Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 32<br />
Opgave 2.2 Tallet m 3 − m er deleligt med 6 for alle hele tal m da<br />
m 3 − m = m (m 2 − 1) = m (m − 1)(m + 1)<br />
viser at m 3 − m er et produkt af tre på hinanden følgende hele tal, <strong>og</strong> 2 <strong>og</strong><br />
3 hver især går op i mindst et af de tre tal.<br />
Opgave 2.3 Kald den ukendte katete a <strong>og</strong> hypotenusen c . Da er<br />
2 2 997 2 = 1994 2 = c 2 − a 2 = (c + a )(c − a ).<br />
Da c +a <strong>og</strong> c −a har samme paritet (dvs. de enten begge er lige eller ulige),<br />
må de begge være lige. Vi har derfor<br />
997 2 c + a<br />
=<br />
2<br />
hvor 997 er et primtal. Heraf ses at c+a<br />
2<br />
c = 1 + 9972 = 994010.<br />
c − a<br />
2 ,<br />
= 9972 <strong>og</strong> c−a<br />
2<br />
Opgave 2.4 Omskriv sammenhængen mellem p , q <strong>og</strong> r til<br />
p = r 2 − q 2 = (r + q)(r − q).<br />
= 1. Dette giver<br />
For at vise at 6 går op i pqr , viser vi at 2 <strong>og</strong> 3 hver især går op i mindst et af<br />
tallene p , q <strong>og</strong> r , <strong>og</strong> dermed i deres produkt. Hvis hverken q eller r er lige,<br />
er de begge ulige, <strong>og</strong> så er r + q lige, <strong>og</strong> altså p = (r + q)(r − q) lige. Altså<br />
er mindst et af tallene p , q <strong>og</strong> r deleligt med 2. Hvis hverken q eller r er<br />
delelig med 3, da har de hver især rest 1 eller 2 ved division med 3. Hvis de<br />
har forskellig rest, er r +q delelig med 3, <strong>og</strong> hvis de har samme rest, er r −q<br />
delelig med 3. I begge tilfælde er p delelig med 3. Dermed er mindst et af<br />
tallene p , q <strong>og</strong> r deleligt med 3. Samlet giver dette at deres produkt pqr er<br />
deleligt med 6.<br />
Opgave 2.5 Da<br />
a 2 + b 2 + 9ab = (a − b) 2 + 11ab,<br />
er (a −b) 2 delelig med 11, <strong>og</strong> da 11 er et primtal, må a −b <strong>og</strong>så være delelig<br />
med 11. Altså er a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) delelig med 11.<br />
Opgave 2.6 Lad n = a 2 + b 2 <strong>og</strong> m = c 2 + d 2 . Vi skal nu vise at produktet<br />
nm <strong>og</strong>så er en sum af to kvadrattal, <strong>og</strong> det gør vi ved at omskrive vha. af<br />
kvadratsætninger.<br />
nm = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2<br />
= (a c + bd ) 2 − 2abcd + (a d − bc) 2 + 2abcd<br />
= (a c + bd ) 2 + (a d − bc) 2 .<br />
Opgave 2.7 For alle n > 1 viser omskrivningen<br />
n 4 + 4 = (n 2 + 2) 2 − (2n) 2 = (n 2 + 2n + 2)(n 2 − 2n + 2).<br />
at n 4 + 4 ikke er et primtal. For n = 1 er n 4 + 4 = 5 et primtal.<br />
Opgave 2.8 Først omskriver vi således:<br />
2x 2 y 2 + 16x 2 + y 2 = 448<br />
2x 2 (y 2 + 8) + y 2 + 8 = 456<br />
(2x 2 + 1)(y 2 + 8) = 2 3 · 3 · 19.<br />
Da 2x 2 +1 er ulige, må 2x 2 +1 være lig med 1, 3, 19 eller 57. Af dette ser man<br />
at x = 0, 1, 3. Ved at efterprøve disse muligheder får man følgende løsninger<br />
(1, 12) <strong>og</strong> (3, 4).<br />
Opgave 2.9 Da x y +3y = y (x +3) <strong>og</strong> x 2 +2x = (x +3)(x −1)+3, kan ligningen<br />
omskrives til<br />
1994 = (x + 3)(x − 1) − y (x + 3) = (x + 3)(x − 1 − y ).<br />
De eneste faktoriseringer af tallet 1994 er 1994 · 1 <strong>og</strong> 997 · 2, <strong>og</strong> da x + 3 er<br />
den største af faktorerne, får vi derfor løsningerne (x ,y ) = (1991, 1989) <strong>og</strong><br />
(x ,y ) = (994, 991).<br />
Opgave 3.1 Det følger af korollar 1.4 at enhver positiv divisor i n er på formen<br />
p β1<br />
1<br />
β2<br />
p2 . . .pβm m ,