Titel: Om fingeraftryk – komprimering med ... - of Arne Mejlholm

6. Komprimeringsteknikker 6.3 Interpolation og Splines
6.3 Interpolation og Splines
Vi vil bruge splines til at finde en metode, hvormed vi kan tilnærme os
en linie i et fingeraftryk. Med denne metode kan vi s˚aledes lave et helt
fingeraftryk ved hjælp af splines. Metoden til dette finder vi ved først at
kigge p˚a lineære splines og derefter bygge videre til kubiske splines, som vi
har tænkt os at bruge til at repræsentere fingeraftrykket med. Dette kapitel
er baseret p˚a [33].
6.3.1 Interpolation
Der er flere forskellige metoder, hvorved man kan prøve at tilnærme sig
et sæt data. Interpolation er en process, der bruges til at finde en funktion
eller en samling af flere funktioner for at beskrive et sæt givne data. Gennem
disse data skaber man den funktion, der passer bedst til situationen. Den
skabte funktion har den egenskab, at man med en forholdsvis lille afvigelse
kan approksimere den oprindelige funktion ud fra et givet antal punkter.
Derved skaber man en metode til at beskrive komplicerede datasæt p˚a en
enkel og effektiv m˚ade. Hvis man skal approksimere givne data med grafen
for en funktion, kan man med fordel kigge p˚a polynomier som værktøj hertil.
Weierstrass’s sætning beskriver i [33][Kapitel 4, side 75] denne situation:
Lad f være en kontinuert funktion i intervallet [a, b], givet et
h > 0, s˚a eksisterer der et polynomium p N(h) af grad N(h) s˚a:
|f(x) − p N(h)(x)| < h (6.1)
for alle x der tilhører intervallet [a, b], derfor eksisterer der en
følge af polynomier s˚aledes at
||f(x) − pn||∞ → 0 for n → ∞ (6.2)
Sætningen viser, at der kan bestemmes en følge af polynomier pn, s˚aledes
at forskellen mellem funktionen f og det interpolerede polynomium g˚ar mod
0, hvis n (angiver trinet i følgen) g˚ar mod uendeligt.
N˚ar man har valgt polynomier som værktøj, er det af to grunde. Først,
givet en kontinuert funktion, kan man med vilk˚arlig nøjagtighed approksimere
et polynomium, s˚a det lægger sig s˚a præcist, som det er nødvendigt op af
funktionen. Dvs. man kan opbygge en funktion ud af polynomier, der er
vilk˚arlig tæt p˚a den oprindelige funktion. Jo flere man tager med, desto
større nøjagtighed opn˚ar man. Da det ikke er muligt i praksis 6 at bruge
et uendeligt antal polynomier til at beskrive en funktion, findes der nogle
metoder til at denne proces; En af dem er spline interpolation.
6 Her tiltænkt at man skal kunne udregne interpolationen i en computer
51