Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori - Teori og problemløsning, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, Georg Mohr-Konkurrencen 18
9 Wilsons sætning
Wilsons sætning 9.1. For ethvert primtal p gælder
(p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Bevis For p = 2 er (2 − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2). Antag at p er et primtal større
end 2. Ifølge opgave 8.3 er de eneste af de primiske rester modulo p som er
deres egen inverse, resterne 1 og p − 1. Hvis vi betragter de primiske rester
1, 2, . . . ,p − 1 kan alle pånær 1 og p − 1 parres med deres inverse. Dermed
er
(p − 1)! = 1 · 2 · 3···(p − 1) ≡ 1 · (p − 1) ≡ −1 (mod p). ✷
Opgave 9.1. Bestem alle positive heltal n for hvilke n går op i (n − 1)! + 1.
Opgave 9.2. Er det muligt at dele en mængde bestående af ti på hinanden
følgende positive heltal i to disjunkte delmængder som samlet indeholder
alle ti tal, således at produktet af elementerne i hver af de to delmængder
bliver det samme tal? (Disjunkte mængder er mængder der ikke har nogen
elementer til fælles). (Hint: Regn modulo 11).
Bemærkning Det er et kendt resultat af matematikerne Erdös og Selfridge
at produktet af to eller flere på hinanden følgende positive heltal aldrig er
en potens af et helt tal. Det var i mange år en formodning og blev først vist
generelt af de to matematikkere i 1974. (En potens af et helt tal er et tal på
formen n m , hvor m ,n ∈ Z og m > 1). Af dette følger også at produktet af to
eller flere på hinanden følgende positive heltal ikke er et kvadrattal, og at
man derfor ikke kan skrive dette produkt som produktet af to ens faktorer.
Sætning 9.2. Lad p være et primtal på formen p = 4n + 1. Da er −1 kvadratisk
rest modulo p .
Vi skal senere vise at −1 ikke er kvadratisk rest modulo primtal på formen
4n + 3.
Opgave 9.3. Vis sætningen. (Hint: Udnyt Wilsons sætning til at finde et x
der opfylder at x 2 ≡ −1 (mod p)).
10 Fermats lille sætning og Eulers sætning
Eulers sætning 10.1. Lad n ∈ N og a ∈ Z. Hvis a er primisk med n, er
a φ(n) ≡ 1 (mod n).
Bevis Lad a 1,a 2, . . . ,a φ(n) være repræsentanter for de i alt φ(n) primiske
restklasser modulo n. Tallene
a · a 1,a · a 2, . . . ,a · a φ(n)
er også primiske rester ifølge sætning 8.1, og de er desuden forskellige ifølge
sætning 8.5 da vi kan forkorte med a når a er primisk med n. De er altså
også netop samtlige primiske rester modulo n. Dermed er
a 1 · a 2 ···a φ(n) ≡ (a · a 1)(a · a 2)···(a · a φ(n))
= a φ(n) · a 1 · a 2 ···a φ(n) (mod n).
Da a i ’erne alle er primiske med n, kan vi forkorte og få
a φ(n) ≡ 1 (mod n). ✷
Et vigtigt specialtilfælde af Eulers sætning er Fermats lille sætning:
Fermats lille sætning 10.2. Lad p være et primtal, og lad a ∈ Z være primisk
med p . Da er
a p−1 ≡ 1 (mod p).
Korollar 10.3. Lad p være et primtal, og lad a ∈ Z være en vilkårlig rest
modulo p . Da er
Opgave 10.1. Bevis korollaret.
a p ≡ a (mod p)
Opgave 10.2. Vis at a 13 ≡ a (mod 2730) for alle hele tal a .