Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori - Teori og problemløsning, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, Georg Mohr-Konkurrencen 2
1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning
Divisorer Lad d og n være hele tal. Vi siger at d er divisor i n, eller at d
går op i n hvis der findes et helt tal q så
n = q · d .
At d er divisor i n, betegnes d | n. Når d er divisor i n, siger vi at n er
delelig med d , eller at n er et multiplum af d .
Fx er 12 delelig med tallene 1, 2, 3, 4, 6 og 12, og disse er netop samtlige
positive divisorer i 12. Tallene −26, 39 og 130 er alle multipla af 13.
Opgave 1.1. Bestem samtlige positive divisorer i 60 og samtlige positive
divisorer i 98.
Sætning 1.1. Delelighedsregler. Lad a ,b,c ∈ Z.
1. Hvis a | b og b | c , da vil a | c .
2. Hvis a | b og a | c , da vil a | b + c og a | b − c .
Bevis 1. At a | b betyder at der findes et helt tal q1 så a · q1 = b . At b | c
betyder at der findes et helt tal q2 så b · q2 = c . Dermed er
hvilket viser at a | c . ✷
c = b · q2 = a · q1 · q2 = a · (q1 · q2),
Opgave 1.2. Bevis resten af sætningen.
Opgave 1.3. Om de hele tal n og m oplyses at 2 | n og 6 | m . Hvilke af
følgende tal er da med sikkerhed delelige med 4? a) n + m , b) nm − m , c)
m 2 + n, d) m(m + n), e) n(m + 1).
Opgave 1.4. Om de hele tal m og n oplyses at n + m = n 2 . Hvad kan man
med sikkerhed slutte? a) n | m , b) m | n, c) n og m er ulige, d) n og m er
lige.
Trivielle og ægte divisorer De trivielle divisorer i et positivt heltal n er 1,
−1, n og −n. En divisor d i n kaldes en ægte divisor i n hvis den ikke
er en triviel divisor.
Primtal og sammensatte tal Primtallene er de positive heltal større end 1
som kun har trivielle divisorer. De første ti primtal er derfor
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Positive heltal større end 1 som har en ægte divisor, kaldes sammensatte
tal.
Opgave 1.5. Bestem alle primtallene op til 100.
Primfaktor Et primtal der er divisor i et tal n, kaldes en primfaktor i n. Fx
er primfaktorerne i 60 netop 2, 3 og 5.
Primfaktoropløsning At primfaktoropløse et tal betyder at skrive det som
et produkt af primtal. Fx er primfaktoropløsningen af 60 lig med
2 2 · 3 · 5, primfaktoropløsningen af 13 lig med 13 og primfaktoropløsningen
af 72 lig med 2 3 · 3 2 .
Generelt er primfaktoropløsningen af et postivt heltal n, n > 1,
n = p α1 α2
1 p2 ···pαm m
hvor pi ’ erne er primtal, og αi ’erne er positive heltal.
Om lidt skal vi se at alle positive heltal større end 1 har en primfaktoropløsning,
og at denne er entydig på nær rækkefølgen af faktorerne. Primtallene
fungerer altså som en slags byggesten som alle positive heltal større
end 1 er bygget op af.
Opgave 1.6. Bestem primfaktoropløsningen af 1001 og af 11400. Bestem
samtlige primfaktorer i 1024 og 1001.
Sætning 1.2. Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. Specielt
er den mindste divisor i n større end 1 en primfaktor.
Bevis Lad n være et positivt heltal større end 1, og lad p være den mindste
divisor i n større end 1. Da må p være et primtal: Antag nemlig at p ikke
er et primtal, dvs. at p har en ægte divisor større end 1. Denne divisor må
også være divisor i n ifølge sætning 1.1 i modstrid med at p er den mindste.
Dermed er p et primtal og altså en primfaktor i n. ✷