Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori - Teori og problemløsning, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, Georg Mohr-Konkurrencen 32
Opgave 2.2 Tallet m 3 − m er deleligt med 6 for alle hele tal m da
m 3 − m = m (m 2 − 1) = m (m − 1)(m + 1)
viser at m 3 − m er et produkt af tre på hinanden følgende hele tal, og 2 og
3 hver især går op i mindst et af de tre tal.
Opgave 2.3 Kald den ukendte katete a og hypotenusen c . Da er
2 2 997 2 = 1994 2 = c 2 − a 2 = (c + a )(c − a ).
Da c +a og c −a har samme paritet (dvs. de enten begge er lige eller ulige),
må de begge være lige. Vi har derfor
997 2 c + a
=
2
hvor 997 er et primtal. Heraf ses at c+a
2
c = 1 + 9972 = 994010.
c − a
2 ,
= 9972 og c−a
2
Opgave 2.4 Omskriv sammenhængen mellem p , q og r til
p = r 2 − q 2 = (r + q)(r − q).
= 1. Dette giver
For at vise at 6 går op i pqr , viser vi at 2 og 3 hver især går op i mindst et af
tallene p , q og r , og dermed i deres produkt. Hvis hverken q eller r er lige,
er de begge ulige, og så er r + q lige, og altså p = (r + q)(r − q) lige. Altså
er mindst et af tallene p , q og r deleligt med 2. Hvis hverken q eller r er
delelig med 3, da har de hver især rest 1 eller 2 ved division med 3. Hvis de
har forskellig rest, er r +q delelig med 3, og hvis de har samme rest, er r −q
delelig med 3. I begge tilfælde er p delelig med 3. Dermed er mindst et af
tallene p , q og r deleligt med 3. Samlet giver dette at deres produkt pqr er
deleligt med 6.
Opgave 2.5 Da
a 2 + b 2 + 9ab = (a − b) 2 + 11ab,
er (a −b) 2 delelig med 11, og da 11 er et primtal, må a −b også være delelig
med 11. Altså er a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) delelig med 11.
Opgave 2.6 Lad n = a 2 + b 2 og m = c 2 + d 2 . Vi skal nu vise at produktet
nm også er en sum af to kvadrattal, og det gør vi ved at omskrive vha. af
kvadratsætninger.
nm = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2
= (a c + bd ) 2 − 2abcd + (a d − bc) 2 + 2abcd
= (a c + bd ) 2 + (a d − bc) 2 .
Opgave 2.7 For alle n > 1 viser omskrivningen
n 4 + 4 = (n 2 + 2) 2 − (2n) 2 = (n 2 + 2n + 2)(n 2 − 2n + 2).
at n 4 + 4 ikke er et primtal. For n = 1 er n 4 + 4 = 5 et primtal.
Opgave 2.8 Først omskriver vi således:
2x 2 y 2 + 16x 2 + y 2 = 448
2x 2 (y 2 + 8) + y 2 + 8 = 456
(2x 2 + 1)(y 2 + 8) = 2 3 · 3 · 19.
Da 2x 2 +1 er ulige, må 2x 2 +1 være lig med 1, 3, 19 eller 57. Af dette ser man
at x = 0, 1, 3. Ved at efterprøve disse muligheder får man følgende løsninger
(1, 12) og (3, 4).
Opgave 2.9 Da x y +3y = y (x +3) og x 2 +2x = (x +3)(x −1)+3, kan ligningen
omskrives til
1994 = (x + 3)(x − 1) − y (x + 3) = (x + 3)(x − 1 − y ).
De eneste faktoriseringer af tallet 1994 er 1994 · 1 og 997 · 2, og da x + 3 er
den største af faktorerne, får vi derfor løsningerne (x ,y ) = (1991, 1989) og
(x ,y ) = (994, 991).
Opgave 3.1 Det følger af korollar 1.4 at enhver positiv divisor i n er på formen
p β1
1
β2
p2 . . .pβm m ,