PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData

12
Nr. 17 – Marts 1998 GALAXEN
selvfølgelig mere speget, fordi den
grafiske lommeregner kun arbejder
med en endelig præcision!
For at afgøre om et lommeregnertal
opfører sig rationalt, skal vi altså
udvikle det i en kædebrøk. Hvis der
fremkommer en endelig kædebrøk er
sagen selvfølgelig i orden. Men på
grund af afrundingsfejl, behøver
resten ikke blive eksakt nul:
Fig. 7
Da 22/7 = 3 + 1/7 består spektret
netop af tallene 3 og 7.
Den tredje heltalsdel 4.76·10 11 skyldes
afrundingsfejl i lommeregneren.
Spørgsmålet er så hvor lille en rest, vi
vil acceptere som værende tæt nok
på nul: Valget af denne grænse giver
et ’filter’, som accepterer nogle
lommeregnertal som opførende sig
rationalt, mens andre forkastes, fordi
de ikke udviser den rette rationale
opførsel.
I praksis ønsker vi selvfølgelig at
genkende så mange rationale tal som
muligt. På den anden side ønsker vi
ikke at genkende et tal som rationalt,
hvis det klart er fremkommet ved en
irrational udregning. Vi skulle helst
holde fingrene fra 100 2 og 1000π.
Nu er de kvadratiske irrationaliteter
ikke noget større problem, fordi de
netop udgør den type tal, som adskiller
sig mest fra de rationale tal. Det
er langt mere problematisk med
transcendente tal som 1000π. For at
få en fornemmelse for problemet,
kan vi starte med at prøve at udregne
spektret for π:
3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 21, 3,
1, 1, 2, 64, 4, 1, 48
(NB! Det er de første tyve tal i lommeregnerens
spektrum – og de stemmer
jo ikke nødvendigvis overens med
tallene i det eksakte spektrum! Faktisk
er det kun de første 12 tal i det
ovenfor anførte spektrum, der er
korrekte). Læg mærke til tallet 292 i
starten, som er overraskende højt!
Det viser, at et filter under fx 1/250
ville lade slippe π igennem som et
rationalt tal!
Prøver vi i stedet med 1000π fås
spektret
3141; 1, 1, 2, 5, 22, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1,
1, 15, 6, 2, 1, 1, 3, 2
Her er det største tal i brøkdelsspektret
givet ved 22, så der er faktisk
ingen fare for at genkende det som
rationalt. (Og derved har vi fundet
endnu en måde at undgå Fracrutinens
fejlagtige genkendelse af
1000π som værende et rationalt tal!)
Et af de virkeligt grimme tal, som
man skal gardere sig mod er π 4 , som
har en usædvanlig lille rest i starten
af kædebrøksudviklingen, idet spektret
indeholder det usædvanligt høje
tal 16539:
Fig. 8
I praksis benytter man derfor et filter
som 10 -5 til at afgøre om resten er
lille nok.
Hvis man nu ikke indenfor de første
20 iterationer kan finde en rest som
er lille nok opfører lommeregner
tallet sig altså ikke rationalt. Man
kan da undersøge om tallet i stedet
skulle være en kvadratisk irrationalitet,
dvs. om spektret ser ud til at
være periodisk. Det sker i praksis ved
at undersøge om en passende forskydning
af spektret stemmer overens
med det oprindelige spektrum.
Hvis vi fx ser på spektret for tallet
(9– 3 )/6, som er givet ved
L1 = {1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 …},
så vil den to gange forskudte liste L1″
L1″ = {1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 … }
netop ende på samme måde som L1,
idet differensen ender på lutter
nuller:
L1–L1″ = {0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0…}.
Altså er spektret periodisk med
perioden 2. Dermed har vi samlet
ingredienserne til et program, som
kan genkende simple typer af tal, og
dermed udføre simple inverse symbolske
udregninger.
De ovenstående rutiner er samlet i
programmet NICE, der findes til
såvel TI-82, TI-83 som TI-86. Det
adskiller sig fra Frac-rutinen på to
forskellige måder: Dels kan det også
genkende simple kvadratrodskombinationer,
dels er det meget mere
forsigtigt med at genkende rationale
tal, idet det både checker om tallet
opfører sig rationalt, og om det
rationale tal genskaber alle cifrene
indefor regnemaskinens nøjagtighed.
Til gengæld er det selvfølgelig ikke så
hurtigt som Frac-rutinen, da det jo
skal fortolkes under udføreslen, i
modsætning til Frac-rutinen, som jo
er skrevet i maskinkode. Det skal
derfor ikke opfattes som en erstatning
for Frac-rutinen, men som et
nyttigt supplement!