Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 28<br />
igen at der kun findes endeligt mange primtal på formen 4n + 1, <strong>og</strong> lad<br />
disse være p1,p2,p3. . . . ,pr . Betragt tallet<br />
N = (2p1p2 ···pr ) 2 + 1.<br />
Læg mærke til at vi på denne måde har konstrueret et tal N så −1 er kvadratisk<br />
rest modulo alle divisorer q i N da<br />
(2p1p2 ···pr ) 2 ≡ −1 (mod q).<br />
En primfaktor q i N er derfor på formen 4n +1, men dette er en modtrid da<br />
ingen af primtallene p1,p2, . . . ,pr går op i N . Dermed findes der uendeligt<br />
mange primtal på formen 4n + 1.<br />
Opgave 16.4. Vis at der findes uendeligt mange primtal på formen 4n + 3,<br />
på formen 6n + 5 <strong>og</strong> på formen 2 k n + 1, hvor k er et positivt heltal. Du må<br />
selvfølgelig ikke benytte Dirichlets sætning.<br />
Fermattal Fermattallene er f n = 22n + 1 for n = 0, 1, 2, . . .. Fermat studerede<br />
disse tal <strong>og</strong> opdagede at f 0, f 1, f 2, f 3 <strong>og</strong> f 4 var primtal. Han kom<br />
derfor med den forkerte påstand i 1650 at alle Fermattal er primtal.<br />
Der er pt ikke fundet n<strong>og</strong>en primtal for n ≥ 5, <strong>og</strong> man ved i dag at<br />
Fermattallene f 5, f 6, f 7, . . . , f 32 ikke er primtal.<br />
Fermattallene vokser d<strong>og</strong> så stærkt at det absolut ikke er simpelt at<br />
undersøge om et Fermattal er et primtal, <strong>og</strong> det har taget mange år <strong>og</strong><br />
en stor indsats fra mange matematikkere at nå frem til det man ved<br />
om Fermattal i dag. Selv om man ved at Fermattallene f 5, f 6, f 7, . . . , f 32<br />
ikke er primtal, kender man ikke primfaktoriseringen af dem alle, fx<br />
kender man for f 14, f 20, f 22 <strong>og</strong> f 24 ikke en eneste faktor i dem, men<br />
har blot vist at de må være sammensatte tal.<br />
Opgave 16.5. Vis at to forskellige Fermattal er indbyrdes primiske.<br />
Opgave 16.6. Vis at Fermattallet f n går op i 2 f n − 2 for alle ikke negative<br />
heltal n.<br />
Opgave 16.7. Lad n være et positivt heltal større end 2. Vis at Fermattallet<br />
f n har en primfaktor større end 2 n+2 (n + 1).<br />
17 Den kvadratiske reciprocitetssætning<br />
Den kvadratiske reciprocitetssætning viser en meget smuk sammenhæng<br />
mellem kvadratiske rester, <strong>og</strong> den er et godt værktøj til at tjekke om et tal<br />
er kvadratisk rest modulo et andet tal. Men før vi når til den, skal vi se på<br />
legendresymbolet <strong>og</strong> Eulers kriterium.<br />
Legendresymbolet 17.1. Lad p være et ulige primtal, <strong>og</strong> lad a være indbyrdes<br />
primisk med p . Legendresymbolet<br />
<br />
a<br />
er da 1 hvis a er kvadratisk rest modulo p , <strong>og</strong> −1 hvis a ikke er.<br />
Opgave 17.1. Lad p være et ulige primtal. Vis at<br />
p<br />
<br />
1 2 p − 1<br />
+ + ··· + = 0.<br />
p p<br />
p<br />
Eulers kriterium 17.2. Lad p være et ulige primtal, <strong>og</strong> lad a være indbyrdes<br />
primisk med p . Da er<br />
<br />
a<br />
= a<br />
p<br />
p−1<br />
2 (mod p).<br />
Bevis Hvis a er kvadratisk rest modulo p , har kongruensligningen x 2 ≡ a<br />
(mod p) en løsning x . Altså er<br />
a p−1<br />
2 = x p−1 ≡ 1 (mod p)<br />
ifølge Fermats lille sætning.<br />
Hvis a ikke er kvadratisk rest modulo p , da kan alle resterne 1, 2, . . . ,p −1<br />
parres to <strong>og</strong> to så produktet af hvert par er a . Altså er<br />
ifølge Wilsons sætning.<br />
a p−1<br />
2 ≡ (p − 1)! ≡ −1 (mod p)