Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori - Teori og problemløsning, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, Georg Mohr-Konkurrencen 16
Multiplikativ invers Lad n ∈ N, og lad a ∈ Z være en rest modulo n. Et
helt tal b som opfylder at
a · b ≡ 1 (mod n)
kaldes en multiplikativ invers til a modulo n, eller nogle gange blot
en invers til a modulo n. Den multiplikative inverse til a betegnes
a −1 .
Sætning 8.4. Lad n ∈ N. Resten a ∈ Z har en multiplikativ invers modulo
n, netop når a er en primisk rest modulo n. Den multiplikative inverse er
entydigt bestemt modulo n.
Bevis Antag at a er en primisk rest modulo n dvs. at gcd(n,a ) = 1. Ifølge
Bezouts identitet findes s ,t ∈ Z så 1 = s a + t n. Tallet s opfylder altså at
a s ≡ 1 (mod n), hvilket viser at der findes en multiplikativ invers til a modulo
n. For at vise at den multiplikative invers er entydigt bestemt, antager
vi at ab ≡ 1 (mod n) og a c ≡ 1 (mod n). Dette viser at
c ≡ (ba )c ≡ b(a c) ≡ b (mod n).
Altså er den multiplikative inverse restklasse til a entydigt bestemt modulo
n.
Antag til slut at a ikke er en primisk restklasse modulo n. Da vil d =
gcd(n,a ) > 1 gå op i både n og alle multipla af a , og der findes derfor ikke
et helt tal s så s a ≡ 1 (mod n). ✷
Sætning 8.5. Lad n ∈ N, a ,b,c ∈ Z. Hvis a er primisk med n gælder at
a · b ≡ a · c (mod n) ⇒ b ≡ c (mod n).
Bevis Antag at a er primisk med n, og at a · b ≡ a · c (mod n). Da a er
primisk med n, ved vi fra sætning 8.4 at a har en multiplikativ invers a −1 ,
dvs. at
og altså b ≡ c (mod n). ✷
a −1 · a · b ≡ a −1 · a · c (mod n),
Eksempel Denne sætning er en slags forkortningsregel, og den gør det
muligt at løse ligninger af typen
når a er primisk med n.
Hvis vi fx ønsker at løse ligningen
ax + b ≡ c (mod n),
5x + 1 ≡ 7 (mod 9),
kan vi først trække 1 fra på begge sider
5x ≡ 6 (mod 9).
For at fjerne 5-tallet, skal vi nu gange med den multiplikative inverse til 5
modulo 9. Ved at prøve sig lidt frem ses at denne er 2. Ved at gange med 2
på begge sider fås
x ≡ 2 · 6 ≡ 3 (mod 9).
Opgave 8.2. a) Bestem samtlige primiske restklasser modulo 15, og bestem
den multiplikative inverse til hver af dem. b) Løs ligningen 7x + 19 ≡ 36
(mod 15).
Opgave 8.3. Lad p være et primtal. Vis at de eneste restklasser modulo p
som er deres egen multiplikative inverse, er restklasserne 1 og p − 1.
Sætning 8.6. Lad k ∈ N, og lad a 0,a 1, . . . ,a k −1 være repræsentanter for
samtlige restklasser modulo k . Hvis m ,r ∈ Z og m er primisk med k , da
repræsenterer de k rester
m a 0 + r, ma1 + r, ma2 + r, . . . , mak −1 + r
også samtlige restklasser modulo k .
Bevis Hvis vi viser at de k restklasser repræsenteret ved
m a 0 + r, ma1 + r, ma2 + r, . . . , mak −1 + r