Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori - Teori og problemløsning, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, Georg Mohr-Konkurrencen 6
3 Antal divisorer
Når man skal bestemme antallet af positive divisorer i et positivt heltal, er
det en god dé at se på primfaktoropløsningen for at finde samtlige divisorer
på en nem og overskuelig måde.
Eksempel Hvis vi fx skal bestemme antallet af divisorer i 60 = 2 2 ·3·5, så er
samtlige divisorer
1, 2, 2 2 , 3, 2 · 3, 2 2 · 3, 5, 2 · 5, 2 2 · 5, 3 · 5, 2 · 3 · 5, 2 2 · 3 · 5.
Altså alle tal på formen 2 a · 3 b · 5 c , hvor a = 0, 1, 2, b = 0, 1 og c = 0, 1. Tallet
60 har derfor i alt 3 · 2 · 2 = 12 divisorer.
Sætning 3.1. Et positvit heltal n større end 1 med primfaktoropløsning
n = p α1
1
hvor pi ’erne er forskellige primtal, har
forskellige positive divisorer.
Opgave 3.1. Bevis sætningen.
α2 p2 . . .pαm m ,
(1 + α1)(1 + α2) . . .(1 + αm )
Eksempel Hvis vi ønsker at bestemme alle positive heltal n med netop p
divisorer, hvor p er et primtal, da skal vi finde alle
for hvilke
n = p α1
1
α2 p2 . . .pαm m
(1 + α1)(1 + α2) . . .(1 + αm ) = p.
Da p er et primtal, og alle faktorerne på venstresiden er større end 1, må
m = 1 og α1 = p −1. Altså er samtlige positive heltal med netop p divisorer
alle p − 1’te potenser af et primtal, altså alle tal på formen q p−1 , hvor p og
q er primtal.
Opgave 3.2. Bestem alle positive heltal større end 1 som har et ulige antal
positive divisorer.
Opgave 3.3. Et positivt heltal n, som højst er 500, har den egenskab at når
man vælger et tal m tilfældigt blandt tallene 1, 2, 3, . . . , 499, 500, så er sandsynligheden
1
for at m går op i n. Bestem den størst mulige værdi af n.
100
(Georg Mohr-Konkurrencen 2006)
Opgave 3.4. Lad n være produktet af samtlige positive heltal mindre end
en million med præcis 7 divisorer. Vis at n er et kubiktal, dvs. et tal på formen
m 3 , hvor m er et helt tal.
Opgave 3.5. Bestem samtlige positive heltal n som er delelige med 1001 og
har præcis 1001 divisorer.