Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 30<br />
Sætning 17.6. Lad x <strong>og</strong> y være to indbyrdes primiske heltal <strong>og</strong> a ,b,c hele<br />
tal. Hvis p er en primdivisor i ax 2 +bx y +cy 2 som ikke går op i abc, da er<br />
kvadratisk rest modulo p .<br />
Opgave 17.11. Bevis sætning 17.6.<br />
D = b 2 − 4a c<br />
Den kvadratiske reciprocitetssætning 17.7. Lad p <strong>og</strong> q være to forskellige<br />
ulige primtal. Da er<br />
<br />
p q<br />
= (−1)<br />
q p<br />
p−1 q−1<br />
·<br />
2 2 .<br />
Bemærkning Euler formulerede den kvadratiske reciprocitetssætning i<br />
1783, men uden bevis. Det blev Gauss der i 1801 fik udgivet det første korrekte<br />
bevis for sætningen efter fejlslagne forsøg fra bl.a. Legendre. Den kvadratiske<br />
reciprocitetssætning kaldes af mange Aritmetikkens perle, <strong>og</strong> det<br />
var Gauss’ favoritsætningen inden for talteori. Der findes nu mange helt<br />
forskellige beviser for sætningen, men de er alle for omfangsrige til disse<br />
noter.<br />
Opgave 17.12. Undersøg om 37 <strong>og</strong> 143 er kvadratiske rester modulo 2003.<br />
(2003 er et primtal).<br />
Opgave 17.13. Lad p være et ulige primtal. Vis at<br />
<br />
3 1<br />
=<br />
p −1<br />
<br />
5 1<br />
=<br />
p −1<br />
hvis p ≡ ±1<br />
hvis p ≡ ±5<br />
hvis p ≡ ±1<br />
hvis p ≡ ±2<br />
(mod 12)<br />
(mod 12)<br />
(mod 5)<br />
(mod 5)<br />
Opgave 17.14. Bestem samtlige par af hele tal (x ,y ) som opfylder ligningen<br />
162x 2 = 7 + 151y 2 .<br />
Opgave 17.15. Lad a , b <strong>og</strong> c være positive heltal som er parvis indbyrdes<br />
primiske. Vis at hvis a 2 − ab + b 2 = c 2 , da er enhver primdivisor i c på<br />
formen 6k + 1.<br />
Opgave 17.16. Bestem alle positive heltal k for hvilke der findes et heltal a<br />
så 2007 går op i (a + k ) 3 − a 3 .<br />
Opgave 17.17. Vis at hvis et positivt heltal a er kvadratisk rest modulo alle<br />
primtal, da er a et kvadrattal.<br />
Kilden til alle de historiske oplysninger er Wolfram MathWorld