Titel: Om fingeraftryk – komprimering med ... - of Arne Mejlholm

6. Komprimeringsteknikker 6.3 Interpolation og Splines
x 0 3 4 5
f(x) 0 1 2 4
Tabel 6.1: Funktionsværdier
Hvor a = x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4 = b og
og
a0 = f0 = 0
a1 = f1 = 1
a2 = f2 = 2
b0 =
1 − 0 1
f[x0, x1] = = ≈ 0.33
3 − 0 3
b1 =
2 − 1
f[x1, x2] = = 1
4 − 3
b2 =
4 − 2
f[x2, x3] = = 2
5 − 4
Hvilket giver os
⎧
⎨ 0 + 0.33(x − 0) = 0.33x , 0 ≤ x ≤ 3
s(x) = 1 + 1(x − 1)
⎩
2 + 2(x − 2)
= x
= 2x − 2
, 3 ≤ x ≤ 4
, 4 ≤ x ≤ 5
Kubiske splines
Da vi ikke kan nøjes med at repræsentere et fingeraftryk ved hjælp af lineære
splines uden at have mange punkter, har vi valgt at kigge p˚a kubiske splines,
der er splines af tredje grad. Disse er bedre til at tilnærme sig liniestykker,
der ikke er rette. Vi vil have en “glat” funktion der g˚ar gennem m + 1
punkter. Badsberg siger i [2][Udledning] at:
Erfaringen viser, at hvis m (redigeret, var n) er mere end ca.
5, kan man f˚a et polynomium, der oscillerer voldsomt, selv om
punkterne ligger pænt.
Derfor er det hensigtsmæssigt at sammensætte en funktion af en række
polynomier af lavere grad. Dermed kan man lettere opn˚a en glat overgang
fra det ene polynomium til det andet. Vi ønsker ogs˚a at hver spline i de m
intervaller højest repræsenteres af et polynomium af tredje grad. For at sikre
sig at funktionen gennem punkterne bliver glat, gælder der, at den skal være
to gange differentiabel, og de afledte af anden orden skal være kontinuerte.
53