Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori - Teori og problemløsning, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, Georg Mohr-Konkurrencen 50
Ifølge den kvadratiske reciprocitetssætning er
55 5 11 223 223
=
= −
223 223 223 5 11
3 3 11 2
= − = − = − = 1.
5 11 3 3
Dermed findes et helt tal x så x 2 ≡ 55 (mod 223). Når a m −1 ≡ x (mod 223),
hvilket er ensbetydende med at a ≡ xm (mod 223), er † opfyldt. Hvis 3 går
op i k findes derfor et heltal a så (k + a ) 3 − a 3 ≡ 0 (mod 2007).
Opgave 17.17 Antag at a er et positivt heltal som ikke er et kvadrattal, og
at a er kvadratisk rest modulo alle primtal. Lad m være det største hele tal
så m 2 går op i a , og sæt a = m 2 b . Da er b kvadratfrit. Da a er kvadratsik
rest modulo alle primtal, er b pr. konstruktion også kvadratisk rest modulo
alle primtal. Antag først at b = 2. Da er b ikke kvadratisk rest modulo p = 5,
modstrid. Dermed er b > 2.
Hvis b er lige, sættes b = 2b ′ , og hvis b er ulige, sættes b = b ′ . Bemærk
at b ′ også er kvadratfri, og primfaktoropløsningen af b ′ derfor kan skrives
som
b = p1p2 ···pn ,
hvor pi ’erne er forskellige ulige primtal.
Lad c være et helt tal så c
= −1. Vi ønsker at finde et primtal der op-
pn
fylder at
p ≡ 1 (mod 8)
p ≡ 1 (mod pi ), i = 1, . . . ,n − 1
p ≡ c (mod pn).
Ifølge den kinesiske restklassesætning udgør samtlige løsninger til kongruenssystemet
netop en restklasse modulo 8b ′ . Da denne restklasse er indbyrdes
primisk med 8b ′ , findes ifølge Dirichles sætning et primtal blandt
repræsentanterne for restklassen. Derfor et det muligt at vælge et primtal
p der opfylder kongruenssystemet. Da 2 er kvadratisk rest modulo p fordi
p ≡ 1 (mod 8), er
b b ′ n
n
n−1
p
1
p
=
p
=
i =1
pi
=
p
i =1
pi
=
i =1
pi
c
· = −1
pn
hvilket er en modstrid.