Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 18<br />
9 Wilsons sætning<br />
Wilsons sætning 9.1. For ethvert primtal p gælder<br />
(p − 1)! ≡ −1 (mod p).<br />
Bevis For p = 2 er (2 − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2). Antag at p er et primtal større<br />
end 2. Ifølge opgave 8.3 er de eneste af de primiske rester modulo p som er<br />
deres egen inverse, resterne 1 <strong>og</strong> p − 1. Hvis vi betragter de primiske rester<br />
1, 2, . . . ,p − 1 kan alle pånær 1 <strong>og</strong> p − 1 parres med deres inverse. Dermed<br />
er<br />
(p − 1)! = 1 · 2 · 3···(p − 1) ≡ 1 · (p − 1) ≡ −1 (mod p). ✷<br />
Opgave 9.1. Bestem alle positive heltal n for hvilke n går op i (n − 1)! + 1.<br />
Opgave 9.2. Er det muligt at dele en mængde bestående af ti på hinanden<br />
følgende positive heltal i to disjunkte delmængder som samlet indeholder<br />
alle ti tal, således at produktet af elementerne i hver af de to delmængder<br />
bliver det samme tal? (Disjunkte mængder er mængder der ikke har n<strong>og</strong>en<br />
elementer til fælles). (Hint: Regn modulo 11).<br />
Bemærkning Det er et kendt resultat af matematikerne Erdös <strong>og</strong> Selfridge<br />
at produktet af to eller flere på hinanden følgende positive heltal aldrig er<br />
en potens af et helt tal. Det var i mange år en formodning <strong>og</strong> blev først vist<br />
generelt af de to matematikkere i 1974. (En potens af et helt tal er et tal på<br />
formen n m , hvor m ,n ∈ Z <strong>og</strong> m > 1). Af dette følger <strong>og</strong>så at produktet af to<br />
eller flere på hinanden følgende positive heltal ikke er et kvadrattal, <strong>og</strong> at<br />
man derfor ikke kan skrive dette produkt som produktet af to ens faktorer.<br />
Sætning 9.2. Lad p være et primtal på formen p = 4n + 1. Da er −1 kvadratisk<br />
rest modulo p .<br />
Vi skal senere vise at −1 ikke er kvadratisk rest modulo primtal på formen<br />
4n + 3.<br />
Opgave 9.3. Vis sætningen. (Hint: Udnyt Wilsons sætning til at finde et x<br />
der opfylder at x 2 ≡ −1 (mod p)).<br />
10 Fermats lille sætning <strong>og</strong> Eulers sætning<br />
Eulers sætning 10.1. Lad n ∈ N <strong>og</strong> a ∈ Z. Hvis a er primisk med n, er<br />
a φ(n) ≡ 1 (mod n).<br />
Bevis Lad a 1,a 2, . . . ,a φ(n) være repræsentanter for de i alt φ(n) primiske<br />
restklasser modulo n. Tallene<br />
a · a 1,a · a 2, . . . ,a · a φ(n)<br />
er <strong>og</strong>så primiske rester ifølge sætning 8.1, <strong>og</strong> de er desuden forskellige ifølge<br />
sætning 8.5 da vi kan forkorte med a når a er primisk med n. De er altså<br />
<strong>og</strong>så netop samtlige primiske rester modulo n. Dermed er<br />
a 1 · a 2 ···a φ(n) ≡ (a · a 1)(a · a 2)···(a · a φ(n))<br />
= a φ(n) · a 1 · a 2 ···a φ(n) (mod n).<br />
Da a i ’erne alle er primiske med n, kan vi forkorte <strong>og</strong> få<br />
a φ(n) ≡ 1 (mod n). ✷<br />
Et vigtigt specialtilfælde af Eulers sætning er Fermats lille sætning:<br />
Fermats lille sætning 10.2. Lad p være et primtal, <strong>og</strong> lad a ∈ Z være primisk<br />
med p . Da er<br />
a p−1 ≡ 1 (mod p).<br />
Korollar 10.3. Lad p være et primtal, <strong>og</strong> lad a ∈ Z være en vilkårlig rest<br />
modulo p . Da er<br />
Opgave 10.1. Bevis korollaret.<br />
a p ≡ a (mod p)<br />
Opgave 10.2. Vis at a 13 ≡ a (mod 2730) for alle hele tal a .