Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 8<br />
Opgave 4.5. Lad m ∈ Z, m = 1. Vis at brøken<br />
er uforkortelig.<br />
Opgave 4.6. Bestem alle n ∈ Z så<br />
er et helt tal.<br />
m 4 + 3m 3 − 3m 2 + 2m − 2<br />
m − 1<br />
3n 2 + 3n + 9<br />
3n + 2<br />
Opgave 4.7. Lad a n = n 2 + 500 for alle n ∈ N. Vis at der findes et helt tal N<br />
så gcd(a n ,a n+1) ≤ N for alle n ∈ N, <strong>og</strong> bestem det mindste heltal N med<br />
denne egenskab. (Hint: Regn på gcd(a n ,a n+1), <strong>og</strong> udnyt undervejs at hvis<br />
s ,t ∈ Z <strong>og</strong> t er ulige, da er gcd(s ,t ) = gcd(2s ,t ).)<br />
Bezouts identitet 4.2. Lad n <strong>og</strong> m være hele tal. Da kan største fælles divisor<br />
mellem n <strong>og</strong> m skrives som en heltallig linearkombination af n <strong>og</strong><br />
m , dvs. der findes hele tal s <strong>og</strong> t så<br />
gcd(n,m ) = s n + t m .<br />
Bemærk at talene s <strong>og</strong> t ikke er entydige.<br />
Bevis Beviset bygger på Euklids algoritme. Vi viser nu ved induktion efter<br />
i at alle resterne ri , i = 1, 2, . . . ,k , fra Euklids algoritme kan skrives<br />
som en heltallig linearkombination af n <strong>og</strong> m da dette viser at specielt<br />
rk = gcd(n,m ) kan skrives sådan. Sæt r0 = m , <strong>og</strong> husk at ri −1 = riqi +1+ri +1<br />
i Euklids algoritme. Både r0 <strong>og</strong> r1 kan skrives som heltallige linearkombinationer<br />
af n <strong>og</strong> m da r0 = m = 0 · n + 1 · m <strong>og</strong> r1 = 1 · n − q1 · m . Antag nu<br />
at for et j ≥ 1 kan ri skrives som en heltallig linearkombination af n <strong>og</strong> m<br />
for alle i ≤ j , <strong>og</strong> sæt ri = si n + ti m . Vi viser nu at rj +1 kan skrives som en<br />
heltallig linearkombination af n <strong>og</strong> m .<br />
rj +1 = rj −1 − qj +1rj = s j −1n + t j −1m − qj +1(s j n + t j m )<br />
= (s j −1 − qj +1s j )n + (t j −1 − qj +1t j )m .<br />
Dermed er induktionen fuldført. ✷<br />
Eksempel Tidligere viste vi vha. Euklids algoritme at gcd(1078, 70) = 14.<br />
Nu kan vi bruge algoritmen baglæs så at sige til at bestemme hele tal s <strong>og</strong><br />
t så 14 = s · 1078 + t · 70:<br />
14 = 70 − 2 · 28 = 70 − 2(1078 − 15 · 70) = −2 · 1078 + 31 · 70.<br />
Opgave 4.8. Bestem hele tal s <strong>og</strong> t så gcd(754, 338) = s · 754 + t · 338.<br />
Opgave 4.9. Bestem alle tal på formen s · 15 + t · 35, s ,t ∈ Z.<br />
Sætning 4.3. Lad a ,b,c ∈ Z. Der findes hele tal x <strong>og</strong> y som løser ligningen<br />
c = ax + by.<br />
netop hvis c er et multiplum af gcd(a ,b). Med andre ord er c en heltallig<br />
linearkombination af a <strong>og</strong> b , netop når c er et multiplum af deres største<br />
fælles divisor.<br />
Opgave 4.10. Vis sætningen. (Hint: Vis først at hvis c = ax + by , x ,y ∈ Z,<br />
da må gcd(a ,b) gå op i c . Vis efterfølgende at hvis c er et multiplum af<br />
gcd(a ,b), da findes ifølge Bezouts identitet x ,y ∈ Z så c = ax + by .)