PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData
PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData
PDF: Galaxen Nr. 17 - Marts 1998 - SmartData
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
GALAXEN<br />
<strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> – <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> Magasin om Matematik & Lommeregnere<br />
NOGEN MÅ DA<br />
VIDE DET?<br />
I dette nummer af<br />
GALAXEN er der<br />
blandt andet to<br />
indlæg, som<br />
behandler spørgsmålet<br />
om, hvilke<br />
regnere, man bør<br />
anbefale til de<br />
mindste klasser –<br />
og hvorfor! Mit<br />
bidrag til diskussionen er meget<br />
enkelt: Texas Instruments har et tæt<br />
samarbejde med pædagoger over<br />
hele verden, primært i USA, England<br />
og Frankrig. Det er erfaringerne<br />
herfra, der styrer udviklingen af<br />
vore produkter til skolebrug – fra de<br />
enkleste modeller til de mest avancerede<br />
grafregnere.<br />
Med venlig hilsen<br />
Finn Suhr<br />
Texas Instruments<br />
INDHOLD<br />
Nogen må da vide det? 1<br />
Hvilken maskine skal jeg vælge? 1<br />
Et nødråb 2<br />
Værd at læse 3<br />
Den store ener og en ny version 4<br />
Tag tallene med<br />
Anvendelse af TI-83 på markeds–<br />
5<br />
økonomi og HD 6<br />
Nogle tegninger på TI-82 8<br />
Inverse symbolske beregninger 10<br />
I shall never believe<br />
that God plays dice with the world 15<br />
HVILKEN MASKINE SKAL JEG VÆLGE?<br />
Af Viggo Hartz<br />
Der er i hvert tilfælde helt klare<br />
fordele ved, at det er læreren, der<br />
vælger maskintype. Det er ikke blot<br />
ulovligt, men også meget upraktisk,<br />
hvis eleverne selv bliver bedt om at<br />
købe maskinerne. Nogle elever vil<br />
møde op med maskiner af en kvalitet,<br />
der lader ane, at det er noget, der<br />
er givet i gratis tilgift ved køb af en<br />
eller anden vare, mens andre, jævnfør<br />
de mægtige passersæt enkelte<br />
elever med store forældreambitioner<br />
tidligere kunne møde op med,<br />
kommer med maskiner med en<br />
kapacitet der rækker langt ind i<br />
ingeniørstudiet, og en murstenstyk<br />
manual.<br />
Skal selvfølgelig passe til<br />
behov<br />
Mit valg for eleverne har altid været<br />
en maskine, der kunne klare de<br />
behov, der svarer til det, eleverne<br />
kunne blive udsat for ved folkeskolens<br />
afgangsprøver. Det betyder<br />
selvfølgelig ikke, at jeg udelukker<br />
muligheden for med enkelte elever<br />
at arbejde med fx trigonometriske<br />
funktioner, men de kan jo bare låne<br />
en grafregner eller et andet tilsvarende<br />
kraftigt værktøj af læreren.<br />
Den forkerte indgangsvinkel<br />
Når man ser, at mange lærere vælger<br />
en lille firefunktionsregner til de<br />
mindste elever, må det skyldes at<br />
lommeregneren i skolen desværre<br />
stadig blot betragtes som et værktøj<br />
der er beregnet til at klare nogle<br />
numeriske beregninger, der er for<br />
vanskelige til at eleven kan magte<br />
dem i hovedet.<br />
Lommeregneres vigtigste<br />
funktion<br />
Men det vigtigste ved indførelsen af<br />
lommeregneren fra skolestarten<br />
eller fra ca. 2. klasse, er jo slet ikke<br />
den side af sagen. Lommeregnerens<br />
vigtigste funktion i skolen er dens<br />
muligheder som et undervisningsmiddel,<br />
der udvider elevernes talfornemmelse<br />
og støtter deres indlæring<br />
af algebra.<br />
AOS - hvad ellers?<br />
Det er fx vigtigt for mig at lommeregneren<br />
regner efter de vedtagne<br />
algebraiske regler. En firefunktionsregner<br />
vil på indtastningen: 4+5×6<br />
svare 54, hvor en matematikregner<br />
svarer 34 i overensstemmelse med<br />
den måde vi har valgt at skrive og<br />
beregne den slags udtryk. Jeg finder<br />
ikke, at det er en undervisningsmæssig<br />
fordel at man får et forkert svar.<br />
Det betyder ikke, at man med en<br />
matematikregner fritages for at<br />
arbejde med regningsarternes hierarki.<br />
Det er stadig vigtigt undervisningsstof,<br />
og det behandles netop<br />
glimrende sammen med parenteser<br />
og deres brug. Her giver matematikregneren<br />
netop eleverne mulighed<br />
for at skaffe sig eksperimentelle<br />
erfaringer, der støtter eller ligefrem<br />
fremkalder læringen på dette punkt.<br />
Skal vi have brøker med?<br />
Mange matematikregnere har i dag<br />
et fuldt brøkregningsprogram, der<br />
gør det muligt at udføre beregninger<br />
indenfor de fire regningsarter og<br />
potensopløftning med brøker, også<br />
sådanne som er større end 1 eller<br />
FORTSÆTTES PÅ SIDE 2<br />
1
2<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
FORTSAT FRA SIDE 1<br />
skrevet som „blandet tal“, når blot<br />
nævneren ikke bliver for stor. Det er<br />
klart, at en sådan mulighed ikke er<br />
medtaget i lommeregneren af praktiske<br />
grunde. Det er vanskeligt at<br />
forestille sig, hvilke beregninger<br />
elever vil kunne komme ud for, hvor<br />
et tal skrevet med 8 betydende cifre<br />
ikke er tilstrækkeligt i en praktisk<br />
situation, den være sig fiktiv eller<br />
reel. Altså er den del af lommeregneren<br />
en hjælp til læreren i vedkommendes<br />
arbejde med at give eleverne<br />
en forståelse for, hvorledes regnings–<br />
arterne virker på brøker.<br />
Opfyldelse af læseplanerne<br />
Det er vanskeligt for mig at se,<br />
hvorledes det overhovedet er muligt<br />
at forestille sig, hvordan det matematikprogram,<br />
som læseplanerne lægger<br />
op til, skulle kunne gennemføres<br />
uden en eksperimenterende anvendelse<br />
af lommeregneren, som antydet<br />
i det ovenstående. Der skal undervisningsdifferentieres<br />
og elevens fantasi<br />
og ansvar for egen læring er absolutte<br />
krav til matematikundervisningen.<br />
Det er derfor, at det er muligt i<br />
arbejdet med regningsarterne at stille<br />
krav til, at eleverne udvikler deres<br />
egne algoritmer. Dette er vanskeligt,<br />
uden at de samtidig bliver vænnet til<br />
at arbejde eksperimenterende og<br />
kreativt med deres lommeregner, og<br />
så er det vigtigt, at den kan noget.<br />
ET NØDRÅB<br />
Af Lars Høj<br />
Det er næsten ikke til at bære. Hver<br />
gang jeg spørger nogen om, hvordan<br />
man med henvisning til indvundne<br />
erfaringer kan argumentere for, at<br />
den ene slags regnemaskine er bedre<br />
end den anden, får jeg undvigende<br />
svar.<br />
Alle synes at være enige om, at Math<br />
Explorer er bedre end TI-106 som<br />
grundskoleregner – ingen tvivl om<br />
den sag. Men lige så utvivlsomt er<br />
det, at ingen tør stikke hovedet frem<br />
og fortælle hvordan og hvorfor.<br />
På næste side refererer Viggo Hartz<br />
til en svensk redegørelse, hvor der<br />
som generel anbefaling af regnemaskinen<br />
udpeges konkrete fordele.<br />
Helt fint, men ingen (af de citerede)<br />
fordele er så funktions- eller designspecifikke,<br />
at de kan bruges til at<br />
sige: ”Derfor skal vi vælge Math<br />
Explorer fremfor en simpel firefunktionsregner!“<br />
Jeg nægter – som far til to børn i<br />
folkeskolen – at tro på, at der ikke er<br />
nogen, der gider gøre sig den ulejlighed<br />
at undersøge sagen.<br />
Der er ikke længere nogen tvivl om,<br />
at regnemaskinen faktisk har sine<br />
gode sider, også selvom der stadig er<br />
mange svage regnere. Endda så gode<br />
sider, at den almindelig regneuduelighed<br />
kunne frygtes at være blevet<br />
endnu værre, hvis ikke regnemaskinen<br />
havde været der. (Det er selvfølgelig<br />
rystende at se en ung ekspedient<br />
i en boghandel haste til regnemaskinen<br />
for at slå tallene 268 og 99<br />
sammen, men hun kan i det mindste<br />
bruge regnemaskinen...).<br />
Danmark var i sin tid selve foregangslandet,<br />
da vi fik indført lommeregnere<br />
i undervisningen. Fra hele<br />
verden valfartede de her til – for at<br />
sælge regnemaskiner, men så sandelig<br />
også for at finde ud af, hvad det<br />
var, man havde forstået i Danmark,<br />
siden vi gav børnene regnemaskiner.<br />
I dag kommer der ikke mange til<br />
Danmark for at se, hvad vi dog<br />
finder på. Det skulle da lige være på<br />
gymnasieniveau, hvor der kan<br />
undervises i matematik efter bøger,<br />
der er skrevet til at blive brugt med<br />
en grafregner.<br />
Mig bekendt er det efter 20 år kun<br />
pioneren Viggo Hartz, der har udgivet<br />
lærebøger til matematik i<br />
folkeskolen, hvor man tager lommeregneren<br />
som udgangspunkt. Ret<br />
mig endelig, hvis jeg tager fejl!<br />
Da lommeregneren for alvor kom ud<br />
på skolerne i skoleåret 1977/78, var<br />
der en lang række lærere, der med<br />
statistikker i hånden kunne vise, at<br />
det er er bedre at trykke på en tast<br />
end at tælle på fingre. Er der ikke<br />
nogen, der i dag kan påtage sig at<br />
undersøge, om det er ligegyldigt eller<br />
ej, hvilken regnemaskine man bruger,<br />
mens man lærer at regne?
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
VÆRD AT LÆSE<br />
Af Viggo Hartz<br />
Det er ikke kun i Danmark at matematikundervisningen<br />
ændres radikalt<br />
i disse år. I Sverige skrev Olof<br />
Magne for få år siden en udredning<br />
med titlen:<br />
Matematikinlärning i teori och<br />
praktik inför 2000.<br />
Udredningen er på 65 A4 sider.<br />
Hæftet, der har nummer 591, fås ved<br />
henvendelse til:<br />
Lärarhögskolan,<br />
Lunds universitet<br />
Box 23501<br />
S-20045 Malmö.<br />
Et spørgsmål om traditioner<br />
Olof Magne siger i forordet: Det der<br />
siges i heftet drejer sig om spørgsmålet<br />
om hvorledes du og jeg stiller<br />
os til at forandre skolematematikken.<br />
Lad os se på nogle eksempler<br />
på hvorledes vore modtagere,<br />
eleverne, regner. Følger de vore<br />
regnemønstre? Det viser sig at både<br />
du og jeg og eleverne klarer sig<br />
ganske fint uden dem. Hvorfor<br />
anvender skolen så de rigide regneopstillinger<br />
og andre algoritmer? Er<br />
forklaringen den historiske tradition<br />
fra tider hvor matematikken havde<br />
en anden social rolle at spille end i<br />
dag? I dag bør lommeregneren og<br />
datamaskinerne prioriteres. Mange<br />
algoritmer kan behandles som<br />
kuriositeter. Læreren kan fortælle<br />
om dem. Men behøver de at blive<br />
trænet? Måske udgør algoritmetræningen<br />
omkring 90% af grundskolens<br />
matematikundervisning. Problemløsning<br />
er betydningsfuld og<br />
bør beherskes bedre end i dag. Ved<br />
at bortskære hovedparten af den<br />
traditionelle regnetræning får eleverne<br />
tid til at arbejde meget mere med<br />
de konstruktive sider af matematikken.<br />
Vi får også meget bedre mulighed<br />
for at integrere det matematiske<br />
stof og inddrage matematikfærdigheder<br />
i andre fag og emner.<br />
Måske vækker disse tanker din og<br />
min kritik af den indtil nu rådende<br />
didaktiske opfattelse at det er fra<br />
læreren at al elevens læring kommer.<br />
Fra biopsykologien har vi fået<br />
konstruktivismen. Den hævder at al<br />
læring opstår i eleven. Læring er den<br />
aktive og personlige virksomhed<br />
som kun eleven selv kan skabe.<br />
At udskifte regneopstillinger<br />
med<br />
lommeregneren<br />
fører til positiv<br />
indlæringseffekt<br />
Nøgleord for undervisningen<br />
Nøgleord: Algoritmer, individualisering,<br />
konstruktivisme, undervisningsmidler,<br />
læseplan, matematikindlæring,<br />
lommeregnere, personlighedsprofilering,<br />
problemløsning.<br />
Til dette vil man måske sige, at det<br />
ligner stort set det vi netop med den<br />
nye skolelov og dertil hørende<br />
CKFer og læseplaner, arbejder med<br />
at få til at blive virkelighed i skolen.<br />
Men Magnes argumentation er<br />
stærk, ikke mindst hans glimrende<br />
eksempler på, hvorledes børn tænker,<br />
når de tænker matematik. Her er der<br />
mange gode eksempler på noget,<br />
som en del matematiklærere desværre<br />
står lidt famlende overfor: Børns<br />
udvikling af egne algoritmer.<br />
Mange af eksemplerne vil også være<br />
gode i en situation, hvor man snakker<br />
med forældre om de nye tendenser<br />
i matematikundervisningen. Vi<br />
må ikke glemme at vi må påtage os<br />
et stort medansvar for at oplyse<br />
forældrene om disse ting, der er ikke<br />
andre der gør det. Og uden forældrenes<br />
forståelse for det rigtige i<br />
forandringerne vil disse falde til<br />
jorden. Det må jo huskes at det med<br />
at kunne behandle de fire regning-<br />
sarter på papir, var hovedindholdet<br />
af de fleste af voksengenerationens<br />
regnetimer.<br />
De internationale forsøg<br />
Et sted opsumerer Magne resultaterne<br />
at de mange internationale forsøg<br />
på følgende måde:<br />
...viser de internationale forsøg med<br />
al ønskelig tydelighed at, trods<br />
meget lidt øvelse, forstår eleverne<br />
„regning“ bedre, når de bruger<br />
lommeregner.<br />
At udskifte regneopstillinger med<br />
lommeregneren fører til positiv<br />
indlæringseffekt. Man opnår følgende:<br />
✓ Eleverne får en bedre opfattelse<br />
af vigtige begrebselementer<br />
✓ De vælger oftere den rigtige<br />
regneart<br />
✓ De bliver dygtigere til overslagsregning<br />
og hovedregning<br />
✓ De klarer talbehandling lige så<br />
godt (eller bedre)<br />
✓ De får meget mere tid til problemløsning<br />
✓ De kan bruge mere tid til emneområder<br />
der er centrale i matematikken.<br />
Bestil hæftet!<br />
Men meget bedre end at jeg fortsætter<br />
med at citere fra dette spændende<br />
hæfte, vil det være om man selv<br />
anskaffer det til personlig oplysning<br />
og inspiration, så det være hermed<br />
anbefalet på det varmeste.<br />
3
4<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
DEN STORE ENER OG EN NY VERSION<br />
Af David Fielker<br />
Jeg har fornylig igen fået lejlighed til<br />
at prøve nogle af de ‚hemmelige<br />
funktioner‘, som jeg for et par år<br />
siden skrev om – bl. a. Hartwig<br />
Meissners Den Store Ener.<br />
Denne opgave består i, at jeg tager<br />
en almindelig 4-funktionslommeregner,<br />
der har konstant divisor ved<br />
division, og så indtaster f.eks. ÷, 31,<br />
=. Nu beder jeg eleverne (der i dette<br />
tilfælde svarede til en dansk 3.<br />
klasse) om at give mig et tal.<br />
Med en af de klasser, som jeg nu for<br />
tiden arbejder med, gik det på den<br />
følgende måde.<br />
Børnene foreslog et tal, som jeg<br />
indtastede, fulgt af =, og jeg skrev<br />
resultatet på tavlen. Så kom der<br />
efterhånden følgende forslag:<br />
13 0.4193548<br />
3 0.0967742<br />
en million! 32258.064<br />
<strong>17</strong> 0.5483871<br />
14 0.4516129<br />
70 2.2580645<br />
Nu var det klart, efter meget diskussion,<br />
at nogle resultater var større en<br />
1, og nogle var mindre. Jeg spurgte,<br />
om det var muligt at få nøjagtigt 1.<br />
60 1.9354839<br />
Ja, nu vidste de, at 60 var for meget<br />
og <strong>17</strong> var for lidt.<br />
21 0.6774194<br />
59 1.9032258<br />
25 0.8064516<br />
Nu holdt vi en lille diskussion om<br />
situationen. Jo, vi søgte nu efter<br />
noget mellem 59 og 25, men var det<br />
bedst at kravle langsomt ned fra det<br />
første eller langsomt op fra det<br />
andet? Kunne man ikke gætte lidt<br />
mere nøjagtigt på, hvor det skulle<br />
ligge henne?<br />
Jo, det kunne man.<br />
50 1.6129032<br />
35 1.1290323<br />
Ih, nu er vi meget tæt på det.<br />
30 0.9677419<br />
Endnu tættere, men lidt for lille!<br />
32 1.0322581<br />
Nå, lidt for højt!!<br />
31 1<br />
Ja!!!<br />
Jeg skal påpege, at disse elever ikke<br />
var ret fortrolige med decimaltal,<br />
men de sad og fik efterhånden nogle<br />
begreber om dem. De ting, de dog<br />
sad og lærte, var ikke de sædvanlige<br />
om tiendedele, hundrededele, tusindedele,<br />
osv., eller om at addere eller<br />
subtrahere. Det var begreber om,<br />
hvor tæt tallene lå på andre tal, og at<br />
de cifre, der var det nærmeste til<br />
decimalkommaet, var de vigtiste -<br />
begreber som vi sjældent underviser<br />
i. (Det er bortset fra andre idéer om<br />
strategier for at få svaret så hurtigt<br />
som muligt!)<br />
Efter nogle lignende opgaver præsenterede<br />
jeg noget lidt anderledes, der<br />
gik sådan:-<br />
75 27.777778<br />
24 8.8888889<br />
5 1.8518519<br />
4 1.4814815<br />
3 1.1111111<br />
2 0.7407407<br />
Man kan se, hvor hurtigt det nu var<br />
gået. Men nu fik eleverne et lille stød.<br />
Det var klart, at svaret lå mellem 2<br />
og 3 men ...<br />
Nå, ja!<br />
2.5 0.9259259<br />
2.6 0.962963<br />
2.7 1<br />
Jeg havde også prøvet disse opgaver<br />
med nogle ældre elever (der svarer<br />
til en dansk 4. klasse). Det gik ikke<br />
ret meget hurtigere, selv om de vidste<br />
lidt mere om decimaltal. Men dog.<br />
Pludselig gik det op for mig, for<br />
første gang siden jeg for mange år<br />
siden mødte opgaven, at man nemt<br />
kunne lave det til noget andet. Hvis<br />
man kunne bruge divisionskonstant,<br />
så kunne man også bruge multiplikationskonstant<br />
på den samme måde.<br />
Man indtaster f.eks. 2 x 3 =. Nu når<br />
man så indtaster 5 =, får man 10,<br />
fordi alle følgende tal bliver ganget<br />
med 2.<br />
Jeg programmerede min lommeregner<br />
til at gange med 7, og igen<br />
inviterede jeg klassen til at give mig<br />
forskellige tal og prøve at få 1. Man<br />
kan følge deres tanker, og se hvordan<br />
de genkender det, når svaret<br />
ligger mellem 2 cifre, og så fortsætter<br />
med det laveste med et 5-ciffer<br />
bagefter:<br />
10 70<br />
5 35<br />
2 14<br />
1 7<br />
0.5 3.5<br />
0.2 1.4<br />
0.1 0.7<br />
0.15 1.05
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
0.14 0.98<br />
0.145 1.015<br />
0.143 1.001<br />
0.142 0.994<br />
0.1425 0.9975<br />
osv.<br />
TAG TALLENE MED<br />
Af Lars Høj<br />
Der er ingen, der siger, at forældre<br />
og børn ikke må regne sammen. TI<br />
har udgivet et aktivitetshæfte (på<br />
amerikansk), der giver en lang række<br />
forslag til, hvordan familien kan få<br />
tiden til at gå med at lave sjove talog<br />
regneopgaver, mens man venter<br />
på maden eller kører i bil.<br />
Alt sammen med et glimt i øjet og<br />
med gode anvisninger på, hvordan<br />
man præsenterer ideen.<br />
I min familie har vi udnyttet børnenes<br />
regneglæde ved at give dem<br />
Little Professor inde skolegangen,<br />
hvad der har forhindret mange<br />
„Hvornår er vi der Far“, når vi har<br />
kørt langt. Med en lommeregner i<br />
bilen og Uncovering Math With Your<br />
Family er det faktisk lykkedes at få<br />
en dreng på 14 til at begynde at<br />
regne for sjov igen!<br />
Læsere med Internet-adgang kan<br />
hente hæfte som Acrobat <strong>PDF</strong> fil på<br />
http://www.ti.com/calc/docs/familymath.htm<br />
Andre kan bestille hæftet hos Texas<br />
Instruments på telefon 44687400.<br />
Det er en interessant måde at få en<br />
syvendedel på! Og der var meget at<br />
diskutere bagefter om brøker og<br />
deres forbindelse med division.<br />
Jeg skal også nævne Ken, en kvik<br />
dreng. Det gik snart op for ham, at<br />
lommeregneren gangede med 7,<br />
derfor skulle man dividere 1 med 7<br />
for at finde svaret. Mens resten af<br />
klassen fortsatte med opgaven, på<br />
den måde som jeg har beskrevet<br />
ovenfor, begyndte Ken at regne 1:7 i<br />
hovedet!<br />
Bl.a. er det en af den type opgaver,<br />
hvor alle i klassen kan få noget<br />
passende ud af det, på deres eget<br />
niveau, uanset hvor dygtige de er.<br />
Det er i grunden noget vigtigt, når<br />
man hele tiden skal holde øje med<br />
undervisningsdifferentieringen.<br />
5
6<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
ANVENDELSE AF TI-83 PÅ MARKEDSØKONOMI OG HD<br />
Af Peter Zangenberg, Silkeborg<br />
Handelsskole<br />
På Markedsøkonomistudiet og HDstudiet<br />
vil TI-83 kunne anvendes til<br />
bl.a. statistiske og finansielle beregninger.<br />
Jeg vil her komme ind på,<br />
hvorledes TI-83 kan anvendes til<br />
løsning af opgaver i statistik. Gennemgangen<br />
tager udgangspunkt i<br />
eksamensopgaven til markedsøkonomi<br />
1997, dog således at besvarelsen<br />
ikke vil være fyldestgørende. Der<br />
anvendes . (punktum) som decimal–<br />
tegn.<br />
Et af de forhold, der gør TI-83 specielt<br />
anvendelig i statistik, er muligheden<br />
for ved tests at anvende<br />
parametre. Ved i tests at anvende<br />
Stats i stedet for Data som input,<br />
vil stikprøveresultaterne kunne<br />
indtastes (f.eks. middelværdien og<br />
standardafvigelsen fra stikprøven) i<br />
stedet for en liste med observationerne.<br />
Dette bruges i opgave 4 (bringes i<br />
næste nummer af GALAXEN).<br />
Temaet for opgavesættet er anvendelsen<br />
og salget af mobiltelefoner.<br />
Opgave<br />
1<br />
Model<br />
X = Antal samtaleminutter pr. 3<br />
måneder<br />
X ~ N( μ ; σ 2 ), μ = 120 σ 2 = 1200<br />
1.1) Bestem P( X > 85 )<br />
Sandsynligheden findes ved anvendelse<br />
af DISTR (fordelinger).<br />
normalcfd(lowerbound,upperbound,μ,σ)=<br />
Antal<br />
Kunde nr. Samtaleminutter<br />
1 30<br />
2 33<br />
3 49<br />
4 32<br />
5 24<br />
6 28<br />
7 52<br />
8 5<br />
9 50<br />
10 38<br />
11 15<br />
12 34<br />
13 18<br />
14 40<br />
15 77<br />
normalcfd(85,1000,120,√(1200)) =<br />
0.8438<br />
Ovenstånde skema viser en stikprøve<br />
på n = 15 observationer af antal<br />
samtaleminutter pr. måned:<br />
De viste tal indlægges i liste L 1<br />
(STAT,EDIT).<br />
1.2) Undersøg om observationerne<br />
kan antages at være normalfordelte.<br />
Plot1 gøres aktiv. Under STAT<br />
PLOT vælges Plot1 (se Fig. 1).<br />
Fig. 1<br />
TI-83 kan selv fastsætte ZOOMformat<br />
ved ZOOM og ZoomStat.<br />
Ved at vælge GRAPH fås en afbildning<br />
af observationerne og de tilsvarende<br />
z-fraktiler. Da punkterne<br />
tilnærmelsesvis ligger på en ret linie,<br />
antages normalitet.<br />
Fig. 2<br />
1.3) Bestem stikprøve middelværdi<br />
og et konfidensinterval for μ.<br />
De observerede værdier er i listen L 1 .<br />
Et 95% konfidensinterval bestemmes<br />
ved STAT, TESTS. Her vælges<br />
8:TInterval, idet standardafvigelsen<br />
er ukendt. Denne funktion viser<br />
tillige middelværdien.<br />
Input (Inpt) vælges til Data, idet<br />
stikprøvedata foreligger.<br />
Fig. 3-4<br />
Middelværdien er altså 35 og konfidensintervallet<br />
bliver:<br />
25.288 < μ < 44.712<br />
1.4) Test på 5% niveau, om observationerne<br />
fortsat kan antages at<br />
stamme fra en normalfordeling<br />
med μ = 40 og σ = 20.<br />
Først testes, om σ < 20.<br />
Det gøres ved under DISTR at anvende<br />
χ 2 cdf(lowerbound,upperbound,df).<br />
χ2cdf(0,(n-1)*s 2<br />
x /σ0 2 ,14) =<br />
χ2cdf(0,14*<strong>17</strong>,53772 /202 ,14) =<br />
0.2956<br />
Del 1 af 2<br />
(dette svarer til α Kr eller p-value)<br />
s x 2 indsættes ved<br />
VARS,5:Statistics og 3:Sx
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
Da p-value er over 5% kan hypotesen<br />
ikke forkastes – altså antages<br />
σ = 20.<br />
Nu testes, om μ < 40 (= alternativhypotese).<br />
Da σ = 20 antages kendt, anvendes<br />
et z-test.<br />
Under STAT,TESTS vælges<br />
1:Z-Test<br />
Fig. 5-6<br />
Resultatet p = 0.1665 svarer til α Kr<br />
eller p-value.<br />
Vi kan altså ikke forkaste at μ = 40<br />
på 5% niveau.<br />
Opgave<br />
2<br />
For at undersøge frafaldet blandt nye<br />
abonnenter, har et teleselskab indsamlet<br />
oplysninger fra 4 forhandlertyper<br />
og 3 geografiske områder. Fra<br />
hver forhandlertype og område er<br />
der udtaget en stikprøve på 300 – i<br />
alt 1200 abonnenter. Resultatet<br />
fremgår af tabellen til højre.<br />
2.1) Punkt- og intervalestimér den<br />
andel, der opsiger abonnementet.<br />
Under STAT, TESTS vælges<br />
A:1-PropZInt.<br />
Fig. 7-8<br />
Estimeret andel ses at være 0.3858 og<br />
konfidensintervallet:<br />
0.3583 < p < 0.4134<br />
2.2) Punkt- og intervalestimér<br />
forskellen mellem andelene for<br />
lavprisvarehuse og tankstationer.<br />
Under STAT, TESTS vælges<br />
B:2-PropZInt.<br />
Fig. 9-10<br />
Punktestimatet er altså<br />
0.4500 – 0.5967 = - 0.1467<br />
og konfidensintervallet:<br />
- 0.2257 < p 1 - p 2 < - 0.0676<br />
Forhandlertype<br />
Geografisk<br />
område<br />
Det centrale<br />
København<br />
2.3) Test om der er uafhængighed<br />
mellem forhandlertype og<br />
geografi.<br />
Tallene fra tabellen indlægges i en<br />
4x3 matrix.<br />
Vælg MATRX, EDIT og f.eks.<br />
1:[A].<br />
Indtast dimensionen for MATRIX [A]<br />
til 4x3 og indtast tallene fra tabellen<br />
ovenfor.<br />
Fig. 11<br />
Vælg nu STAT,TESTS og derefter<br />
C:χ 2 –Test.<br />
Fig. 12<br />
df=6<br />
angiver antal frihedsgrader =<br />
(rækker-1)*(kolonner-1)<br />
Idet vi får p=0.9955, må hypotesen<br />
om uafhængighed accepteres. Pvalue<br />
vurderes normalt i forhold til<br />
0.01 eller 0.05.<br />
Københavns<br />
nordlige<br />
forstæder<br />
Københavns<br />
sydlige<br />
forstæder<br />
I alt<br />
Specialforretninger 18 15 20 53<br />
Radio / tv kæder 34 24 38 96<br />
Lavprisvarehuse 45 36 54 135<br />
Tankstationer 59 52 68 <strong>17</strong>9<br />
I alt 156 127 180 463<br />
7
8<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
NOGLE TEGNINGER PÅ TI-82<br />
Af Jens Carstensen<br />
Vi skal se på, hvordan man med<br />
forholdsvis enkle programmer på<br />
TI-82 kan få tegnet fraktale billeder.<br />
Desuden skal vi beskrive et program<br />
til tegning af plane kurver, hvis<br />
ligninger kendes.<br />
Affine transformationer<br />
En såkaldt affin transformation f af<br />
planen på sig selv er på matrixform<br />
givet ved<br />
⎛x<br />
⎞ ⎛a<br />
f ⎜<br />
⎟ = ⎜<br />
⎝y<br />
⎠ ⎝c<br />
b⎞⎛<br />
x⎞<br />
⎛ e ⎞<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
⎟<br />
⎟.<br />
d⎠⎝<br />
y⎠<br />
⎝ f ⎠<br />
Vi vælger et passende tegnevindue,<br />
nemlig [0;12]×[0;12], som vi indtaster<br />
på forhånd. Dernæst indfører vi tre<br />
affine transformationer f, g og h, der<br />
alle benytter den samme matrix B<br />
bestemt ved<br />
1 ⎛ 3<br />
B = ⎜<br />
⎝ 0<br />
0⎞<br />
⎟.<br />
1 ⎟<br />
3 ⎠<br />
Denne fremstiller en multiplikation<br />
1<br />
med 3 ud fra koordinatsystemets<br />
begyndelsespunkt. Vi definerer nu<br />
⎛ x⎞<br />
⎛ x⎞<br />
f ⎜<br />
⎟ = B ⎜<br />
⎟<br />
⎝ y⎠<br />
⎝ y⎠<br />
⎛ x⎞<br />
⎛ x⎞<br />
⎛8⎞<br />
g ⎜<br />
⎟ = B ⎜<br />
⎟ + ⎜<br />
0 ⎟<br />
⎝ y⎠<br />
⎝ y⎠<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ x⎞<br />
⎛ x⎞<br />
⎛8⎞<br />
h ⎜<br />
⎟ = B ⎜<br />
⎟ + ⎜ .<br />
8 ⎟<br />
⎝ y⎠<br />
⎝ y⎠<br />
⎝ ⎠<br />
Vi kan skrive f, g og h ud i koordinater:<br />
1 1<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= ( x,<br />
y)<br />
3<br />
1 1<br />
g(<br />
x,<br />
y)<br />
= ( 3 x + 8,<br />
3 y)<br />
1 h(<br />
x,<br />
y)<br />
= ( x + 8,<br />
y + 8)<br />
.<br />
3<br />
Vi samler konstanterne i en 3×7matrix,<br />
som vi i programmet betegner<br />
[A]:<br />
3<br />
1<br />
3<br />
⎛0,<br />
33<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝0,<br />
33<br />
0<br />
[ A]<br />
= 0,<br />
33 0 0 0,<br />
33 8 0 0,<br />
66 .<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0,<br />
33<br />
0,<br />
33<br />
0<br />
8<br />
0<br />
8<br />
0,<br />
33⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
Denne matrix tastes ind på hovedskærmen<br />
inden programmet sættes i<br />
gang. Programmet kan nemlig så<br />
referere til matricen. Første række<br />
angiver konstanterne a, b, c, d, e, f<br />
hørende til f og indeholder som sidste<br />
element den kumulerede sandsynlighed<br />
for at programmet vælger f, g<br />
eller h. Tilsvarende indeholder 2.<br />
række konstanterne for g og 3. række<br />
for h.<br />
Selve programmet, der tegner det<br />
fraktale billede vises nedenfor.<br />
Konstanten M angiver antallet af<br />
iterationer. Hvis M som her sættes til<br />
1000, får man billedet på figur 1, og<br />
det tager ca. 3 minutter.<br />
Programmet fungerer på den måde,<br />
at det ved hvert gennemløb med<br />
1<br />
sandsynligheden 3 vælger afbildnin-<br />
gen f, g eller h. Til slut i programmet<br />
sørger vi for, at kun iterationer efter<br />
de første 10 tegnes.<br />
Fig. 1<br />
Sierpinskitrekanten og snefnugfraktal<br />
Vi kan ændre lidt på konstanterne i<br />
den matrix [A], der beskriver de tre<br />
affine afbildninger, fx sådan:<br />
⎛0,<br />
5<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝0,<br />
5<br />
0<br />
[ A]<br />
= 0,<br />
5 0 0 0,<br />
5 6 0 0,<br />
66 .<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0,<br />
5<br />
0,<br />
5<br />
0<br />
3<br />
0<br />
6<br />
0,<br />
33⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
Så får vi den velkendte Sierpinskitrekant<br />
frem som vist på figur 2. Her er<br />
der brugt M = 2000 iterationer.<br />
Fig. 2<br />
Prøv at ændre matricen [A] til<br />
⎛0,<br />
5<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝0,<br />
5<br />
0<br />
[ A]<br />
= 0,<br />
5 0 0 −0,<br />
5 12 6 0,<br />
66 .<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−0,<br />
5<br />
−0,<br />
5<br />
6<br />
9<br />
6<br />
12<br />
0,<br />
33⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
1<br />
⎟<br />
⎠
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
Dette giver den meget smukke snefnugfraktal<br />
på fig. 3, der også er<br />
frembragt med M = 2000 iterationer.<br />
Fig. 3<br />
Som man kan se er der rigeligt med<br />
muligheder for eksperimenter, der<br />
kan frembringe smukke figurer - men<br />
man må være forberedt på forholdsvis<br />
lange regnetider.<br />
Egeløv<br />
Hvis man indfører 4 affine afbildninger<br />
og andre matricer med nye<br />
sandsynligheder, kan man frembringe<br />
andre figurer. Prøv at ændre<br />
matricen [A] til følgende<br />
⎛ 0,<br />
02 −0,<br />
07 −0,<br />
02 0,<br />
48 141 83 0,<br />
1⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0,<br />
4 0 − 0,<br />
04 0,<br />
65 88 10 0,<br />
5⎟<br />
[ A]<br />
= ⎜<br />
.<br />
− 0,<br />
02 0,<br />
45 − 0,<br />
37 0,<br />
1 82 132 0,<br />
7⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0,<br />
11 0,<br />
6 0,<br />
34 0,<br />
22 237 125 1 ⎟<br />
⎝ − − −<br />
⎠<br />
Man skal på forhånd indstille tegnevinduet<br />
til [75;225] × [0;<strong>17</strong>5]. Derved<br />
får man det meget smukke egeløv på<br />
fig. 4.<br />
Fig. 4<br />
Tegning af kurver<br />
Mange kendte plane kurver er givet<br />
ved ligninger i x og y. Vi ser altså ikke<br />
på kurverne givet ved deres parameterfremstillinger.<br />
Fx er den kendte<br />
Descartes blad givet ved ligningen<br />
x 3 + y 3 = 3axy ,<br />
hvor a er en konstant. Også andre<br />
mere eller mindre fantasifulde ligninger<br />
i x og y angiver kurver i planen<br />
og i reglen kender man ikke deres<br />
parameterfremstillinger.<br />
Af og til kan det derfor være af<br />
interesse med et program, der ‚tegner<br />
en ligning‘ i x og y. En udgave af<br />
Descartes blad er for a = 1 givet ved<br />
ligningen<br />
x 3 + y 3 - 3xy = 0 .<br />
Et program, der tegner denne lignings<br />
løsningsmængde i vinduet<br />
[-3;3]×[-3;3], er vist på fig. 5<br />
Fig. 5<br />
Programmet forudsætter, at venstre<br />
side af ligningen er indtastet som Y 1 ,<br />
altså Y 1 = X^3+Y^3-3XY. Så får<br />
man en punkttegning af kurven på<br />
fig. 6. Men regnetiden er over et<br />
kvarter!<br />
Fig. 6<br />
Parameterfremstillingen for Descartes<br />
blad er iøvrigt for de interesserede:<br />
3at<br />
x =<br />
1 + t<br />
3<br />
,<br />
2<br />
3at<br />
y =<br />
1 + t<br />
Kurven har linien x+y+a = 0 som<br />
asymptote.<br />
Fig. 7 viser kurven (‚stropløs kjole‘)<br />
med ligningen<br />
Fig. 8<br />
(x 2 -1) 2 = y 2 (3-2y) .<br />
Der er rig mulighed for selv at opfinde<br />
nye ligninger i x og y, som kan<br />
tegnes på maskinen.<br />
3<br />
.<br />
9
10<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
INVERSE SYMBOLSKE BEREGNINGER<br />
Af Bjørn Felsager<br />
En grafisk lommeregner er primært<br />
konstrueret til at omdanne et givet<br />
symbolsk udtryk til et decimaltal.<br />
Man starter altså med et eksakt<br />
udtryk for et tal, fx et af udtrykkene<br />
3<br />
e<br />
1<br />
× x<br />
1<br />
dx<br />
og<br />
12<br />
147 −<br />
og omformer det til en ny repræsentation<br />
i form af en endelig decimalbrøk:<br />
Fig. 1<br />
I en invers symbolsk beregning går<br />
man omvendt ud fra decimaltallet,<br />
og forsøger at finde et simpelt eksakt<br />
udtryk, der netop frembringer dette<br />
decimaltal. På trods af at tallet til at<br />
begynde med kun er fremstillet ved<br />
en endelig decimalbrøk, og dermed<br />
behæftet med en vis usikkerhed,<br />
giver dette god mening. Hvis vi<br />
nemlig kan genskabe alle de givne<br />
decimaler ud fra et tilpas simpelt<br />
udtryk er der endog meget stor<br />
sandsynlighed for at dette udtryk<br />
netop repræsenterer det fundne tal.<br />
Hvis vi således finder den endelige<br />
decimalbrøk 0.3333333333 som<br />
resultat af en simpel beregning, vil vi<br />
få meget svært ved at frembringe<br />
netop dette decimaltal, med mindre<br />
der rent faktisk er tale om en beregning<br />
af det rationale tal 1/3. Helt<br />
sikre kan vi naturligvis kun være<br />
gennem en direkte symbolsk omskrivning<br />
af det oprindelige udtryk,<br />
og det kan vi jo så passende forsøge<br />
os med bagefter, når først vi har<br />
genkendt resultatet som 1/3.<br />
3<br />
,<br />
Frac-rutinen<br />
På alle de grafiske Texas lommeregnere<br />
er der indbygget en lille sød<br />
rutine til genkendelse af et rationalt<br />
tal ud fra decimalbrøken, den såkaldte<br />
åFrac-rutine. Den er hurtig<br />
og effektiv og klarer alle rationale tal<br />
med en nævner under 10000. Den er<br />
derfor som skabt til problemer, hvor<br />
man på forhånd ved at svarene er<br />
rationale, fx løsning af lineære<br />
ligningssystemer.<br />
Fig. 2<br />
Her er det illustreret ved løsning af<br />
ligningssystemet<br />
13x – <strong>17</strong>y = –4<br />
35x – 13y = –10,<br />
der altså har den eksakte løsning<br />
x = –59/213 og y = 5/213.<br />
Frac-rutinen lagrer ydermere værdien<br />
af decimaltallet i variablen Ans,<br />
hvorfor man kan indbygge den i fx<br />
iterative processer, her illustreret<br />
med Newtons metode til beregningen<br />
af 2 :<br />
Fig. 3<br />
Her kan lommeregneren selvfølgelig<br />
ikke uden videre genkende 2 , men<br />
som vi kan se, kan det klares ved en<br />
kvadrering til slut.<br />
Men Frac-rutinen er desværre ikke<br />
helt uden problemer. Sålænge tallet<br />
er under 10, så vi har det fulde antal<br />
betydende cifre til vores rådighed for<br />
at fastlægge brøkdelen (14 cifre<br />
internt, dvs. 13 decimaler efter<br />
kommaet) er der ikke noget problem.<br />
Men hvis fx tallet er over 1000 har vi<br />
kun 10 cifre efter kommaet til rådighed<br />
til at fastlægge brøkdelen (idet<br />
heltalsdelen jo ikke volder nogle<br />
problemer). Da Frac-rutinen ydermere<br />
kun forsøger at opnå overensstemmelse<br />
med 10 cifre i alt, dvs.<br />
nøjes med de cifre, der umiddelbart<br />
kan ses på skærmen, betyder det at<br />
vi reelt kun sikrer overensstemmelse<br />
med de 6 cifre efter kommaet. Og det<br />
er ikke så uoverkommeligt, når vi har<br />
alle brøker til rådighed med en<br />
nævner op til 9999! I praksis vil vi<br />
derfor med rimelig stor sandsynlighed<br />
genkende et tal over 1000 som<br />
værende rationalt alene på grundlag<br />
af en tilfældig overensstemmelse med<br />
de første 6 decimaler, og sommetider<br />
vil vi endda være heldige hvis blot<br />
tallet er over 100.<br />
To eksempler vil klarlægge, hvorfor<br />
det er uheldigt. Prøver vi at udregne<br />
diagonalen i et kvadrat med siden 100,<br />
dvs. forsøger vi at beregne tallet<br />
100 2 vil Frac-rutinen genkende<br />
det som værende rationalt. Prøver vi<br />
tilsvarende at beregne omkredsen for<br />
en cirkel med diameteren 1000, dvs.<br />
beregne tallet 1000π, vil Fracrutinen<br />
også genkende tallet som<br />
værende rationalt:<br />
Fig. 4<br />
Det kan selvfølgelig godt give anledning<br />
til lidt begrebsforvirring hos<br />
elever, der ikke er helt sikre i forskellen<br />
mellem de rationale tal og de<br />
irrationale tal, og det er ærgerligt, at
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
Frac-rutinen lader disse eksempler<br />
passere, da maskinen faktisk regner<br />
præcist nok til at kunne se forskellen:<br />
Fig. 5<br />
Hvis man fx sammenligner brøkdelen<br />
fPart af 100 2 med den tilsvarende<br />
brøkdel for 1103228/7801 ses<br />
det jo tydeligt, at de afviger for de<br />
decimaler, der følger efter de første<br />
otte. Et simpelt check indbygget i<br />
Frac-rutinen ville altså kunne fjerne<br />
fejlen. Men som det er nu, må man<br />
leve med den og blot være opmærksom<br />
på, at Frac-rutinen ikke er<br />
troværdig, når tallene bliver for<br />
store, og man derfor reelt kun har 6-<br />
7 decimaler at arbejde med.<br />
Teorien<br />
Hvordan foregår nu en sådan invers<br />
symbolsk beregning i almindelighed?<br />
For at forstå det må vi starte med at<br />
forstå den repræsentation af tallene,<br />
der ligger til grund for lommeregnertallene.<br />
Et tal i en grafisk lommeregner<br />
kan opfattes som ’sløret’, dvs.<br />
som en klump af reelle tal, nemlig<br />
alle de reelle tal, der starter med de<br />
samme 14 cifre, som lommeregneren<br />
opererer med. Det kan sammenlignes<br />
med pixlerne på en computerskærm,<br />
der jo heller ikke repræsenterer et<br />
enkelt punkt i en plan, men en<br />
sværm af punkter, nemlig alle dem,<br />
der ligger indenfor den anførte pixel.<br />
Ethvert lommeregnertal repræsenterer<br />
på samme måde en ’pixel’ på<br />
tallinjen, og dækker derfor i virkeligheden<br />
over en sværm af alle mulige<br />
slags tal: rationale, algebraisk irrationale<br />
og transcendente. Men det er<br />
ikke alle tallene i pixlen, der fremstår<br />
lige tydeligt!<br />
Hvis vi ’zoomer’ ind på en pixel, som<br />
indeholder et tal, der er meget simplere<br />
end de øvrige, så er det dette tal,<br />
man først får øje på med den givne<br />
opløsning. Hvis der findes et sådant<br />
simpelt tal, der skiller sig tydeligt ud<br />
fra baggrunden, er det derfor dette<br />
tal, man bør identificere lommeregnertallet<br />
med. Hvis fx pixlen indeholder<br />
et helt tal, bør lommeregnertallet<br />
identificeres med dette hele tal. Og<br />
hvis pixlen er tæt knyttet til et helt<br />
tal er det også rimeligt oplagt at<br />
identificere tallet. Fx er lommeregnertallet<br />
x = 0,3333333333 tæt knyttet<br />
til 1, idet man netop får 1, hvis<br />
man udregner det reciprokke tal x -1 .<br />
På samme måde er lommeregnertallet<br />
x = 1,4142135623 tæt knyttet til<br />
2 , for man får netop 2, hvis man<br />
kvadrerer tallet, dvs. udregner x 2 .<br />
Nu kan vi selvfølgelig ikke prøve alle<br />
mulige simple beregninger på et givet<br />
lommeregnertal for på den måde at<br />
se, om det er nært beslægtet med et<br />
helt tal. Men vi kan bruge kædebrøksalgoritmen!<br />
Vi må altså også<br />
kende en lille smule til kædebrøker.<br />
Ethvert positivt tal x 0 kan spaltes i en<br />
heltalsdel og en brøkdel. Ved ydermere<br />
at tage den reciprokke værdi af<br />
brøkdelen kan vi skrive tallet på<br />
formen<br />
1<br />
x0<br />
= iPart(<br />
x0)<br />
+ fPart(<br />
x0)<br />
= a0<br />
+ ,<br />
x<br />
hvor<br />
a = iPart(<br />
x )<br />
0<br />
0<br />
og<br />
x<br />
1<br />
=<br />
1<br />
fPart(<br />
x<br />
−1<br />
0)<br />
Fortsætter vi på samme måde med at<br />
spalte tallet x 1 fås starten på en<br />
kædebrøk:<br />
1<br />
x1<br />
= iPart(<br />
x1)<br />
+ fPart(<br />
x1)<br />
= a1<br />
+ ,<br />
x<br />
hvor<br />
dvs.<br />
2<br />
−1<br />
1<br />
x = fPart(<br />
x )<br />
1<br />
x = a0<br />
+<br />
1<br />
a1<br />
+<br />
1<br />
a2<br />
+<br />
...<br />
Følgen af heltalsdele a 0 , a 1 , a 2 , …<br />
kaldes tallets spektrum. Det er rimeligt<br />
nemt at beregne spektret på en<br />
,<br />
2<br />
grafisk lommeregner. Følgende<br />
iterative beregning vil fx beregne<br />
spektret for tallet X og lægge det i<br />
listen L1:<br />
Fig. 6<br />
I første linje indlægger vi startværdien<br />
for iterationen og nulstiller såvel<br />
listen som listepositionen.<br />
I næste linje udregnes dels heltalsdelen,<br />
som lægges ind i listen, dels den<br />
reciprokke af brøkdelen. Endelig<br />
fremskrives listepositionen og listen<br />
udskrives.<br />
Der gælder da den følgende fundamentale<br />
karakterisering af tallet x:<br />
1) Tallet x er rationalt, netop når<br />
spektret er endeligt.<br />
2) Tallet x er kvadratisk irrationalt<br />
(dvs. en irrationel løsning til en<br />
andengradsligning med heltal–<br />
lige koefficienter), netop når<br />
spektret er periodisk.<br />
Da det er rimeligt simpelt at beregne<br />
spektret på en grafisk lommeregner,<br />
kan vi derfor i princippet afgøre om<br />
et forelagt lommeregnertal er rationalt<br />
eller irrationalt; og hvis det er<br />
irrationalt, kan vi ydermere afgøre<br />
om det er kvadratisk irrationalt.<br />
Udfra et endeligt eller periodisk<br />
spektrum er det også overkommeligt<br />
at rekonstruere den eksakte repræsentation<br />
for lommeregnertallet via<br />
standard algoritmer. I praksis er det<br />
11
12<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
selvfølgelig mere speget, fordi den<br />
grafiske lommeregner kun arbejder<br />
med en endelig præcision!<br />
For at afgøre om et lommeregnertal<br />
opfører sig rationalt, skal vi altså<br />
udvikle det i en kædebrøk. Hvis der<br />
fremkommer en endelig kædebrøk er<br />
sagen selvfølgelig i orden. Men på<br />
grund af afrundingsfejl, behøver<br />
resten ikke blive eksakt nul:<br />
Fig. 7<br />
Da 22/7 = 3 + 1/7 består spektret<br />
netop af tallene 3 og 7.<br />
Den tredje heltalsdel 4.76·10 11 skyldes<br />
afrundingsfejl i lommeregneren.<br />
Spørgsmålet er så hvor lille en rest, vi<br />
vil acceptere som værende tæt nok<br />
på nul: Valget af denne grænse giver<br />
et ’filter’, som accepterer nogle<br />
lommeregnertal som opførende sig<br />
rationalt, mens andre forkastes, fordi<br />
de ikke udviser den rette rationale<br />
opførsel.<br />
I praksis ønsker vi selvfølgelig at<br />
genkende så mange rationale tal som<br />
muligt. På den anden side ønsker vi<br />
ikke at genkende et tal som rationalt,<br />
hvis det klart er fremkommet ved en<br />
irrational udregning. Vi skulle helst<br />
holde fingrene fra 100 2 og 1000π.<br />
Nu er de kvadratiske irrationaliteter<br />
ikke noget større problem, fordi de<br />
netop udgør den type tal, som adskiller<br />
sig mest fra de rationale tal. Det<br />
er langt mere problematisk med<br />
transcendente tal som 1000π. For at<br />
få en fornemmelse for problemet,<br />
kan vi starte med at prøve at udregne<br />
spektret for π:<br />
3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 21, 3,<br />
1, 1, 2, 64, 4, 1, 48<br />
(NB! Det er de første tyve tal i lommeregnerens<br />
spektrum – og de stemmer<br />
jo ikke nødvendigvis overens med<br />
tallene i det eksakte spektrum! Faktisk<br />
er det kun de første 12 tal i det<br />
ovenfor anførte spektrum, der er<br />
korrekte). Læg mærke til tallet 292 i<br />
starten, som er overraskende højt!<br />
Det viser, at et filter under fx 1/250<br />
ville lade slippe π igennem som et<br />
rationalt tal!<br />
Prøver vi i stedet med 1000π fås<br />
spektret<br />
3141; 1, 1, 2, 5, 22, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1,<br />
1, 15, 6, 2, 1, 1, 3, 2<br />
Her er det største tal i brøkdelsspektret<br />
givet ved 22, så der er faktisk<br />
ingen fare for at genkende det som<br />
rationalt. (Og derved har vi fundet<br />
endnu en måde at undgå Fracrutinens<br />
fejlagtige genkendelse af<br />
1000π som værende et rationalt tal!)<br />
Et af de virkeligt grimme tal, som<br />
man skal gardere sig mod er π 4 , som<br />
har en usædvanlig lille rest i starten<br />
af kædebrøksudviklingen, idet spektret<br />
indeholder det usædvanligt høje<br />
tal 16539:<br />
Fig. 8<br />
I praksis benytter man derfor et filter<br />
som 10 -5 til at afgøre om resten er<br />
lille nok.<br />
Hvis man nu ikke indenfor de første<br />
20 iterationer kan finde en rest som<br />
er lille nok opfører lommeregner<br />
tallet sig altså ikke rationalt. Man<br />
kan da undersøge om tallet i stedet<br />
skulle være en kvadratisk irrationalitet,<br />
dvs. om spektret ser ud til at<br />
være periodisk. Det sker i praksis ved<br />
at undersøge om en passende forskydning<br />
af spektret stemmer overens<br />
med det oprindelige spektrum.<br />
Hvis vi fx ser på spektret for tallet<br />
(9– 3 )/6, som er givet ved<br />
L1 = {1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 …},<br />
så vil den to gange forskudte liste L1″<br />
L1″ = {1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 … }<br />
netop ende på samme måde som L1,<br />
idet differensen ender på lutter<br />
nuller:<br />
L1–L1″ = {0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0…}.<br />
Altså er spektret periodisk med<br />
perioden 2. Dermed har vi samlet<br />
ingredienserne til et program, som<br />
kan genkende simple typer af tal, og<br />
dermed udføre simple inverse symbolske<br />
udregninger.<br />
De ovenstående rutiner er samlet i<br />
programmet NICE, der findes til<br />
såvel TI-82, TI-83 som TI-86. Det<br />
adskiller sig fra Frac-rutinen på to<br />
forskellige måder: Dels kan det også<br />
genkende simple kvadratrodskombinationer,<br />
dels er det meget mere<br />
forsigtigt med at genkende rationale<br />
tal, idet det både checker om tallet<br />
opfører sig rationalt, og om det<br />
rationale tal genskaber alle cifrene<br />
indefor regnemaskinens nøjagtighed.<br />
Til gengæld er det selvfølgelig ikke så<br />
hurtigt som Frac-rutinen, da det jo<br />
skal fortolkes under udføreslen, i<br />
modsætning til Frac-rutinen, som jo<br />
er skrevet i maskinkode. Det skal<br />
derfor ikke opfattes som en erstatning<br />
for Frac-rutinen, men som et<br />
nyttigt supplement!
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
Noget om NICE<br />
Inden vi diskutere typiske anvendelser<br />
af programmet NICE vil vi kort<br />
skitsere opbygning af programmet.<br />
Der checkes for en række simple<br />
typer af tal, med de hurtige check til<br />
at begynde med og de langsomme<br />
check til sidst. I rækkefølge checkes<br />
der således for om resultatet af en<br />
beregning er<br />
1) et helt tal (INT)<br />
2) kvadratroden af et helt tal (QUAD<br />
INT)<br />
3) et rationalt tal (RAT)<br />
4) kvadratroden af et rationalt tal<br />
(QUAD RAT)<br />
5) en kvadratisk irrationalitet<br />
(QUAD IRRAT) (dvs. rod i en<br />
simpel andengradsligning:<br />
ax 2 + bx + c = 0)<br />
6) en bikvadratisk irrationalitet<br />
(BIQUAD IRRAT) (dvs. rod i en<br />
simpel fjerdegradsligning:<br />
ax 4 + bx 2 + c = 0)<br />
Det er især de to sidste check, der<br />
tager tid (ca. 10 sekunder hver!).<br />
Programmet NICE kan fx bruges til<br />
at undersøge om resultatet af beregningerne<br />
er et simpelt tal, der kan<br />
udtrykkes med nogle få kvadratrødder.<br />
Det kan godt give overraskende<br />
resultater. Fx er værdierne for de<br />
trigonometriske funktioner sin, cos<br />
og tan udregnet for de magiske<br />
vinkler<br />
15°, 30°, 45°, 60°, 75°<br />
18°, 36°, 54°, 72°<br />
alle rationale, kvadratisk irrationale<br />
eller bikvadratisk irrationale. I nogle<br />
af tilfældene er dette selvfølgelig<br />
yderst velkendt, men hvor mange<br />
kender fx de følgende simple resultater?<br />
Fig. 9<br />
Fig. 10<br />
Fig. 11<br />
NICE som færdighedstræner<br />
Programmet kan også bruges til at<br />
træne simple færdigheder med. Fx er<br />
det både hurtigt og sikkert i reduktion<br />
af simple beregninger med<br />
kvadratrødder – et emne, der bestemt<br />
ikke er trivielt for vore elever!<br />
Fig. 12<br />
Fig. 13<br />
•<br />
Fig. 14<br />
Endelig kan man bruge programmet<br />
til at illustrere forskellige typiske<br />
grænseovergange, idet resultatet af<br />
beregningen lagres i Ans, og derfor<br />
kan indgå i iterative beregninger<br />
præcis som det er tilfældet med<br />
Frac-rutinen. Først et eksempel på<br />
Newtons metode, i dette tilfælde til<br />
approksimation af 3 :<br />
Fig. 15<br />
Dernæst et eksempel på en kædebrøksiteration,<br />
i dette tilfælde iteration<br />
af den brudne lineære funktion<br />
1/(3+x) svarende til kædebrøken:<br />
1 1<br />
x<br />
= =<br />
3 + x 1<br />
3 +<br />
1<br />
3 +<br />
3 + ...<br />
13
14<br />
<strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> GALAXEN<br />
Fig. 16<br />
Denne gang går det knap så hurtigt,<br />
og det kommer da også to iterationer,<br />
hvor de rationale approksimanter er<br />
blevet for slørede til at blive genkendt,<br />
inden iterationen får skudt sig<br />
ind på grænseværdien.<br />
Træerne vokser naturligvis ikke ind i<br />
himlen. Da det er væsentligt sværere<br />
at genkende en kvadratisk irrationalitet<br />
end et rationalt tal, kan man<br />
ikke altid forvente genkendelse, selv<br />
om resultatet vides i princippet at<br />
være en simpel kvadratisk irrationalitet.<br />
Fx vil alle potenser af 2 –1 igen<br />
kunne udtrykkes simpelt ved 2 (og<br />
de vil faktisk frembringe rationale<br />
approksimanter for 2 idet potenserne<br />
jo bliver mindre og mindre.<br />
Hvis vi derfor udregner tallet<br />
n<br />
pn<br />
( 2 − 1)<br />
= ( pn<br />
− qn<br />
⋅ 2)<br />
= qn<br />
⋅(<br />
−<br />
q<br />
vil brøken p n /q n derfor være en god<br />
rational tilnærmelse til 2 . Men det<br />
er en anden historie!):<br />
n<br />
2)<br />
Fig. <strong>17</strong><br />
VELKOMMEN TIL HTTP://WWW.TI.COM/CALC/DOCS/DANMARK.HTM<br />
Af Jørgen Simonsen<br />
Efterhånden har de fleste skoler fået<br />
direkte adgang til Internet, og det er<br />
derfor naturligt, at det danske flag<br />
nu også er blevet hejst på Texas<br />
Instruments‘ hjemmeside.<br />
På de danske sider prøver vi at<br />
fortælle lidt om, hvad der findes af<br />
relevant litteratur på dansk, norsk,<br />
svensk og engelsk, og vi giver en del<br />
praktiske oplysninger om, hvad der<br />
findes af hjælp og support til den<br />
daglige undervisning.<br />
De danske sider vil løbende blive<br />
justeret, og det er også meningen, at<br />
vi her vil lægge undervisningsmateriale<br />
til fri kopiering. Der findes allerede<br />
en masse på siderne fra USA.<br />
Vi håber, at der vil blive taget godt i<br />
mod det nye initiativ.<br />
Allerede ved den femte potens<br />
41 29 2 går det altså galt. Bemærk<br />
også, at vi godt kan bruge<br />
variable som X, Y og θ i beregningsudtrykkene,<br />
men ellers skal man<br />
passe meget på ved iteration, da de<br />
fleste andre variable redefineres af<br />
programmet NICE undervejs!<br />
Programmet NICE ligger i gymna–<br />
siets matematikbibliotek på<br />
FCSKODA og kan ellers fås ved<br />
henvendelse til Texas Instruments på<br />
44 68 74 00.
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong><br />
I SHALL NEVER BELIEVE<br />
THAT GOD PLAYS DICE WITH THE WORLD<br />
Af Jørgen Simonsen (og Albert Einstein)<br />
Med dette citat starter vi forberedelsen<br />
til sandsynlighedsregningen i<br />
2.w, og vi kommer meget snart til<br />
spørgsmålet om symmetriske - og<br />
ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter.<br />
En fast opgave i den forbindelse<br />
er kast med to forskellige farvede<br />
terninger, hvor vi gerne ender med at<br />
interesserer os for summen af øjnene.<br />
Ofte har jeg ladet eleverne prøve at<br />
sidde og rafle et stykke tid, tælle op,<br />
lave histogrammer og frekvensundersøgelser,<br />
men i år vil jeg lade TI-<br />
83 gøre det i stedet for. Det følgende<br />
er mit bud på, hvordan dette kunne<br />
gøres.<br />
Efter at have slettet listen L1 kan jeg,<br />
som det ses af skærmudskriften, ved<br />
hjælp af ordren randInt udføre<br />
f.eks. 100 kast med to terninger og<br />
lægge summen af øjnene ind i en liste<br />
L1.<br />
Fig. 1-2<br />
Og som det ses under Stat Plot,<br />
vælger vi nu On, Ò og Xlist lig<br />
med L1.<br />
Den næste opgave består i at få<br />
tegnet histogrammet, og det er her<br />
vigtigt at vælge et passende vindue,<br />
som det fremgår af de næste figurer.<br />
Fig. 3-4<br />
Jeg har valgt Ymax lidt større en<br />
antallet af kast divideret med seks.<br />
Det er nu ganske let at gentage<br />
forsøget ved blot at trykke y Quit<br />
og derpå y Entry. I det hele taget<br />
kan med ved gentagen tryk på y<br />
Entry hurtigt komme frem til tidligere<br />
indtastninger, også indtastninger<br />
som man ikke kan se i displayet.<br />
Det er let at forøge antallet af kast til<br />
200, 300, 500 og 900 f.eks., idet vi<br />
dog hver gang skal huske at ændre<br />
på Ymax. Hvis man formindsker<br />
antallet af kast, skal man huske at<br />
slette L1.<br />
For at få et bedre indtryk af sandsynlighedsfordelingen<br />
har jeg under<br />
parametrisk plotning indtastet<br />
følgende funktion med det angivne<br />
window. Jeg har valgt at kaste 900<br />
gange, og jeg har ændret Ymax til et<br />
tal, der er større end 900/6. Her sat<br />
til 160.<br />
Fig. 6-7<br />
Hvis jeg ønsker at kaste et lavere<br />
antal f.eks. 500 kast, skal jeg ændre<br />
både i Y1 og i Y2, og Ymax skal også<br />
tilpasses tilsvarende. Med 900 kast<br />
fik jeg følgende figurer.<br />
Fig. 7-8<br />
I den sidste figur har jeg brugt<br />
r. Dette giver mig mulighed for<br />
at udregne de forskellige frekvenser,<br />
og samtidig mulighed for at sammenligne<br />
med de teoretiske sandsynligheder.<br />
Her er det<br />
124/900 = 0,137777,<br />
der skal sammenlignes med<br />
5/36 = 0,13888.<br />
Det er da ganske pænt.<br />
Mulighederne for at afprøve forsøget<br />
flere gange og med andre tal er<br />
ganske store, og flittig brug af y<br />
Entry gør denne opgave overkommelig.<br />
15
16<br />
GALAXEN <strong>Nr</strong>. <strong>17</strong> 11 – <strong>Marts</strong> <strong>1998</strong> 1996<br />
Jørgen Bondrop<br />
Matematiklærer ved<br />
Herning Handelsgymnasium.<br />
Har været<br />
fagkonsulent i<br />
matematik inden for<br />
erhvervsskolerne.<br />
Forfatter til lærebøger i<br />
matematik og<br />
handelsregning for<br />
handelsskoleområdet.<br />
Finn Suhr<br />
Salgs- og marketingchef<br />
for elektronregnere.<br />
Ansvarshavende<br />
redaktør af GALAXEN.<br />
Har været ansat hos<br />
Texas Instruments siden<br />
1976<br />
SKRIV TIL GALAXEN<br />
GALAXEN udgives af Texas Instruments<br />
som informationsskrift om<br />
brugen af lommeregnere i undervisningen<br />
– primært i folkeskolen,<br />
gymnasiet/HF og handelsskolen.<br />
Redaktionen består af lederen af TI’s<br />
lommeregnerafdeling samt af tre<br />
lærere fra hovedmålgrupperne.<br />
Denne redaktion har været samlet<br />
siden det første nummer udkom.<br />
Fagredaktionen er læsernes garanti<br />
for, at magasinet ikke udvikler sig til<br />
et reklameskrift for Texas Instru-<br />
FÅ GALAXEN TILSENDT<br />
Hvis du ikke allerede får tilsendt dit<br />
eget eksemplar af GALAXEN, kan<br />
du sende en fotokopi af kuponen til<br />
højre, så vil du i fremtiden få det<br />
gratis tilsendt på din privatadresse.<br />
Dette er nr. <strong>17</strong> – og hvis du gerne vil<br />
have nogle af de tidligere numre, har<br />
vi et begrænset oplag af disse.<br />
Kryds af, hvis du ønsker nogle af<br />
numrene tilsendt. Du kan også<br />
bestille dit eget eksemplar af TI’s nye<br />
skolebrochure med oversigter over de<br />
enkelte modellers funktioner.<br />
Jens Carstensen<br />
Matematiklærer ved<br />
Tårnby Gymnasium. Har<br />
undervist siden 1967.<br />
Forfatter til adskillige<br />
lærebøger om<br />
matematik på<br />
gymnasieniveau.<br />
Jørgen Toft<br />
Simonsen<br />
Matematiklærer på<br />
Borupgaards<br />
Amtsgymnasium i<br />
Ballerup. Desuden<br />
skolekonsulent hos<br />
Texas Instruments fra<br />
1. januar 1997.<br />
ments’ produkter, til trods for TI’s<br />
indlysende kommercielle interesse i<br />
magasinet.<br />
Stofmæssigt ligger hovedvægten på<br />
den praktiske brug af regnere – og<br />
på helt generelle diskussioner om<br />
matematiske emner med relevans<br />
for lommeregneren.<br />
Der er i princippet ikke noget i vejen<br />
for at skrive om lommeregnere af<br />
andre fabrikater, men redaktionen<br />
har truffet en principbeslutning om<br />
ikke at ville bringe egentlige sam-<br />
Navn _______________________________<br />
Skole _______________________________<br />
Privatadresse _______________________<br />
____________________________________<br />
Postnr. _______ By __________________<br />
____________________________________<br />
❑ JA, jeg vil gerne have<br />
GALAXEN tilsendt på min<br />
privatadresse i fremtiden.<br />
GALAXEN udgives af<br />
Texas Instruments A/S,<br />
Borupvang 2B, 2750 Ballerup, Tel. 44 68 74 00<br />
Redaktionen består af Jørgen Bondrop,<br />
Jens Carstensen, Viggo Hartz, Jørgen<br />
Simonsen og Finn Suhr (ansv) samt Lars Høj.<br />
Artikler, kommentarer og læserbreve bedes<br />
sendt til ovenstående adresse.<br />
© Texas Instruments A/S, <strong>1998</strong><br />
Eftertryk tilladt med kildeangivelse<br />
menligninger mellem udstyr fra<br />
forskellige leverandører. Alene af<br />
den grund, at erfaringen viser, at det<br />
er umuligt at blive enige om et fair<br />
sammenligningsgrundlag.<br />
Vi inviterer alle til at skrive til<br />
GALAXEN med korte eller lange<br />
artikler, med oplevelser, forslag til<br />
anvendelser, kritik og også gerne<br />
anmeldelser af lommeregnere,<br />
bøger osv. Alt har interesse, så længe<br />
det på en eller anden måde handler<br />
om undervisning og lommeregnere.<br />
Send mig desuden<br />
Viggo Hartz<br />
Skolekonsulent i Århus.<br />
Underviser i folkeskolen.<br />
I redaktionen af tids–<br />
skriftet “Matematik“.<br />
Medforfatter til en del<br />
lærebøger. Leder en<br />
række forskellige<br />
forsøgsprojekter.<br />
❑ GALAXEN nr. __ __ __ __ __<br />
__ __ __ __ __ __ __ __ __<br />
(med forbehold for lagerstatus)<br />
❑ TI’s skolebrochure med beskrivelse<br />
af TI’s lommeregnere til<br />
skole- og undervisningsbrug.<br />
❑ Andet materiale:<br />
____________________________<br />
____________________________<br />
____________________________