Titel: Om fingeraftryk – komprimering med ... - of Arne Mejlholm

6.3 Interpolation og Splines 6. Komprimeringsteknikker
6.3.2 Spline interpolation
Der findes forskellige metoder til at approksimere et bestemt polynomium
til en funktion, men et enkelt polynomium er sjældent nok og ved at dele
funktionen op i intervaller ender man med en samling af polynomier, som
skal sættes sammen til en beskrivelse af funktionen. Denne kombination af
polynomier p˚a bestemte intervaller, kan lede til problemer i og omkring sammensplejsningerne
mellem de forskellige polynomier. Der kan fremkomme
sm˚a uregelmæssigheder p˚a den beskrivende funktion, s˚a den mister sin kontinuitet
og regelmæssighed. Ideen bag splines er at udglatte s˚adanne uregelmæssigheder
og skabe en kontinuert ”glat”funktion.
Lineære Splines
Lineære splines, eller splines af første grad, er en simpel udgave af spline
interpolation. Lineære splines skal være kontinuerte og best˚ar af rette liniestykker.
Givet at vi har nogle kendte punkter i intervallet [a, b] beskrevet
ved:
a = x0 < x1 < . . . < xm = b
og vi vil have en lineær spline s, s˚aledes at et givet punkt i splinen svarer
til et givet punkt i funktionen, s˚a kan den linære spline mellen to punkter
findes. For at gøre dette skal s være et polynomium af grad et og g˚a gennem
punkterne (xk, f(xk)) og (xk+1, f(xk+1)). Liniens ligning for en ret linie
gennem førnævnte punkter er
y = fk + fk+1 − fk
(x − xk) (6.3)
xk+1 − xk
hvor vi i stedet for f(xk) skriver fk og k = 0, 1, . . . , m.
Dette udtrykt med vores termer er
hvor
og
sk(x) = ak + bk(x − xk) (6.4)
ak = fk
bk = fk+1 − fk
xk+1 − xk
= f[xk, xk+1]
Vi vil nu vise anvendelsen af ligning 6.3 med et eksempel.
Eksempel 1: Liniær spline
Vi vil finde den lineære spline der g˚ar gennem punkterne i tabel 6.1
52