Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Talteori - Teori og problemløsning - Georg Mohr-Konkurrencen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Talteori</strong> - <strong>Teori</strong> <strong>og</strong> <strong>problemløsning</strong>, marts 2013, Kirsten Rosenkilde, <strong>Georg</strong> <strong>Mohr</strong>-<strong>Konkurrencen</strong> 12<br />
der ikke havde løsninger, <strong>og</strong> vi kunne derfor konstatere at den oprindelige<br />
ligning heller ikke havde løsninger. Hvis vi havde opnået en ligning der<br />
havde løsninger ved at regne modulo 3, kunne vi ikke omvendt konstatere<br />
at den oprindelige ligning havde løsninger, men vi kunne måske finde<br />
information om hvilken rest eventuelle løsninger skulle have modulo 3.<br />
Opgave 6.2. a) Vis at summen af kvadraterne af fire på hinanden følgende<br />
hele tal ikke kan være et kvadrattal. b) Vis at summen af kvadraterne<br />
af fem på hinanden følgende hele tal ikke kan være et kvadrattal. c) Vis<br />
at summen af kvadraterne af seks på hinanden følgende hele tal ikke kan<br />
være et kvadrattal.<br />
Eksempel Hvis man vil vise at en ligning hvor der indgår kvadratet på en<br />
af de ubekendte, ikke har løsninger, er det er ofte en god ide at forsøge at<br />
reducere problemstillingen til en ligning af typen x 2 ≡ a (mod n) da ikke<br />
alle rester er kvadratiske rester modulo n.<br />
Hvis vi ønsker at vise at ligningen<br />
15x 2 − 7y 2 = 9,<br />
ikke har n<strong>og</strong>en heltallige løsninger, regner vi modulo et helt tal for at forsøge<br />
at opnå en ligning af typen x 2 ≡ a (mod n) som ikke har n<strong>og</strong>en heltallige<br />
løsninger. Da primfaktorerne i 15, 7 <strong>og</strong> 9 er 3, 5 <strong>og</strong> 7, er det oplagt at<br />
forsøge at regne modulo et af disse tal. For at illustrere metoden prøver vi<br />
med alle disse tre tal.<br />
Først regner vi modulo 3. Dette giver 7y 2 ≡ 0 (mod 3), <strong>og</strong> dermed ifølge<br />
nulreglen at y er delelig med 3 da 3 er et primtal. Vi kan nu sætte y = 3y1<br />
<strong>og</strong> indsætte dette i ligningen. Dette giver<br />
som reduceres til<br />
15x 2 − 63y 2<br />
1 = 9<br />
5x 2 − 21y 2<br />
1 = 3.<br />
Hvis vi igen regner modulo 3, fås 5x 2 ≡ 0 (mod 3), hvilket viser x er delelig<br />
med 3. Vi kan nu sætte x = 3x1 om omskrive ligningen til<br />
45x 2<br />
1<br />
2<br />
− 21y1 = 3,<br />
<strong>og</strong> yderligere til<br />
15x 2<br />
1<br />
2<br />
− 7y1 = 1.<br />
Regner vi igen modulo 3, skal y 2 1 ≡ 2 (mod 3), men 2 er ikke kvadratisk rest<br />
modulo 3. Ligningen har derfor ingen heltallige løsninger.<br />
Hvis vi i stedet regner modulo 5, får vi<br />
3y 2 ≡ 4 (mod 5).<br />
Da vi gerne vil opnå en ligning af typen y 2 ≡ a (mod 5), overvejer vi om der<br />
ikke er et tal c vi kan gange med på begge sider således at c · 3 ≡ 1 (mod 5).<br />
Det er ikke svært at se at c = 2 opfylder dette. Ved at gange med 2 på begge<br />
sider fås<br />
y 2 ≡ 3 (mod 5),<br />
men 3 er ikke kvadratisk rest modulo 5. Ligningen har altså ingen heltallige<br />
løsninger.<br />
Regner vi derimod modulo 7, får vi<br />
x 2 ≡ 2 (mod 7),<br />
<strong>og</strong> da 2 er kvadratisk rest modulo 7, fortæller det os kun at x ≡ 3 eller x ≡ 4<br />
(mod 7). Det ser altså ikke umiddelbart ud til at virke.<br />
I dette eksempel kan man altså både regne modulo 3 <strong>og</strong> modulo 5, men<br />
det er langt det hurtigste at regne modulo 5. I praksis må man forsøge sig<br />
lidt frem for at finde ud af hvad der virker.<br />
Opgave 6.3. Vis at ligningen x 2 + 10 = 5 y ikke har n<strong>og</strong>en positive heltallige<br />
løsninger.<br />
Opgave 6.4. Bestem alle heltallige løsninger til ligningen x 2 − 3y 2 = 17.<br />
Opgave 6.5. Findes der fire forskellige heltal med den egenskab at produktet<br />
af vilkårlige to lagt til 2006, giver et kvadrattal? (Baltic Way 2006)<br />
Opgave 6.6. Bestem alle heltallige løsninger til x 2 + y 2 + z 2 = 2x y z .<br />
Sætning 6.1. Lad p være et ulige primtal. Da er netop halvdelen af alle<br />
tallene 1, 2, . . . ,p − 1 kvadratiske rester modulo p .