Titel: Om fingeraftryk – komprimering med ... - of Arne Mejlholm

6.5 Diskret wavelet transformation 6. Komprimeringsteknikker
indgange er middelværdier og de resterende 4 er differenser. Derefter udregnes
tilsvarende middelværdierne og differenserne for de første 4 indgange for
det nye signal. Processen gentages indtil man har et signal med en værdi
best˚aende af middelværdien af de 8 originale værdier og 7 differens-værdier.
Den øverste række er vores originale signal, mens den nederste række er
4 12 28 36 16 8 20 28
8 32 12 24 8 8 −8 8
20 18 24 12 8 8 −8 8
19 −2 24 12 8 8 −8 8
Tabel 6.6: Wavelets transformation for et ordnet signal med længden 2 j ,
j = 3.
vores komprimerede signal se tabel 6.6. Hvis man tæller efter s˚a ses det at
det originale signal fylder 14 tegn, mens det komprimerede signal kun fylder
13 tegn. Komprimeringsraten for dette eksempel er ikke særlig stor, men hvis
man tillader at miste nogle informationer i signalet, kan komprimeringsraten
blive større. Den teknik man benytter sig af kaldes for thresholdning, som
vi beskrev i starten af kapitel 6.1. Man vælger en numerisk værdi c, og alle
værdier, numerisk, i det transformerede signal mindre end c sættes til 0
(nul). Tager vi f.eks. c = 9, s˚a vil vores komprimerede signal se s˚aledes ud:
19, 0, 24, 12, 0, 0, 0, 0
For at give et bedre billede af hvordan processen foreg˚ar, tager vi udgangspunkt
i processen generelt. Vi antager at vi har givet et diskret, indekseret og endeligt
datasignal som følgen x[n] med en given længde n = 2 j :
x[0], x[1], . . . , x[2 j − 1], x[2 j ]
For at det bliver muligt at foretage en komprimering, skal signalet være af
længden 2 j for et givet j ∈ N. Grunden til at længden skal være 2 j , er at man
efter komprimering vil opn˚a et signal, der er halvt s˚a langt som det signal,
der skal transformeres. Hvis man har et signal med længden forskellig fra 2 j
, søger man for at længden bliver 2 j ved at tilføje signalet ekstra nul-værdier
enten foran selve signalet eller efter signalet. S˚a opn˚as komprimeringen ved
at opdele signalet, s˚aledes at man har delfølgen sj−1 for lige indgange (ligej)
og delfølgen dj−1 for ulige indgange (uligej). Det nye signal best˚ar af følgerne
sj−1 med længden 2 j−1 og dj−1 med længden 2 j−1 . Tilsammen har det nye
signal længden 2 j−1 + 2 j−1 = 2 j , som ogs˚a er det vi startede med.
sj → sj−1, dj−1
Indgangene i det nye signal kan man opn˚a ved at benytte følgende formler:
dj−1[n] = sj[2n + 1] − sj[2n] (6.15)
sj−1[n] = sj[2n] + sj[2n + 1]
2
(6.16)
62