Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 22<br />
Opgave 12.5. Lad F0, F1, F2, . . . være følgen af Fibonaccital. Vis at Fn <strong>og</strong> Fn+1<br />
er indbyrdes primiske.<br />
Opgave 12.6. En følge af positive heltal a 1,a 2,a 3, . . . opfylder at hvis m ,n ∈<br />
N, m < n <strong>og</strong> m går op i n, da vil a m gå op i a n <strong>og</strong> a m < a n . Bestem den<br />
mindst mulige værdi af a 2000. (Baltic Way 2000)<br />
Opgave 12.7. Vis at der for alle positive heltal n findes n på hinanden følgende<br />
positive hele tal hvoraf ingen er primtal.<br />
Opgave 12.8. Lad a <strong>og</strong> b være to positive heltal som er indbyrdes primiske.<br />
Betragt følgen n 0,n 1,n 2, . . . givet ved n m = a + mb . Vis at der for ethvert<br />
m findes uendeligt mange led i følgen som har præcis de samme primfaktorer<br />
som n m .<br />
Opgave 12.9. Lad a 1,a 2, . . . være en følge af heltal med uendeligt mange<br />
positive <strong>og</strong> uendeligt mange negative tal. Antag at der for ethvert positivt<br />
heltal n fås n forskellige rester når tallene a 1,a 2, . . . ,a n deles med n. Vis at<br />
ethvert helt tal optræder netop en gang i talfølgen. (IMO 2005)<br />
13 Den kinesiske restklassesætning<br />
I n<strong>og</strong>le opgaver har man brug for at undersøge om der findes løsninger x<br />
til kongruenssystemer af typen<br />
x ≡ a 1 (mod n 1), x ≡ a 2 (mod n 2), . . . , x ≡ a m (mod n m ).<br />
Dette handler den kinesiske restklassesætning om.<br />
Den kinesiske restklassesætning 13.1. Lad n være et positivt heltal <strong>og</strong><br />
n = n 1n 2 . . .n m , hvor gcd(n i ,n j ) = 1 når i = j . Da findes uendeligt mange<br />
heltallige løsninger x til kongruenssystemet<br />
x ≡ a 1 (mod n 1)<br />
x ≡ a 2 (mod n 2)<br />
.<br />
x ≡ a m (mod n m ).<br />
Samtlige løsninger udgør netop en restklasse modulo n.<br />
Bevis Sætningen vises ved induktion efter m . Den er oplagt sand for m =<br />
1. Betragt nu tilfældet m = 2. Vi ønsker at bestemme en løsning x til<br />
x ≡ a 1 (mod n 1)<br />
x ≡ a 2 (mod n 2).<br />
En sådan løsning må være på formen x = a 1 + qn1, hvor q ∈ Z opfylder<br />
at a 1 + qn1 ≡ a 2 (mod n 2). Da gcd(n 1,n 2) = 1 findes en invers n −1<br />
1 til n 1<br />
modulo n 2. Dermed må q ≡ (a 2 − a 1)n −1<br />
1 (mod n 2) opfylde det ønskede,<br />
dvs. at x = a 1 + (a 2 − a 1)n −1<br />
1 n 1 løser kongruenssystemet.<br />
Vi viser nu at samtlige løsninger netop udgør en restklasse modulo n.<br />
Det er klart at hvis y ≡ x (mod n), da er y <strong>og</strong>så en løsning. Antag nu at x<br />
<strong>og</strong> y er løsninger. Da vil både n 1 <strong>og</strong> n 2 gå op i x − y , <strong>og</strong> da gcd(n 1,n 2) = 1,<br />
vil <strong>og</strong>så n gå op i x − y . Dermed udgør løsningerne netop en restklasse<br />
modulo n.<br />
Vi skal nu til selve induktionsskridtet, men har faktisk lavet alt arbejdet i<br />
tilfældet m = 2. Antag nu at sætningen gælder for m . Vi ønsker nu at vise at