Det skal derfor ikke opfattes som en erstatning for Frac-rutinen, men som et nyttigt supplement!
GALAXEN Nr. 17 – Marts 1998 Noget om NICE Inden vi diskutere typiske anvendelser af programmet NICE vil vi kort skitsere opbygning af programmet. Der checkes for en række simple typer af tal, med de hurtige check til at begynde med og de langsomme check til sidst. I rækkefølge checkes der således for om resultatet af en beregning er 1) et helt tal (INT) 2) kvadratroden af et helt tal (QUAD INT) 3) et rationalt tal (RAT) 4) kvadratroden af et rationalt tal (QUAD RAT) 5) en kvadratisk irrationalitet (QUAD IRRAT) (dvs. rod i en simpel andengradsligning: ax 2 + bx + c = 0) 6) en bikvadratisk irrationalitet (BIQUAD IRRAT) (dvs. rod i en simpel fjerdegradsligning: ax 4 + bx 2 + c = 0) Det er især de to sidste check, der tager tid (ca. 10 sekunder hver!). Programmet NICE kan fx bruges til at undersøge om resultatet af beregningerne er et simpelt tal, der kan udtrykkes med nogle få kvadratrødder. Det kan godt give overraskende resultater. Fx er værdierne for de trigonometriske funktioner sin, cos og tan udregnet for de magiske vinkler 15°, 30°, 45°, 60°, 75° 18°, 36°, 54°, 72° alle rationale, kvadratisk irrationale eller bikvadratisk irrationale. I nogle af tilfældene er dette selvfølgelig yderst velkendt, men hvor mange kender fx de følgende simple resultater? Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11 NICE som færdighedstræner Programmet kan også bruges til at træne simple færdigheder med. Fx er det både hurtigt og sikkert i reduktion af simple beregninger med kvadratrødder – et emne, der bestemt ikke er trivielt for vore elever! Fig. 12 Fig. 13 • Fig. 14 Endelig kan man bruge programmet til at illustrere forskellige typiske grænseovergange, idet resultatet af beregningen lagres i Ans, og derfor kan indgå i iterative beregninger præcis som det er tilfældet med Frac-rutinen. Først et eksempel på Newtons metode, i dette tilfælde til approksimation af 3 : Fig. 15 Dernæst et eksempel på en kædebrøksiteration, i dette tilfælde iteration af den brudne lineære funktion 1/(3+x) svarende til kædebrøken: 1 1 x = = 3 + x 1 3 + 1 3 + 3 + ... 13
Page 1 and 2: GALAXEN Marts 1998 - Nr. 17 Magasin
Page 3 and 4: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 VÆRD A
Page 5 and 6: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 0.14 0.
Page 7 and 8: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Da p-va
Page 9 and 10: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Dette g
Page 11: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 Frac-ru
Page 15 and 16: GALAXEN Nr. 17 - Marts 1998 I SHALL

PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?