Titel: Om fingeraftryk – komprimering med ... - of Arne Mejlholm

6.6 Transformation ved hjælp af forudsigelse 6. Komprimeringsteknikker
y[2 j ] = v[1]x[1] + v[2]x[2] + · · · + v[2 j − 1]x[2 j − 1] + v[2 j ]x[2 j ]
Dvs. har vi den rigtig base, kan vi ogs˚a findes det transformerede signal
eller det inverse transformerede signal. Ved at multiplicere matricen W j senhed
med et givet komprimeret datasignal x[2j ], opstillet som søjle, s˚a f˚as det
oprindelig datasignal y[2j ]: W j senhedx[2j ] = y[2j ]. P˚a tilsvarende m˚ade finder
man W j aenhed ved at wavelets transformere de 8 enhedsvektorer.
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] . . . [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
og efter transponering ender man op med følgende.
W (3)
aenhed =
⎡
1
8
1
8
1
4
1
2
endvidere gælder der at
1
8
1
8
1
4
1 −
1
8
1
8
1 − 4
1
8
1
8
1
8
1 − 8
1
8
1 − 8
1
8
1 − 8
0 0 0 0 0 0 1
2
1
8
1 − 8
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
1
⎢
− 4 0 0 0 0 ⎥
⎢ 2 0 0 0 0 0 0 ⎥
⎢
1 1
⎢ 0 0 2 − 2 0 0 0 0 ⎥
⎣
1 1
0 0 0 0 2 − 2 0 0 ⎦
W j senhed · W j aenhed = I og W j aenhed · W j senhed
da, Wsenhed er invertibel, hvor matricen I er en j × j enhedsmatrice.
Vi har i dette afsnit benyttet lineær algebra til at give en fortolkning af
wavelet transformation. Det er ikke effektivt at implementere wavelet transformation
ved brug af matrix multiplication i et program, p˚a baggrund af
matriceregneoperationerne, da man vil f˚a en kvadratisk udførselstid, dvs.
O(n2 ) fremfor en lineær udførselstid, dvs. O(n), for en udførelse af lifting.
6.6.4 Komprimering af billeder med wavelets
Indtil videre har vi kun omtalt signaler i en dimension, men da billeder er
repræsenteret i to dimensioner, skal vi udvide wavelets til at kunne h˚andtere
to dimensioner. Til det form˚al findes der to metoder. Man kan vælge at anvende
to endimensionelle transformationer eller man kan bruge ægte todimensional
transformation.
Separat transformation
For endimensionelle transformationer repræsenterer man et givent billede
ved hjælp af en matrice. Lad os nu antage at vi har en m × n matrix:
68
− 1
2
= I
⎤