ttu_rbmc01_000037.pdf

^: (^^a^. ^y^^ ^JX^ V^-^

£ « c e b 0 g
ixn ttnt !8?(it^ematif
bit)
Dr. (3 eox Q g r. U r f i n.
fV\at\'WVWM/VW\\IV\'WVVVUi«
2( n b c n 2> e c I ,
inbe^olbenbe
©fercomefrien/ Sngonometnen/ HtQihta 09 bet
^ j 0 b e n 1) a » n.
Slrijft i £l;iele« SBogtryftetie.
18 2 4.

^'laroarenbe anben ®eel af ben af mig i Sldvet 1822 ub:
flione Sarebog i ben rene SRat^ematif fremfommer ifar oeb
ct

YI
^ilberne ifte ere anferte, ter jeg bog iffe Ealbc nogenfomI;el|t
^er frcmfat 2l;eorie min egen, ©om Jorfatter af et Siemens
tars93arE Ijaobe jeg oel be^nben 3iitet at gjere, nbcn at oalge
gjjaterialier og famie biffe til et ^eelt; og, ^ar nu felo bette
asalg ilunbom Eunnet ubftraEEe fig til Mffnit, fom ei tilforn,
i bet JKinbfte iEfe paa benne 2Raabe, ere fremfatte i Sare:
begerne, ia oil man natnrligft fege ©runben I;ertil i ben
2Kaabe, I)Oorpaa mit ^ele ©tubinm er lebet, ligefom cgfaa,
cm man paa flere ©teber (!ulbe fpore en x>ii ^jarlig^eb for
ben matOematiffe Salcul, I;«iIEen jeg l)aaiit £aferen oil belc
meb mig, ia oil benne albeleg labe fig forElare af min ©til:
ling og ®annelfe unber oor beremte 3I|lronom sprofeffor 03
9iibber @c^umac()er.
5(nmartningen til §, 4 ©ibe 38 ter jeg nu foranbre ber:
^en, at, oeb ben Sntereffe, ber nbenlanbg er oaft for Soga:
ritl)mcr meb 6 ®ecimaler, og oeb .fijalp af ben ©ubfcription,
?)oormeb man l^ar bearet mig, feer jeg mig iflanb til at reali:
fere bet ber pttrebe ^aab. ©amtibigen meb bette ©Eriot
forelagger jeg faalebeS mine fianbe^manb qjlanen til Sogaritft:
merne og be ©ubfcription^ :2>iIEaar, jeg fortringoiig tan til:
6i)be im, Snljoer ^eroarenbe ©ubfcribent oil, foruben ben
asiftanb, ber ^iei mig fom ene gorlagger af et faa bctpbeligt
goretagcnbe fom ooennaonte gogaritljmer, og I}oilEen jeg (Icbfe
taEnemmeligen oil erEjenbe, tiHige i gorbinbelfe meb be ©itb:
fcribenter, jeg iibenlanbg ^ar, bibrage ©it til at fremme et
2Sarf, t)oie ©aon lange felteg, og i)vii asrugbar^eb neppe
oil bctoioleg, naar mine drafter ellerg formaae at ubfere bet
faalebeg, fom bet af mig, fom Sorrecteur 03 Ubgioer, meb
a3illigf)eb fan traoe^.

© c 0 m c 11 i c.
"iiniin 7tfbcling. ©tcreometrie.
§. I. © r u n t) f. (It spiang SSeltggen^cb er 6c(!cmt
ucb tre QJunctcr, fom iffe ligge i en ret Sinie.
Sill. I. ?o rette 2inicr, ber ft0be fammen i ct
^unct, ubcn enten albclcg at falbe fnmmen cller »ffre ^in;
nnben lige mobfatte, bcftcmme ogfaa et

en^«cr Sinie, ber brage^ igjennem fatnme ^unct t bit

$. 6. Sa'ref. Srcier en ret SDinfcl fig om fit cue
S:ccn, fna bcfTiiocv tct nnbct vcb |ui Ombrctning ct 'plan.
25 c i\ 5lntag at ben rette a3infel »cb fin Ombrcining
iffe fiar biinnct et 'Plan, fan conflvuecr et Q)lan MJVJ_AC
i'Monncm C (§. 4 5itl. 2). 3l'ntng nu gjcnnem AC et 'Plan
Ingt pan ct vilfnnrligt 2tcb, fan vil bet tTjffre MN t en ret
Sinie, f. Sr. CD og ben frembragtc Jlnbe t en anben ret Sinie
CB, men beggc biffe ere "Perpcnbicuterer t fammc ^lan til
AC, ^vilfct er umuligt. ©aolebc^ fan beoifeg, at MN (U
^»crt 2tcb fnlbcr fammen meb ben frembragtc globe, eller
at benne cr et QMon.
§.7. £(sref. ©tooe to Sinier lobrette poo fomme
Q3lan, bo ere biffe paroUcLfc.
95 eo. Soreen B og D meb en ret Sinie, oprci^ t ^(.
MN Sinien DE J_ BD, gj0r AB = DE, brogeg nu BE 03
AD, fan cr AABD S BDE; oltfna AD = BE; brogeS
AE, fofl cr A ABE S AED, altfnn Z_ABE = ADE, men
ABE z= R, oltfnn DE J_ AD, og tiUigc er DE _L BD 03
DE _L DC; nitfno AD, BD og CD i eet ^Mon, t ^oilfet
cgfoo AB liggcr. 3 bette Q31an over|Tj«reg AB og DC of
BD, bo nu /_ABTi -f- BDC = 2R, foo er AB =^ CD,
§.8. £ « r e f. Sr een of to 'PoroUeller lobret poo
et ^Inn, faa er ben onben bet ogfaa,
95 eo. 2l'ntag AB ± spi. MN, Qjev fomme €onftruc;
tton fom §. 7. 9)u 6e»iftcg let of 'Jrinnglernc^ Congruent^
nt DE J_AD, falgcligen poo $ilonet ABD, ^»ori ogfaa bm
nnben 'Parallel CD finbc^; oltfoa CD j _ DE og tilltge bo
AB =^ CD og /_AED = R, er iL.CDB == R, oltfoo
CD J_ BD, f?lgcltgen CD ± ^l, MN (§. 4).
I*

4
§. 9« £n;r«f- ^^^ f" ^'"'^'^ pornUcUe meb een og
fomme treble, bo ere be inb6i)rbeS poroUelle.
93 6 6. OpreiS fro ct vilfoorligt 'Punct i ben fffllebiS
^oroUcl en 'perpenbicuter i ^»crt of be pornacUe Stnier«
^loner; teg gjcnnem biffe 'Pcrpenbicuterer et 'Plnn. ffla ec
ben fffllcbg 'PoroUel lobret pon bette ^Mon, oltfoo og be to
onbre Sinier berpnn lobrette (§. 8) og f^lgeligcn poroUcHe
(§. 7)*
§.10. ^pg. Sro et spunct ubenfor et 'Plnn at
falbe cu 'Perpenbicuter poo 'Plnnet.
Op[. ®'^"9 ' 'pinnet en vilfonrlig ret Sinie BC; teg
et 'Plon igjennem A, B, C og i bette f«lo AD _L BC. etnaer
AD uu lobret pno MN, fnn er Oplasningcn f«rbig, i)vii iffe
brng DE _L BC t, 'Pl. MN, og fco A ffflb t et 'Plnn logt
igjennem A og DE Sinien AE j _ DE, fan cr AE _L 'Pl. MN.
95ct). 3 'Plnnet MN brag GH z^ BC; nu er BC
J.

i ^vert *pian fra ct vilfoorligt "Punct i 'pionerneg OvcrjTjff;
ringgj Sinie.
§.13. £«rcf. Sro et "Punct i et 'Plon funne iffe
flere enb een Sinie oare oprcifle pcrpcnbicute'rt.
95 e t). 3lntog ot ber vare to 'Pcrpenbicuterer, fan teg
tgjennem bcm et 'Plon, fom vil ovcrfFjere bet gi»ne t en ret
Sinie; pao benne vilbc oltfoa i eet "pion beggc 'Perpenbicu;
tercr flnne lobrette.
§. 14. ixvef. Srn et Q)unct ubenfor ct 'Plon fan
tffun ffflbeg en 'Perpenbicuter neb pno 'Plnnct.
95CD. Ser ^oor be to 'Pcrpenbicuterer, om biffe gn;
vti, ftabte pan 'Plnnet, brng en ret Sinie i 'pinnct; ^erveb
vilbe opflnne et 'Srinngel, fom ^ovbe to rette SSinflcr.
§.15. S«ref. ©tnncr en Sinie perpenbicuter pno
et 'Plan, bo fraacr et^scrt "Plon, logt gjcnnem ben, lobret
pao bette Q3lan.
95CO. ©tflocr AB X ^1. MN, faa noar berigjennem
teggc^ ^1. CE, l)»ig 0»erfTj«ringg-• Sinie meb MN cr CD,
fan er AB J_ CD; brngeg nu BF JL CD, fnn er ^ABF
Snclinntiong,-Sinflen for ^Innerne; men benne «• R, bo
AB ± "Pl. MN.
Sill. ^00 @runb ficrnf fnn et 'Plnn igjennem en
ret Sinie i et onbet 'plan fcette^ perpenbicutert poo bette.
§. 16. £(Ercf. ©tooer et 'Plan lobret pan ct onbet,
bo cr ben Sinie, ber i bet cue Q3lan er brogcn lobret poo
C»crfFj

£ t f f. ©tfloe to planer lobrette poo et trebie, bo fnn
biffe iffe ^ave fnmme 0«evfFjunct.
§.17. icei'tf. ©tone to pinner lobrette poo ct tre;
bie, ba er berc6 OoerfTjffringg--Sinie lobret pan bette.
S5 c t). @tob AB iffe lobret pon ^1. MN og f^Igcligen
ci feller paa CD og EF, foo lob poo CD t ^l. CK en on;
ben perpenbicuter, GB, jtg opreife, ligelebel i ^lonet EL
^erpenbicuteren AB; beggc biffe Sinier vilbe jlooe lobrette
paa MN (§. 16), ^vil^et ftriber mob §. 13.
§. 18. Sf f. '^0 planer ere pnrollclle, noor be, t^vot
Jnngt be enb fortenge^, olbrig labe fommen.
§.19. £«rcf. ©tfloer en ret Stnte lobret p^o to
^loncr, bo ere biffe poroUelle.
95et). OverfTjore be ^inonben etftebg, bo lob ber ft3
fro et ^unct i OBerffjacinge; Sinien til ber, ^vor Q3erpenbi;
cuteren trof ^Innerne, c begge ^lonerne broge rette Sinier;
foolebeg vtlbe opftooe et 5riongel meb to rette SSinfler.
§. 20. S«rcf. OtJcrfFjffreg to poroaellc QJloner of
et ^lon, bo ere OvcrjTjffringg 5 Sinierne pnroUelle.
95et). 5rof be fommen, foo mootte ogfoo 9>Ianerne,
tilftrffffeligen fortengebe, trcpffe fommen.
§.21. £a;ref. ere fro et ^lon til et onbet, fro tre
^uncter, tre 'Pcrpenbicuterer falbebe, 03 bijTe ere ligeftore,
fco ere 'Ploncrne poroUelle.
35et). Sre AB 03 DC perpenbicutere poo MN, fao
er AB rjt DG (§. 7) 03 tillise efter 3fntogclfcn ligeftore; bro;
Seg nu AD 03 BC, foo er AD =^ BC (i. §. 65), ligeiebeS

DE rfz CF; bfl nu ^DCB = R 03 DCF = R, faa
er ^CDA = R 03 /_CDE = R, nltfao DC J_ "PI.
PQ (§. 4); bo tiflige DC _L ^1. MN, foo er PQ qfc MN
(§. 20).
§.22. £ffrcf. SBIive to rette Sinier oBcrfFoorne of
Ijarallelle "pioner, bo ere Selene of bcm proportionole.
Set). 3l'nta3 MN, PQ 03 RS povoUelle, foo er AE: EB
= CG:GD; t^t bro3eS en Sinie fro A til D 03 et 'Plott
teggeg gjcnnem A, B og D, foo opflaaer AABD; ^vori EF
r^ BD (§. 20), nltfao AE:EB = AF:FD; men lige;
Icbcg AF : FD = CG : GD, oltfoo AE : EB = CG: GD.
§.23. £

8
jiem ^uert 'Por ^oSliggenbe tegge^ pinner; ben jjuul^eb, ber
bo cr mcttem be i eet Q3unct fammcnflfibenbe Q:)loner, er bett
legcmlige SSinfcI.
©e plane SSinfler, fom inbcflutte ben legcmlige SSinfcl,
falbeg bcn^ ©iber, eg 3nclinationg;a3iuflcrne racltem to
^oSIiggenbe 'pinncr J?j0rnet^ SSinfler.
§. 26. £ a; r e f. 3 et^vcrt trefibet S^jmxt er Sum?
men of be to Siber flebfc ftwre enb bm trebie.
95et). (£re olle tre Siber ligcftore, foo inbfcc6 let,
nt be to (Eiberg ®um er ftarrc enb ben trebie, ^vi^ iffe,
fan ontng z_BAC < CAD eg gj0r ^CAE = BAG, tib
lige AE = AB; tng AC of vilfoorlig Sffngbe og bro3 CD
03 BD; nu er A ABC S! CAE, oltfoo CE = BC, men
CB -f. BD > CD, oltfoa BD > ED. 3 be to 'Srinngler
ABD eg DAE ere to ©iber ligcftore, men BD > DE, olt;
foo /_BAD > DAE, og z_BAD -f BAC > CAD.
§.27. £(Bref. 3 ct^Bcrt jjjwne er Summen of
olle ©iberne tilfommen minbre enb 4R.
Set). Ot)er)Tj«r otic X?j«rnetg ^onter veb et 'pinn
BCDE. SHu er i bet trefibebe J?j0rne, veb B, Siben EEC
< ABE + ABC; ligelebe^ BCD < BCA -f- ACD jc; men
bn BCDE er en giirfont, ere z_ EBG -f- BCD -f- CDE +
DEB = 4R, oltfoa ABE + ABC + BCA -j- ACD -f- ...
> 4R; men biffe 8 Siber ubgjarc tilligcmcb Jpjernct A'g
eibcr tilfommen sR, oltfoa er Jjjernetg ©iber minbre enb
4 R. Set ©nmme bcvifteg om etf)Bect jpjsrne of et vilfnor*
ligt 2lntnl ©iber.
§. 28. gn. et «PriSmc er et Scgeme, ber 6e«
gi-ffnbfcg of to pnroaelle globcr, ber ere congrucnte retlinebe
^lon.-Sigurcr og forveften of 'Poroaelogrommer, ber forene

MiTc 'Jignrcr^ ccnilioin-nbe ©iter, dfterfom be to pnrnllclle
glrtbcr, ber tol^c-o Oirun bf Inbcr, cie ^rinnglcr, giir<
fiintcr, Scmfanrcc jc, ben 'Pri^mct trefibet, fiir»
fibet, fenifibet ;r.
9
(En 'PI; rami be cr ct Scgeme, bcgvo-nbfct nf 'Plancr,
fom (tflbc fnmmen i cct 'PMmct, eg ere oprciflc fra ct 'Plon,
fom fiiL\v Ci) V u 11 b f I c, b 0 n. 'Pi;rnmibcu» C:H-mibfIabe bli?
«cr fa,ilc?'Cf en rctlinct 'pimuSigur, og cfter bcnS ©iberS
2tntnl [I'Uitvr.ci 'PiUMiiiibcn, ncmlig trefibet, fiirfibct, fenv
ftbct :c.
§. 29. £a;ref. (Sr et Scgeme 6egrfl?nbfct nf 'Plnncr,
f)vornf be mobftnnenbe ere pnroUctle, bo ere biffe 'ParoUclo;
grniiimcr, og be mobftanenbe congrucnte.
Set). 3l't be bcgvanbfcbc 'pinner ere 'Pnrnllelogrammer,^
tnbfeeS let ifolge §. 20. Sc mob|tnaenbe 'ParoUelogrommcr ere
ligcjlove, t^i brngcS Singonnlcrne CB og EG, foo ligge biffe
t eet 'pinn; tl)t EC z:^ AH, GB =^ AH, oltfnn GB =^ EG
(§. 9). 'Jiaigc er CE =z BG, altfno er og CB = EG,
felgcligcn A ABC ^ HEG. Stgelcbeg CBD ^ EGF, alt;
fnn Qinrollclogrommet AD ^ HF. ©oolcbcg fore^ 5Bcv>ifet
for be evrige 'pnrnllclogrnmmer.
pebon.
Sill. (St fnnbnnt Scgeme folbeS et Q30ro 11eIept;
§. 30. £a:ref. 'porallclcpipebcr, ber f!aoe mellem
fnmme pnrollclle "pioner pno fomme ©runbflabe, ere lige;
|!ore.
«8ct). 95ctragtcS (Sig. a) be to trefibebe "Primmer
BLEI og DFMK, fnn ere ©runbflabcrne congrucnte, og til;
lige fan bet let inbfcc^, at 'PriSmccne ville bffffe ^inonben.

10
(Eubtro^ereS nu DPLI 03 obbere^ EPFN, foo er^clber 'Pa>
rollelepipebcrne EC eg FI.
Stgge berimob 'PoroUelepipeberne AF 03 EK iffe foo;
lebcg, ot ©ibcflabcrnc ere t eet 'plan, foo, nonr (Jig. b)
BF eg AH fortengcg eg ligclcbc^ FK og EI foitenge^, op;
ftnoer et nt)t ^ornllelepipebon FN, fom er ligeflort foovel
meb AF fom EK, oltfoa biffe inbbprbc^ lige(!ore.
ZiH. SSeb i?j«lp ^crof fon mon tffnfe jTs et ^nrol;
lelepipebon forvnnblet til et onbet pnn fnmme ©runbjTobe;
men ^viS ©ibelinier (looc lobrette pno ©runbfloben.
Gt fnobont 'Porotlelcpipebon folbe^ et ret, t SJiobffft;
ning til be, ^vis ©ibelinier iffe ere perpenbicutere, og fom
fnlbcS jTjffoe.
§. 31. £a:rcf. J;nvc§ et QJnrnllclcpipebon (AF), 03
i en ©ibeflnbe (HF) to ^cSli3genbe ©iber (HG 03 GF) f)aU
vereg, og igjennem Selinggpunctcrne brageg Sinier (LM og IK)
jjnrollelle meb be mobf!nnenbe ©iber, 03 t3jcnnem biffe ottec
te3geg 'Ploncr porollelle meb be mobftnoenbe ©tbcflnber i
^ornllelepipebet, fon ere be pre becveb epfemne ^orotlelepi;
peber congrucnte.
95ct). HT, TG, TF eg EF ere congrucnte ^nrolle;
losrommer, tiUise ere 'Porollelcpipcberneg 3nclinntion6;aSiii;
flcr ll3eftere (§. 23), foolebcg ot biffe funne Bruges til
Safning.
Sill. SrngeS cnbnu fro D til B eg fi-o E og G
vettc Sinier, fon ere biffe porollelle, bo DE er porollel og
ligcftor meb BG, og gooe tillige igjennem S og T; bet ^Mon
DG, fom berveb op|toaer, beler fonlcbesS tilligemeb MQ og NK
Q}nrnlleleptpebet i to ^nrnaelepipeber HS eg SF eg 4 trefibebe
•primmer, EITD, MTGS, TKGS og ELTQ.

II
§. 32- £tti'cf. So'ggcS igjennem Singonnterne nf to
mobfrnocnbc (^i^ol7.•|^cr i et 'Pnrnllelcpipcbon et "plan, foo
belcr bet 'Pnra(tclcpipl•^ct i to ligctlorc trefibebe ^riimer.
S5co. Cr 'Parnllclcpipcbct ret, bo ere be trefibebe
^ri^mcr congrucnte; cr bet berimob jTjffvt, font EB, fnn
bed bet ftr|t i 4 congrucnte 'Parnllolepipcber (§. 31); beleS
be to 'Parnllclcpipcbcr, fvei-(;;jc!inan Siagonalevne gnne, otter
t 4 Sdc, eg beici ciiboibcre nf biffe ^arnllelcpipcbcr be to,
igjennem f)vilfc Singonnlcn goacr, foo opftnne otter 4 ni;e
^'^arnlfclcpipcbcr, 0. f. v. SScb fnnlcbcg at fortfffttc Selingeit
vi'dc ber opftnne pnn ben cue ©ibe en 93i(tngbe ^nrollelept;
pebcr, og til bi|Te finbeS tilfonreiibe pnn ben nnben ©ibe,
tillige blioer en ^Diongbe fmno trefibebe Q)ri«mer; men biffe
funne oeb fortfnt Seling blive fnn fmooe, at be olbelcg for;
fvinbe; og oltfnn fnnlcbeg begge ©ti;ffer nf 'porallclcpipebet
ligeftore, eller bnte beelt t to Uge(tore Sclc.
§. 33- £ ir rcf. trefibebe 'Pri»mcr poo fomme ©runb;
flnbe, mellem fnmme pnrnllclle ploncr, ere ligeftore.
95et). 5cgncg til ©runbfloben bet tilfvorenbc ^oral;
lelogrom, fao lobe to ^oroHelepipebcr fig tcgne, fom ibet be
(iooe pno fomme ©runbflobe, mellem fomme porollelle QJlo;
ncr, ere ligeftore (§. 30), men of biffe cr bet jpaloe igjen
be opgivne trefibebe 'Pri»mer (§. 32), nltfao biffe ligeftore.
£tl(. I. So fleerfibcbc ^ri^mcr »eb nt bele ©runb;
finbecne t 5riongler og igjennem Singcnnlerne nt tegge ^In;
ncr ftebfe lobe fig bcle i trefibebe, inbfeeS, nt ogfnn fleer;
ftbebe 'Primmer ere ligejlore, nnor be flooe poo fomme ©runb;
flaber.
Si If. 2. S^ave to 'Primmer fnmme jp^ibe a; fomme
lobrette Jffjinnbe mellem ©runbfinbcrne, og @runbf!nbcrne

12
tillige ere congrucnte, ba Inbe 'prigmerne (Tg ^enfere poo
fomme ©runbftobe og bringe imellem fomme porollelle 'Plo;
ncr; be ere oltfno ligcflore.
J. 34. £

13
vcb D, fnn ot E'DG = PLM, og fulbfcrtcS 'Porallclcpipebet
DP.', bo noor CG betrogteS fom ©runbflobe, er 'Porollel. DB'
=z= DB (§. 30). Xjenfm-cij oltfoo DB' i ©tillingcn SY, fnn;
Icbcg ot -MS liiiiKr i en ret Sinie meb MN, bn liggcr ogfnn
i\ro i atetningen nf LM; fortengcg nu 'Plnncrne RK, LN, PR
og XU, fnn opftnner 'Pnrallelepipebet MZ. 9^u er LPi: MZ
=z LAI: MU og RIZ : SY =z MN: MS (§. 34). 2(ltfnn
LR : SY =: LM X MN : MS X MU; men bo efter 7int
togclfen EG = LN og EG == E'G = MT, foo er
LN = aiT, og felgcligcn LM: MS = MU : MN (L §. 124
5111. 1). 3tlt)"ao LM X MN = MS X MU eOcr LR =: SY;
men SV = DB' = DB, oltfnn LR = DB.
S111, 'trefibebe Q>rigmer of fnmme ^sibe paa lige;
(lore ©runbfinber ere ligeftore.
§' 36. Op3. 3tt fotvnnble fivilfctfom^elft firefibct
*Prilme til et trefibet.
Opf. Snb ©runbpnben of bet giwne ^rigme vffce
ABCD; brog Siogonnlen BD; igjennem C brag CG =fc BD
eg trojf BG, foo er ABDG = CDG (I. §. 70); conftrue;
reg nu ligelebeg i ben onben ©lunbflabe et 'Jrinngel, ecng;
liggenbc meb BDG, og igjennem BG og ben t ben pvcrfte
©runbflnbe til ben funrcnbe Sinie ct 'pinn teggeg, og ^Mnnct
igjennem AD foctengeS, fnn opfrnner et trefibet 'PriSme poo
BDG ligcftort meb 'Ptigmet pnn BCD (§. 35 "Sill.), oltfno
nnnr 'priSmet pno ABD foieS til, er^olbeS 'Prigmet poo ABG
ligeftort meb 'Pri^met pno BCD.
Sill. Sigelebeg fnn et^vcrt fenifibet 'pri^me fotvanb;
leg til et fiirfibct; bette otter til et trefibet, ligclebcS et fejc;
fibet 0. f. v.

14
§. 37* £«l'Cf. ©tone to ,'Prigmer pnn ligeftore
©runbfinber og l)ave fomme Jpeiber, bo ere be ligeftore.
Set). 95cgge Q3rigmer funne forvonblcg til trefibebe,
f)\)ig ©runbfinber ere ligeftore meb be epgiune 'Prigmerg, og
nltfan inbbi;rbeg ligeftore (§. 36). 93^en bn tiUigc g^rigmcr;
neg jjaibcr ere ligeftore, foo blive biffe ligeftore (§. 35 5'ltO
§. 38. £(Ercf. 'Prigmcr, fom ^nve ligeftore Jj«i;
ber, for^olbe jig fom bcreg forfrjellige GrunbJTfnbcr.
Set). S3ion forvonbler 'Prigmerne ferft til trefibebe,
og bernaft forbobblcr bem, fnn ot be 61i»e 'Porollelepipeber;
ere biffe nu iffe rette og bereg Grunbflober ligcvinflebe, fno
funne be bringeg bertil, og ben fomme Sonftruction foretogeg
fow §• 35* 9^u et ligefom for^en 'Pnrnllelep. LPi : MZ
= LM : MU og 'Pnrnllelep. MZ : MY = RIN : MS, nit;
fnn 'Pnrnllelep. LR : SY = (LM : MU) + (MN : M.s);
men ©runbfinbcrne LN og SU for^olbc fig ogfnn fom (LM : MU)
4- (MN : MS), nitfno spovnllelep. LR : SV = LN : SU;
men 'Pnrotlelep. LFi cr bet Sobbclte of bet ene nf be 3i»ne
prigmcr, 'Pnrnllelep. SY = DB ligeftort meb bet Sobbeltc
of bet nnbct givne "Prigme, ligelebeg er LN og SU = DF
bet Sobbeltc nf be giuiie 'Prigmcrg ©runbflobe. 3lltfoo for;
f)olbe prigmerne fig fom ©runbffnber.
§. 39. £

15
= GHIKL (§. 37); men DFEC : DEFY = QR : RY,
oltfnn og DFEC : CIIIKM =zz QR : ST.
§. 40. £ tt r e f. 'Pcigmcr ftnoe i fommcnf'at Sor^olb
of ©runbflnberne og jjoibecne.
Set). 'Jcgn ct 'Prigmc, fom ^nr ij^ibe tilffftlebg meb
bet ene givne, ©runbflnbe meb bet nnbct. Scttc fov^olber
(ig nitfno til bet ene giime, fom be giune "Prigmcrg Jj^iber;
til bet nnbct fom 'Pvigmerneg ©runbfinber, oltfoo flnne be
givne 'Piignier i fammcnfnt gor^olb nf ©runbflaber 03
jjeibcr.
St If. Sre ©runbfinber og J^eibcr reciprcft proper;
tionnle, bo ere Q3rigmernr ligeftore, og omvcnbt.
§. 41. £

i6
fober; tilli3e ere ^t\c\inatmi t^inticme eeng i beggc 'Pyra;
miber; biffe oltfnn consruente.
5

I?
tti oltfoa oHe 'Prigmcc of ben ene ^i;romibe 03 liselcbcg of
ben nnben, fan ville biffe ©ummer for^olbe pQ fom "ppo;
miberneg ©runbflober. tOJen biffe ©ummer funne bctrogteg
fom ^»;comibernc.fel»; oltfao for^olbe ^i;comiberne fig fom
bereg ©runbfinber.
S «I f. Q>i;rnmiber pno ligeftore ©runb(lobcr 03 meb
ligeftore Jj0ibct ere ligeftore.
§.43. £
^olb of ©runbflaberne 03 ijaibcrne.
Sev. '?e3n til 'Pi;romibctne be tilfvorenbe "Prigmcr,
biffe ville bcpolbe ^i;romibcrneg ©runbflober og ^ove jjaibcr
f«llebg meb bem; "Prigmerne (laoe « fommenfnt gor^olb nf
u. 2

©runbfinbcrne eg jj0ibcrne, fnnlebeg ogfnn 'Jrebicpnrtctne af
bem eller "Pyrnmiberuf.
S111. Sec to '•pyrnmibcr ligeftore, be. ere bereg ©runb;
flnbc: og S^sibev reciproft picpcrtion.ile og oravcnbt.
$.45. £ « r e f. ^ijareg i en trcf'tbct 'pprnmibc ct
©nit pnrnlldt meb ©runbfinben, bn cr bette ligcbnnt mti
ben, og ben offToorne "Poromibe er til ben l)de i triplicccet
Sor^olb of ijaiberne.
Set). "Pyramiben vffre AEFG, ©nittct BCD. ^
erBDqfcEF, altfno AE:ABz= EF: ED, ligelebeg BC ah EG,
nitfnn AE: AB ^ EG: GC; felgdigen EF: BD := EG : BC;
ligelebeg EF ; BD = FG : DG, nltf.ia A BDC o EFG.
aicn nu for^olbe ftg "Pi;r. AEFG : ABDG = (AI: AH)
-|- (A EFG: BDC) (§. 44). ^Tun EFG: EDC = 2 (FG: DC);
J G : DC = AF : AD eg AF : AD = AI : AH; nit,
fnn A EFG : BDG = 2 (AI: All) eller "Pvr. AEFG : ABCD
=z 3(AI: AH).
Sill, ©cttningen gjcrlbcr 03 for ficerftbebe 'Pi;rnnti;
ber, i bet biffe Inbe fig bde t rteftbebe.
§. 46. % i I. Sreier et Stectnngd fig om (In cm
©ibe, inbtil ben erl)olbcr fin farfte ©tilling, f"no folbcg bet
Scgeme, fom bcvveb opftnncr, en (Ei;linber.
(in €i;linber begranbfcg nltfan nf to pnrollelle dirfler,
fom fnlbcg bcng ©runbpnber, eg en fvum ^Inbe, ber cnbet
fig iib biffe iSirflerg 'Pcrip^cvier; forbinbcg ©runbflnberncS
;£cntcr nicb en ret Sinie, bo fnlbcg benne eiilinbereng 3(]ccl.
3 bcii bcfinercbe £i;linber bliver tRcctnnglctg fnftliggcnbc ©ibe
;Xrc!, bcn-.c ftnncr lobret pno ©runbflnberne, ^i;linbereii falf
beg bcvfbr ret; ^nvco berimob en dvlinbcr, hn-n 'Vivien cr

19
unbcr e.n onben SSinfel enb ben xfttt inclinerct mob ©runb;
flnbcn, bn fnlbcg ben ffjofv.
S i n. I. fin £i;linber fnn betrogteg fom et prigme,
f)vi^ ©runbflobe cr en reguter 'Polpson of ucnbcli3 monse
©iber.
Si If. 2. Sn fFj«v £i)linber bliver ligcftor meb en
ret paa fomme ©runbflobe og meb fomme S^eibe (§, 37).
S i n. 3. £i;linbre ftooe i fommenfot Sor^olb of ©runb;
flober og ijaiber (§. 40); men, bo ©runbflnberne ere S:irflcr,
og biffe ftnoe i bupliccret gor^olb of Siometrcrnc eller Slobierne
(L §. 130. 5ill. 3), foo (tooe Svlinbrerne t fommenfot Sot;
^olb of Sor^olbet mellem .^aiberne 03 bet buplicerebe gor^olb
mellem ©runbflobcrneg Stabler cller Siomctre.
21 n tn. en fljao gplinber ligcfaaocl fom en ret fan og:
faa tcenteg fremtommcn, naar en Sirfel beoagcr fig iii)
af fit qjlan, flebfe paraUel meb fig felo, mebeng at gent:
rnni befTvioer en ret 2inie, fom bn blioer Solinbereng
3iicl.
§. 47. S f'. Sreier et retvinflet ^rionsel fi3 om
(in ene Sot^ete, inbtil ben er^olber (in farfte ©tillins, foo
opftooer bcrveb et Se3eme, fom folbeg en ^ e g I e (conus).
Sn Scgle begr

20
©iber; ben er oltfoo ligcftor meb Srebieporfen of en £i;Iim
ber poo fomme ©runbflobe og of fomme S^sibe.
S t n. 2. .Segler ftooe i fammenfot gor^olb nf ©runb;
flober eg i?»iber, eller i et S')i'f)olb fommenfot of i"p0iber;
neg Ser^olb 03 bet [buplicerebe gor^elb nf ©runbfloberncg
SRobiet eller Siomctre.
§. 48. S f '• Steier en jjolvcirfcl (ig om fin Sia;
meter inbtil ben er^olber fin f^rfte ©tilling, fno er bet £c;
flcmc, fom bcrveb opftooer, en ^ugle (spliKra),
3(Ufao cr en ^ugle et Scgeme, begrffnbf'ct of en enefle
frum Overflnbe, i ^vilfen ^vert ^>unct er ligclongt borte fro
eet ^unct inbcnfor OverfTnben, fom fnlbcg Centrum.
§. 49. £ (V r c f. OverjTj«reg en .Kugle of et QMon,
bo er ©nittct en Sirfel.
Set). 5

21
§. 50. S f f- ^t regutert Scgeme er bet, ber pnn
one ©iber inbeflutteg of ligeftore rcgulo-re 'plnn;5igurcr.
So nlle 2?inflcrne t eet Jpfarne tilf'nmmcn ffuUc ubgjeve
minbre enb 4 R (§. 27), fnn ere felgcnbe vegutere Segemer
fun mulige:
I. 95cgr«nbfcbe of ligefibebe 'Srinngler:
a) ? e t r 0 e b r e t, begranbfct of 4 ligefibebe Sri;
angler; bet f)nr trefibebe Jjijarner.
b) Octnebret, bcgrtfnbfct of 8 ligejibcb: 5rinng«
ler; bet ^nr firefibcbe Jjjorner.
c) 3cofnebr''t, begro'nbfet nf 20 ligefibebe Iris
ongler; bet ^or femflbcbe Jpjerncr.
2) SSegrcenbfcbc of avobroter:
d) jperoebret, of 6 Clvnbroter; bet ^nr trefibcl*
ijjBrner.
3) SBegrffubfebe nf $5emfnnter:
e) Sobecocbret, of 12 rcgutere S

22
fnnbotttje Sele; berimob efter Secimol; ?!Raolct foocr ©ibc;
linictt lo Sele 03 Cubug felv 1000 SelCi 3(ltfoa bo i cub'
€r ttse i 6e35e 3nbbelin3er, cr
Secimol Suebec.
1726 cub" : 1000 cub"
I cub' I cub'
1000 cub" : 1728 cub"
lOOOOOO cub"' ^=. 3985984 cub'"
veb fpilfen 'Jnbel bet ene S)tonl let forvonble* til bet onbet.
§. 52. £

2'\
21 tint. Sor at nbmaale dolinbre, bcticiiev man fig i -^lU
miubdigbcb af eii 9i it be ft 1.1 f (vii;;iii.i pitlionuti-icn).
Senile cr inbrcttet \^aA folgcnbe ffliaabc: SDlan ralgcr
fom fflfaalc:trciil)cb en h-riaut (Jrlinbcr, f. Gr. ct ^pcttc;
iiiaal, afbelcr ben ene £ibc af en gitaalcftoE i 7>de (igeflore
meb .(>8ibcn af ben gii^re (Jolinbcr; pan ben a>i:
bon £i?e ai'fsttcg 1) (Siilinbcrcng 2i>imetcr, 2) ©iben
i et Grabvat ber cr bol'bdt, 3) tectioKHit, 4) fiivbob:
belt, 0. f. V. fan |loit fom J^iamctvciui Qvabrat; meb ben
fovfte Sibc maaleg ben nbctie; btc giilniDevg S>mic, meb
ben anben t'.'ng (SriinbflaJc; Xnllciie, fom lietseb nb;
fomme, angioe, mnUipliccvctc meb l;iuanbcn, Ijvijvmange
spettcr gpli.ri'cven inbc[)oli>cv.
I^c fiiir, lu'cri i SllminbcIigt'Cb flrbenbc l^u'c irbc-=
f)olbeg, \)A

24
^vlg J?0ibe vor x, foo 6lev ben nffortebe Jtcgle SorfTjeHctt
tnellcm ^ele Seglen 03 benne minbre, ellcr
iR'(a4-x)a- —ir'xar
«Ken
R : r = a-f-x: X
Qlltfoo
R — r:r = a:r
^erof
ar
~ R —r
g^lscligen ben offortebc ^egle
aR ar
1 TtJ _. 1 ..i —
•3-tv R—r — ?r — -j-r • R—r
Caer
R' —r?
^ _ aT == i(R=+Rr + r*)aT;
R — r
2t n m. ®ennc gormel finber megen 8ln»enbelfe t bet
spvactifle, i bet flere .Sar, fom (sEjwpper u., ere affor*
teie .Segler. Dgfaa Ijule 2Ketab Jobber ere i Sllminbes
ligljeb gorfljellen imellem to afEortebe Segler. Otogen:
lunbe lige SroJitammet lobe fig egfaa teregne fom nftor*
tebe .Segler.
§. 55. Overfloben nf Sesemet, bet 6egr«nbfeg nf ^lo;
ncr, finbeg let, vibe, ^vtg

25
©runblinte vnr Ci;linbcteng ©runbffnbcg "Peripherie; ben er
nitfnn ligcftor meb dh;r; foge vi nitfno cn '33iellem;'Propor;
tional; Sinie mellem d og h, og meb benne fom Sinbiug be;
fFrive en Cirfd, ba bliver benne Civfd liig Cijlinbcrcn*
©verflnbe.
Cn "Pi^rnmibeg ©itcflnbcr ere ?vinngl?r, og beregncg
oltfnn efter L §. 144 lill. Seieg ^crtil ©runbflabcn, ba
^nveg f)de 'Pprnmibeng Oociftnbe.
Cn ret Segleg frumme Overflnbe funne vt ttrnfe eg fom;
menfot of en 3»«ffc of fmaae ^riangler, f)vig ©runblinicr
tilfommen ubgjarc ©runbflabeng 'Peripherie, jjeiben ben fan;
fnlbte ©ibdinie i ^eglcn 3: en ret Sinie fro ^oppunctet neb til
©vunbflnbeng ^erip^erie; fnlbcg benne I, fno cr Ovcrflnbcn
•J^dlr eller rl^; vnr 1 iffe given, fnnbteg ben let liig Y^r'-f-'^"*
SSi funne og gjcnnem Conflruction finbe Segleng Ovcrffabe,
i bet vi fogte en 93iCllem;'Proportionnl;Sinie imellem r og 1,
eg meb benne fom Sinbiug befTrev en Cirfd.
Cn offortet Scgleg frumme Overflnbe er ligcftor meb-
et 'PornUel;'5rnpc5ium, ^vig pnrnllclle ©iber ere be to Cirf;
lerg "Peripherie, Jjeiben ligelebeg en ©ibdinie, fom vt ville
Bctegne meb s, altfno er ben ligcftor meb (R -j- r) s z--
Cr s iffe given, bo finbeg ben liig Y-->'~{-{K — r)-.
§. 56. £ (B r c f. Cn .^olvfuglcg 3nb^olb er | of en
Ci)linbcr, l;vig ©runbflobe er .Sujlcng ©tcrcirfcl, og f;vi«
Jjaibc er .^ugleng Stnbiug.
Set). 'Strnfe vi og en Cvabrnt ABCD, en O^va:
brnnt ABC, et ligcbenet jetvinflet ^linugcl ABD, olle nt
breie ftg om ben fa:ltcbg ©ibe AB, bo beffriver 0.vnbvntet
Ci;linbcrcn FHDEC, Q.vabrnntcn .^nlvfugleu AEGC, Zxix^p

26
let ^eglen FHDB. Sffggcg nu igjutnem O ct ©nit lobret
pno^AB, bo gjennemjTjffrcr bet olle tre Segemer t Cittlcr,
ncmlig Ci)linbcrcng befTrevcn meb Slobiug OL, .Kugleng meb
SRobiug OK, ^cgleng meb Stobiug OL Srngcg frn B til K
en ret Sinie BK, fnn er BK» = BO" + OK' eOer OK'
= BK^ —BO'; men BK = BC = OL, bn A OBI
(^ ADB og bette et ligebenet ?rinngel, er ogfnn 01 = EO,
oltfoo OK* = OL' — OI=; multiplicercg ^eelt igjennem
meb Collet s-, erf)olbeg OKV == OLV —OIV, cL'cr
Cirflen i ^uglen ligcftor meb Cirflen of Ci^linberen, minbre
enb Cirflen nf ^eglen. Scclteg nu AB i uenbelig mange
Sele, eg fnnlebeg uenbelig mniigc ©nit Ingbcg, ville .Kugle;
©nittene nlle vcere ligeftore meb Ci;linbcr;@nittene, minbre
enb ^eglc;©nittene, eller ijnlvfuglcn vtrre ligcftor meb Ct;;
finbcrcn, minbre enb ^eglen; men ^cglcn er ^ of Cylinbe;
ven (§. 53 ^ill.)/ nltfao jjolvfuglen •§• nf Ct;linbcren.
S11 f. I. Ubtn;ffe vi Ci;linbercn veb gormlen (§. 52
5tll. 3), fnn, bo jpeibcrt i ben er r = ^d, er bcng 3"b;
^olb -^d'T, Jjnlvfuglcng oltfnn TT^'r; i?eel!uglcn er falgc;
ligen ^ernf bet Sobbelte, ellcr -J-d'n-. SSilbe vi fcrtte 9Ia;
biug inb t bette Ubtn;f, bo blcv ^ugleng cubiffe 3nbfiolb
S i f f. 2. SSnr 3nb^olben given ligcftor meb C, fnn
fonbteS
V 6G
4~

27
Sill. 3- ^nb^clbet nf et ^ugleregment ANOK fin;
beg veb frn Ci;linberen FD'L nt tvo-fte ben nffortebe .S^cgle
FHDIM. Snb ben for bi'Tc £;r,cmer fallcbg S^eibe AO
vorre a, fnn cr Ci;linbcrcu ai'^-, Scglcn ^ a-, ^vor
V — p
p =: OI = OB zzz: r — a, oltfnn ©cgmciitet
r'-(r-a)3
r — (r — a)
= ar' s- — 4. (,-3 _ (r _ a)3) ^
r ai"*jr — (i" a — r"*" -|- 3 a')3-
=^^r — ia)a=3-
St 11. 4. Sugle;©ectoren, fom epftob nnnr cn
Cirfd;©ector ABK breiebe fig om, fnnbteg, nnnr til
©egmentet logbeg ^eglen, ber opfom veb OBK'g Ombrci;
ning. Stobiug for 9&nfig OK er !01ellemproportionnl; Sinie
mellem beggc Siometreng ©ti^ffer (L §. 118), b. e. mellem
a 03 2r — a, oltfflo OK' = a (2r — a), foilgcltgen Seglctt
= •J-a(2r — a)(r — a)^; i bCt Jp0ibcn OB =: r — a;
cller ogfao ^eglen farV — a'rjr + iaV. gijicg ^evtfl
©egmentet := raV — i^^Tr, erl;olbeg for ©ectorcn Ubi
tci;ffet far'77, ^vor a ligefom fortjen beti;bfr S^mben of bet
til ©ectorcn fvorenbe ©egmcnt.
Sill. 5. Cnbnu f)ar mnn nt tegge 5li«rfe til be
fileformcbe ©cctorcr eller Sole of Seglcn, fom inbeflutteg
mdlcm to ©tor; Cirf ler. Cr S^fl'^ntionen nf biffe ©tor;
Cirf ler given i ©robcr, bn iubfeeg let, ot ^uglcn forf^olbcr
(ig til cn fanbnn ©ector, fom 360" til bette ©vabe; 3tntn!;
tiler fnlb ©rnberneg 2lntnl n, fnn er ©ectorcn
n
360° '^ "

28
§.57' OP3« ^' P"^« glnbe;3nbf)0lbet nf ^ugs
leng Overflobc.
Op I. og Set), gorcjtille vt og et Clement of ^ug;
leng Overflobe, bn er bette at betrogte fom en ret offortet
iieglcg Overflnbe, ^vilfen fnn finbeg (§. 55), noor ©ummen
nf giobicrne multiplicercg meb ©iben og Collet jr; ontogeS
oltfnn ct ©nit MM' sjort igiennem ^unctet P eg ucnbdigt
jiffr bcrveb, men ligelnnst borte pnn ^e33e ©iberne ©nittene
mm' 03 fiifi' logte, fon er .Sugle;Clementetg Overflnbe 2PM
X/otm Xsr. ^^crt bo ^m cr uenbelig lille, moo ben be;
tro3teg fom cn Seel of '5:nngentcrt MT; f*Ibeg fi;n m neb pn«
fifi' ^erpenbicuteren mN, fnn er A mN^

29
Siabing, og fom corrcfponbcre meb Doerflabcng Sele,
faa, ba alle biffe ^cgler baoe ftsUcbg .^^e'De, labe be fig
abbcte, og bcteguee Cvcrflabcn af ^itgien meb S, faa cr
©nmrnen af bem cller ^^iiglcng Oi'bbclb |rXS, IjoiU
fen Sormel nbtrpEfer Sotbinbclfcn mdlcm Oociflabe 09
3nbbolb af ^iiglen.
§. 58. S3cb Xjjfflp nf be nnfeirte gormler Inbe nu forfFjd;
lige ftereometriffc gorvnnblingcr fig nrit^metifft
ubfere, t bet vi gjcnnem 3legning funne finbe be ©ti;ffer,
fom fi;lbeftgj0ve en Opgnve om, at forvonblc et i 3nb^oll>
opgivct Scgcne, til ct nnbct of en bcftcmt ©fiffclfe. gee
foovibt ^cri forefomme Ubtn;f, fom ifalge I. §. 154 lobe (ig
conftruere, fan benne gorvonbling og jTee geometrifft.
§. 59. Op3. 2(t forvonblc en ^egle, ^vig Simeiu
(ioner ere givne til en Ci;Iinber, nf en given S^aibe.
Opi. ^egleng Xjeibe vace a, bcng Stnmeter d, fno
er -jSj-adV llbtri;ffct for bcng 3nbI)olb; Cplinbcreng fegte
Sinmcter varre x, beng givne j?0ibe h, fnn er bcng 3nb^olb
I hx-s-; l)er er tut C!)linber og .Scgle ligeftore, altfno
oltfao
Jyad's- := ihx=5r, ellcr 4-ad' = hx',
= \A'
' ad^
3h
Scttc llbtrijf Inbcr fig conftruere, veb ferft ot fege cn
^ ad
©terrclfe m, fonlcbcg ot 3h:a d: m; bo m —r- —
3l»
og bern(E|t f»gc x fonlcbcg ot mix = x: d.
§. 60. O p 9. "iit forunnble ben i)de Overflobe of
c:: ret .Segic, hvii Simcnfionei- eve f.fjcntte til cn Cirfd.
O p i. Sinmetren vffre d, j';'C'ibr;i h, fnn cr ben
f.'rinnie 0';?cvpab{ lifcft-v; ircb -', d :r Yid^-f-ir- (J. 55),

30
SJnfiiS er { d' TT, oltfoo f;elc Overfloben liig i d 3- V^^d' + h*
-f 4- d' a- = i d (.Vi d' + b' + > d) 3-. ©£i3eg nu en
5)tellempropottional;©te'rrelfe imellem 4-d 03 V-J-d' + h'
-j- Jd, bo bliver benne 9?abiug i ben forlongte Cirfel.
Itbtryftet lober (ig let conftruere.
§. 61. Opg. 2lt finbe ©tbelinictt i en 5

- --n-iwi-«

32
§. 3' 2)n vi vibe, nt i bet retvinfle&c ^riougel (tebfe
h' = a'-fb'
fan er
ellec
Sigelebeg
eller
tillige
cQec
I =
1) I =
h'
2) sec A' ;
h'
"? ^^ ^ + 7^
3) cosec A'
Cnbvtbere cr
eller
eller
h
b a
4) sin A X cosec A —"" I
b b
= I
bXb =
sin A' -f- cos A'
a'
= tgA' + i
. 1>*
= I-f-cot A'
= I
5) cos AX sec A I
Sivibcreg -- meb
b a
b T-/ bn er ftvotieiucn — cUcr
" b
sin A
6) tsA =
cos A
-

33
b a ^ b
Sigdebeg, bivibereg — "'«'' T> ef avottcntcn — eUev
b ft «
cos A
7) cotA =
' ^ sin A
a b
^lUltipliccrcg — meb —, bo ec "Pcobuctet i ellet
b a
8) tg A cot A = I.
flSeb Jpjfflp of biffe Signingct lobe, ttonr een tn'sotto*.
ttietrijf ©t^rrelfe (gunction) for en SSinfel cr given, be »v;
tige for fnmme SSinfel fis ublebe. g, Cjc, nnnr ©inug er
given, bn finbeg Cofinug ifel3e i), Cefecong 03 ©econg if8l3e
4) 03 5)/ 5ongeng 03 Cotongeng if^lge 6) 03 7).
§. 3. SefTreveg fro ^oppunctet C of en SSinfel en
€trfelbue, fno inbe^olbt ben et lige TCntnl ©rnber fom SSinf;
len, og berfor funbe be tti3onometrtfFe ©tarrdfer (guncties
Iter) e3fafl onfeeg ot til^»re 95«cn. gfflbebcg fro B Q3er;
penbicuteren BD, bo vor
BD
— =:= sin AGB = sin AB
BC
Opretfeg fro C en Sinie CE J_AC, foo «bfi;lber/;_ BCK
ben sivne SSinfd til 90", 03 li3elebeg SSucn BE ben givne
93ue AB til 90° eller er Complement til ben. 3 ^rionglet
BFC er nu
BF
— = sInBCF = sin BE
BC
men BF = DC, oltfno
DC
•— = suiBCF = sin BE
BC
£= cosDCB = cosAB
n. 3

34
g^Igdigen er nlminbeltgett
cos X • sin (90" — x).
Srogeg fro A en '?on3ent, 03 BC fortengeg til ben
tr«|fer ben i T, foo, bo t AATC^ BD ec ^rongvcrfol, er
AT : AC = BD •. DG
03
nltfao
09
5;,.
b. e.
nifc
TC: AC = BC: DG
AT BD
AG DC
TC *^ EC
AC DC
AT
= tg ACB = tg AB
AG
TC
^ "
•— sec ACB = sec A
Sigclebeg, ^vig fro E bro3eg til S en 5:on3ent vor
SE BF DC
== -^— = == cot ACB = cot AB
EC FC BD
SG BC BC
— cosec AGB cosec AB
EC FC BD
Set inbfecg, ot cot ACB == tgBCE, eg ot cosec ACB
= secBGE, eller Ot olminbdisen
cot X — tg (90° — x)
cosec x sec (90° — x)
3fntoge vt nu Slobiug fom Cen^eb, foo vilbe, ^vi« vi
meb bet 3}iofll ubmnnlte allevesne,, BD ubtrt;ffe ©inug, BF

3.5
eller DC Coftnug, AT 5angeng, TC ©econg, SE Cotongcng,
SG Cofecong for SSinf len ACB eller SBucn AB.
91 n m. Sotbi fa«Icbc« Sinierne ubmaaltc meb Dlabiug fom
Gcnbeb ubtrotfe be trigonomctrif?e Sttnctioner, EalOcu
man fabuanligen Sinierne felv ©inug, Xangcng u., i«
fell) benne SBcndonclfe anucnbcg, om iltabiug iEEe oar
Genljeb, og man Ealbfe bcm ba ©inng, "iangcng ic,
unbcr gorubfottning af en anben bcftcmt SHabing. 2)iffe
UbtrijE eve itegentlige; tl)i ba >H'nfigtcn af Srigonomc:
tricn cr SRcgning, maae alle ®t«rrelfer ben bctragteg
fom lal. 3niiblertib letter ben Joreftillinggmaabe, fcrnb:
fat at intet falfl SSibegreb bcrmeb forlnnbcg, ftnnOem
3nbfigten af flere trtgcnomctrifle ©cetningcr, fom bett
ogfaa tjener til at fatte be iftsr oelbve eiriftcr, ber be:
tjene fig af ben.
sRaonct Sinus er enten opitaaet af bet SatinfTc, ibet
en ginug cr fflJaal for en S3ue (sinus), og gioeg beg:
aarfag famme SenoiDnelfe, cQcr og af semissis iuscriptaj
(^alobelcn af eijorben, (Ircoen forEoriet S. Ins.)
§. 4. .betrogte vi SSinf len, ibet ben gaoer over i on;
bre Qvobranter, fao, for ot ^ove en geomctrifT goreftillin3
of be trigonometriffe guuctioner, lober eg meb Siobiug i
beffrive en Cirfel, i ^vig Centrum SSinflcng 2;oppunct lig;
ger, bo blive be trigonometrifTe gunctioner Sinier, og vi ville
nntnge bcreg SScliggcn^eb i ferfle O,vobrnnt for pofitiv.
3(ntnge vt nu, at SSinflcn foreigeg meb 90°, ibet SBcnct
AC bevcrgcr fig inbtil A', fan inbfecg, at bo A ADC ^
A'D'C, A'D' = DC, D'C = AD; ligelebeg er CB-T'
S: SEC, nltfan = ES; CT' z=: GS; cnbvibere cr CES'
^ CBT; oltfao ES' = BT; GS' = CT.
galgdigcn sin BCA' = cos BCA; cos BCA' =z=
sin BCA; tgBGA' = cot BCA; sec BCA' = cosec BCA ;
eot BCA' = tg BCA; cosec BCA' = sec BCA; eUcr iftc;
3*

36
bet for ot toge be trigonometrifFe gunctioner til ctt SSinfel
i nnben dvobront, traffeg 90" berfro, og berpon f^geg
olle gunctionerne til benne SSinfdg Complement. Jjvob
^egnet berimob onsooer, bo er ©inug truffcn fro oven of
neb efter, nitfno fom for^cn pofitiv; Cofinug berimob fto
C til D', oltfao ( mobfot 9lctnin3 of Cofinug i ferfte 0.va;
bront, fel3eli3en nesotiv, ^onseng BT' frn oven neb cfter,
oltfoo ne3ativ, Cetnnseng fro E til S', nitfno nesotiv. ©e;
cnng 03 Cofecong rette ft3 (tebfe meb jpenfi)n til ^egn efter
Cofinug og ©inug, bo be multiplicercbe bcrmeb fFullc frem;
bringe ben pofitive Cen^cb (§.3, 4 03 5); ben fetfte ec
oltfno ne3otiv, ben (ibfte pofitiv.
3 treble dvobrnnt tn3cg ©inug 03 Cofinug nf A CD "A"
^CDA, nltfoo ere be li3eftore meb fomme gunctioner i f^r;'
(te Q.vobrant, men 6e3ge negotive. 'Jnngeng og ©ecnng tngcg
fom i ferfle 0,vnbrnnt of A CTB, ben ferjte oltfoo pofitiv, ben
nnben berimob retter (tg i 5egn efter Cofinug, oltfao nega;
tiv; of A CSE togeg Cotongcng, fom er pofitiv, og Cofc;
cnng, ber fom ©inug er negntiv.
3 ficrbe 0.vnbrnnt t03eg ©inug og Cofinug of A CA'"
P'" S CA'D'; ligelebeg ?ongeng og ©econg of CBT';
Cotongcng eg Cofecong of GES'; oltfoo ^ovc ^r be trigo;
nometrifTe gunctioner lige SSitrbier meb gunctionerne i onben
Ctvflbrnnt; fung er ©inug 03 ^nngens, Cotnngeng 03 Co;
fecong negative, Cofinug eg ©econg pofitive. 3llt bette inbe;
folbeg i felgenbe label, ^vor x er en fornnberli3 SSinfel:
sin X
cos X
tgx
cot X
sec X
cosec X
X — a
sin a
cos a
• tga
cot a
sec a
cosec a
= lSo°-[-a X = 27o°-f-a

37
^00 ©runb ^erof vilbe trigonoitietrtffe 'Jnbellcr, bereg;
titbt inbtil 90°, vffre tilflro-ffelige, eller ba, noor en SBinfel
er over 45°, beng gunctioner flebfe finbeg mdlcm Comple;
mentetg, ber er unber 45°, foo be^eveg ^obellerne ene bcreg;
nebc til benne Ubftrttfning.
aicgningen meb Sogorit^mer onvenbeg ifofr t 'Srigono;
metrien, begnnrfng ere iffe felve ©inug, Cofinug JC, men
bereg Sogorit^mcr ^cnfotte, bo ©inug eg Cofinug ere flebfe
egcntlige S&refcr, 5angenterne fro SSinflcn unbcr 45° ligele;
beg, fao finbeg i ?abellerne bcrc^ £e3arit^mcrg becnbifTe
Complement til 10, eller, fom mnn finber bet i 3llminbelig;
^eb ubtri;ft, ?obellcrne ere beregnebe til en 9labiug, ^vig £0;
gorit^mc er lo.
©econtcrn* (tnbel let of Coflnuffccne, Cofeconterite of
©inuffcrne, veb ot bivibcre i meb biffe, eller eg Sogoritl);
merne of ©ecnnterne 03 Cofecnnterne veb ot tnge be becnbi;
(fe Complementer til Cofinug og ©iitug, en Svegning, ber
fan let Inbcr fig ubfere, ot fom ofteft ©ecanterne eg Cofecan;
tcrne iffe finbeg i 5obellerne.
21 nm. 3lf ZaieUet foruben be (L airitbm. §. 127) anf#rfe
ere, nicb .^enfpn til ben ttigonometrijie 2)eel, cnbnu
nt mttxtet
TAYLOR'S logarithmical and trigonometrical tables
to every second. 4°, fcercgncbe inbtil 7 3)ec.
Siffe Sabeller, fom faalebeg gioe ©ccnnber, blirc i
aSrugen nffijten lige faa Degoemme fom be Salanbifle til
5 ®ecimaler fra SKinut til JKinut, ibet 3nterpolatio=
nen for en «»et Olcgncr Ean forctagcg i .^ooebet; be
gioe i Ijrcrt 'iilf«lbe en ac«iagtig(ieb inbtil nogle faa
^nnbrebe Sele af ©ecnnber, naar tieitfigtgmtjtgfige
Sormler anoenbeg og aiegningen ooeralt f»reg meb tiU
ftrotEEelig £EarpI;eb.

38
Stoeflen for alle 93cregninger vilbe ZavUt meb 6 lie:
dnialer, fom oel onoenbte oilbe gioe SSinfler til cn
Slccurateffe af ^ ©ecunb, gioe tilflraffelig g^eiagtigOeb,
eg beregnebe fra lo til lo ©ecunber lige Sctljeb meb
CRegningen meb Itaplor'g Sabeller. SDct er at tjoabe,
at biffe, ber if«f for aiflroncmerne ere blconc cn Xrang,
fnart ville ubEomnte.
3 imangel af Xaplor'g gaoler er, Ijvor en f)»iexe
®rab of Stoiagtigbeb fr«oeg, enb ben, 5 ®edmalcr Ean
ffaffe, ncmlig 3" til 5", be CallctfEe til 7 ®eci:
maler raeefc at anbefalc, formebclfl bereg Corrcct^eb 09
frtig.
§. 5. 97aor ©inug og Cofinug of to SSinfler, a og b,
ere givne, bo ot finbe ©tnug 03 Cofinug til bereg ©um.
?Beffrivcg meb Stnbiug lii3 i frn SSinflcrneg fffUebr
^oppunct en Cirfel, foo, nonr BEJ_AC, GD_LBC, DF
J_AC, cr BE sin a, EC z=: cos a, DG =: sinb, GC
= cosb, DF = sin (a-f-b), FC = cos (a-j-b). Sro;
gcg cnbnu GHJ_AC eg GI:^ AC, fon er DF = DI + IF
;= DI-fGH. mil et
GH
— — sin a, eHer
GC '
GH = GC X sin a =: cos b X sin a.
So ^DGK = R, fno er A DGI «>o DGK 00 FKC
rsj EEC, oltfno DI : DG = EG : BG; falgdisen DI
DG X EG
z:= •—^^ , men BG = i, DG = sin b, EC
BC
:= cos a, oltfflO DI = sinb cos a; bo nu DF = GH
/_DI, fno cr
sin (a -|- b) ^3:: sin a eos b -j- cos a sin h
Sigclebeg er
FG =; cos(a-f-b) = HC — HF = HG —• GI

93Jen
HC
GC
oltfao
cos a
HC = GC X cos a := cos b X cos o
So ADGIeNjBEC, fno
GI:DG = BE:BG, oltfoo
39
DG XBE
GI =
BC
SRen DG := sinb, BE == sin a, BC =: i; oltfo*
GI sin a X sin b
golgdtgen, bo FC = HG —GI er
cos (a -j- b) := cos a cos b — sin a sin b.
§. 6. SJlaor ©inug og Cofinug of te SSinfler, a 03 b,
ere givne, bo ot finbe ©inug 03 Cofinug til bcreg Sifferentg.
Sob z_ ACB ^ a, BCD = b, bejTrtv meb fHabiai
= I en Cirfd.
gcelbcg nu DE_LAC, FGJ_AC, DFJ_BC; forteJfc
8Cg enbvibere DE til T, broseg HFigtEC, FG JLAC, BK
± EC, fnn er DE = sin (a — b) = EH — DH = FG
— DH. 3 AGFC er
GF
—— =: sin a , oltfoo
FG
GF FG sin a = cos b sin a
Cnbvibere er
A DHF f-o THE evj TEG

40
BC = If altfno HD =: sinb cos a, fjlsdtgen
DE —^ sin (a — b) -— sin a cos b — sin a sin b
EC = cos(a —b) = EG+GC = HF+GC;
men \ AEGC ev
:— cos a, Oltfoo
FG
GC FC cos a —~~' cos 1> cos a
S5« AHFDCNJBKC, foo er
BFjFD = BK:BC, oltfoo cc
FD XBK
HF =; — == sin b slu a , eller
EG cos (a — b) cos a cos b -\- sin a sin b
S U I. Se fimbne gormler lobe (Ig u&tri;ffc i eet i
gorbinbelfe meb be §. 5 funbne fnnlebeg:
I) sin (a 4^ b) --~^ sin a cos b 4^ cos a sin b
II) cos (a 4^ b) cos a cos b ^ sin a sin b
Stnnt, gormlcme sin (a —b) 03 cos(a —b) labe ffg 09=
fao ublebe oeb i gormlerne for sin(a-[-b) 09 cos(a-|-b)
fit fojttc b == — b. ^et inbfeeg jiu let, at, naar b
iigger i f»rfte fioobrant, ia ligger .—b t fjetbe; men
beng gunitioner ere eUcrg of famme rccHe ©t«rtelfe,
fom b, oltfao er sin (— b) ==z — sin b, cctf (-.- b)
5= 4-'=°s''' ''eraf fslgcr altfaa goranbringcn i Ze^ui
\ gormlerne fpr sin (a — b) 09 cos (a — b).
f. 7, ^oged
?in (a -f- b) = sin a cos b -j- cos a sin b
Sin (a -— b) -=: sin a cos b — cos a sin h
eg nbbcrcg, ©umtrien btpibercg ttiei) 2, \a

IV) cos a sin b := i sin (a-j-b) — -J- sin (a — b)
Cnbvibere ^ove«
cos (a -j- b) •~-~ cos a cos b — sin a sin b
cos (a — b) z:^: cos a cos b -j- sin a sin b
Tlbbcrcg be og ©ummen bivibercS meb 2, foo cr
41
V) cos a cos b •=: 4^- cos (a -}- b) -f- -J- cos (a — b)
©ubtro^ereg ben avetjte fro ben nebetfte, eg ber bivtbereS
meb 2,
VI) sin a sin b =r= -J- cos (a — b) — •§•

42
Sivibereg i ScrHer og 9?«vner meb cos a cos b, er^olbeS
sin a sin b
^± T
cos a cos a
tS(a4:b) = . —
sin a sin b
1 4- -7
cos a cos b
gner
ter a 4- tg b
XI) tg(a + b) = ---^ T
1 4-tgatgb
©fftteg i benne germcl a ^= 45°, foo »c
lE! 45° -j- te b
jnen tg45° = i, oltfoo
I +teb
XII) ts(45° + b) = -^--^
I —tgb
Si3dcbe6
xm).g(45''-b) = ^fj
§.9. ©ffttcg a = b, foo er^olScS Sormlcrne for
te bebbclte SSinfler, ellcr of I) felger
XIV) sin 2 a =z= 2 sin a cos a
of 11) fal3er
XV) cos 2 a cos a' — sina*
So sin a' = I —cos a', fnn, ^vii bette inbfofttcg iftebct
for sin a', erf)olbeg
cos 2 a =1: cos a' — 1 -j- cos a*
= 2 cos a' — I
StgelcbcS l^vig ber ftrtte?
cos a' = I — sin a', ft
«os2a = I —2sina»

43
2(f biffe to (Ibfte gormler ubiebeg attcr, ^vi« sa f«tte« lige/
fcor meb m,
^vornf
cos m 2 cos J- m' — i
sin m z=: i ^ 2 sin j- m*
XVI) sin^m
XVII) cos^m
___ » / I — cos ra
= \fL±l
3
Snbffftteg t XI) osfna a = b, fno et
XVIII) tg2a z=
2 tg a
§. 10. 2l'nvcnbeg nu be trt'gcnometrifTe gunctioner til
^ttnnglcrg SBeregniiig, ba funne biffe vare enten t ct 'plon,
fonlcbcg fcm be i 'pinnimctricn betrogtebe Sriongler, eller
ogfnn, ^vig vi tffnfe og fro 'Joppunctet i et trefibet jjij^ne
meb cn vtlfnnrlig Slabiug befPreven en ^uglc, vilbe be ^la;
ncr, ber inbeflutte jjjernct, blive ©torcirfler, eg fonlcbcg vil
en trcjibct gigur bnnncg pan .Suglcng Overflobe, inbefluttet
nf Siuerne of be tre ©torcirfler, ^vilfet fvnrcr til bet tre;
fibebe J^ijarne; benne gtgur fnlbcg et fp^trrifft Xrinn;
gel, og onvenbeg 'Jrtgonometrien pnn biffe ^rinnglerg S&ei
rcgning, ba fnlbcg ben fp^ceriff 2rigonometrie; ^vorimob
?tigonometricn, onvenbt pnn be plone Sriongler, fnlbcg plon
'itrtgonomctiic,
%te ©ti;ffer tjcne olminbdigen til foovel at beftemme
ft plant fom et fp^trrifFt ^rtonsd; bo3 er veb bet plane
Srtangd tre SSinfler ingcn til(tr«ffdtg SBeftemmdfe, bo bifffe
iffe ere of ^innnbcn unfl^fl'ngi3e, men flebfe tilfommen aR,

44
Cr blonbt be opstvne ©ti;ffet tilli3e 6en 35eflemmclfe, «f
ben ene givne SSinfd cr en ret, bo Ictteg 6eti;beli3cn SSereg;
«tn3en; berfor vil blive of^nnblct f^rft 6e plone retvinfiebe,
bernffft be plone ffjtfvvinflebe 2;rton3ler, 03 lt3elcbel of ben
fp^OfrifTe 5ri3onometcie ferfl be retvinfiebe, bernfffl be (Tjav;
»inflebe fp^fsrifTe 5rian3ler.
§. II. 93ete3ne vt i et retvinflet plont 'Jriongcl fyy,
pot^cnufen meb h, Cot^eterne meb a 03 b, be over for bem
liggcnbe SSinfler meb ^ eg B, foo inbc^olber felgenbe 'Jabel
fllle mulige 5ilf«lbe meb bereg Oplflgning:
h, a
a, b
h, A
a, A
h
A
(I
b
B
a, B h 1 h
b \b
b = V(7i-}-fl)(^i —«)
sin^ = —
h
i B = T- '"• ^ = 90"
h = Ya' + b'
a = Ti sin A
b = h cos A
B = go° — A
a
siu A
a
tg A
a
cos B
cigB

45
2lf bell pvt^agorifTe ©«tning (I. §. 73) ubicbcg gorms
Icvne h, a\b 03 a, b\}i; i ben ferfle er blot ©tercelfctt
unber Slobtcgnet /i' — a- opleft i goctorcrne {h -j- «) 03
(h — a), for ot gjere ben bcqveni til logoritljmifT 9Iegning.
A tiQ B ubfi;lbe l^inonbcn ftebfe til 90"; er ben cue oltfoa
given, bn ^nveg ogfnn ben onben. Se evrige gormler felge
of gorflnringen pan be trigonometrifFe gunctioner §. 2.
21 n m. ©om eiempler poa SSeregninggnmabcn roetc givct
Selgenbe:
I) Scengben af en lobret ©tift KL = 15 ^ob 7
Stem. Seng ©Epgge foraavfagct af ©olen paa en l;Dri=
jontal glabe ware LM = 21 Sob gJ !£om. eretgg=
maal, ^»or (lot er 2:_KML ellcr ©oleng Jjeibe ooer
.giorijonten? Sette cr Silfcelbct, a, b.
a = 15/5833; b = 21,7917
log a =: 1,19266
log b z= 1,33829
tg"^ = 9^85437 ^ = 35° 34'7"
gller / KML, bet cr ©oleng ^eibe er 35° 34'7".
SSilbe oi begfornben beregne KM = 7i, faa er
log a ==1 1,19266 log 6 = 1,33829
-(2 (2
2,38532 3,676g8
a' = 242,84
i' = 474,88
717,72
log {a- 4- &') 2,85595
2)-
1,42798
h = 26,791 = 26 Sob 9,'- itom.
II) sgeb goben of et lobret ftaaenbe 2;ttatB cr maalt
en I;ori}ontal Orunblinie, flor 534,7 Job, og fra beng
Cnbcpunct bcflemt 55inElen til Saavtigefitnfen, flor aji^
17'24", l;vor l)»it er b« Saaniet?.
^it et given

46
a = 534'7
B = 2i"i7'34"
log rt = 2,72811 Iog« = 2,72811
log cos B 9'969^3ip I°S tg -B = 9/5907i
2,75881 2,31881
log h = 573'86 log 6 = 208,36
Slltfaa Xaarnetg .^eibe 208,36 gob, 03 Sinien neb til @t«nb«
pnnctet 573,86 gob.
§. 12. jpoveg ct (Tjccvvinflet ?riangd, ^vig tre SSinfler
betegneg meb A, B, C, ^vig ©iber BC, AG eg AB ui
ville for ^ert^ebg ©fi;lb betegne meb a, b, c, fao, i)wi
^ert brogeg ^erpenbicuteren AD, bdeg 'Jrtonglet i to ret;
vinflebe 5riangler.
3(f A ABD felger AD = AB sin B = c sin B, of
A ADC felgec AD =: AC sin C = b sin C, oltfoo c sin 5
— b sin C, eller osfoo
C : b sin C *. sin B, b. e.
©iberne for^olbe (13 fom ©inug of be over for bem ligsente
SSinfler.
3ff bet retvinfiebe ^riongel ABD felger
AD C sin B
BD = c cos 5
•Jogeg AD of A ADC, foo er
AD' = AC'—DC
= &= —(a —BD)'
CHcr
(csinB)' = t' —(a —ccosiS)*
3(ltfoo
c'sinJB' = 6' —a*-}-2accosj5 —c'cosB'
J^vorof
C= (sin £'4-cos5') —2 ac cos JS-j-rt' = 6'

SOicn, bo slaB*-^-cosB^ = I, foo er:
6' z= a' — 2 ac cos B-j-c'
47
5ngeg 'Proporttonen a: b =z sin A: sin J?, fno er
rt-j-6ta = sin ^-j-sin B : sin ^
og
a', a — b =: sin A: sin A — sin B
^lltfoo
a-\-b: a — 6 = sin A-\-SinB : sin A — sin B
9Ken
smA-\-smB =^ 2s!n^ (^-j-i)cos 5 (y4—J5)
sin A — sin B = 2 sin ^ (^ — B) cos !r (^ -j- B}
(§. 7, VII og VIII)
2lltfan
a + b-.a — b = sm y (^A-^ B) cos \ {A — B)
: sin I- {A — B) cos ; (iA -j- £)
Sivibereg meb cosi(^ — B) cosl(A-{-B), fno er
sin ^(A+B) sin .', (^ — B)
a-\-b : a — 6 =: cos >- {A-]-B) ' cos t(iA—B}
3:
a^b:a-b = tgi (^-j-B) : tg i(^-B)
(§. 2. 6, 7).
§. 13. spoo be §. 12 bevifte tre 3(nnlogier flatter (tg
S&cregningen of be plane fijcrvvinflebe ^rinnglcr.
I) Scr vare given tre ©iber, ^crof ffol feges en SSinfel.
Se ^oveg
a' = 6' — 2 6c cos A-\- c
3lltfaa , .
' ^ 6' -f- c' — a'
cos A =
26c

48
Scnne gormcl liber tmi&Icrtib of cn bobbelt ll6c

6-j-c-f-rt 6-j-

50
eg bo et;
tgUB-O == ^ tgK5 + C)
B = ^(B + 0 + i(B-C)
C=i(B-HO-KB-C)
Sen (t^rre of ©iberne betegneg meb 6, ben minbre meb &,
SSore 6 og c iffe umibbclbovt givne, men tgjennem Sogorit^;
mcr, lettebeg SSercgningcn of
6 —c
.- vcb Ot f«tte
64-c
c
T
= tgM, bn er
b — c
6 -j- c
I — tg M
=
I -j- tg M
tg(45°-M)
(§. 8, XII),
bet ^cte Ubtr^f fr«ver foolebeg tfl jln 9&ercgntng blot trigo;
nometrijFc 'iovlcr.
^et ec given «, b. A, ^vorof '
oltfoa
« : 6 = sin A : sin B,
b
.sin B = •— sin A,

51
Set er ^er olbdcg ubefkmt, om B (Tol togeg over cller
unbcr 90°, meb minbre forub vib«g, ^vorlcbeg ^rinnglet ffnl
vccre bejTnffent, cller og om rt> 6 (3»fr. I- §. 52),
jjoveg B, bo er C = iS,o° — {A-\-B)
og
rt sin C a sin (,-_/ -j- j9)
sin A sin A
IV) Cen ©ibe, cn ^ogliggenbe og en overfor ftooenbe SSinfel.
ijer ere givne a, A, B,
C = 180° —(.A+ B)
a sin B
h = sin A
a sin C a sin (A -j- B)
sin A sin A
V) SSore een ©ibe eg to ^oglig3enbe SSinfler, eller a, B,
C, givne, bo fanbteg let
A = i8o° —(B-j-C)
^vorveb oltfao ^ilftrlbet brogteg til bet foregooenbe.
3lUe 'itlfaflbe inbeflutteg oltfoo beqvemt t felgenbe 5obd:

52
a, b, c
a, b, C
a, 6, A
a,A,B
a,B, C
A
IB
c
B
C
e
a
c
C
A
6
c
r(s-5)(s-c)
I'sfs — a)
s = 4-(rt-j-6-j-c)
tg4:(^-5) = ^4 *§i = B
a sin C
sin ^
6 sin ^
sin B ==
C =
rt
i8o° —(^ + 5)
rt sin C rt sin (^ -j- B)
sin ^ sin A
asinB
sin A
a sin fA 4- B)
C = —-7
Sin ^
180'—(^4-B)
A = i8o°—(B-f C)
a sin B
sin(B-f-C')
a sin C
'^ sin (£ -j- Q

21 nm. €ot n

54
a = 53'5833
b •=• 44,7083
rt-j-6 = 98,2916
rt —6 := 8,8750
v^-j-JB = 126° 42'6'^
^iA+B) = 63 21 3
log(a —6) = 0,94817
Clog(rt-f-6) = 8,00748
tg 4 (A-fB') = 0,29944
ts\(.A — B) = 9*25509
i-iA—B) = io°n'59"
i i^+B) = 63 21 3
A = 73° 33' 2"
.S = 53 9 4
9?(»re iftcbetfot rt 03 6 bereg gogarit^mcr givne, ncmlig:
logrt = 1,72903
log 6 = 1,65038
6
tgM = log— = 9,92135
M 39° 50' 24'*
45° —M = 5 9 36
tg(45° —M) = 8,95571
tg i(_A-{-B) = 0,29944
9'255i5
i(^ —B) = 10° 12' 4"
HA + B) =: 63 21 3
•^ = 73° 33' 7"
B = 53 8 59
gorfljellen of 5" Ijibr^rer ft« gcilcn \ b?n fjbfte ®e;
(intal i SogarttOmernc,
^Jcu fin,bcg let c
log rt == 1,72903
Csin^ = 0,01815
sin C = 9,90404
logc = 1,65122
c = 44'794 == 44 If- 19 2:0m.

III)
£a er
a = 60735
6 = 78468
^ ^ 33° 45'37"
log 6 = 4,89469
C log rt = 5,21656
sin A = 9,74486
9,85611
B — \ 45° 53'15"
1134 6 45
Sageg ben ferfle ssoerbie, ba et
C z= 100' 21'
^craf
log rt = 4,78344
Csin^ =: 0,25514
sin C = 9,99288
logc = 5,03146
c = I 07512
fCagcg ben anben SSurbie fer B, ia er
C = 12° 7'38"
oltfoo
log a =
C sin yl
sin C =^
4,78344
0,25514
9/32239
55
4-36097
c := 22960
®ct er albcleg ubeflcmt, f)vUUn sBwrbie vi ^ove at
tage, meb minbre 6 •< a ellcr bet paa anben SJlaabe ct
bcftcmt, om B er flump eller fpibg.
§. 15. ©fol glnbe;3nb^olbet trigonometrifft beflem;
meg, fnn ^vig vl onfee a for ©runblinte og falbe fro ^op?
punctet A en "perpenbicultrr, foo er benne, ber et ijeibcn
i 'Jrinnglct, liig
b sin C

56
oltfno globcinbl^olbet Z
4" c^b sin C
Sre nu onbre Sele enb biffe beftemtc, bo finbeg biffe
let berof veb be for^en givne gormler. g. Sy. ere tre ©i<
ber givne, bo ec
.„ r Vs(s-rt)(s-6)(s-:;)
sin O ^:zr „ .—
4-rt6
altfflfl 3nb^olbet
Z = Ys (s — rt) (s — 6) (s — c)
(3»>fc. I. §. 147).
^pj)ctti\f Si'lgonomcfrie.
§. 16. S^ctcgneg ©iberne t et fp^OfrifFt 3;riongel meb
a, b, c, SStnflerne, ber ligge beroverfor, meb A, B, C,
foo, ^vtg fro ben tilfvorenbe Sugleg Centrum O, brogeg 3va;
bicrne OA, OB eg OC, og t ^pionet AOB brogeg Songem
ten AD, inbtil ben (TjOfrer COB'g "pion t D, eg ligelebeg i
planet AOC '^ongenten AE, fnn, nnor tillige DE brogeg,
cr nf A ODE
DE' = OD' -f- OE' — 2 OD X OE X cos DOE
(§. 12).
Sigclebeg er nf A ADE
DE' = AD' + AE' —2AD X AE X cos DAE
Qlltfno
OD= -j- OE' — 2OD X OE X cos DOE
= AD=-j-AE' —2AD X AE X cos DAE
©fftteg AD^ eg AE' ever poo ben mebfotte ©tbe mc6 mob*
fot 'Jegn, fon er
00'^ AD' = OA', OE' —AE' =;= OA'^
olffaa

57
20A' —20D X OE X cos DOE = —2AD X AE
X cos DAE; men DOE =: rt, DAE = A, felgeltgen,
^vig ber bivibereg meb 2OA', cr
OD OE AD AE
I X —^ X cos rt = X — X cos .4
OA OA OA ^ OA
!Oiew
OD —~ sec AOD = sec c
OA
3(ltfao
OE -
- -— sec AOE = sec 0
OA
AD
= tg AOD = tg c
OA
AE
° ^
^- = tgAOE== tg&
I — sec c sec 6 cos a ^r: — tg c tg 5 cos A
!9iultiplicereg ollevegne meb cose cos6, foo, bo of en^vet
SSinfel ©econtcn multipliceret meb Sofinus er ligcftor meb i,
5nngentcn meb Sofinug ligcftor meb ©inug, foo cr:
.^vorof
cos c cos b — COS a '^zz — sin c sin 6 cos A
COS a := COS 6 cos c -|- sin 6 sin c cos A
:jlltfno funne famtligen ubvifleg
A. l) cos a cos 6 cos c -j- sin 6 sin c cos A
2) cos 6 ^^ cos rt cos c -j- sin rt sin c cos B
3) cos c =^ cos rt cos 6 -j- sin rt sin 6 cos C
§. 17. 5lf ben §. 16 beviifte 2fnnlogte mellem 3 ©i<
ber og en SSinfel Inbe be ^vtige fig nu onoli;ti|! ubvifle,
•Jogcg Signingcrne A. i) og A. 2):

58
cos a —~ cos 6 cos c -j- sin 6 sin c cos A
cos 6 —'— cos a cos c -j- sin a sin c cos B,
eg multiplicercg of biffe ben ftbftc meb cos c og obbereg til
ben ferfte, foo cr^olbeg felgenbe:
eos rt (i — cos c') =: sin b sin c cos A
-j- sin a sin c cos B cos C
So I — cose' = sine', foo, ^vig everolt bivibcre*
meb sin c, er^olbeg
cos rt sin e sin 6 cos ^ -j- sin a cos C cos B (I)
Sigclebeg fon er^olbeg
cos c sin rt sin 6 cos C-j- sin c cos rt cos B (II)
SOiUltiplicercg II meb cosB og obbereg til I, fno er
eller
cos a sin c (i — cos B'^ sin 6 cos y/
-j- sin 6 cos C cos Br
cos rt sin c sin B' ~~~ sin 6 cos ^ -j- sin 6 cos C cos j5 (III)
Sigclebeg
cos rt sin 6 sin C —"" sin c cos ^ -j- sin c cos B cos C (IV)
^Diultipltccreg III meb sin c, IV meb sin 6, foo fommer Sige;
(lort begge ©teber pon ^eire ©ibe of Sig^ebg;5egnet; felgdigcn
cos rt sin c' sin £' ^= cos rt sin 6' sin C
j^vorof
sin c sin j5 =^ sin 6 sin C
©oolebeg fV'embeleg;
B. i) sin a sin B sin ^ sin 6
2) sin rt sin C sin y^ sin c
3) sin 6 sin C = sin 5 sin c.
3nbfatteg i I
sin B sin rt
" sin, A

foo e»
59
sjn B sin rt j , . T,
eos rt sin c = — cos A -J- sin a cos c cos B
sin ,•/
Sivibereg meb sin « eg erinbreg, ot Cofinug, blvlbe*
vet meb ©inug, er ligcftor meb Sotongenten, bo er^elbeg
cot rt sin e sin jS cot A -j- cos C cos B
2tltfoo er iolt
C. i) cot rt sin c sinB coty/-j-cos r cos B
2) cot a sin b sin C cot ^ -j- cos 6 cos C
3) cot 6 sin c :^=: sin ^ cot B -j- eos c cos A.
3nbfffttcg i I
sin C sin B . sin A sin &
Sin c := , -=— sin a := ^;—,
sin B sin B
foo er
COS rt sin C sin 6 sin ^ sin 6 Cos c cos B
:—5, = Sin b coaA-i :„
sin Ji sin B
sin 6
bivibereg meb —=, bo er
sm iJ
cos rt sin C = sin B cos ^ -j- sin A cos c cos B (V)
Sigclebeg
cos c sin ^ z= sin B cos C -j- sin C cos rt cos B (VI)
SJiuItiplicereg VI meb cosB 03 obbereg til V, foo er
cos a sin C(i — cos BO
sin B cos ^ -j- sin B cos C cos B.
©o:tteg I — cos B' = sin B", 03 bivibereg meb sin B,.
foo er
cos rt sin C sin B = cos ^ -|- cos C cos B,,
oltfao
cos A 5== —•- cos B cos C'-f- sin B sin C"cos ct

6o
^ilfnmmctt cr oltfno:
D. i) cos^= —cosBcos C-f-sI°BsinC'cosa
2) cos B —cos ^cos C-j-sin ^sin Ccos 6
3) cos C =^= — cos A cos B -j- sin ^ sin B cos c.
§. 18. SScb Jjjfflp of biffe §. 16 03 17 ubviflcbe 3fna(
logier. A, B, C, D, lobe fig nu olle 2tlf«lbe for be fp^ti;
f?e ^rionglcr bercgne. ©impleft ere be, ^vort een of SSinf;
lerne er 90", 03 begforuben to onbre ©ti)ffcr givne. ©aale;
beg opftoner be retvinfiebe fpf;

cot c sin rt sin B cot C-|- cos rt cos B
men, bo C = 90°, er cot C = o,
felgcltgen
oltfoo
II) rt, 6.
©00 er
2ff C. 2)
cot 7i siu rt = cos rt cos B
cot h sin rt
cos B = = cot A tg a
cos rt
tg^
cos h cos rt cos 6
cot rt sin 6 sin 90° cot ^ -j- cos 6 cos 90°
bo sin 90° := I; cos 90° = o, fao er
ellcr
III) A, ^.
©00 er
cot rt sin 6 =r cot A
t$A = -r-T
sra o
sin rt sin h sin .

62
©0geg B, foo er D 3)
oltfoo
eUcr
cos C —~ — cos A COS B ~\-sin A sin B cos c
IV) a, A.
S^ex er
^tltfoo
cos A cos B ~~~ sin ^ sin B cos h
cot B tg A cos A^
sin ct
sin n = -: ^
sm^
enbvibere of C 2) fooeg
3(f D I) felger
cot rt sin 6 = col A
, y coty^ tgrt
cot a tg A
cos A = — COS B COS C-j- sin B sin C cos a
oltfoo, bo C = 90°,
COS A = sin A cos rt,
er
. _, cos ^
sin B ——•
V) rt, B.
.^er er
tg h = -—cos
.0
cos a
tg 6 = sin rt tg B
cos ^ =: cos rt sin B
^vilfet ublebcg of be foregooenbe ^ilf

ijer er
7 tot B T^ 4
SOS h / := cot B cot A
CHS A
SOS n T = —
siu B
63
Sn be trigonometrifTe gunctioner ftebfe ^ere til to for*
(Tjellige SSinfler, fnn cr bet ubeflcmt, l)vilfen nf biffe ffol tn<
gcg; fom ofteft er ben 55eftemmclfe gjort, at ingcn of ©t/
bcrnc eller SSinflerne t et fp^trrifft ^rinngcl bar overfTribe
i8o°; bn fan iffuu 5vivl opftonc, l)Vor vt ^nve ben fegte
©terrelfe bcftcmt igjennem en ©inug, bo benne fvorer ftebfe
til to SSinfler, ber ubfwlbe f)inanbcn til i8o°.
3miblertib vibe vi flebfe, nt tgrt = sln6tg^,- bo
nu unbcr ben gjortc 3lntngelfe 6 < i8o°, er sin 6 pofitiv,
nitfnn faner tgrt fnmme 'Jegn fom tg^, eller Sot^eten eg
ben ovecforliggenbc ©tbe ere enten begge minbre eller ftarre
enb 90°, faalebeg bliver bet enefle tvtvlfomme 'Jilffflbe «, A.
SSi funne altfno inbbefotte oHe 'Jilftrlbe i felgenbe %abe\:

64
I) h, a
II) a, b
III) h, A
IV) a, A
V) rt, B
VI) ^, B
cos 6 ^1=
sln^ =
cos B =
COS A =^
tg^ =
sin

65
cos h = 9,45861 sin rt = 9/51747 'y « = 9/54238
cos (t = 9,g7509 siu ]i = 9,98127 tg h = 0,52266
cos 6 = 9,48352 slu^i = 9,53620 cosB = 9,01973
6= 72° 16'29" ^=20° 6'12" B= 83° 59'36"
,-/ maa I;cr ta%ii < 90°, bo « < 90".
2) rt = 132° 15'23"
6 = 57 19 28
cos rt — 9,82766 n tg rt = 0,04165 n tg 6 = 0,19288
cos 6 = 9,73230 sin b = 9,92518 sin a = 9,86931
cos h = 9,5599611 tgA= 0,11643n tgB = 0,32357
7t=iii°i7'i5" ^=127" 24'37" B= 64° 36'20"
3) rt = 16° 33' 29"
^ = 23 27 56
sin rt = 9,45482 tg rt =: 9,47322 cos^ = 9,96251
sin^= 9,60010 tg^ = 9,63759 cos rt = 9,98161
sin/i = 9,85472 sin 6 = 9,83563 sin B = 9,98090
ft^i 45°4i'55" ^,^1 43°i3'42" ^ ^ j 73° 8'o"
(134 18 5 (136 46 18 (10642 o
^er er bet albcleg ubeflcmt, I;t)ilfen fSccrbie ber f!af
ta^eo; imiblertib tageg ben fwfte 25arbie af 6, faa foa=
ter bertil ben ferfle af 7t, ba rt < 90", 09 cos h
cos a cos 6; felgcligen sprobuctet i bet Silfojlbc
pofitiot; altfaa /i

66
cos A = 9,4536636
sin B = 9,962177:^
cos rt = 9,4914863
rt = 71° 56'7" 47
cos B = 9,6018619
sin A =9,9817087
cos b = 9,6201532
6 = 65° 21'13''09
NB. J?er ftnaer alleoegne for ^ortljebg ©Eplb be trigono;
metrifPc gunctioner iftebct for bereg 2ogaritt)mer, f. Cr.
sin a for log sin a. Sigt'Icbeg bettjbcr n feiet bag til £0=
garitljmcn, at ben frarer til en negatio etorrclfc.
§. 19. Jjvtg ccn nf ©iberne t bet fp^crrifTe ^rtnngd
vnr 90°, ba lobe lignenbe 2lffortninger, fom veb be retvinf;
lebe fp^trriffe ^rtongler, fig forctnge, og fnnlebeg ligelebeg
let nf to ©ti;ffer foruben benne givne ©ibe, ber v.ir 90°,
be ^vrtge Sele fig beregne.
§. 20. SScb be fFjttvvinflebe 'Srtnnglerg Seregntng,
^vig vi vilbe onvcnbe 8ognritf)mer, vilbe, formcbclft be veb
2(nologierne A, C, D forefommenbe 3(bbitioner og ©ubtrac;
tioner, cn Ubeqvcm^eb opftnae, fom ttlbeelg nf^jcrlpcg paa
felgenbe 9]tnnbe.
jpnvbeg et Ubtri;f nf bm goritt
X = rt sin IM -j- 6 cos M
til ^vig SBeregntng ffulbe nnvcnbeg Sognrit^mer, fnn funbe
vi ftebfe nntnge, ^vnb enb rt og 6 vnr,
rt = 1- cos X
6 = r sin X
^vor r er cn cnbnu ubcfjcnbt ©tovrclfe, og X li^,flo^cg cn
ubcfjenbt SSinfel, men begge bog givne vcb be to ovcuitnncnbc
3@

altf'nn X bcftcmt, og ^ernf ntter
rt 6
cos X sin X
3nbffftteg nu SSarbierne for « oj 6, fnn ec:
x 1- cos X sin M -j- r sin X cos M
= rsin(M-(-X)
6?
et Ubtri;f, ^vori X, funben igjennem tgX, og r, veb fin
S(?qvntion, inbf«ttcg; bet Jjele Inbcr fig nu beregne veb So;
gnrit^mer. 9icgningen fereg nu bcqvemmeft fnnlebeg. jjvig
f. (£v. M = 63° 17'
logrt = 9,87036; log 6 = 9,73097n
3?u fTriveg log 6 og log «, fno nt berimellem bliver een
Sinie. Siffcrentfen er log ty X; X togeg i 7llminbclig^cb faa«
lebeg, ot r ftebfe bliver pofitiv; altfnn, ^vig 6 er pofitiv, i
ferfte ijnivcivfd, er 6 negntiv, i nnben; imellem logrt og
log 6 ffrivcg enten log sin X cller log cos X, eftevfom ^vilfcn
of bem er fterft, bn ben ffnrpeft og lettefl Inbcr fig intcrpo;
lere, og nu bercgneg ^ernf r veb at trtrffe benne mdlcmfntte
ftebfe frn ben fterfte of Sognrit^merne logrt og log 6; bet
evrtgc finbeg nu let. 3fltfnn:
log 6 = 9,7309711
log cos X = 9,88434
log rt = 9,80736
logtgX = 9,92361 n
X == 320° o'48"
M = 63 17 o
X-j-M = 23° 17'48'
r == 9,92302
log sin (M-j-X) = 9'597i4
logx = 9,52016

^8
2t tt m. 3If ©itimucn X -f- M er bortfaftet 360".
en Itanenbe goranbring l;aobe funnet fleet veb «
(Rtte a = r sin X, b =: r cos X, og bo tr«£Ee fant:
men til r cos (M — X).
§. 21. 2(nvenbeg nu bcelg bet §. so fremfntte >Prini
eip, bcelg onbre gorfortninger veb be jTjffvvtnflebe fp^arifle
5rionglerg, bo lobe ligelebeg nlle 2ilf

fao c<
69
S sin ; (rt -j- 6 -f- 0 sin ', (6 -j- C — rt)
2cos 4 A^ = ^ .^~^ .
3(ltfflO
jjvorof
sin b sm r
sin 6 sin c v
betegneg ^er 4(rt-j-6-j-o) meb s, fao er:
sin 4- ^ = %/"="•" («-fe)^;"0-g
sin 6 sin C
cos •
4-^-= V -
V /sin sin s sin (s — rt)
siu 6 sin c
. 2 Y sin s sin (s — a) sin (s — 6) sin (s — c)
sin A 3= . , .
sm 6 sin C
t , .£ __ y^sln (s — 6) sin (s — c)
siu s sin (s — o)
2lf ^vilfe gormler cfter Omftffnbig^eber ben nnvcnbeg,
fottt fParpeft beftemmer SSinflcn; ncmlig ben ferfte, noor
SSinflcn er unber 90°, ben onben, noor ben er over, gorm;
len for tg4;^ er flebfe n^eie, men nogct vibtljeftigerc enb
be onbre.
II) rt, 6, C.
SSi ^nve
f'na ^ovcg
cos c : = cos rt cos 6 -j- sin rt sin 6 cos G
©ffttcg ^er
cos rt r cos IM
sin a cos C = r sin M

3(ltfno
70
sin rt cos C
te M = : z= tg a cos C
cos rt
cos a sin rt cos C
cos -M sin M
cos rt
cos f : ^ — cos (b — M")
cos M ^ ^
gor Ot finbe yj, fjnvcg ifelge C. 2)
cot rt sin 6 : = sin C cot ^V -|- cos 6 cos C
cot rt sin 6 — cos b cos C
cot A = .——
sin C
gor ot bruge ben for^en funbne Jjjttipe* SSinfel, Inbcr
eg multiplicere meb sin rt i Strllcr og 31«vncr, fan cr, ba
cot rt sin rt = cos rt
foo cr
CJCer
col A =
cos rt sin 6 — cos 6 sin a cos C
sin rt sin C
©ffttcg ^cri M eg r, erbolbeg:
cot^ =
r cos M sin 6 — r cos 6 sin M
r sin (6 — M)
sin rt sin C
sin rt sin C
SSfffgeg ben (ibfte SSffrbie for r, ncmlig
sin rt cos C
sin M
sin rt cos C sin (6 — M)
sin M sin a sin C
sin (6 — M)
sin M tg C

sin M tg C
tg^ =
sin (6 — M)
71
ipno fnmme 'DJJnnbe vor B blevcn bcftcott, l;oig ben
fywbe vffret ben omfpurgtc.
Ill) rt, 6, A.
Sjev f;nvcg
sin 6 sin A
sinB = — . tfelgc B. l).
Sin rt
©fnl C fegeg, fnn er:
cot a sin 6 z:=: sin C cot A -j- Cos 6 cos C
firttog ^er cot^ — rcosM
cos 6 r sin M
3tltfno
Jlltfno
cos 6
cot rt sin 6 -— r sin (C -j- M)
cos 6
= -T-rjsin(C-hM)
sm M
sin M
siH (C-j- Rl) cot rt sin b
.^crnf fan nu C finbeg.
©egcg c, fan er:
cos 0
sin M cot rt tg 6
sin !\I tir 6
tg rt
cos rt cos 6 cos c -j- sin 6 sin c ctfs -/
fffttcg ^er cos 6 r COS M
sin 6 cos yf r sin .M
(C. 2).

72
foo r)ove«
tg M = tg 6 COS A
cos 6
COS rt == cos (c — ]VR
cos M ^ ^
cos rt cos M
^Vorof COS (e — ISI) = —
cos 0
IV) rt, B, C.
©«gcg ^, foo cr
cos A = — cos B cos C-\- sin B sin C cos rt
fffttcg ^er
3(ltfa(»
cps B r cos JM
sin B cos rt := r sin M
tg M = tg B cos a
cos B _,
cos^ = cos(C4-M)
cosM
©0geg 6, foo cr, ^vig i G. 2) rt eitibijtteg meb b,
cot 6 sin a sin C cot B -j^ cos a cos C
flltfOO
sin C cot B -j- cos fl cos C
cot 6 = : •
sm rt
sin C cos B -j- cos rt cos C sin B
sin rt sin B
3nbffftteg ^crt r eg M, foo cr
cot 6
rsin(C-j-M)
sin a sin B
sin B cos rt
tfien r =
sin M
flltfOfl

nitfnn
eoer
sin (C-j->n
cot b = —.- ,;
sin M tg rt
sin M tg a
'°^ ^^ sla(C^M)
V) a. A, B.
bo et
tJtltfno
©ffttcl
.Jjcr er
©egeg c, fan cr
sin a sin B
sin yl
cot a sin (• sin B cot ^ -j- cos c cos B
sin B cot yl —— cot a sill c — cos c cos B
©ffttcg
cot rt r cos M
cos B r sin M
cos B
ts >I •—• COS B tg rt
cot rt
COS B
sin B cot A = -.—- sin (c — M)
sin M
sin M
?iq (c — M) =T= -—= sin B cot ^
cos x>
©ijgcs C, fnn er
sin M tg B
tg^
CCS A —— .— cos B cos C-j- sir* B siu Ccos rt
COS B •*— r cos M
sin B cos rt r sin M
73

74
©na er
2fltfna
tg M tg B cos a
B
cos A=^ yl
~- cos (C-f- M)
cos
cos M -- I /
_, , cos M
cos (C-{- M) = cos A
cos B
V) A, B, C.
©egeg rt, fnn cr
cos^ i^ —• cos B cos C-^ sin B sia C cos a
"Nltfan
cos A -j- cos B cos C
cos rt ^
sin B sin C
?OJcn, vcb nt trffffc frn i, ^oveg
cos B cos C — sin B sin C -j- cos A
1 — cos rt = r-^ . ^,
sin x> sm C
cos (B -j- O + cos ./
sin B sin C
eacr
2 cos 4-(B 4-C-f-^ cos J-(B 4-C—^)
2 sin ', rt" -:
sm B sin C
. , . f cos 4 (^-1- 7i -(- o cos,',- (B -j- C—.4)
sai ] (I =1 Y ; -: 1
sin B sin C
f'na cr
. / cos S cos (S — A)
Sin 4 ci — y 1
sin B sin C
Jjnvbc vi tngct

75
COS yl-\-cos B cos C-f- si" J5 sin C
1 -j- cos rt : =
sin B sin ('
So var
2 COS 4^ rt"
3ntfnn
cos . /-f- cos (/) — C)
sin B sin C
2 COS K •/ + -S — C) COS,; (7 —B-f Cj
,.^Sfl
ipvornf ba ntter fan ubicbcg
sin B sin C
cos S — B) cos (S — O
sin B sin C
cos S COS (S y4)
tg4a= V —
cos (S — B) COS (S — C)
en 'Jnbel, fom inbe^olbcr nlle "Silffflbc, blcv felgenbe:
rt, 6, c
rt, 6. C
A
c
yl
( sin (s — 6) sin (s — c)
sin 4 A = A ^-y—- "
N sin b sin c
. 1 sin s sin (s — rt,)
N sin b sin c
1 sin (s — 5) sin fs — c)
•g M = J — . -'-•'•-J — —
^ Sill s sm (s — aj
s = 4(„-f-6-j-..)
tg -il Z= tg rt COS C
cos rt
cos c COS (b — M)
cos M
tg IM := tg rt COS C
sin (6 — M)

76
#, 6, A
«, B,
a, A, B
J.B,
—
C
C
B
C
c
y/
6
6
e
C
a
sin 6 sin A
sin B = '
sin a
tg M •=: cos b t^ A
sin AI tg 6
siu(C-j-5I) = — - 2 -
tgrt
tg M tg 6 cos A
cos rt cos M
cos b
tg M =1= tg B cos rt
cos B
cos^ = : cos (C-j-M)
cos M
tg M = tg B cos rt
sin M tg a
*^^ sin(C-j-M)
sin B sin rt
sin^
tg M == cos B tg rt,
siu M tg B
sin (c — M) = —-—,—
tg.'i
tg M ::= tg B cos a
cos M
cos XJ
S^=i{A + B + C)
( cos S cos (S ^)
tm 4 u —.— J • T> • n
N sin ij sm C
f cos (S — B) cos (S — Q
cos 4- c* —^ \i • • T> • ri
N sm B sm C
[ cos S cos (S — ^
•g 2 « >| cos(S-B)cos(S-()

77
gevfnavitJt fom bet ©i)gte beftemmcg gjentiem 'int!,o,cn;
ter cUcr Sofinuffcr, ictn ingcn 'Svivl opjtnsf, i ^vtlfcu Civai
bront btt fTal tngcg, nnnr vt nntnge nt ©iber og a^iuflcr
(Tulle vffre miubce enb i8o"; ligelebeg nfgive gormlernc for
be f)nlve SJtnfler ftffre $5cftcinmdfcr. J?vor iffe felve 23inf;
len, men gorffjdlen mdlcm ben og jjjfflpcSSinflen, finbeg,
bo bliver benne ftunboin negntiv; nnnr ben nitfnn givcg gjcu;
ncm cn Scfinug, cr bet ntter tvivlfomt, enten gotfpjdicn fTal
Vffre negntiv ellcr pofitiv J: enten bet ©egte er minbre clicr
fterr* cub J?jfflpcviuflen. 3 f[«i'« "Silffflbc vil SSnlget nicl;
Icm Opl,e»ningcrnc letteg veb folgeubc bet fpl)cfifTe ^rinngcU
6"gcn|Tn6cr:
i) ©ummen of to ©iber er ftcbf'e ftevre enb ben tre<
bie (3^fr. ©tcvcotn. §. 26).
2) ^'llc tre ©iber ere tilfnmmcn minbre enb 360"
(©teveom. §. 27).
3) Zo SSinfler tilfnmmcn cr flebfe minbre enb ben tw;
Me -j- 180°.
Svnnc ©fftning bcvifeg fnnlebeg nnnli;ttfrt.
cos yl = — COS B cos C -j- sin B sin C cos a
Stltfnn, bn cos (A-\- 180^) = —cos A, fnn er
cos (^-|-180') = : cos B cos C—sinB sin Ccos «
oltfno
cos (B -j- C) = : cos B cos C — sin B sin C
6os(B-j-0 —cos(^-|-l8o°) = — sinB sin C(l —COS rt)
So siuB, sin C, I — cosrt ftebfe cre pofitive, foo er
COS (A-{- ISO"-) > cos (B-j-O; men A-{-180' ligger imd;
Icm 180° og 360°. 3meaem biffe ©tffubfer tiltagct ecjinug
(tebfe fro — i til -j- i, bo tiUige B + C< 360°, men neb;
venbigvtig B -j- C< .i^+180°.

78
4) ©ummen nf oHe SSinfler er ftorre enb i8o°, miiv
bre enb 540°.
SSi ^nve
cos 4- (^-|- B -I- C) cos \(B-{-C — y4)
sin 4rt= == — • ~r3 • (^
sin ti sin C
jjer maae nebvenbigcn cos \ (^-j-B-j-O vffre negatto;
tl)i sinB og sin C cic pofitivc B-\-C — yl

4 B = 66° 14' 30"
B := 132 29 O
ascrcsncg C af gcrinlen for tg ! (', f'" cr
tin (s — rt) = 9,76660
sin (s — 6) := 8,/'8M79
C sin s =i:r 0,02683
C sin (s — c) = 0,29091
2)S,SNi3
ly ' C z= 9,43706,5
4C = 15° 17'59"
C = 30 35 58
II) a = 107° 19'34" 35
6 = 86 27 28, 87
(' = 112 19 13, 68
Sa er
tg rt = 0,50589111
cos C =: 9,5795397"
tg -M = 0,0854308
M == 50° 35' r?" 77
b = 86 27 28, 87
6 —M z= 35 51 31, JO
cos rt zzzz 9,47394inn
C cos :M 1^= 0,1974049
cos (6 — M) = 9,9087341
cose =: 9,5800806n
c = 112° 20'59" 23
siu M = 9,8880259
tgC = 0,386636811
C siu (6 — M) 0,2322599
tgA = 0,506922'in
A = 107° 17'15" 20
in) a = 44° 19' 36"
6 = 52 29 4
^ = 57 51 II
sin 6 == 9'89938
siu yl 9,92773
C siu rt zzz: 0,1-568
sin B = 9,982:-8
79

80
B = 1 73° 58'15'''
'io6 I 45
cos 6 •=. 9,78460
ig^ = 0,20173
tg M = 9,98633
M = 44° 5' 55"
sin M = 9,84254
tg6 = 0,11478
C tg rt = 0,01021
..iu(C-j-M) = 9,96753
C-j-M = 68''7" 12" efler 111° 52'48"
C nzz 24 I 17 67 46 53
ty 6 = o,iT4:"8
cos A =: 9,72598
tgM = 9,84076
M =: 34° 43' 24^'
cos rt = 9,85453
cos M =m 9,91483
C cos 6 = 0,21540
cos(c —M) = 9,9847?
c —M = + 15' 5'40"
^ __ (19" 3"'44"
149 49 4
.^cr fearer C = 67''46'53" til c =: 49° 49'4",
03 ligelebeg be to onbre ^BffivDicr for C eg c, ba
sin yl siu C
sin a sin e
SJojfseg sSfltrbien 7^° "8'15" for B, ba man 67°46'
53" tciii for C; r[,u cllcrg var ^-j-B-f-C < 180°.
IV) rt = 39° 21'45"
5 = 53 19 51
C = 92 51 14
tgB = 0,12811
cos rt = 9,88826,5
t« ^l = 0,01637,5

M = 46° 4'47"
C = 1)2 51 14
C-j-M = 138° 56' 1"
— cosB = 9,776 12 n
CcosM = 0,15885
cosC+M = 9,87734"
cos yl := 9,81231
./ = 49° 31'36"
sinM = 9,83751
tgrt :=: 9,91398
C sin (C-j-M) = 0,18248
tg 6 = 9,95397
b = 41° 58' 10"
Y) rt = 44° 19' 36" o
J = 57 51 II, o
B = 73 58 15, o
sinB = 9,9827782
sin rt = 9,8443208
C sin A = 0,0722775
sin 6 = 9,8993765
7, j 52° 29' 4" 19
" (127 30 55 8r
cosB == 9,4411083
tg rt = 9,9897915
tgM = 9,4308998
M = 15° 5'39" 05
siuM = 9,4156517
tgB = 9,5416699
Ctg^ = 9,7982646
sin (c — M) = 9,7555862
II.
c_HI __ j 34° 43'25" 74
(145 16 34' 26
M = 15 5 39, 05
__. j 49 49 4' 79
(160 22 13, 31
SI

82
tgB = 0,5416699
cos rt = 9,8545293
tgM = 0,3961992
M = 68° 7' 9" 41
— cosM =: 9,5713309n
CcosB = 0,5588917
cos A = 9^25987£
cos (C-j-M) = 9,8562097n
C-j-M = 1135° 54' 4" 35
' (224 5 56, 65
M = 68 7 9' 41
C = i ^7° 46' 54" 94
(155 58 46, 14
.^cr ftjare nu alter be to ferfle Sjoerbicr af c 09 C
til Ijinanben, eg ligelebeg be to fibftc; tageg ben fer|](
SSarbie af e, ia ma« ogfaa ben ferfte tageg of 6, h
ellerg
a-j-c< 6
VI) A = 139° 27'35" 6
B == 106 29 II, 3
C == 80 37 39' 7
S)et er
A-\- B -j- C = 326° 34' 26" 6
4-(.i-j-B-HO ^: S = 163 17_13^
S — A = 23° 49' 37" 7
S —B = 56 48 2, o
S — C = 82 39 33, 6
cos(S — B) = 9,7384278
cos (S — C) = 9,1064241
sin 7i = 0,0182327
siu C = 0,0058364
2)8,8689210
cos 4 rt =r 9,4344605
4rt = 74° 13' 14" 62
« = 148 26 29, 24

— cos S = 9,9,812555
COs(S /;'•) =Z= 9,7,^^4278
C cos (N — . /) = 0,0386888
Ccosi^S — C) = 0,8i)3.'",^59
2)0,65194^^0
tg ', 6 = 0,32,39740
- 4 6 = 64- 43' 42" 28
6 =z 129 27 24, 56
— cosS 1= 9,9812555
cos (S — C) = : 9,1064241
C sin yl =: o, 1870998
C sin B = 0,0182327
2) 9,2930121
siu 4 c z=^ 9,6465060,5
4 c = 26° 18' 7" 64
c = 52 36 15, 36
8,j
§. 22. gorfaavibt fom ofte veb cvcnftancnbc gormler
^cftcmmclfcr ere gjortc gjcnnem ©inug og Sofinug, l^vilfe
give SSinflcn ftunbom minbre ftffert, blive be iffe ftebfe nn;
venbclige. 3 ft fanbnnt ^ilffflbe vil mnn let igjennem een
cller nnben 'DD^ct^obe fomme til et vel bcftcmt 9tc|"ultnt.
g. Sr. SSnr ber given
rt = 23° 27' 50"
6 = 25 2 58
C = o 57 I
bo vil c, fom bliver liben, igjennem Sofinug fun uftffert labe
(ig beftemme; mca tngcg nf 'Jrionglct 5

84
fffttcg ^er
bo cr
cot 6 r cos M
cos C r sin M
cos C
-—- = tgM =: cosCtgfe
cot 6 °
sin C cot B = r sin {a — M)
ligelebeg veb fomme ©ubftitution
cos e zi=:i sin 6 (cos a cot 6 -j- sin n cos C)
tillige cr
.^crof
ellcr
sin c
cotB
= r sin b cos (jci — M)
sin 6 sin C
sinB
cos C
sm L sin M
cot C
= sin (rt — M)
sin M
sin M tg C
*^ ^ {a —^:\I)
enbvibere ^oveg
sin c sin b sin C'
tg e . -=:— : r sin 6 cos (rt — M)
cose sin if
sin C
r sin B cos (rt — M)
men
nitfno
sin CcosB
Sin L cot ZJ = —„—
sm B
•=z r sin {a — M)

85
tg {a — M)
tg C = - ,r—
cos li
5Seregncg ^er nitfno Jjjffipe; SSinflcn og bcrnffft fmft B, fno
Inbcr c. pg gobt beftemme igjennem fin ?;nngcnt.
Snbvibcrc wfTcr mnn ofte nt i/ate en

86
§. ?3- golgenbe gormler give i etf)vcrt ijilffflbe fiffw
9?efultnter, fom ogfin Sontrole, eg tjcne ofte, ^vor be fort;
gnocnbe gormler vilbe give minbre fiffre .^Beftcmmclfer,
cos rt cos 6 cos e -j- sin b sin c cos yl
TfltfOO
cos rt COS 6 cos C — sin 6 sin e -j- sin b sin c -j- sin i
Ctgdebeg
sin (• COS A
COS (6 -j- c) -j- sin 6 sin c (l -j- cos A)
cos rt COS 6 COS C -j- sin 6 sin c — siu b sin e -j- sin (i
So nu
fofl ^nveg
sin c COS A
cos (6 — c) — sin 6 sin c (l — cos ^^
I — cos (6 4^ '-O ^^^^ 2 sin V (6 +^ c)-
I -j- cos (6 _+ c) = 2 cos 1 (6 i c)-
i) I -j- cos rt 2cos 4 (6-|-c)' "f* ^'1^ '^ sine (i -j-cos^
2) I -j- cos a r = 2 cos ] (6 — c)- — sin 6 sin e (i — cos.i)
3) I — cos rt ^=z 2 sin 1 (6 -|- c)- — sin 6 sin C (l -j- cos J)
4) I — cos rt ^^ 2 sin 4 (6 — r)- -j- sin 6 sin c (l — cos^
Se^nnbleg pnn fnmme 93Jnobe
cos A zzzz — cos B COS C -j- sin B sin Ccos a
foo cr
cos A = : — COS B cos C — sin B sin C -j- sin B sin C
eflcr
-j- sin B sin Ccos rt
=:^ — cos (B — O ~f" si** ^ sin ^"(14- cos rt)
COS A = — COS B COS C-j- slu .B sin C— sin B sin C
-j- sin B sin Ccos a

87
—- — cos (B -j- C) — sin B sin C (l — cos rt)
nltfan
I) I ^ cos A = 2 sin ; (B — C)- + S'" B sin C
(l -j-COS rt)
II) I -j- COS yl = 2sln 4- (B -j- O' — «'" B sin C
(l — cos rt)
III) I — cos yl = 2 COS 4- (B — O' — S'" B sin C
(l -j- cos rt)
IV) 1 _ cos ^ = 2 COS 4 (B -j- 0= -j- sin B sin C
(l COS rt)
5ngeg i) og multiplicercg meb i — cos A , fna er
(l -j- cos rt) (i — cos yl)
^= 2cos 4(6 + e)^ (i — cos^-j-s'" ^ sluc(i —cosy^^)
=. 4cos 4 (6 + c)- sin 4- A' -j- sin 6 sin c sin A'
multtpUccrcg IV) meb i -j- cos«, fnn er
(l -j- cos rt) (l cos yl)
= 2 COS 4 (B + O^ (l + cos rt) + sin B sin C (l - cos rt^)
=: 4 cos i(^B -^C)'' COS 4 rt^ -f- sin B sin Csiu rt^
nitfno
4COS 4- (6 -j- c)' sin 4- A^ -j- sin 6 sin c sin A"^
= 4C0S 4- (B -j- C)^ cos 4 "^^ -j- sin B sin C sin «'
sin B sin C sin rt^ :E= sin B sin rt X ^in C sin rt
Stgdebeg
sin 6 sin c sin A^ ~~~ sin 6 sin ^ X sin e sin ^
3tItfao ere biffe to ©tfiirrdfcr ligeftore ifelge §. 17 3.
felgdigcn ogfoo
4cos4(6-j-c)2sm4.^' = 4cos4 (B-J-Q'cos S-rt'
oltfao
CCS 4 (6 -j- t-O sin i A = cos 4 (B -j- C) CO? 4^ «

88
"Poo fomme 5)Joflbe, ^vig 2) forbiubeg meb ll), ct;-
folbeg '
cos 4- (6 — c) cos V yl = sin 4- (B -j- C) cos V a
3) meb in)
sin 4- (6 -j- c) sin 4- A = cos ! (B — C) sin 4 rt
4) meb II)
sin 1 (6 — c) cos 4- A sin 4 (B — C) sin -J rt
ellcr tilfommen
I) sin .J (b -^ e) sin 4- yl cos 4- (B — C) sin 4- rt
II) cos 4 (6 -j- c) sin 4 ^7 = cos i (B -f- C) cos 4 rt
III) sin 4- (6 — c) cos 4- yl = sin 4 (B — C) sin 4 a
IV) COS 4 (6 — c) cos 4- ^-i = sin Y (B -j- C) cos 4 rt
Src nu 6, c, A givne, ba cr 2(lt poo f)eirc ©tbe nf
Stg^ebg;5egnet befjcnbt, pnn venftre ©ibe ubcfjenbt, om;
venbt ^vtg B, C, a,- olle Sele finbeg fnolcbeg poo eengnng.
2t It nj.

89
1) sin \ (6 -j- c) = 9,61 jf'i.-, 3) sin ', (6 — c) = 8,14103
5) siu 4^'/ = 7,9 u'.ro 6) COS,; ./ = 9,99999
2) COS \ (6-j-c) = 9,Q,TI;S6 4) COS 4(6 — c) = 9,9999^
6. 4. IV. 9,9-;no3 3- 6. 1. 8,14101
9,09c;vg 9,9t^7-'3
5. 2. 11. 7,8.-636 I. 5- M- 7,333.^5
tg ; (B -j- O = 2,72T39 tg 4 (B — C) = 0,60866
sln4-rt = 8^79 '.(B+C)= 89" .34' o" 5
COS 4rt = 9,99996 4(B —C)= 71J 10 2
8,15383
Sin Vrt = 8,15379
4 rt = o 48 59' 4
B = 165 44 2, 5
c= 13 23 58, 5
cos V rt = 9/99996 a= i 37 58, 8
gor t>:t 5ti;^cf.
B = 107" 17'15"
C — 93 20 30
rt := 112 20 59
B -i- r = 200" 37' 45"
B — C = 13 56 45
4(B-j-O == 100° 18'52" 5
4 (B — C) = 6 58 22, 5
4 rt = 56 10 29, 5
])sln4(B4-0= 9,992924 3)6!n4(B —C)= 9,084219
5)cos4rt =9,745590 6)sin4rt = 9,91946.^;
2)cos4(B-(-C)=9^25298in 4) cos 4(B — C)= 9,996776
4. 6. I. 9,916241 3. 6. III. 9,003684
9,996850 9'992758
5. 2. II. 8^8571^ 1-5- IV. 9,738514
tg i- (6 4- c) = o,9i7670n tg ; (6 — e) z= 9,265170
sin 4^= 9,919391 4(7,4-0= 96° 53'31" 5
cos 4^= 9 745756 4(6_r)= 1026 2,7
tg4^=^i736^ -/= 5

90
3cummcrnc, ber ftaae foran, tilfjenbegioe, i ^oilfen
Otben Dicgningen flal forctagcg.
DBcrccngftcmmclfen mellem gstsrbierne t ferfte ereiti;
pel eg 93(srbierne funbne §. 22 oife iReiagtigbeben, fom
igjennem paffcnbe gormler meb 5 Secimaler Ean fil^ob
beg. Sn neiere aseregning meb 7 ®ecimalcr gioer
B = 165° 44' 2" 45
c = I 37 58, 96
Senne faalebeg albcleg neie Doerecngficmmelfe er Ml
et St)fEctr«f ber, bog ril gotffjctlen iffe let beWe fij
tit meet enb faa ©ecunber.

§. I. vDfuOe 'Potcnfer of famine Slob multiplicercg,
bo (Tecr bette, naar Srpo"«»terne obbereg; t^i f (£r. a"" er
egentlig a X a X a... a D: a fat m ©ntrge fom gnctor; a'^
cr a fat u ©anij.e fom gactor, oltfao a'" X a" er a fot m4-u
fom gactor, ellcr a + ''-
§. 2. ©futle fpotenfer of famme 3\ob bivibereg, bn
tubtra^ereg (Srponenterne, f.Sr. a^ ec a X a X a X a X a,
a^ aXaXaXaXa
a' cr a X a X a, oltfoo — = = aa'
a Xa X a
cller t ^Uminbclig^cb er — z= a'"—"
Sill. I. Set tnbfeeg nu, ot, noor n er fterre cub m,
en negativ Srponent fremfommer, l)vilfet iffe bcti;bcr anbct,
enb Sen^ebcn, bivtberet meb fnmme 'poteng, men meb pofi;
a^ I
tiv Srponcrt, fnnlebeg er — = a' — * ^= a—* z= —
a* a^
I
eg a—p = —
^ ap
Sill. 2. Sre Sivtfor og Sivibenbug fnmme

92
= a" = I; eller ^vtlfcnfomr^clfl ©tm'clfe op^ciet til $oi
tcnfcn o er ligcftor meb i.
§. 3, ©fnl en *Poteng otter op^eieg til en ^otenS,
ba multiplicercg beng Srponent meb ben nt;e *petenfeg Srponent,
f.(£r. 0'"")'^ = a'""; t^i (a'")" er a"" X a'" X a'".....a"",
beftanenbe nf ngocto.-cr, olle ligcjtore meb a ellcr a'""
S; i 11. I. ©fal ct 'Probitct nf v''otcng;©terrclfer o|)i
^eicg til en ^otcng, bo ep^eieg ^ver gnctor for fig til "Po;
tcnfei^.
St If. 2. ©f'll cn Cvotient af 'Poteng;©t0rrclfet
eller en SBr^f, ^vig ^ffller og 3iffvncr ere 'p>orcng;©t0rrelfe
op^uieg t

93
ben fnn ubbrngcg, og cn nnben, lyocvaf bet iffe fan fFcc, og
ubbrngeg Jiiobcn af ben fuvftc; I;cvvcb ubtn;ffcfi S'lODftirvri-ifcn
ftmpleve. g.ti.v. VTi = 7^9X2^= ^9X^2 = 3^2
Sill- 2. 3lltfan Eu:;nc j^OLftarrdfcr of fammc 9?eb
multiplicercg ellcr bivibereg meb f)inanben, naar ©tstrclfcrne
unbcr Diobtcguet multiplicercg dice bivibereg og bevnfffc givcg
bet ffftkbg 31ottojn.
'Jilt. 3. ©fulle nltfan 9\obft0rrcll"er multiplicercg
ellcr bivibereg meb ^innnben, fom iffe ere nf fnmme 9tob,
fnn mane be bringeg bertil ellcr bringeg til eeng SScno'V;
jiing. Scttc fTcer, nnnr for 9vob;(£-rponcntcrne fogco bet
fffllcbg beldige "Snl, ^vcr cnfelt 9Iob;£rponent bivibereg l)eri,
og meb bet fom ubfomuer, multiplicercg fnnvcl 9Iob;(£rpo;
ncntcn, fom 'Potcng;Srponcnten nf pallet unbcr Slobtegnct.
_ 3 _ 6 6 6 6
g.£r. V^3 og Vs ere V3' og Y5- eller y27 og Y^25;
felgdigcn multiplicercbe V^675, bivibercbe Y^l
§. 6. ©fill en 9tob ubbrngeg af en 3iob;©t0rrclfc, ba
multiplicercg 9Iob;(£rponentcn meb ben ni;e SHobg (Srponent.
Slobfierrclfcn, fom l)crveb fremfommer, vilbe ncmlig, op;
l)eict til fnmme

94
§. 7. Ubbrngeg en lige 9Iob of en pofitiv ©terrclfe,
bo fnn ben fnnvcl vffre pofitiv, fom negntiv; t^i fnnvcl cn
pofitiv fom negntiv ©tKrclfe, epf)eict til cn lige 'potcng,
frcmbringcr en pofitiv ©terrdj'e, fnnlebeg cr Y^i6 = +3
Sn lige 3lob berimob of en negativ ©torrdfe cr ftebfe
cn uinultg ©t,errelfc (I. §. 115), ^vig olmiubclige govra bW,
2n
ver Y— a. Sn foobon ©torrdfe lober fig ftebfe bringe til
a n_ 211
Ya X V^—1/ ^tjorvcb ben (TiL'cg t te gactorer, een mulij
eg een umultg.
S i t f. I. Y^ X Y^ = (^~iy: = -I,
bet inbfecg nu, ot Y— a X Y— b = — VaL, bn Y—i
=z: YaX V— I eg V— b A'^b X V— i.

2/5 —v^Ti
95
^ev cr nu ferft V'lS = V^9 X 2 = 3Y'2 (§. 5
5ill. i). 5.ltultiplicereg i 'Sffllcr og 37ffvncr meb 2Y^5
-f-3Y^2 o: meb 37ffvncren meb olle 'Jcgn, foranbrcbe, bet
ferfte unbtogcn, fnn cr
3Y'5-2\^2
2>^5 + 3>^2
30 —4^10
4-97^10 — 12
3o4-5V^io—12 = i8H-5V^io
Sigclebeg Vffre given:
2V^6 4-3-/T^
2Y~2 -Yl-j-Ys
53Jultipltccrcg i Sffllcr og 3?ffvncr meb 3V^2 -j- V3
— Y5, bliver 5ffUcrcn 6V12 -j- 9Y^2D -j- 2V^78 4- 2,Y^
— 2Y'^-^YTo z= i2Y^+i8Yl + 6Y2-\-Y^
— 15Y2 = i2V^i4-i8V5 —9V"2 4-'f35
S^ffvneren er
(zY'2-Yl-\.Yl)i'iY2-^Yl-Yl,)z=:z 18-3
4-2^^15 — 5 = io4-2Y^i5
3tltfnn 95refen ligcftor meb
12 V^3 -j- 18 V^5 — 9 V2 4- V30
I0-f-2V^l5

96
9]tUltip!tccreg nu ntter i ^fftler 05 37ffvner meb 10
— 2V^i5, fnn er 'JffUcrcn:
120V3-j-1 SoV 5 — 9oV^2 4-loV 30 — 24V^45 — S6V75
-j-18V^30 —27^450 z= i2oV^3 4-180V5 —9oV^2
4-ioV^30 — 72Y5 — iSoV^S 4" 18^30 — 3oV^2 =
— 6oV^3 4-28 V30 — 120^^24- 108 V^S-
3flffvnerctt (10-j-21/^15) (10 — 2V^i5) = 100—60
= 40. 3(ltfofl cr f)cle S5r,pfcn rcbuceret.
•ruY^ — TY'i — 3YZ+UY5
'Pnn fnmme 93innbe forctngeo Sicbuciioiien nicb imngi;
nnire ©teirrelfer, fom ere bivibercbe meb ^innnbcn.
g.Sr.
5 Zl^GzZ - (5 - '^^^) (I — '^^^) ^ 3-6V^^
i4-^^^ (i4-'V^^)(i —V^) 3
= I —2Y'^
jjervcb erinbreg, ot V'— i X Y— i = — i, nit*
fan f Sr. t SHffvnercn Y— 2 X — V^— 2 = — (/—2
xY^^2) = -(-2) = 4-2
S?nr 3?ffvncren cn trelebbct ©torrdfe, ba i)avbe in
Vffret nebvenbigt, enb eetignng ot forctogc O^iultiplication i
Iffller og 97ffvner, ^vorvcb bet ^moginoire olbdcg var fov;
fvunben of ben (ibfte.
§. 9. ^nve vi cn tolcbbet ©tar.clfe, bcftnaenbe nf cn
rntionnl og cn gvnbrntifT trrntionnl ©tin-rclfe, eg nf benne
a.vnbrntrobcn fTulbc iitb-u.-icS, ba vnr bet ftunbom muligt

97
bcrveb nt forctnge cn StebHctien, fom (ctrbtliycii Ictu-ie ^U'v)-
uingcn.
Sen olmiubclige gorm for et faabant r.btn;f var
•f (A + Yh)
Seclte vt ClvabratjCEttvactioucn i to Sele, og fattc nit;
fnn ltbtri;ffct
= Yx + Yj
fnn, ^vig ter gvnbrevebcg paa he^?,e ©i^cr, cv[;cIi.tco
A±"V^B = x + ^y^-l-y
Sa nu pan beggc ©iter en rntionnl og cn itfnttonnl
Seel finbeg, fnn ^nve vi
A =1= x-l-y YB = 2Y^
nf ^vilfe 2(S(|vntioncr >i og y bcftcmiueg.
Sen fibfle giver
B =
Sinbfffttcg ^ert
4xy
y =
fnn er:
A —X
4Ax —4x= = B
Qlltfnn
x= — Ax = — iB
gor at gjere benne qvabrntifTe ?(Sqvntion fulbftffnbin,
obbereg pnn beggc ©iber 4A-, nltf'ao
x'—Ax-j-iA= = i(A^--B)
ipvoraf
X —^A = +IYA^—B
X = KA + VA'^ — B)
ijeraf ubicbcg
y = 4 (A + y AJ^^O
II.

98
Smiblcrtib, bo bet er vilfnorllgt, ^vab vi falbe x og ^vob y,
ville vi ftebfe bc^olbe be fl^verfte 'Segn. Jlltfnn cr:
y(A + yB) = VKA4-VA^-B) + Y'4(A-yA^-B)
Senne gormel giver ftebfe 3lffortncng, noor V^A-—B
er rntionnl.
%nm. ©oiu €remplcr vtsre gione:
I) v"a4-'v^2)
.^cr er VAT^^ = Yi — 2 = Yi = h
ailtfao
^(44-^2) = ^i(^4-i) + v^a-^)
= i4-"V4
II) V(28 4-5V^) _
j^er cr A = 28, B = (5^12)' = 300,
altfaa A=—B = 484, bvoraf aoflbratroben cr 22,
altfaa Ubtri)lfet ligcitort meb
^^4-^3 = 54-Vi
III) 7^(87 — 12-^42)
^cr cr YA"" — B = 39
SMltfaa bliver Ubtrpffet
^63 — ^^ = 3^7 — 2^6
IV) y(VT8-4) _ _
X?cr maae vi f«tte VB = 4; A = V^iS, bi
ctferg yA- — B btco iinaginair; r.u cr ben ligeitor ntei)
Y2. gelgcligcn bliocc Ubtrpflet
V(!.- iYTs 4- V2)) — ^(4 (YTs — Y2))
SKcn, ia Yl^ = 3^2, erl)olbcg
Y2Y2 — YY2 =:Y8 — YZ

99
§. 10. (Sn li;3nenbe ,^oi;r.l (•^er fig ubvifle, l)via
0.vatvaticB;Srtractioncn ffulbe forctagcg of et 9?inomium,
fivig ene Scd var i m fl g i n n i r, lunfor blcv ben niminbc;
lige gorm
Y(\ ± y^B)
©ffttcg bette Ubtrijf ligeftort meb Ys. ± V—y, fna var
X —y = A
2Y—XY = Y^^^
ellcr
4 xy = B.
Snbfffttcg l;cii x = A -j- y, fnn er
B = 4Ay4-4y^
^votaf
- y^-j-Ay = iJ^
oplefcg benne qvnbvntift'e vcqvattou, fnn cr
y = — 4 A + Y'A=4-B
X = 4A+ yAr="4^
jpcr funne vi ntter tnge bet evcrfle Scgn, ba cv:
Y(A+Y^) = Y -\(_A+YAX^) + YliA~YA}'^)
51 nm. ©om Crcmplcr v«vc girnc:
I) ^(7 + 6^-"^)
jjier cr A^-j-B = 494-72 = 121, I)rovaf Gva-bratroben
er n; altfaa Ubtvi)ffet cr 34-V—2
©aalebeg er
II) Y(-2-2Y^T5) = Yz-Y^
III) Y"—"64 = ^(0 4-^—64) = 24-2"/"^
IV) Y(- y —7) =1 Y(p—"f-7) = Yi -\- Y^s
§. II. goruben be (I. §, 102-121) opleftc S^qvatio;
ncr, Inbe cnbnu olle ^eicre rcne Q^qvntioncr fig opl^fe. i^mvcg

fno cr
oltfno
100
ax .n-j-l"^" = c-j-dx"
(a-j-b — d) x-i = c
a -j- b — d
n
a-f-b —d
§. 12. OPS. >f?wlfct 5nl cr bet, ^vig i?olvpait,
^rebicpnrt, gjerbepnrt multiplicercbe meb l)vcranbre og 'Pwi
buctet foreget meb 32 giver 4640.
•Snllet Vffre x, fna cr
4xXixX^x4-32 = 4640
^x^4-32 =: 4640
z:Vx' = 460s
x^ = 110592
3
X ^= Yii05

lOI
§. 14. Op3. ffliflii fsgcr to Zal, ^vig 'Probuct er
3(;o, bereg (£ubcrg ©um cv 17199, ^vilfe ere 5;nllenc?
xy = 360 x' -f-y' := 17199
360 , , /'36o^^'
y = —• X' 4- ( — J = 17199
Jlitfnn
x^ 4-46656000
-1 = 17199
ft
..•Her
93Jultipliccrcg meb x% fnn ^nvcg
x'^ 4-46656000 = 17199X*
x'^ — 17199X' =:= —46656000
©ffttcg nu x^ = z, fno ^nveg ben urene qvnbvntijTe
J@qvntion
z^ — 17199Z =^ —46656000
)enne gjercg fulbftffnbig veb bertil nt feie
'jvornf
(
3?u er otter
^erf it fvorer omvenbt
( 17199^' 295805601
2 J ^
^_I7I99'\^ ^ 09181601
4
17199 + V109181601
3
X = Y'z
(13824
( 3375
(24
{15
(24
2

102
§• 15' Opg. S>er er gtvct ct retvinflet '5:riongcl,
betg glnbe;3inb^olb cr 30 Clvnbrntfob og Jpi;potenufen er 13
gob Inng, f)Vor ftore cre Sot^ctevne.
€nt^ctcrue Vffre x og y, fnn er glnbc;3inb^olbct ligc;
flor meb 4 xy (I. ©com. §. 144 5tll.), Jjt;potenufen =
Vx^-j-y-, oltfnn:
^^ i^y =^ 30 H) x^4-y^ z= 13^
xy = 60 = 169
60
y
5inbfffttcg benne SSffrbie t H), fnn er:
GUcr
J^ernf
2fltfao er
y^
(l°)*+y' = .6,
3600-j-y = 169 y'
y^-i69y^ := • — 3600
169 _j_ V1416
2 3
(M4
^' == 25
2856X
4
i= + 119
2
Set cr: for y finbeg felgenbe fire SJffrbier: 4-12, —12,
4-5^ — 5-
Sinbfffttcg biffe i Ubtri;ffet for x, ubiebet of I), faa
er x lilfvorcnbe bertil: 4-5, —5, -j-12, —12.

103
Sn bet fommer an pnn cn gcomctviff ©terrclfe, vil
^cr orbentltgviig iffuu tngcg be pofitive Dpiegniuger, ellcr
©vnrct bliver: ben cue Cnt^ctc cr 12 gob, ben onben 5 gob.
§. 16. .Jjnvcg (Srponentinl;2eqvottoner, bet
er fonbnnnc, l)voci ben ubcfjenbte ©terrclfe forefommer fom
^rponent; bn Inbe biffe fig oplefc vcb Sognvit^iucr. Sen
nlminbdige gorm, ^vortil be Inbe fig bringe, cr:
Stltfno
^vorof
a^ = b
X log a = log b (I. §. 126)
. log a
logb
€rempel ^crpoo er Oplegningen of n (I. §. 129).
§. 17. OPQ- 3 cn Solonie formercr golfetotlct (Ig
onrligt -^, ^vorlffngc vnrcr bet, inben Snbb^ggcrneg 5lntfll
er forbobblet.
/jer cr S^qvntioncn
©" =
x log — == log 2
^10 =•
x.0,04139 = 0,30103
ijcrnf
0,30103
X = = 7,273
0,04139
eacr 2l'utallet vil vffre forbobblet omtrent c 7 2(ar 14 Uger.
§. 18. Set er oUcrebe for^en bemffrfet (I. §. 114),
ot, nanr en Opgnve afgiver et minbre 3tntnl Signingcr, enb
ber finbeg Ubcfjenbte, benne er bn ubeflcmt (indetcrmi-
natum). ^miblcrtib funne ^nbffrffnfningcr vcb Opgnven

104
finbe ©teb, fom gj^re, ot nf be mnnge Oplagning^r, fom
egentligen givcg, fung fnne, eller en enefle, eller vel cnbog
albcleg ingcn tilfccbgfliller Opgnven. Sremplcr ^crpnn, font
og "K'anbcn nt oplefc faobnnnc Opgnver og nnvenbe be til
benne Siegning pnffcubc ^unftgreb, ville felgenbe Opgnvct
nfgive.
§. 19. (in 5Sonbcfone ^nr ^jemmefro mebbrngt 200
SSblcr, unbervcig ffflger ^un nogle, inen bog iffe Jpnlvpav;
ten; bo ^un fommer til 5Si;en, veeb ^un iffe, em ^un f!al
fixlge bcm i ©nefe; eller i Seufinviig; t^i t ferfte 'Jilffflbe
bef)olber t)Urt 14, t onbet 10 ©tfr. til Sveft; ^vormnnge
^nvbe f;un ?
Sjibftc vt enten, ^vormonge ©nefc eller ^vormnnge
Soufin ^un ^nvbe, bn var 'iintnllet let ot beregne; vi falbe
oltfna ©nefeneg "Untal x, Soufincneg y, fno ec Sublet;
neg lal
20X-J- 14
ellcr
i2y4-io
nitfno
20 x-j- 14 12 y 4- 10
Jpcrnf
5x —3y = —I
Sn X og y nu tfi'lge fin S'lntur ere ^cle og pofitive 'Sal,
fnn, ^vig vi oplofe 3(*qvntioncn, fom om beri y vnr ben
enefle Ubcfjenbte, fnnbteg
5^-t-i .2 x-j- I
i o
2x4-1
jjvor bo ntter -— er et ^oelt Hal, fom vi viHe betegne
meb z, oltfao

dice
X
2x4-1 = 3^
3z—I z—I
J " ^ I ;
105
2 T
nu cr igjcn ct t)cclt Sal, fom vi ville betegne meb -a,
2
l)vovnf
Z Z= 2 U 4" I
X = 3 ll -+- I
y = 5 » -1- 2
a^ilbc vi alifaa bcftcmme SSblcrneg 3lntn!, blcv bette i
Sonfinviiu
Sigclebeg eftcv ©ncfe
©ffttcg nu
evt)olbcg ^Intnttct
12 y 4" 10 = 6o u 4- 34
20 X -j- 14 == 60 U -j- 34
= 34' = 94' = 154/ = 214
Sc to ferfte 5Scittcv ere for fmnne, bn ^un ^nr mccr enb
jjnlvpnrten tilbngc o: 100, ben fjcrbe og be felgenbe for
flove, ba ^un ^nr unber 200; vi funne oltfao ene outage
fom Oplegning 154.
§. 20. Opg. 30 'Perfoncr, tOiffnb, .Soner og
S&ern, fortffvc tilfninmcn 50 Stbblr., en 3)tnnb betnler 3
9?bblr., cn ^one 2 9Ibblv., et SSncn i 3vbblr.; ^vormnnge
^cvfoner vnre nf ^vcrt ©lagg?
Jper cr, nnnr SlJffnbcneg 3fntnl er x, ,^oncrncg y,
Serncneg z:
x4-y-fz = 30 3x4-2y-fz = 50

io6
veb nt fubtrn^ere ?@qvotionertte frn ^innnben, cr^olbcg
2 x-j-y = 20
oltfnn
20 — y
Sn y iffe fnn vffre negntiv, fnn fnn x iffe Vffte ft^tte
enb 10, og y ligelebeg iffe fterre enb 20, nnor x ffnl VOTC
pofitiv; men man forreften vffre et ligc ^nl, for at x iffe
(To! blive SBref; nnor oltfao y cr valgt, er .?5ernencg 3tntal
be|temt; eller vi fane
tOiffub: 10, 9, 8, 7r 6, 5, 4, 3, 2, I, 0
^oncr: o, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
aSern: 20, 19, 18, 17/ 16, 15/ i4/ i3/ 12, 11, 10
Sen ferfte og ben (ibfte Oplegning funne egentligen
itfc brugcg; men be evrtgc cre olle lige ontogclige.
§.21. Op9. ^'^ tiebex 100 ©tfr. Clvffg for 400
9?bblr.; for en 0;:e betoler ^on 40 3ibblr., for en ^ee 20
Svbblr., for cn ^alv 8 Sibblr., for ct Som 2 SKbblr. jjvov;
monge of ^vert ©logg?
Jjcr ere S^qvattonerne
I) x-j-y-j-z-j-u = 100
II) 40 X -j- 20 y 4- 8 z 4- 2 u ::= 400
eller
20x4-ioy4-4z4"ii =^= 200
nitfnn
i9^x 4-9 y 4-3 z = 100
X I
z=33 — 6x—3y -^—
5DJen, bo z er et ^eelt "Zal, mnne vt funne ffftte
X — I
• = V, fom otter er ct onbet hecit ^nl.
3
2

3iltfnn
X = 3 V 4-1
^nbffftteg benne 23ffrbie, faa er
z = 33— i8v — 6 — 3y — V
= 27 — 19 V — 3 y
107
V og y funne togeg vtlfnnvligt, bog fnnlebeg, nt z bliver
pofitiv, nitfnn I9v4-3y iffe flerve enb 27; ci fjcllcr mnn
V vffve negntiv, ba ellcvg x ogfaa blcv negativ. ©nalcbcg
fnn fun v vffvc o ellcr i. dlu or:
V O V = I
z = 27 —3y z = 8 —sy
u = 72 -j- 2 y u =z: 88 -j- 2 y
SSffvbicn for u er ubiebet nf 2@qvntioncn I).
X
y
z
u
X
y
z
3(ltfan ere fun felgenbe Oplegningcr mulige;
gor V = 0
I, I, I, I, I, I, I,
0, I, 2, 3, 4, 5, 6,
07, 24, 21, 18, 15/ 12, 9,
72, 74/ 76/ 78/ 80, 82, 84/
4/ 4/ 4
0, 1, 2
8, 5/ 3
u I 88/ 90/ 92
gor V =; I
1/ I, I
7/ 8, 9
6, 3/ 0
86, 88, 90
55ortfnfle vi be Oplegninger, ^vori forefommer o, blive fnn­
lebeg i 3llt 10, fom tilfvebgftille Opgnven.
§. 21. 3ff ct €ompngnie, fom er onfnt til 200 93innb,
fnvneg cn Sec! efter en SJatoiHc; Sompngnte;£f)efcn bliver

108
nbfpurgt, eftcrnt Sompnguict ftben vnr Mcven opleft, f)vot;
mnnge 93Jnnb, ber vnre blcvne tilbngc, men fnn iffe erinbre
fig bet; Ijan f)ufTer berimob, ot, ftror cfter SBotoillcn, gjotbe
f)nn et gorfeg ot Inbe bcm ftille ftg i ©elebber, men ftebfe
forgjffvcg; t^t ftillebe ^nn 2, 4, 8, 10 'iStnnb i ©debbct,
^nvbe ^an ftebfe i 5[)fnnb tiloverg, ftillebe ^nn berimob 6
cller 12 5]Ionb, ^ovbe ^an ftebfe 5 SJonb tiloverg; ^vot
(tort vnr Eompngnict?
Opf. Snb ©ciebberneg 3(ntal vffre p, (j, r, s, t,
u, Sompagntctg x, fao ^nveg:
I) 2 p 4- I = X
II) 4 q 4- I = X
III) 8 r -j- I = X
IV) 10 s 4- I = X
V) 6 t 4- I = X
VI) i2u4-5 = X
gorcneg IV) eg VI), f)nvcg
12114-5 — 10 s-j-1
12 u-j- 4 ZZZZ 10 s
6 u4-2 = 5 s
U-^-l
u4-2
^er mon vffre et ^eelt lal, fom vt viKe betegne meb
5
A, bernf felgcr
u = 5 A —2
Sinbfffttcg benne SSffrbie i \I), fnn cr
Jjvornf otter
X =: 60 A — 19

p == 30 A — 10
]iOU ba r cr ct l;celt "Sal, inan ogfan vffre
ct ^edt 5al, fom vi ville betegne meb B, nltf'no
A = 2B4-1
X := i2oB-j-4r
3nbfctic5 nu for B cfter 0^::nin aSffvbierne o og i,
fan cr x enten 41 eller 161, fom eve be enefle mulige 2Sffr;
bier, ba X cv unbcr 200.
§. 22. Op9. So ^elc og pofitive 'Snlg ©um og
'Pvobuct er tilf'nmmcn 79; ^vilfe cie 5;nHcne?
Opt. 'Snllcne vffre x og y, fnn cr
xy-fx4-y = 79
:jfltfnn
^ 79 —y _ . 80
"" y-H-i ^ y-fi
Scr frffveg altfnn, nt y -j- i ffnl riffre ct 5]innl for 80.
Sn, nanr vi oplefe 80 i fine eufclte gnctorer, vi ^nve
2X2X2X2X5, fnn cre nlle iOinnlene for 80:
jjvortil bn fvnve
y
X
i|2J4|5|8|io|i6|2o|4o|8o
0 1 I
79139
3
19
4
15
7
9
???cn bn be fibfle Oplegninger blive overeengftenimenbc meb
be fi.uf:c, givcg egentligen fun felgenbe 5 Oplegninger
o I
791S^)
9
7
15
4
19
3
39
I
79
o

no
Sill, ©fjenbt 5

Ill
gor nt gjere benne rational, ville vi ffftte ben
= x4-p
Sn cr
I-j-X" =^ X- 4" 2 Xp-j-p'^
/;vornf
X = ^ ~ r'
2p
©fal X Vffre pofitiv, bn man for p tagco en egentlig
5:n-ef, vi ville altfaa ffftte
m
fan er
n- n-—m^
2 m 2 mn
11
= J I 4- (
^ V 2 mn
)
y
= n^ 4- m^
^vor nu ^vilfefoni^dft 'Snl funne fffttcg for m og n.
Sill. 2}i funne til benne Opgnve ^cnferc felgenbe:
nt fege to Ovabrntcr, ^vig Sifferentg ntter cr et Ovnbrat;
eller
x=—y^ = z-
^voraf
— CO"--CD' I
vi ville for .^ort^cbg ©fi;lb ffftte
ba er
X
z
n- -
z
"— I •—'— I
u = "V^i 4-1
t, fan er

112
5tltfao ffftte vl
foo er
bo ec
So nu t
u
n^
n'^-j-m'
2mn
y X
: -, u = -, foo funne vt ffftte
z z
X := n= -j-m^
2 mu
x^ — y^ = z^
SSi funbe egfoo poo fomme 9)Zaobe ^nve fegt
x = y^-l-z^
Set cr to Q,vnbrntcr, ^vtg ©ummer vnr nner et O.vobr«t.
Snbfffttcg for m eg u forfTjcllige SSffrbier, fao fan
berof X, y, z beftemmcg. g. Sy.
m
n
X
y
z
I
2
5
3
4
I
3
10
8
6
2
3
13
5
12
I
4
17
15
8
3
4
I
5
25 26
7 1,24
24 10
2
5
29
21
20
3
5
34
16
30
4
5
41
9
2(nm. I. 5i5«tbicrne x, j, z afgirc ifelge ben p^tljtfgC;
rifle ©cetning ©iberne i ct rctoinflet Sriangel.
21 nm. 2. Set Dvenanferte (§. 18-23) maa tjcne fom
spreoc paa be gjfetbobcr, man anuenber i ben ubeilcmte
SInalDtif cller biopbantiffe 9lnal«fig. SJibtleftigere Unbet:
vetning l)ercm baoeg if«v i Sulerg algebra, l)ril>
fet cIcinentCBve Ssoerf, i govbinbclfe meb Sag range's
Silfffitninger, tjener fom cn Ovcrgang til be vanflclijiere
asoirf i benne ffltatevie.
goruben ben franfle Ubgave tjaveg cnbnu of SiilcrJ
saigebra et Ubtog, fom bog egentligen cr en 0»erf«ttelfe
paa arbfl, Ijuovtil ftben cr feict Sagrange'g lillisg. Zitelen
l;erpatt cr:
40

«., e;jit8 a«g Snlcrg Sllaetfa ton 3. 3. Sbcrt. 2 ai)cile,
Gulcfg ocllflanbige 9lnldtnng jut Sllgcbra, 3ter Xlicil,
»on Acnplcr.
$. 24. 9Si ^nvc feet ovenfor (I. §. 116 og 118), at
«n qvnbrntifT SCqvntion ^nr flebfe to Oplegninger; ligelebeg
f ac vi (§. 15), ot SSqvntionen for y, ber vnr nf 4be ©rnb,
i)avbe 4 Oplegninger. 3llminbcligvitg vil en^ver ?(5qvntion
^nve fnnmnngc Oplegninger, ^vilfe falbcg Svebbcr, fom
Crabcn ben cr af.
^albe vi Opiegningernc p eg q, og fatte SGqvationcr.
(I. §. 118) unber ben gorm
x' -j- Ax — B = o,
fan, ^vtg vi bcrmeb fammenltgne
(x — p) (x — q) = x^ — (p 4- q) x 4-pq
(,ibi'ccg, Ot bn
p =: —iA-^YB^T^
q=zz-iA-YB^iA^
er
p 4- q =1= — A
pq = -B
gelgcligcn, nnnr enten x == p cller x = q, cr
(x — p) (x — q) = x' -j- Ax — B = o.
SSi funne nitfno fremftillc be qvnbrntifFc ?(SqvntiDnct5
Oplegning fom cn !9Jct^obe, f)vorveb vi oplefte et ^robuct
of ben gorm x^-j-Ax — B i to gnctorer.
Sigclebeg betrngte vt ferft ben rene cubifTc 3@qvntion:
x' = a
eller
x' — a = o
^vor vi ville ffftte a = p', fnn cr een Oplegning
X = p.
II. 8

114
SBctrngte vt benne Opl0§ning, fom een, ber voc gonen
Mb poo, ot finbe en goctor of bet cubiffe 'Probuct x» —p%
bo vor benne x —p, og bivibereg x'—p^ meb x —p,
Hev Clvoticnten x^-j-p^^ + P^^/'

115
Jjovbeg cn Sffiqvntion nf 4be, stc ®rab JC, bo lob
ben fig ligelebeg fammenligne meb et ^robuct of 4, 5 !C. goc;
torer; og pao fomme 'DDJoobe vilbe fibfle Secb vffre ^robuc;
tct of olle Slebbcrne, anbct Secbg €ocfficient ©ummen of
olle Slebbcrnc tagne negative.
§. 25. Sn^vcr fulbftffnbig 5@qvatton o: ^vori olle "Po;
tcnfer of x, fro ben ^eiefte til ben lovefte, bcfinbcg, lober
(tg omforme til en onben, i ^vilfen ben nffft.yiefle QJotcng
fottcg.
Ser Vffre og given f.^r- ben cubiffe 3@qvation
X' +Ax=4-Bx-j-C = o
foo, ^vig vi ffftte x 4- i A = y, cller x = y — | A,
bo cr 2@qvationen
y._Ay'-|-^A=y —^A''
4-Ay^-iA'y -j-^ A^
4-By-iAB(
4-c)
©ffttcg ^er nu
B —iA^ = D, ^VA^—iAB4-C = E,
fao cr ben ombonnebe 3@qvotion
y3 4-Dy4-E = o
Om 3©qvfltioncn ^ovbe Vffret of ^vilfenfom^dfl ®rob,
^avbe vt Vffret iftonb til ot bc^onble ben poo fomme 5)Joobe,
veb, noor ©roben vor m, ot ffftte
X = y —^A
SBi be^evebc blot ot gobtgjere, ot
(x —isA)'" = X'" —Ax"-' .^
nogct, fom fibcn ftrffngt bcvifeg; men for bet gerflc fan inb;
fccg veb virfdigen nt op^eie (x ^ s A) til ben mte >Potfn«.

1x6
§. 26. SJefinbcr pg i cn orbnct 3

117
oltfao cr -j- 3 en 9Iob for SSqvotionen; ligelebeg ere 4-1
og 4-2 Siebbcrne. ©oalebcg cre be olle funbne.
jjavbe vi fom onbet Srempel ^avt
X' —i3X"4-49x —45 = o
foo ere for bet fibftc Secb, 45, SDJonlene i, 3, 5, 9, 15/ 4;;
of biffe er iffun 5 en Slob. Se to nnbre Stebber ftnbe«
«eb ot bivibcre meb x — 5
x^ — 8 X -j- 9
5 — 5) ^' ' — 13 X-
_x' 5x^
' +
—
+
25i jTuflc oltfao oplefe ben ubfomne 2@q vntion:
x=--8x
:-^9 0
X- — •8x
8x'-
8x=
: z=
4"
4-49X. — 45
+ 40X
9x
— 9x + 45
— 9
16
(x-4)^ = 7
X —4 = ±Y7
X = 4 + ^7
SSqvotioneng tre fUebbet ere oltfao
5/ 44-^7/ 4 —V7
©om trebie Srcmpel v«re given SSqvationen
x'4" 2x^4-3 x-j-44 = o.
?ageg 'DSaolene of 44, ncmlig i, 2, 4, 11, 22, 44,
eg meb biffe gjercg gorfeg, fon vii ?

118
•gotiv 3lob —4, Se to onbre finbeg of ben qvobratijTe
3@qvntion, fottt opftnoer veb ot bivibcre meb x-j-4:
X^ — 2X-|- II = O
Serof ere 9l0bberne i -j- Y— 10, i — V—10
§. 28. goc ot beftemme, ^vorvibt Subifroben lober
fig ubbroge of et Ubtryf of ben germ A +V'B, lige meb
bet, ^vorof ovenfor (§. 9) O.vabrotrobcn cr ubbrogen, ville
vi bc^onble bet poo en lignenbe 9)toobe, fom bee er viifl.
©fftte vi:
V^A + v^B = X + Vy
So er omvenbt
A +VB = X'±3x^V^y4-3xy+ y/'y
©ommcnltgneg ^ct be rotionole og irrnttonote Sele,
foo cr:
I) A = x'4-3xy II) V^B = (3x^4-y)V"y
Cvobrercg begge 3®qvntioner, bo ct
A* = x^-J-dx-y-j-gx'^y^
B = 9x^y4-6x^y-4-y^
A' —B = x« —3x^y 4-3x2 y^-y*
= (x" —y)'
Saber €ubtfroben (ig nu nete ubbroge of A^ — B, og
bliver f. Sr. c, foo er
x' —y = c
3nbffftteg SCffrbien of y = x'^ — c^ ubbrogen of
beitne 5(2qvotion i I), foo cr
A = 4x^ — 3XC, cller ogfoo
4x' — 3 ex — A = o,
^vorof nu x lober (ig beftemme, ibet ben ncmlig bliver ratio;
nnl, foofrcmt bet givne Ubtrpf vtrfelig fon mobtoge gormctt
x± Vy") cr X funben, bo finbeg let y = x^ —c.

119
g.Sr. -5^(7 4-5^2) = V"(7 4-V'5^)
.^cr cr A= — B = — I, ^vorof (Subifrobcn er — i = e;
nltfoo
4x'4-3x —7 = o
X^ 4"TX T = o
©ffttcg z = 2x, foo er^olbeg
iz' + iz —i = o
z^-j- 3z — 14 = o
^erof er ccn 9iob 2, oltfoo z = 2, x = i, y = x*
— c = 2. gelgcligcn er Ubtn;ffet i-j-Va.
Sill. 2}« ber (tebfe forfege om Subifroben lober ftg
ubbroge of A^ —B. (Sr bette iffe 2ilffflbet, vil bet ofte
Vffre muligt ot bringe benne ©terrdfe til et fulbfomment
€ubiftal vcb ot multiplicere meb en vilfoorlig gnctor, f; ba
cr, ^vig vi ffftte
•Itfoo
^vorof
V(A^ —B)f = fm
A' —B = f^m' ^ (x2_y)»
x' — y = mf ^ z^ c
4x' — 3mPx — A = o
1
ellcr, fffttcg X = uf^, foo er SSqvotioncii
4fu' — 3mfx — A = o
^vorof u fan finbeg, og bernf ntter x = f^u,
fSin cr y = x^ — c = x' — mf ^ = u» f ^
— mf^ = f* (u^ — m), oltfno
Yj z= f T Yn'^ — m

120
g.Sj;. f(8 4-4V^5)
^er er A" —B = —16; for of gjarc benne ©terrdfe til
et fulbfomment dubiftol, lober og multiplicere meb f = 4,
fao cr fm = — 4, m = — I, og Seqvottoncn for u
i6u3-j-i2u — 8 = o
u-'4-TU—i
= 0
©ffttcg u = ^z, bo er
J-z ^4-iz-i- = 0
z '-|-3z —4 = 0
.rjvorof z = I, u
Vy
3(ltfao ^ele Ubtri;ffct
= ^v X = 1- V^4
= V4Vi+T
..^.-^ + V5
Y2
§. 29. Sigdcbeg, ^vtg vt ^ovbe ^ovt Y(,A±Y—B)
= X + V— y, vnr
A ± Y^—B = x' + 3x' V—7 — 3xy + y V ^
Jjvornf
I)A=x'-3xy II) V-Brr sx'V'-y-yV-y
m\a«
A^ = x« —6x*y4-9x'y2
03
+ B = T9^*y±6x-y'HFy^
A^4-B == x« + 3x^y4-3x'y^4-y-
= (x' + y)'
95etegneg nu otter Cubifroben of A^ -j-^ "i«^ c, eller ffft;
teg x' -|-y = c, f.^ a-
y = c —X'
i'-i ex 4-3:

i\l :'.'.n
121
-. ^-' — 3 f X — A —: o
3lf benne X^v'ation labcr x fig l.jLuime, og fr.'nf
«u>'r y = c — x-
3ntfan
g.Sr. ^"(9 4-25^^
jjcr er A = 9
B = 2 X 25- = 1250
A^-J-B = 1331
c = II
4x3 —33X —9 = o.
©attcg X = l-z, fnn cr
•^ z' — V z — 9 — o
z' — 33Z —18 = o
Jjvorof cn 9vob er z =: 6, nitfnn x = 3, y = 2, og
f;ele Ubtn;ffet bliver
Z + Y~2
Sill, ©civ om A^-J-B intet £u6tftal fidvh- vip;;.
^ovbc vi bog funnel bringe bet bertil, veb ligcfo;. iiiijcu
(§. 28 5ill.) ot multiplicere meb cn gactor f; b^ fatte v«
.^vornf
altfao
V^(A» 4-6)7 = fra
c = f*m
4x' — sf^mx — A = o
fffttcg nu x = f^u, fnn er
4fii' — 3mfu — A o
SRaor nu ^crof u er funben, fao cr
X = Fu; Y^ = f^yiT^^i;

122
g.S):.
J?er et
VC-9-V-175)
A = -9
B = 175
A^ 4- B = 256
Scttc er intet Subiftol; men fffttcg f = 2, foo ec
Y512 = 8 = fm
«Itfflfl m = 4, og 2@qvottone«
8 u' — 24u-j-9 = o
(©ffttcg z = 2u, foo er ben
z' — i2z4-9 = o
^vorof z = 3, u = i, oltfoo
X = f V^2; Y^ = Vs X'
ellec ^elc Ubtri;ffet ec
Y2U-i^~7)=^'~
Y4
§. 30. SSi funne (tebfe bcftcmt eplafe en^vcc cubif!
SiSgvotion poo felgenbe, nfSnrbnnug ferft bcvtfte ?Olaabc;
gormlen, fom tjenec ^ectil, fooec eftec ^om IHovn of bett
corboniffc.
garft inbrctteg 2@qvationett fnnlebeg, nt berof x* ec
borte (§, 25); bett er^olber oltfao felgenbe olminbeligc
©fiffclfe:
x'-j-px-j-q o
?(ntoge vi nu, nt x = u-j-t, fno ec
x' = u'4-3u=t4-3ut'4-t*
= u- 4-1^ 4- 3 ut (II4-1)

123
^vornf ntter fan bnnncg 2@qvntionen
x' — 3 utx — (ll' -f-1') =r o
©nmmcnltgncg bette Ubtri)f meb
x'4-px4-q = o,
bo er
ut z=: —ip u'-j-t' = —q
3tu Iflber u og t fig finbe ifelge §. 14. 9Si ^flve
ncmlig
« P^
" 3t
^vilfet inbfat giver
—-^4-t' = ~q
271'^ ^
ts4-qt' = TVP'
(^:q)' =:^q^
(t'4-^q)2 =:iq-4-^p«
t'4-iq= ±Viq=4-^7
t^ = - i q + riq^4-j^p3
U' ^ -^-q + Y'iq'^4-^Vp*
SScb ot ubbroge Subifrobcn cr^olbcg u og t; 6e^olbe§
blot bet evcrfle 2egn, foo cr
X z:=z u-j-t =
V'(- 4 q + Viq^+^p') + Y(r' H - ^i¥+^y
©om Srempler vffre givne:
I) X'—21 x-j-344 = O
^er cr p == — 21; q = 344, oltfna
iq'-|-^P' = 29241
+ •\r29241 = + 171
— jfj = —172
X = VCI^ 4-^-343

Co'gcg "••-•? -•; to v.'ire Slebber veb nt bivibcre meb,
x-f-8 pon • n forr;: .'.jle QKnnbe, ba cre biffe
— 4 4-Y'—27, —4 — Y—27
11) X'—6x — 40 = 0
Sjet ex p = — 6, q = — .;o
3fltfOfl
Tq--f-^p' = 392
+ Viq^TTvp = ± V392
X = ^"(20 4- Y^) 4- f (20 — YJ^)
2tnvenbe vl pnn lilfc cubiffe Stcotionol; ©t.errclfer gormlcit
§. 29/ r«« cc
A- — 400
B = 392
.Jjierof er Subifroben 2, oltfoo c =
^qvntion er
2, og ben ber funbne
4x' — 6x — 20 =: o
fom oplefl giver Sloben x = 2, nitfnn y = x* — e.
r= 2, cQer vert Ubtrijf Inber fig foranbre til
2 -j- V^2 -j- 2 — V^2
•Itfoo cr 3\obcn for ben opgtvne ^©qvotion 4.
Ill) X' — 12 X — 28 = O
So er p = —12, q = —28, «Itfoo
X = •\r(i4 4-r^)4-V"(r4-r:^)
Jtnvenbe vi ^crpon gormlen §. 28, bn er beri
A' — B = 196 — 132 = 64 = 4^
gelgcligcn ^nve vi 2(Sqvnttoncn ber
4x' — 12 X — 14 = o
©ffttcg X = 4-z, foo er

^z' —6z— T4 = o
T.' 13 Z 28 = O
125
?8i fomme fonlcbcg tilbngc pnn vor oprinbcligc 5GFqvo;
tion, og unberfege vi benne, veb ot toge ^Dioolcne for 28,
ncmlig i, 2, 4, 7, 14, 28/ bo finbeg, ot ingen of bcm op.
lefcg, men ot altfnn 3ioben bliver irrntionnl. Sen bcftem;
meg Icttcft veb Sognvit^mer
log 132 == 2,12057
logV^i32 = 1,06028,5
+ 7^132 •=: + 11,489
25,489
2,511
Ubbrngeg of biffe to ©terrelfcr ntter €ubifrobcn, fan et:
log 25,489 1*40635 log 2,511 0,39985
3) 3) - -"
0,46878 0,1332s
jjertil fvorer Sollcne
2/94293
n 1/35919
Nltfoo i 4,30313
14
IV) x' —i2x'4-36x —7 = o
Jjec mnn ferft nnbct Sceb bortflnffcg; fffttcg berfor
(§. 25) X — 4 = y, fnn ^nveg
y._j_i3y2-j_48y4- 64 = X'
— i2y^ — 96y—192 = —i2x*
36y4-i44 = 36X
y" * —i2y-j- 9 = o

126
S^ex er p = —12, q = 9, oltfoo
V^iq'4-^P^ =
g.elgeligen
V^V ^ ^
V^-175
=
y = vA-9 4-V^^i75 4- v/"-9-y"-i75
2 2
3fnvenbcg ^crpoo gormlen §. 29, foo inbfecg of bet (§. 29
'5ill.) onferte S;;cmpd, ot
2 2
3tltfao
X = y-j-4 = 7
§. 31. (Snbnu er en egen 5)Ioabe ot opleife be cubiffe
3(5qvotioncr poo, fom grunbcr (ig pon be trigonomettijie
gunctionerg SRotur.
?oge vi gormlen (Srig. §, 6 n.)
cos (a 4" b) cos a cos b — »In a sin b
og ffftte beri a = 2 b, foo er
cos 3 b =
men bo
cos 2 b cos b — sin 2 b sin b
cos 2 b = 2 cos b^ — I (Xrig. §. 9 XV)
sin 2 b =
foo cr
2 sin b cos b CJrig. §. 9 XIV)
cos 3 b = 2 cos b' — cos b — 2 sin b'^ cos b
©ffttcg sin b^ = I — cos b^, foo ^ooeg
cos 3 b ::= 4 cos b' — 3 cos b
Jpvorof otter
cos b-" — I- cos b — i cos 3 b o
©ommenligncg bette Ubtn;f meb en cubifT ?@qvnti«it
of ben gorm

eg beri fffttcg
x' —px — q := O
X =r= r cos b
127
q =: i r' cos 3 b
foo bliver
r' cos b' — -J r^ cos b — i r' cos 3 b = o
3tf be to befjcnbte ©terrelfcr p, q lobe r eg cos 31*
fig bcftcmme, ncmlig:
r = V^p; C05 3b = -^-
jjvornf bo otter fnn finbeg
X ^^ r cos b.
So cos 3 b = cos (360° 4" 3 !•) = •^os (720'
-j- 3 b), fnn finbe ogfoo felgenbe 3@qvotioncr ©teb:
r^ cos.(i20''4'l*)' —|r'cos(i20°4-b) —Tr'cos3b = o
r' cos(240°4"^)^—Ir^ cos(240°-j-b)—•|-r'cos3b = o
jpvorof inbfeeg, ot t bet jjde f)flveg, of be funbne SSfftbicc
for r og cos 3 b, felgenbe 3 Slabber fee x
X == r cos b
X = rcos (i20°4-l')
X =: r cos (240° -j- b)
So cos 3 b (tebfe moo vffre minbre enb i, fan fan
4q
ittutt benne Opl0gningg;!DiOobe onvcnieg, noor -^ ex en
egentlig SSref b. e. r' >4q, ellec
r« > 16 q^
(fp)'>i6q^
t^P^>i6 q^
^P'>4-1'

128
.A^ct cr oltfna bet Silffflbe, ^vor ben corbonjTe gormel giver
tn umulig ©t.errclfe; bo, ^vig man fommcnligncbc ?£>et\)bi
r.ingen of p og q meb 93eti;bntngen of bem (§. 30)
P = — P
?i!tf'a
q =
T q T^ TT 1' 4 q TT P'
b. c. cn negativ ©t^tcclu', l/^^ig Cvabrnt; 3{ob cr tmoginair.
©om Grcmpd vix'ci giinn Gjremplct §. 30 IV, fom
fornnbrct er
y3 —i2y-j-9 = 0
jjer er p = 12, q == —9
3lltfnn
r = V^ip = 4
cos 3 b = — ^ == — .^%
log cos 3 b = log — .j\ = 9,
3b = 124° 13'42"
b = 41 24 34
120°-J-1* =^^^= 161 24 34
240 4~^ = 281 24 34
^•.•rnf cre £ofinufferne
9,87506 9*9767- n
log 4 = 0,60206 0,60206
0,47712 o,57878n
3,0000 —3-7913
•' Itfaa SSffrbictne of x ere
4-7/ 4-0'2087/ -|-4*7913
."5012 a
9 29627
0,60206
9*89833
0,7913
i^"'i onbet Srempel ville vi tnge SSqvotionetl
X' — 18 X — II = o
4 • tV p = 18, q = II, r r= "^^24

3tuvenbe vt nu til Svcgningen Sog.uit^mcr, fnn cr
log 24 =nz 1,380211
log V"24 :=. 0,690106 =: r
]og4q = 1,643453
log r^ = 2,070318
log cos 3 b = 9'573i35
3b = 68° i'24"4
b =: 22 40 28, I
i;o4-l> = 143 40 28, I
240 4-b = 262 40 28, I
log cos b =:= 9,965065
logcos (i2o4-b) = 9,900478n
log cos (240 4" 1>) = 9*10553411
log r = 0,690106
3fl£faa ere 3v0bbetne
4- 4*52034
— 3'89569'
— 0,62466
129
21 nut. goruben be cutiffe ?ffq»ationcr, Orig fnlbfltsnbtge
Oplegning cr l.xvt i 5- 30 eg 31, labe ^ggBationcrne
af 4bc ®rab fig in^lafe oeb en HiictI;obe, cmtreiit liig ben
cavbanffe gormel (5. 30). S-^sfexe «!gqrationer bcviraob
labe fig iEfe ainitnbcligen cplsfe.
9Jaar 9i»bbeviie eve rationale, oil man ofteft reb got:
feg Ennne finbe biffe, og ber labe fig f^ere SKeglev gioe,
Ipovoeb btiTe lettcg; ere be irrationale betimob, faa funne
vi anociibe forfTjcllige ailn«rmelfeg=aJletI)ober. gnlbflKn:
bigeve Unbervetning berom, enb I)cr fan gioeg, finbeg i
be ubfovligeve iaxehtiet ooer QJlgebra, f." er, gnlevg anj
f«rte 5S«rf (§. 23), og fccgubcn i
Lacroix Eleinens d'Algcbre.
§. 32. gortfnttcg en nritfimctijT fnmmcn^ffugenbc

130
umtbbelbnrt foregooenbe govf)olbg eftcrlceb, fan bonnebe otte
be forfFjcUige ©t.evrclfcr, fom fom inb i biffe gor^olb, eftec
bereg Orben, en oritfymctifT iprogregfion.
©onlcbeg bonne f. Sr. 5oIlenc i bereg noturlige Orbeit
en QJrogregfion, bo
I — 2 = 2 — 3 = 3 — 4 = 4 — 5 JC'
Sigdcbeg ville i, 3, 5, 7 cller olle ultge tal bonne
en oritl)mctiff

ftnnc unbernebcn, nngive Sebbctg ^piobg i sprogrcgfioncn, og
folbeg SSiferc (Indices).
laqe vi et Secb, ^vig SSifer vi ville betegne meb n,
lob bet fig beftemme veb folgcnbe Ubtn;f
a4-(u — i)d
Sctte Secb ville vi fnlbc bet nlminbdige Secb, og be;
tcgne meb t; fnttcg ncmlig n = i, = 2, = 3, := 4 - _
fan vilbe bcvveb nlle Scbbene i 'Progregftonen efter Orbnen
fremfomme.
$. 34. ©egte vi ©ummen of aUc Sebbene i en fnn;
bnn nrit^mcttfT

132
Sni. Snbffftteg i bette Ubtri;f cftcrfinnnbcn n = i,
n = 2, n = 3 ;c., foo cr^olbcg: bet ferfte Secb, ©um;
men nf be to ferfte, of be tre ferfte e. f v. Sctte ^ar gi;
vet 2tnlebning til nt fnlbe Ubtri;ffet ^rogrcgfioncng fumnin;
toriffe Sceb, cftcrfom bet ubtri;ffer olmtttbdigcn ©ummen
of olle Secb fro bet ferfte til bet nte ellcr olmiubclige
inclusive.
§• 35' 3 be ubviflcbe Ubtn;f
t = a4-(n—i)d
s = A n (a -f-1)
finbeg 5 focffjetlige ©terrelfcr: a, d, n, t, s. So »i
^avc to 5@qvationer, funne to ©tevreif'er anfceg fom ube;
fjenbte; cller, noor tre ere givne, lobe be evrige fig be,
(temme; fonlcbcg opftnne 20 forffjcllige Opgnver, fom olle
ere opbfte i felgenbe 5;abel
1) a, d, n
2) a, d, s
3) a, n, s
4) d, n, s
5) a, d, u
6) a, d, t
7) a, n, t
8) d, n, t
t
s
t = a4-(u —i)d
t = — 1- d + Y'2 ds 4- (a — Vd)-
2S
n
u 2
s =: \- n (2 a -j- (11 — i) d)
a-f-t , (t4-a)(t —a)
''"= 2 + 2d
s = J.n(a4-t)
s = 4-ii(2t —(n —i)d)

9) a, n, t
lo) a, n, s
li) a, t, s
12) u, t, s
13) a, d, t
14) a, d, s
15) a, t, s
16) d, t, s
17) d, n, t
18) d, n, s
19) d, t, s
20) n, t, s
n
a
d
t —.«
n — I
2 s — 2 an
u (n — i)
(t4-a)(t- -a)
2 S — t — a
2 nt — 2 s
n (n — i)
t —a
n = i4-
133
d —2a ^28 /'2a—d\s
~~ 2d
-NT + V^-^dV
2S
a-j-t
2t4-d r/^2t-|-d\-_2s
7d~~ - \ \J~^d~J ~~d
a = t — (n — i) d
s (n — i) d
n 2
a == ^ d + Y(t-j-h d)'' — 2 ds
2S
n
?ilffflbcne: a, d, s|t; a, d, s[n; d, t, s[n; d, t, s|a
opiefcg vcb qvnbrntiffe 3i@qvnttoncr; begnnrfng finbeg bet bob;
bclte 2cgn og Omftffnbig^cbcrne maae ofgjere, ^vilfcn Op;
legning ber togeg.
21 n m. ©om erempler paa Slnrcnbctfen af biffe gormler
»«re gione:
i) S?Mb et ©ummen af be ti fwfle %al, ellcr i,
2, 3 -----IQ,

134
.^er er a = i* t = lo, n =: lo; oltfna
s z=L ^-n (a-j-t) = 55.
2) (Sen, brig ©age fra SBcgnnbelfen nf var 100
Oibblr., erl)0lbcr ?lar for aiar flebfe 20 Slibblr. Sillag,
Ijror flor er ba bang ©age i bet iite Slar, og Ijoormc;
get l)ar l)an oppebaaret i alle biffe 3lar?
.^er er a = 100, d = 20, n = 11, flltfrto
I = a4-(n—i)d zzn: 300 OiOblr.
s z=z (2 a 4- (n — i) d) ~ = 2200 3ibblr.
2
3) 2>cr er og given cn sprogregfion, I;oig ferfte Sceb
cr 13, ©iffercntg cr —2, ©umma cr 40.
J?ec cr a = 13, d ^ —2, s = 40, altfaa
(a —id)^ = 14^ = 196
2ds = — 160
V^2ds4-(a —-id)- = V^36 = ±6
Slltfao
t=i±6=j_^^
gor n(«tmere at beftemme $R(sEfen, villc vt tilmeb af
famme givne ©terrclfe f^ge n. 3)a cr
/'2 a —d\2
2S , f2TL — d\*
2S
-j- = -40
"d+v-^d-J) = ^
llW)rageg Ocraf 9ioben, ba er benne i 3*
5lltfao
9ioben, b
• 10
4
Sagcg oltfao n = for t 7±3 ben forfle 93a!rbie 7, fao footer ^cr:
til n := 4, 03 SiojEEen cr
13* II' 9« 7«
aageg berimob for i ben onben SStsrbic —5, ba er
M = 10, og OioeEEcn
13* 11/ 9' 7' 5* 3/ i» —If —3/ —5»

135
SSegge 3i0!tfcrg ©nmiua cr 40, eg faalebeg cr bet
olbdcg nbeftemt, l^oilfen oi finllc tage.
§. 36. SBctrogtc vi bet fummatorifTc Sceb af ben axitl)t
metiffc 'Progregfion
s z=^ Vn(2a-j-(n — 1) d)
fom nlminbeligt Secb i cn Slffffc, bn blcv benne, ^vig n fnt;
teg efterl)nnubcn = o, = i, = 2, = 3
o, a, 2a-j-d, 3a4-3d, 4a4-6d, -|
of ^vilfcn Dvffffe vi funne toge Sifferentfcrne, fom bleve
a, a-j-d, a4-2d, a-j-3d
SSi f)a\>be faalebeg of ben ferfte SSffffe en Slffffe of Siffe;
rentfer, fom blev en orit^metifT ^rogrcgfion, ^vig Sifferentg
blcv ben beftanbige ©terrdfe d.
©dv om til olle Sebbene i SIffffen vnr feict cn com
ftnnt ©terrclfe b, bleve Sifferentfcrne bog be fnmme, ellcr
fnmme Sifferentg; iKffffc fremfom; vi ville begnnrfng give
3iffffeng nlminbdige Sceb ben germ
b-j-4n(2a4-(n—i)d)
og felve Slffffcn er^olber ligelebeg ben nlminbdige gorm
b, a-j-b, 2a4-b-j-d, 3a4-b-j-3d,
ncmlig for SSffrbierne n = o, n =z i, n = 2, n = 3--
men ville vi, ot n, fom fovf)en, ffol beti;bc SSiferen, fno nt
benne for bet ferfte Sceb bliver i, for bet nnbct 2 !C., fno
mootte bet i gormlen for bet olminbdige Sceb fig befinbenbe'
n foranbreg til n —i, foo ot bet olminbdige Sceb bliver
b4-^(n —i)(2a4-(n-2)d)
Sn foobon Siffffe, fom ben fremfatte, folbeg cn orit^;
tncttfF atffffe of on bett Orben, ligefom ben fffbvonligt
fltit^mctijTe ^rogregfton fnlbcg nf ferfte Orben.

136
§. 37* ©Wteg b = o, ^vorveb ba bet ferfte Secb
forfvinber og n bel)olber fin ferfle 55eti;bning (§. 36), faa
opftooer en ortt^mctifT SIffffe nf nnben Orben nf felgenbe
gorm
a, 2a-f-d, 3a4-3d, 4a4-6d
©jereg f;er nu a = i, fan er for d =. i Stffffert
n (n 4- i)
J, 3, 6, 10
2
for d = 2
I, 4, 9, 16 n*
for d = 3
n(3n —i)
I, 5/ 12/ 22 —
2
for d = 4
I, 6, 15, 28 n(2n —i)
0. f V.
25etrngteg biffe Slffffer neiere, fno Inber, nnnr Snllcne btt
tegneg meb ^uncter, ben ferfte Slffffc for d = i ftg
fnnlebeg frcmftille
ie fnne begnnrfng 3?nvn of '5 r t g 0 n 01; 5:01.
Sen onben Svffffe for d = 2 bliver
* f * * t • • • * • • • •
Jiffc fnlbcg 0,vobrogonfll;'5ollcnc.
©aalebeg fcembelcg falbcg nlle %al, fom cre bnnnebe
pno fnmme ^DJnobe, ncmlig for b = o, a = i, og d
ligcftor meb et f)edt 5al, ^oli;gonfll; 5oI.

137
Set bliver let nt beftemme 'Polt;gonn!;5nllcncg niminb'e;
liac Secb. Sab m vffve ©ibe;^allct i ben *Poli;gon, ber vcb
ct 'Polt;gonnl;'5al fTal frcmftilleg, fnn er d = m — 2. ^nbi
fntica benne SSffvbie i goviulen
s = ! n [j a 4- (u — i) d]
livornf *Poliigoit;'5nllene veb nt faitc a = i cre opftanebe,
fna ^nveg
s = ! II [2 a -j- (n — i) (m — 2)]
(m — 2) n- — (m — 4) n
2
fom cr 'PoIt;gonal;2nllcneg nlminbdige Sceb.
3nbffftteg i benne gormel m = 3, fnn ^nvcg for
Svigonnl; 'Jnllcne
n' -j-11 n (n-j- i)
2 2
for O.vnbrngonal; 5:allenc
n^
for pentagonal; 'Jallene
3"'—" n(3n — i)
2 2
for .^eragonnl;'Jnllcne
4n^ — 2n z= 2n'—n = 2n(n — i)
2
0. f V.
n fnner t 3llminbelig^eb 3tnvn of ©iben i Q3olt;gonal;
Sollct. ©aalebeg ftgcg f. Sy. 3 ot vffre ©ibcn c 'pentago;
nnl;5:nllct 12.
§. 38. ©egte vi ©ummen of alle 'Poli;gonol;'5allene,
fao inbfee vi let, ot olminbcligt bet ferfte *Poli;gonnl; 2nl er

138
Set onbet
Set treble
(m — 2) i' — (m — 4) I
(m — •2)2''
(m- •2)3'
2
2
2
• ( m - -4)2
• ( m -
-4)3
oltfno ©ummen of olle polygonal ;5nl inbtil bet nte
(m-2)(i' + 2'-|-3----u--)-(m-4)(i-j-2-j-3 —n)
Slier betegne vi meb
2
/n' og/n
©ummen of olle 0-vabrat;'5ol fro 1 til n^ og ©ummen of
olle noturlige ^ol fro i til n, foo et 'poli;gonol; •^oUcncg
©umnio
m — 2„ m — 4„
2 •' 2 •'
SSi ^ove nltfoo blot ot fege /n og /n-.
Ubvifle vi vcb Jjjfflp of 2?tnomial;gormlen (a-j-b)'
felgcBbe O,vobroter
i^ = I
2- = 14-2. i-j-i^
3'^ = I 4-2. 2-j-2'^
4' = I-F2. 34-3-
n' == I -j- 2 (n — 1) -f- (n — 1)'
(n4-i)^ = i4-2n4-n»
eg obbereg biffe, foo ^nveg
/(n 4- i)^ == n 4- I 4- 2/n 4-/11^
eller

./(n -j- 1)=^ -/n^ = n + I 4- 2/n
139
©'errdfcn fornn Sig^cbg;5egn cv ©ummen of olle O.va;
bvatev fro 1 til (n-j-i)S minbre enb ©ummen of nlle
0.vabvatcr fra i til n^ D: cue (n-j-i)', nltfao
(n4-i)^ = n4-i-j-2/n
Jjvoraf
/ll _ (n-i-iy-("-fO __ n(n4-i)
J 2 2
Si^ckbcg, ^vtg vt ubvifle Su&cvne, bo cr
2^=i4-3« i-f3« 1^4-1*
3' = 1-J-3. 24-3. 2--i-2'
4' = I-I-3- 3-1-3- 3'-1-3'
n' = I -I- 3 (n — 0 -I- 3 (n — i)' -h (n — i)*
(n-j-i)' = i4-3n4-3n»-j-n^
3tbbcvcg biffe, foo cr
/(n 4- i)^ = (n 4- I) 4- 3/n 4- 3/n^ 4-/n'
ijvoraf
/(n 4- I)' -/n^ = (n 4- I) 4- 3/n 4- 3/n*
0: (n -^- I)' = (n 4- I) 4- 3/n 4- 3/n^
Ttltfao
/n^= A
(n4-i)3—(n-f-i) n(n-^I>
3 2
(n -j- i)(n'-j-2n) n (n -j- i)
^3 2
(n4-i)(2n'4-n) n(n4-i)(2n4-i)
2. 3 2. 3

140
2(nvenbcg nu biffe gctmler for fa." eg fn til at finbe
^oli;genal;'5allcncg ©um, fan cr benne
m — 2 n(n4-i) (2n4"i) "^ — 4 n("-|-i)
X X •
2 2. 3 2 2
Sen Ocftaaer nltfan of to Sele; cen nfi}ffngig of m, cn an;
ben, f)vor m iffe forefommer, eller er liig
/^n (n 4- i) (2n4-i) _ n (n -\- i)"N
V 2. 2. 3 2. 2 J
__ ^n(n+i)(2U-f 0 _ 2n(n4-i)\
V 2. 3 2 y
n (n 4- l) (n — i) n(n-|-i)(2n —5)
2. 3 2. 3
©oolebeg bliver bet fummotorifPc Sceb for ^rigonol;
5:otlcne
n (n -h i) (n — i) ^ nOH" i) (2 n — 5}
X 3
2. 3 2. 3
n (n -t- i) (n 4- 2)
2. 3
for O.vobrogonal; 5otlene cller 0.vabrat;Sollene
ii(n-}-i)(2n-j-i)
2- 3
fom vi f)nvc funbet ovenfor, ncmlig ^n*
for ^cntngonol; 2^ollcne
n- (n 4- i)
2
for Jpcrogonol; Sotlcne
P(n4-i)(4"—i)
2- 3
0. f V.

141
§. ",q. I53etrn9te vi bet fummntorifFe Sceb nf *poli;go;
nnl;'5ai;u.o attov fcm niminbdigt Sceb for cn ni;e SJtffffe,
far. opflcb nf ^vigonnl-'Snllene
felgenbe SIffffe
I, 3, 6, 10, 15
of O-vabv.iijcnal; "Sallcne
Kffffen
I, 4, 10, 20, 35
I, 4, 9, 16, 25
1/ 5' 14/ 30/ 55
of 'Pentagonal ;5a![one
SIffffen
I, 5, 12, 22, 35
I, 6, 18, 40/ 75
0. f. V.
gvcmftillebc vi Sen^ebcrne i biffe Zal meb bugler, ba
lobe be fig opflable i 'Pi;ramiber; faalebeg vilbe af ben fev;
fte SIffffe trefibebe 'P>t;rnmibcr labe ftg opftnble, nf ben nu;
ben prefibebe e.f v., begnnrfng falbcg bif\e Zc.l "Pijrnmi;
b n I; 5 n I.
Q3i;rnmibnl;'5nllenc ubgjere en nrit^metiff Slffffe nf
treble Orben, vi funne nf bem ntter bgnne cn SJlffffc af
fjevbe Orben 0. f v.
3tlle biffe Zal, bnnnebe pnn ovenftnaenbc 9?inabe, fal­
bcg figurlige Zal, jTjenbt SScnffvnelfen bog iffun meb
Sicttc tilfommcr 'Poli;gonal; og ^i)rflmibnl;'5;nllene.
§. 40. Sigefom ben fortfntte fnmmen^ffngenbe ntit^;
metifFe proportion giver ben nrit^metiffe ^rogrcgfion, fnnle;
beg giver og cn fortfnt gcomctriff proportion en geomctriff
^vogregfion (I. §, 122). (£r en fanbnn "Pvogregfton given

J 42
a, b, c, d, f t
I 2 3 4 5 n
^vor ntter 'Snllenc unbernebcn cre SS i f e r n e og t bef a 1;
minbclige Seeb, foo vibe vi, ot felgenbe gor^olb finbe
©teb: a: b = b : c = c: d = d: f. 3(ntogeg gp
ponenten i biffe gor^olb nt vare m, fno ec
a :z=z b m.
b = c m
c = d m
0. f V.
ijvorof felgcr
a
ni
b
m
a
2 m
ni m^
0. f. V.
Siffe Ubtryf cr^olbe imiblertib en ffmplerc ©fiffclfe,
peb ot ffftte
bo cc
I
m
b = ae
c = ae*
d ~—: ae'
0. \. V.
e fnlbcg t 3flminbeligl)eb 'Pcogregftoneng Sjtrponent,
eg vi funne nu veb .fjjfflp of ben, bet ferfte Secb og aSif»t
ren ubtri;ffe bet olminbdige Secb, cller
t = ac»-»

143
31 nm. etponcntcn forcEomincv faalebeg I)cr i cn mobfat
q3eti>bning afbcn, l)oori bet cr brngt veb be geonietri=
ffe sprevortioner (I. §. 78), ba bet ber ubtroEicr ben
©terrdfe, l)worincb bet fovegaacnbe £eeb tnnltiplicercg
ft>r at frembringe bet cftcvfi'Igcnbe. berfor Ijaue enfelte
govfattevc fin'anJvct Cvponcnteng 2?et«bning oeb gorljoU
bene, eg falbct (Jvponent ogfaa ber ben ©terrdfe, brov:
nicb gorlebbet fTal inultiplicereg for at frembringe efter=
lebbt't, bog bette ftribev albcleg mob ben alminbelige ©EtE
og IH'ug, foiu obcvnievc finbeg bjctulet beroeb, at man
t)ax M'ugt T't»ifiong:2cgnet : til at ubtroEEe ict geome=
trifle gDvI)olb.
§. 41. ©ege vi ©ummen s of ben geomctriffe 'Pro;
grcofion, foo cr
s zzzz a -}-ae-j-ae= -j |-ae"—^ -j-ae""'
Sltultipliccveg meb e, bo er
es = ae -j- ae^ -j- ae^ -j ae"— • -j- ae"
©ubtro^creg evevfte Sinie fvn ncberflc, fno er
ellcr
es — s =: ae" — a
altfnn
s (e — i) = a (e" — i)
e" — I
e— I
lif biffe to Ubtri;f for bet nlminbdige Secb t (§. 40)
og for bet fummntovifTe s, lobe fig nu ligefom fov^en (§. 35)
en 5nbel forfottc, ber inbe^olbt olle Oplegninger, nnnr tre
of ©terrelfernc a, e, n, t, s vare givne, bn nt finbe cn
fjcrbe; imiblertib vilbe vi bcelg ^er ^i;ppigt trffffc pnn ^eiere
2©qvationcr, bcelg poo Srponential

144
bette faalebeg frcmbelcg tiltagcr, ^vor flcsrf er ajefolfs
ningcn cfter loo 2farg gorlob. S^ex er
a looooo, e = -|i, n = loo,
beraf fogeg
t = ae"—'
= 100000 (;i-i)
Slnvenbcg til Ubtn>EEetg ajcvegning Sogaritl^mcr, ba et
log 51 = 1,7075702
log 50 =z 1,6989700
log-ii = 0,0086002
100
0,8600200
log looooo — 5,0000000
logt = 5,8600200
t ==: 724469
2) Smcllcm I eg 3 ffal inbf«ttcg 10 ieeb, faa at
Ijele Jprogvegfionen Eommer til at bcflaae nf 12 Secb;
l;vab cv ba grponentcn ?
a '
t :z::z
0 ^3^3
11
Y3 =
I*
ae"
e>>
n =: 12,
— 1
t =
= e
©egeg • benne oeb 2ogaritl;incv, faa er
lo §3 = 0,4771 213
II)
0,0433747
e = 1,1050.32
®a c nu er funben, labcr OireEfcn fig banne.
3) €en l;ar inbfat i l.'otterict, ia Ijan I'lVnmbtc it
fpille, 4 ©Eilf., eg, ba [)an tabtc, fat IcMu'lt nceftc
©ang, eller 8 ©fill., 3bie ©ang attcr bobbcit, diet
1 9JIE., og freinbcU'ci bobbelt; l)an beflager, at l)an
til beni'.e ^vKEning ci tan gjevc bet ©ammc, ba til
benne 3iibf'ttfni ril bclsbe fig til 682 3ibblr. 4 S)tf.
9cn U'cvgeg; I)»ig I;an inbfoitter t'iiTe sponge og tabor, i
I)oormange S;ri):fningcr tiar l;an fpili.'t, eg Dvormcgct Ijiif
J;an i 3llt tabt ?
3

^cr fegcg
t
logt
=
u
t =
a
68
n, »i Ijaue
ae"—'
log a-f-(ll —
log t — log a
log c
2 Oibblr. 4 m.
4, e = 2
1) log e
1 T
1 I
logt = 4,816480
log a izzr 0,602060
= 65, 65536 ©f.
145
4,214420
Sioibcrcg bette nicb logo = 0,301030, ia crljolbcg
14, altfaa
n = 144-1 = 15.
gor bet anbct ffulbe vi fege s; onti-n fan ben finbeg
of 'Sonnlcn oeb .f^jffllv af bet nu funbne n, ctler ot oille
let Ennne faac s a'f;cmt, uaf!;«ngigt af n. S&i Ijavi
e" — I et — a
e — I e — I
•Slltfaa er l»er
s = 2 X 65536 — 4 == 131068
= 1365 Oibblr. I SRL 12 ©f.
$. 42. 2if

146
men, bo en^vcr egentlig ^xeU ^siexe ^otcnfer cre minbre
enb be lovcre (I. §. 68), foo vil en egentlig .QJref, op^.eict
til 'Potenfen 00, blive minbre enb ^ver ongivelig ©t.errelfc
ellcr blive o, nltfoo er
b
— I
1
c
ac
c —b
eller foranbre vt 'Jegnct til bet mebfotte i 9?ffvneren, bliver
fem faolebeg blcv ©ummen nf Stffffett
ab ab^ ab^
a-l \ 1
~ c ^ c^ ~ c^ ~
©ffttcg ac == f, fan fif Svffffcn felgenbe ©fiffclfe:
f fb fb^ fb^
c ~c= ~ c^ ~ c* ~
Set vnr juft ben gorm, vi fom til (I. §. 65 5ill. 2) vci
Ubviflingen of SBogftnvbrDfcn, nf bcu gorm
f
3(fvc)det»e Sebbenc i Siffffen, fon lob ben fig enten 6c;
trngte fom Siffcrentfen mellem to geomctrifTc 'Progregfioncr,
^vilfe ba lobe fig fummcre fffrfFilbt, eller og funbe S);ponem
ten bn-i fcctrngreg fom negativ. So blev ©ummen
— a ac
_b^_ " b4-c
c

©ntte vi otter ^er ac = f, fnn vnr
147
i74-c c "^ c- c^ "*" c* '
Set omvcnttc Ijcrnf er nllevebe ovenfor viifl (I. §. 65 5111. 2).
21 nm. gov at anrenbe biffe gormler for ©ummen af
uenbdige OiceEEcr, labcr og funiineve DiOjEEcn
1 , 1 , 1 , 1
l^er cr a = }, b z= 1, c = 3, altfaa ac z= i,
c — b ^= 2, og folgcligcn
s i
S ^
OitsEfen fremfommer ogfaa veb at f«tte
1^ 1
•2 3 — 1
£abcr og fummcre SKoeEEcn
I — T 4- ITS" ~ TTT H 1
Sa er a := i, b = i, c = 5, altfaa cr
5 _5
5 + 1 6
I;»oraf WtsEEcn cgfaa attcr tan fvembringeg.
931 I;aobe ogfaa fnnnet fummcre ben cfter ben f#v(le
gormel oeb at fcette ben liig
-a+-xi^+TiW+—)
gor ben ferfle Sect var
a = I, b = I, c = 25, altfaa
for ben anben S>ecl berimob rar
a = ^, b = I, c = 25, aU{M
gelgcligcn cr Ijcle atceEfen govfTjelleR mdlcm biffe ©ummer
^0 r,
•Zi o'
§. 43. Sigefom vi faalebeg ollcrcbc ^avbe 'Pv^ve pao
cct ©Ingg Stffffcr, ber lebe fort i bet Uenbdige, og font
^avbc felgenbe ©fiffclfe
10*

148
a, ax, ax^, ax^, ax'
^vor vi meb x betegnebe ben geometciffe Stffffcg (5j:poiicnt,
foalcbcg funne vi ^ove mnnge onbre, ^vor bog be forfTjellige
Soefficienter of x'g spotenfer ci vor ben fnmme, men fom
^nvbe felgenbe ©fiffclfe
a, bx, cx^, dx^, ex*
jjnr i cn fnnbnn Slffffe Seefficienterne a,b, c,d,e
(a fnn og onfeeg nt vffre €oeffi«ent, ncmlig for x'' = i)
beftcmte og enbeligc 25ffrbier, fno inbfecg, ot vi ftebfe funuc
give X, fom vi outage ot Vffre feronbcrltg, foo liben cn SSffc;
bie, nonr vi ffftte ben liig en liben ffgte Sref, ot, ibet beng
^0ierc

149
ter ere ligeftore, i)Vab SOffrbier vi enb give x, fnn Inbcr bet
fig bcvifc, ot a = A, b = B, c = C o. f V., eOcr
ot famme ^otenfer of x ^nve i beggc ?i(rffcr ligeftore QLocffi;
cicutcr. ''
Sn
a -j- bx 4- ex- -j = A -j- Bx -|- Cx= -j •
for cnl)ver 23ffrbie of x, nltfan og for x =z o, fnn, ^vig
bette inbfffttcg, forfvinbe beggc Siffffcvne, pan a og A uffr;
nltfao
a =1 A
Jjevaf felgcr ba nu, ot for ct^vcit x cr
bx-j-cx'-j-dx^-j = Bx-j-Cx=-j-Dx^4
eller veb at bivibcre meb x, ot
b 4- ex 4- dx' -j =: B -j- Cx 4- Dx= -j
3tu finbe vi otter, veb ot ffftte x = o,
b = B
og fnnlebeg er og frembdeg c = C, d == D, cller fnmme
^>ctcnfer nf x ^nvc i beggc 3lffffcr ligeflorc Socfficienter.
Sfnvcnbdfen of benne ©fftning fnlbcg be ubcftemte Socf;
ficicnterg 5)Jet^obe.
§. 45. 3tf olle 3lffffer er ben vigtigfte og ben ^i;ppigfl
anvenbcligc ben, ber fremfommer xieb Ubviflingen nf ct 5£>i;
nomiumg

150
Me biffe Ubtrijf funne frcmftilleg vcb felgcn&c gormel
(a4-b)" =
ai4--a"-'b-f-" a"-'b-4-
' I 1. 2
n(n-i)(n-^^_3^ _
I. 2. 3
vcb ncmlig ot ffftte cftcr^nanbcn
Set er let ot overfee ben alminbelige Sov, biffe Secb
felgc; betcgner ncmlig p SSiferen for et olminbcligt Sceb,
fno er bette
n(n-i)(n-2)—-(n-(p-2))_^^_^^_,^^^_^
I. 2. 3 (p —i)
Set umibbclbor foregooenbe Sceb er
n (n — i) (n — 2)
1. 2. 3
(n — (p — 3))
an—Cp —s)bp—'
(p—2)
a^ctegneg bette meb N og bet pbe Sceb meb P, foo er
p— I a
©fjenbt vi for be ferfte ^otenfer funne overbcvife eg
om benne Sovg 9ligtig^eb vcb 3»buction, ibet vi virfc;
ligen ubviflcbe, foruben ovennnferte, ogfno ben 6te, 7be.,,
^oteng of a-j-b/ fna ««c Seven bog ferft beviift, noor vi
gobtgjortc, ot, foofrcmt ben gjfflttc for een ^oteng, ben bo
ogfoo gjfflbcr for ben felgenbe.
SSi ville oltfoo outage gormlen gjfflbcnbe for ben nte
^oteng, og bcrnffft bevife, ot, cr bette ^ilffflbet, vil bcii
egfoo gjfflbe for ben (n 4- i)te ^etcng.

+
I
fO
ID
I
13
II II II
1 ^
to
v.*
I I
I I
I I
I I
tr' 1
ty
+
4-
i_
+
I ;
+
H I »
I
I
I
+
O + +
+
ty
+
1
•f
ty
+ +
I
-I-
+
I
I
I
151
S
-H

152
2l'ltfno er Pa-j-Kb
'ir^'^-^m+m = Cl:z(v-^+A m. = ^Kb
P-i ^ V p-i y p-i
^ (n4-i)n(n-i) (»-(P - 3)) .^„,^^_,,,^p_.
I. 2. 3 p—I
Sctte er i ben ni)e STffffc bet pbe Sceb, fom vt ville
betegne meb 5p; fatteg nu n-j-i = n, fan er S)} =
n(n-i)(»-2) (n-(p-2)) ^„_^^_,^-^^_,
I. 2. 3 p — I
felgdigcn n^ingtigt bet fnmme Secb i Siffffcu (a4-b)", fom
P vnr i Svffffen (a-j-b)"
ajetegne vi ligelebeg bet (p-j-i)be Seeb meb 0, fno cr
0 = Qa4-Pb = ^Siz2)pb+pb = M:_Lpi,
p P
^ (n-fi)n(n-i) (n - (p - .)) ^,_(p_,,j^^
I. 2. 3 p
,. nOi-i)(n-2) (t.-(p-i)) ^^_^^^
I. 2. 3 p
nltfan bnnnet neingtigt pnn famme 5)ioabe, fom for^cn Q.
. ipvig Seven nltfoo gjfflbcr for 'Pctenfen n, vil ben og
gjclbc for n -j- I •> nu inbfee vi oltfnn ot ben cr olminbclig,
tt)t vi bevifte ben for be ferfte ^etenfer 2, 3, 4, 5, og
fluttc: gjelber ben for ben ste, bo gjelbcr ben og for ben
6te, gjelbcr ben for ben 6tc, ba gjdber ben og for ben 7be
:c. SSort 3nbuctiong; SScviig cr fonlcbcg olminbcligt.
©nnlcbcg er nitfno SSinominl; gormlen beviift for f)e\e
og pofitive Srponcnter; vi inbfee let, ot « bcttc ^ilffflbc of;
brpbeg ben, og vil fun i bet J?ele inbe^olbe n -j-1 Secb. Z^
fffttcg i Ubtvt;ffet for P, p = n4-2, bn bliver ben fibfle
gnctor i SfflSeren n —n = o, nitfno fcrfoinier Scbbct;

eg ligelebeg villc olle fol.icnbe Sceb ^ave famme gnctor og,
pnn (Svunb bcvaf, fovfvinbe.
$. 46. SJilbe vi olminbdigen ubvifle 5Mrtomial;gormlen,
^vig n cntcn var en SBref ellcr ct ncgntivt Zal, fan funne
vi gjere Opcvntioncn ffmplevc vcb nt ffftte
(a-l-b)" = a"(^i-l-^y
b
SBetcgne vi nu — meb x, fnn fommer bet cue on pan i ct;
a
^oert '^ilffflbe nt ubvifle (i -j- x)".
aSnr aSinominl; gormlen nlmecngjfflbenbe, fan ^nvbc vi
n (11 — i)
(l -j- x)" = I -j- nx -j x= -j-
Snb eg betegne benne Siffffe meb [n], fnn vibe vi t
bet ^Diinbfte, nonr n er et ^eelt Zal, nt
[n] = (i-l-x)"
Sigclebeg ville vi betegne
meb [p], og vi vibe bn ogfnn, ot, nnnr p er ct ^celt ?nl, er
[p]== (i4-x)p
Snnne vi 'prcbuctet [n]. [p] og orbne bet cfter be
fvcmfTvibenbe ^Potcnfcr nf x, ibet vi ffftte
[n].[p] = i-j-Ax4-Bx^-|-Cx'4
ftltfnn
= I-j-ii]x4-n(n —])'^x^ 4"
1 ^* ^
p) 4-p(p^^J
J.* ^
np

I 54
A =: n-j-p
n(n —i) p(p—i)
B = --j ~ ^np
I. 2 I. 2
Se 0vrige Soefficicnter funne vi vel ligelebeg ubvifle, bog
vilbe benne Ubvifling vffrc forbunben meb beftnnbig tiltngenbe
JSefvffvlig^cb. gordebigen inbfee vi imiblertib ollcrebc: i) ot
be olle vore fommenfattc of n og p; 2) at gorbtnbelfcn ellcr
®ommenfffttelfcg;'i)]tflObcn vor ben fomme, ^vob cnbog u og
p vor. aSi be^eve nltfao blot i eet '2;ilffflbe ot unberfege
ben, eg funne bernf flutte ot ben gjfflbcr olminbcligt. SSi
villc berfor unberfege, ^vob A, B, C, D --- blive, ^vi*
n og p ere ^elc og pofitive 'Jot.
So i bette ^ilffflbc
fno ec
[n] = (i4-x)-
[p] = (i4-x)i?
[n].[pj = (i4-x)"+P =
.4-(„4_p).4_(^P)^PJZi),.4.__
Senne Siffffc villc vt i 2(nalogie meb be forrige SSetcgndfet
ffftte ligcftor meb [n-j-p], og bo bet for gormeng ©fijlb
er ligegylbtgt ^vnb n og p bctyber, fon er ftebfe
[ii].[p] = [n4-p]
3tf benne fnnlebeg bevifte gorbtnbelfc er bet nu let al;
minbdigt ot bevife SBinomioUgormen. ©fftte vi n = p,
bo cr
Sigclebeg
og nlminbeligt
[n]^ = [2n]
W = [30]
[n]'. — [bn]

fnn cr
155
g-r nu bn et ^cclt 5nl, fom vi ville betegne meb k,
1.
[n]h = (i-Hx)
3tltfna, bn n = y-, er, veb nt ubbrnge ben bte 9»ob,
Kt-0
(i4-x)i^ = [n] = i4-^x4
I. 2. 3
.x'4---.
SSnr Srponcntcn negntiv, ba gjfflbte Soven ogfaa. 95c;
tcgncbe vi ncmlig Slffffcn, ^vovt vnv inbfnt ben negntivc
©tevvdfe —n, meb [—n], fnn vnr
[-n][n] = [-n4-n] = [o] = (i-j-x)» ^ i
2l'ltfnn
^-"^ = [^ = (7+^ = ^^ + ^)-"
ellcr
, IN n (— n — i)
(i 4- x)-" = I — nx ^ X"
I. 2
gelgcligcn blcv gormlen ben fnmme, vnr cnbog .?&inomictg
(Srponent en Sjref ellcr negntiv. SSi funbe ncmlig nu
inbffftte ntter x =
b
— og multiplicerc meb a"
a
Silt. I. ©dv vilbe vi vffre iftnnb til, ^vig n var
irrational, ot gobtgjere gormlen; vi funbe ncmlig i bette
Silffflbe flebfe finbe to ©Vffnbfer, p og q, fom vare ratio;
nale, imellem ^vilfe n laae, og oltfaa ligdcbcg gobtgjere, at
(i-j-x)" laae imellem (t-j-x)p og (i4-x)i. S^ffvmcbc

156
vi nu biffe ©rffnbfer fan meget vt viHe i}inanben, fnn inb;
fane vi, ot nobvenbigviig (i-j-x)" maatte fynve fnmme gorm,
for ot forblive berimellem. ©dv l)vig u vnr tmoginnir,
gjfflbte gormlen; bog 2(nvenbelfen ^crnf, ligefom .Qjcvifct,
fremfffttcg ferft i ben ^eicre 2(ritl)mcti6.
Zili. 2. 3fnvcnbclfcn nf S5inominl;govmlen cr foare
^i;ppig; meb en riiige gornnbring ville vt let vffTC i ©tnnb
til nt ubvifle vcb ben forfPjelligc 3iffffcr. SSi ville ^ervcb
Iffggc SDIffrfe til, at faafnort iSinemictg ^Poteng er en S5ref
eller negativ, cr Stffffen uenbelig.
ipove vi fnolcbeg givet
c C I c /• b"\~"'
I)--7-r=-X - = -(i4--) z=
a-|-b a b
i-l-T
a V a 7
c
a V a ^ a* a^ ~ J
bcrt famme Slffffc vt ubviflcbe for^en (I. §. 65 ?ilt. 2).
II) ©fulbe vi uffrmere beftemme felgenbe ^rrotional;
©teivrdfc
m
YA
fan ville vt ffftte
A = a-j-x
bet vil figc bele A i to Sele, ^vornf ben ene, a, cr en
fulbfonimcn 'Peteng.
?lu er
A = a-j-x
X
Vt Villc ffftte — = y, bn cr
0+0

lu J m 2. •
YA = A'" = -V^a (I -j- y)'" =
K m 2 m yn y y
157
'"/- /^ 1 ^ 1 '^-^'^ "^' I (i-m)(i—2n0 x' \
= ^\^+^+7m^ -7^+ 6~m^ 13+-^
2invcnbcg bcnuc govmcl f (£r. til (Srtroctionen of Subifro;
ben, fan cr m 3, nitfnn
^A=farx4----44-^-—)
y ' 3a 9 a- ' 81 a^ J
gnn Sceb ville nllercbe give cn f)uvtig 21'ppvorimntion:
3
f St. ville vt ubbrnge V^70, bn ffftte vi a = 64, x = 6,
nitfnn ^aveg
4f,4-i._-^4.-5 ^
\ 32 1024 98304 /
2981 2981
= 4 X 1 = 4
98304 24576
:= 4,1212972
Sen fanbc Sffrbic tli-ccr
4,1212853
atffrmcre ^avbe vi cnbnu funbet (lubifrobcn veb ferft
flt beflemme nogle Slaffec paa ben fffbvnnlige 93inabe, ©aa;,
lebeg finbe vi let vcb ot tilfeie to Slnffcr SJJullcr
y7o = 4,12
SJicften bliver 65472, eller egentligen 0,065472. SSi fotte
nltfao
a = 69,934528
X = 0,065472

158
SnbfTrffufe vi og til be tre ferfte Secb of Svffffcn,
foo r)nve vt
J^cr cr oltfoo, f;vig til .53refcng .^eregning onvenbeg
£ognrit^mcr,
log 0,065472 = 8,816056
Clog 69,9345 = 8,155308
Clog 3 = 9,522879
X
log— = 6,494243
S5refen felv 0,000312064
I,
X
I = 0,999688
3-1
log = 9*999864
X
log— = 6,494243
3a
6,494107
^nllct 0,000311966
+ 1
9)Iultipliceveg meb 4,12
1,000311966
4,001247864
100031197
20006239
V'70 = 4*121285300
Ct Stefultnt, fom cnbog i bet fibfle SccimnI er rigtigt.

159
21 lint. a?incniial:gcvmlen faacv i ailminbcligljcb sRaon af
tlicorcma Ntiitoiilaniini CftCr 3- 92 C 11) t 0 U , bcr OUgioCg
fcm beng Cpfinbcv; bog bar ben allcrcbe tibligerc ootret
^afcal og s:. SSviggg befjcnbt, ®et anfortc a3e:
oiig cr af Cnler. S:ibligere og Icttcre er ben bleocu
fnlbfloenbigcn bcoiifl i differential:Dicgningen.
§. 47. SSi funbe nu ubvifle 'P>otcnfen of ct 'Jvino;
mium, ^vor vi bog villc ontoge ot Grponenten er ct l)cdt
og po|itiot ^nl.
(a-j-b4-e)" := (a 4-(b-j-c))" =
a"4-na"-i (b -j- c) -j-" a"-' (b -j- c)^4
n(n-i)(n-2) —(n-(p-i)) „ . , , , ,
-H ~ a"—P(b4-c)pH
I. 2. 3 -- p ^ 1 ^ 1
^vor bet nlminbdige Sceb er bet (p -j- i)te i Stffffen.
Ubvifle vi frembdeg (b4-c)p, bo f)a'i>e vi
(b4-c)p = bp4-pbP-' c4-P'-P~'-'bp-^c'4- —
, P Cp — i) (p — (s — 1)),
-j i ip — S gS
I. 2 S
Set alminbelige Seeb er i (a4-b-f-c)p
n(n-i)---(n-(p-i))Xp(p-i)—-(p-(s-i))
1. 2 p X I. 2 s
X a" — P bp — s cs
©fftte Vt nu n —p =
felgcr, ot
(J, p —s = r, ^vorof
n = q-j-J'-f-s
fnn ^nve vi fom nlminbeligt Secb
n (n - I) --- (cf 4- i) X p (p — 1) —- (1-4-1) ,
—— • — aib^c'
I. 2 p X I. 2 s
^icn nu vil nlle gactorevne p til r-|-i fovfvinbe, bn
be fiubcg baobc i Sffllcr og S^ffvner, og bn cr Scbbct

i6o
n(n—i) (q-f-i)
_i i hiJ—i aq b' c»
I. 2 -- r X I. 2 -- s
©ffttcg cnbnu til for mere ©i;mmetvieg ©fi;lb i ^iffllet
og 97ffvner gnctorcrne i. 2 q, fan ^nve vi
n(n —i) 3- 2. I
al b' c*
i.2--qXi.2--rXi.2--s
5(ltfnn vil (a 4- b -j- c)" beftnne of fnnmnnge Secb of oven;
ftnncnbc gorm, fom vi funbe give q, r og s forffjcllige
SSffrbter, bog unbcr ben SSetingclfe, nt be cre ^ele og pofi;
tive %al og tilfnmmcn ubgjere n.
Silt, giftmlen vil gjfflbe nlminbeligt for Invert 'Po;
li;nomium; t^i vi funbe f. Sr. tnge nf (a -j- b -j- c -j- d)'=
bet nlminbdige Seeb
k(k-i) --- (k-(n-i)) . „^, , , ,^
— at —n (b -I- c 4- d)"
I. 2 3
So nu bet olminbdige Seeb of (b -j- c -J- d)" er fiin;
ben ovenfor, fno cr bet olminbdige Secb of ^ele Ubviflingen,
f)vig vi tillige ffftte k — n = 1,
k(k-i)(k-2)--(14-i)Xn(n —i)--i ,,
• — — al bi C d>
i.2--nXl-2--qXi.2--rXi.2--s
eOcr, Inbe vi gnctorcrne 1.2 u gnoc ub t 2ffl;
ler og SJ^ffvncr, og berimob' tilfa'tte 1(1 —i) i, [flo
^nve vt
k(k-l)(k-2) 3. 2. I , ^
1 ^ 3 r: al bl c"- d»
i.2--lXi.2--qXi. 2--rXi. 2--*
f)vor ntter
k = 1 -j- q 4- r 4_ s
og fnnlebeg frembdeg vilbe gormlen for bet nlminbdige Secb
f)ave fnmme ©fiffclfe, ^vormnnge Sele enb >Poli;uomict bc(
ftob nf.

i6i
§. 48. gor pnn cn nemmcre 93Ionbe, cub ben, ber
ovenfor er ongivcn (I. §. 124), ot beregne Sogarit^mcrne,
nnvcnbeg ogfoo en Diffffc; Ubvifling. SSi villc ffftte
log([4-x) =z A-j-Bx-f-Cx=4-Dx^-j
jjer fee vi, at for x z=^ o, er log i = o, nltfao A
i^ o, og felgdigcn
log(i + x) = Bx-f-Cx^4-Dx3-j
SSi ^ove nu (I. §. 126)
log(i-j-x)^ •=z 2log(i4-x)
log(l-j-x)- = log (l 4-2x4-X')
ffietcgne vi nitfnn 2x4-x' meb z, foo cr
2 Bx 4- 2 Cx^ 4- 2 Dx' -1 =
Bz4-Cz-4-Dz^-j =
B (2 X -j- x^-) -j- C (2 X -j- x=)^ -I
Orbneg ben fibfle 3vffffe cfter be fligenbe QJotcnfer of
X, fnn ^ove vi
2Bx-j-2C'x'-j-2Dx3 4-2Ex*-j =
2Bx4- Blx^4-4C)x'-j- C\x*-j
4-4CJ -f-sD) 4-I2D(
4-16E)
3Cltfao (§. 44)
2B = 2B
2C = B-J-4C
2D=z=4C4-8D
2E 1= C4-12D4-16E
0. f V.
J?craf ville vi ^ntet funne ublebe for B; men
C •= —iB, D = -\-\B, E = —^B o.f V.
.Snbfffttcg biffe SSffrbier, bliver nitfno
log(i-f-x) = B(x —ix'-j-ix'—ix*-| )
II. II

§. 49. gftevfom B fooer forfFjcUige SSffrbier, cr^olbe
Sognrit^mcrne forffjeltig ©terrdfe, eller ^erc til forffjcllige
©yflcmcr (I. §. 124). 3blonbt olle ©i;ftcmer funne vt imib;
Icvttb vfflge eet, ^vig ©runbtol vi uffrmere ffulle beftemme
og ^vor B = i; bette ©i)ftem folbeg be noturlige
Sogorit^mer, og betegneg meb log. nat. ger .^ort^ebg
©fi;lb ville vi blot betegne bem meb Log.
Silt. I. 23i ^ave nitfno
Lcgii+x) = X—Vx=4-i-x'—ix* -
eg ^crnf, veb ot ffftte x = — x
Logii—^) = — (x4-'x^-4-ix'4-ix* )
5fltfno cr
Log ( ^-—^ J = Log (t 4- x) — Log (i — x) =r
2(x4-ix'4-ix'-j )
Silt. 2. ©fulle biffe Slffffer convetgere, bo moo x
Vffre en egentlig ^tet; jo minbre ben togeg, befto ^urtigete
convergerc Svffffen. ©om ^>reve pon be Stcgningg; 2fffort;
ninger, mnn fan onvcnbe, tjcne L>og 10.
Log 10 := Log 2 -j- Log 5
.3^cn2=(l)'xf 5 = fx4 = |x2^
nltf'nn
4 9
Log 2 = 2 Log j- Log —
3 8
5
Logs = Log j-2Zo^2
4
©fftte vi nitfnn
i-t-x 4 9 5 ^
7-^ — I' = i' = 7' ^'' "

3lltfnn
1 I
7 1"
hog^ = 2f--|-- -A—--H ^
" 3 V7 3-7*^5.7^ J
9 /" I , I , I , ^
Log- = \r7+3T^+5Ti7^+—V
5 /'l . I I "\
"4 V9 ^3-9' ' 5.9^^ y
.fjcrnf felgcr nltfan
Log 2 = 2
= 0,6931471805
Lo^5 =^ 2 Log 2
^ V9^3-9^^5.9'^ 7
= 1,6094379124
io^ 10 = 2,3025850929
163
Slnin. Siffe noturlige Sogarit^mcr, fom og faac sjiaon
af t;ppcrboliffe, finbeg i flere ©amlinger af aa»:
ler, f. er.
©ci)ulje'g ©ammlung Icgar, trig. K. Safcln, iftet
a()dl.
§. 49. gor ot beftemme ©runbtnllet for be nnturlige
Sogarit^mcv, ville vi onvcnbe Slffffen Log (i-j-x), fom
vi ville betegne meb y, oltfoo
y = X —i-x'4-^x^—ix*^
II*

164
gor ^crof ot finbe x, onvcnbe vi ben ?9?ct^obe, bet
folbcg 3vfffferneg 3"«ccfton; vi ffftte nemlig
X = ay 4- by^ 4- cy» 4- dy* 4
og beftemme a, b, c, d efter be ubeftemte Coefficicm
terg 5}iet^obe (§. 44). 3nbf«tte vt SSffrbien of x i tUcth
ten for y, foo ^ove vi y =
ay-i-b )y'-t- c jy'4-
— laM — ab I —
+ia3 ; 4-
* , f
— i-a
d \y*-fac
1 —
ib'l [ —
L^b j
m^aa ex
a = I
b —la^ = o
c — ab -j- i a^ = o
d_ac —ib^ 4-a^b —la* = O
+
4-i
e ' \7'
ad
be 1
ab^'
a-c
a^b 1
e _ ad — be 4- ab^ 4- a= c — a^ b 4- |a« = 0
ijcrnf felgcc
3lltfnn er
a = I
2 2
I I
6 2.3
24 2. 3. 4
I I
120 2.3.4.5

^ = ay+iy=-|-cy'4-dy*4-cy5-|
J 65
1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4.5
©fftte vi nu Zo^(i-j-x) = y = i, fnn er i-j-x
©runbtnllet; bette ville vi tetegne meb c, nitfno
e = 14-X = i4-i-i 1 1
I. 2 I. 2. 3
= 2,718281828459
§. 51. gor divert nnbct ©t;ftem enb be noturlige So;
gnrit^mer cr B fterre ellcr minbre enb i. €r ©runbtnllet a
I 4-x
givet, ville vi let finbe B. ©fftte vt nemlig —— = a,
1 — X
a — I
foo er omvenbt x = --r—. eg, bo vt ^ove
SL —J— I
foo er olminbdige
^°S (^-1) = ^B (x4--^x3 4-f X-—)
^vorof
-!(^)+KS)'+i(^)"--i
Slffffcn er convergerenbc; vi ville ffftte ben, multipliceret
meb 2, liig M, ^vorof oltfoa felgcr i = MB og B = —
©terrdfcn M folbe vi ©i;ftemetg 93iobul, for a = 10
eUcr be olminbdige Sogovit^mer blcv
M = 2 1^4--^"-4-^4- —
In 3.11^^5. Il*~

166
S i t f. SSi funne imiblertib finbe tOJobuIcn Icltcve pan
felgenbe 9)conbe: SSi vibe, at nf ^vilfetfom^dft 'Jnl m er
log ni = B Log m = — Log m
o " INI *
©ffttcg nitfnn m = a, fnn f)nve vi
I = —Log a.
nltfoo
M = Log a
gelgcligcn cr M intet ubcn ben noturlige Sogorit^mc of ©runb;
toilet i bet givne ©i;ftem. ©nolebcg er for be olminbdige
Sogorit^er
M = Log lo ^= 2,30258509
Silt. 2. gor oltfao ot finbe be olminbdige Sogortt^;
mcr of be nnturlige, bivibereg biffe meb M, ellcr og mul;
tiplicercg meb
— =z 0,434294481903
§. 52, Ogfoo be trigonometrifFe gunctioner Inbe fig
ubvifle vcb Stffffcr, fom tjene til, enten ot beftemme bcm,
noor SSinflcn ellcr SSuen cr given, cller omvenbt, noor en
gunction er given, bo ot beftemme ben tilfvnrenbe 25ue ellcr
aSinfd.
5nge vi gormlerne
sin (a -j- b) =:= sin a cos b -j- cos a siu b
cos (a -j- b) = cos a cos b — sin a sin b
(5rig. §. 6)
og ffftte uu bexi fnovd a fom b ligcftor meb x, fno cr
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2 X = cos X* — sin x'
gormler, fcm vi nllercbe f;nvc funbet ovenfor (-^rig, §. 9).

167
©fftte vt frembdeg a = 2x, b =: x, fnn ev
siu 3 X sin 2 X cos x -j- cos 2 x sin x
= 2 siu X cos X- 4" cos X•• sin x — siii x^
^= 3 cos X- sin X — sin X'
cos 3x cos 2 X cos X — sin 2 x sin x
Sigdcbeg
= cos x' — sin X- cos x — 2 sin x- cos x
cos x' — 3 sin x- cos x
sin 4 X = sin 3 x cos x 4" cos 3 x sin x
3cos %^ sin X — sin x^ cos x -j- cos x^ sin x
= 4C0SX' sinx — 4sin x' cos x
COS4X COS3XCOSX — sin 3X sinx
— 3 sin x^ cos X
cosx* — 3sin x^ cos x- — 3cos x' sin x*
COS X* — 6 sin x' cos x^ -j" *iii x*
^00 fnmme 93iaabe funne vi ubvifle
-j- sin X*
sin 5 X = 5 cos X* sin x — 10 cos x^ sin x' -j- ^'i^ ^'
C0S5X cosx*—10 cos x^ sin x^-j-5 cos X sin X*
sin 6 X = 6 cos x^ sin x — 20 cos x^ sin x' -j- 6 cos s
sinx'
cos6x = cosx^ — 15cos X* sinx--f-15cosx-sinx*
— sin x''
Sen olminbdige gormel, ^vorunber olle biffe Ubtri;f funne
fnmmenfnttcg, er felgenbe t
n(n—i)(n—2)
Sinnx = ncosx"—'sinx— cosx"—'sin >:"
I. 2. 3
, n(n—i)(a —2)(n—3)(n —4) „ . • s
•f-^— • — cosx" —•• siux^

168
n (n — i)
cos nx = cos X" cos x"—' sin x*
I. 2
n(n-i)(n-2)(n-3) „ , • ,
4- cos X"—* sin x*
I. 2. 3. 4
u(n-i)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) .
—cosx"—"sinx'
+ K.
I. 2. 3. 4. 5. 6k
SSi funne let veb en fulbftffnbig ^inbuctien bevife biffe
germlerg ©ylbig^eb for et^vert n, nnnr bet blot er et ^celt
og pofitivt Z.aL SSi ^ove nemlig
sin (n -j- 1) X = sin nx cos x -f- cos nx sin x
n (n — 1) (n — 2)
n cos X" sin x cos x" —^ sin x*
I. 2. 3
n(n —i)(n —2)(n —3)(n —4) .
4 cosx"—*sinx'+---
I. 2. 3« 4« 5
n (n — 1)
+ cos X" sin X cos x"— - sin x*
I. 2
n(n —i)(n —2)(n —3)
_i cos X" — * sinx* -}
I. 2. 3. 4
©omle vi be Seeb fommen, fom ^ovc fomme gjrponent, of
sin X og cos x, fno er
sin (n -j- 1) X =
, , N . Ol-}-1)11(11—i)
(n 4- i) cos X" sm x cos x" — - sm x'
I. 2. 3
(n-j-i)n(n-i)(n-2)(n-3) .
H cosx" — * sinx*
I. 2. 3. 4. 5
3(ltfflo neiogtigt bet fomme Ubtri;f fom for^en; blot, ot
n -j- I (looer ollevegne iftebctfor n.
Sigclebeg
cos (n -j-1) X =: cos nx cos x — sin nx sin x

n (n — i)
cos x" + ' — cos X" — ' sin x-
I. 2
n(n —i)(n —2)(n —3)
-j cos X" —' sin X'
I. 2. 3. 4
169
n(n —i)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) cos X" —*MI1 X*
I. 2. 3. 4. 5. 6
+ -
n(n — i)(n — 2)
— •ni ncosx"—' sinx^-j cosx"—^ sinx*
I. 2. 3
P(n— i) (n — 2) (n — 3) (n — 4)
!• 2
vf
(n4-i)n
=: cos X" "T • cos X" —' sin X*
I. 2
(n-j-i)n(H—i)(u —2)
-1 cos X" — 3 sin X*
I. 2. 3. 4
(n4-i)n(n —i)(n —2)(n —3)(u —4) .
— • cos X"—' sin x°
I. 2. 3. 4. 5. 6
+
Otter neie et ccngortct Ubtri;f, fom bet forl)en ubviflcbe
for cos nx.
SSi ville oltfao olminbcligt inbfee, nt ovenftnncube gorm;
ler gjfflbe, n vffre ^vilfctfomf;elft ^eelt pofftivt Zal
§. 53. linvenbe vi biffe gormler til S&cftemmclfcn nf
©inug og Sofinug, nnnr SBucn er given, fnn funne vi f'fftte
z at vffve ot uenbelig liben 23uc; for en foabon fnlbcr ©i;
nug fnmmen meb SBuen, Softnug meb i, eller vi ^nvc
sin X z=z X; cos x = i
Snber og nu ^ove ot beftemme sin z og cos z, fao ffftte
vi z = nx, ^vor bo neibvcnbigvitg n bliver ucnbdigt flor;

170
men bo en uenbelig flor ©tatrdfe veb Cn enbclig ©t«rrelfe
^verfen formereg eller forminbfTeg, foo mono vi nnfee n — 1,
n — 2, n — 3 jc. olle nt vffre ucnbdigt (tore, oltfna ligc;
ftore meb felve n; oltfoo
n^ x' n' x"
sin z = n. X • I. 2. 3 1. 2. 3. 4. 5
Stgdebeg
z' z^
1.2.3 1.2.3.4.5
z* z* z*
cos z I 1 —
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6
93uen z fTol vffre ubtri;ft i Sffngbe, ubmoolt meb Slobiug
fom Sen^cb; er ben ubtri)ft i ©robcr og ^olber Z°, foo, bo
380° rectificccebe etc foe 3tobiug i Collet 5r, ^ove vi
Z°
Z = -ff
180°
So nu 5r'g ©terrdfe cr befjcnbt (I. ©com. §. 150),
foo funne vi inbffftte benne SSffrbie, og er^olbe foolebeg cn
cenvcrgercnbe 9tffffe for ot beftemme sin z og cos z.
%Hl.
finbeg
3tf be funbne Ubtri;f for sinz og cosz fan
cosz sin z
Sog vilbe benne Sivifion meb Secimol; SSrefcr of mange
Secimolcr vffre vnnfFdig og vibtleftig; bebft ubvifle vi ber;
for en 5)tetf)obe for umibbdbnrt nt finbe tg z.
nt onvcnbe Siffffcrne
SSi ^nve veb
tg Z =
^
z
z' z*
4
1.2.3 1.2.3.4.5
„ ;
Z^ Z'
z'
1.2.3.4.5.6.7--
Z«
I— — 4- —
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6

ger ot Ictte benne Ubvifling ffftte vi
b = -^ c = ^
1.2 1.2.3 1.2.3.4
1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6
I
!C.
171
3(ltfflo cr
I — cz* -j- ez* — gz^ -j
tgz I — bz=-j-dz* —fz«4--
Set fommer nu blot nn paa, ot ubvifle Srefen, og vi
ville cnbnu, for ot lette benne Operation, ffftte a^ = y.
So er
I —cy-j-ey'—gy^4-ky*-| __
i-by4-dy^-fy^-|-by*H
l4-By4-Cy^4-Dy»4-Ey*+---
^vor B, C, D, E blive ot beftemme efter be ubeftemte
goefficicntetg tOtet^obe. Sen ferfte Coefficient A ^nvc vi
flror fat liig i, bo vi inbfee, ot, vcb ot gjere y = o,
a>refcn bliver i.
STiUltipliccre vi bo meb 9?ffvncren, fao ^ove vi
J — cy 4- ey' — sy' -|- ^y* =
i-hB)y+ CW^-1- DW3 4- EW*---
— bj —bBJ —bcf —bD/
4- d) +dBJ 4-dcJ
— f) — fBl
4- hi
^crnf felgcc oltfao
B = b — c
C = bB — d 4- e
D = bC —dB-j-f—g
E = bD —dG4-fB —h4-k

172
SSi fee let, ^vortcbcg ben ene Soefftctent felgcc nf ben
onben, og funne beregne bem, vcb ot inbffftte SJffrbierne af
b, c, d . ©oolebeg ec
I I
B = 1.2 1.2.3
D =
1.2 I. 2. 3.4 I. 2. 3. 4.5
C B I
1.2 I. 2. 3.4 1.2. 3.4. 5- 6
0. f. V.
I
1.2. 3.4.5> 6.7
I 2 17 63
dHex B = —, C = —, D = -^, E =
3 15 315 2835
0. f.». Snbffftteg biffe SSffrbier og tillige y = z^, fan ec
,1 ,2 ,17 ,62
ts z — z4—z' 4— z* 4 ^^ 4 z* 4
° 3 15 315 2835
Sigdcbeg beregne vi Sotongenten veb ot ffftte
cosz I—bz'-4-dz*4
eotz = = -4 r
sm z z — cz* 4- ez* -J
= i. .^'i-^>y-hdy^-fy^4
z I —cy-j-ey^—gy^
©fftte vi nu otter bette a3ref;Ubtri;f ligeftort meb
i4-By4-Cy^4-Dy^4
jflfl cr ^er
B = c —b
C = cB — e -f- d
D = cC — eB-j-g — f
E = cD —eC-j-gB-k-j-h
0. f V.

Sctnf
eacr
C =
I
1.2. 3
B
1.2. 3
B = --, C =
3
3fltfnn er
I
cot z =r= —
I
1. 2
I 1 '
1.2.3.4.5 ' 1.2.3.4
0. f V.
-—, D = - — , E=5=-
45 945
z z' 2z' z'
173
I
4725
z 3 45 945 4725
Sftebet for z ffftte vi beqvemt i biffe gormler for 5on;
gentcn og Cotongenten ligefom ovenfor
2 = -VT
i8o°
Silt. 2. SJilbe vi onvcnbe biffe gormler til Sereg;
ning of noturlige ©inug; og ?ongeng;'5obeller,
fan bc^evebe vi ene ot regne ©inug og Cofinug til 30°.
goreftille vi og ncmlig ©inug fom en Sinie (^rig. §. 3),
foo, bo C^orben for 60° er ligcftor meb 3lobiug, er sin 30°
= i', fatte vi oltfoo a = 30", b = z i gormlerne
ffl og VI (5rig. §. 7), foo ec
cos z z^ sin (30° -j- z) -j- sin (30' — z)
sin z = cos (30° — z) — cos (30° -j- ^)
ijeraf
sin (30° -j- z) = cos z — sin (30° — z)
cos (30° 4" z) cos (30" — z) — sin z
3tltfaa funne vi veb en ©ubtroction er^olbe ©inug og £0;
finug of olle SSinfler inbtil 60°; be evcigeg ©inuffer finbeg
imellem be ollercbe beregnebe Cofinuffer, og omvenbt.

174
SigelcbeS er bet tilftrffffdigt ene ot beregne 'Songcntct
og Sotottgentec til 30°. SSi ^ove ncmlig (§. 9 XVlii)
° 1 — tg a^
3(ltfoo ogfoo
1 — tg a*
cot 2 a = =: •?, cot a — -I- tg a
2 tg a
©fftte vi a = 30° — z, foo er
cot 2 a — cot (60° — 2 z) = tg (30° 4" 2 z)
= i cot (30° — z) — i tg (30° — z)
^vorof ba alle 2ongcnter fro 30° til 90° lobe fig beregne.
Si f)ellec be^eve vt for ©econtcr og Cofeconter ot ubs
vifle fffregne gormler, t^ biffe funne ogfno finbeg vcb cn
©ubtroction. 5oge vi ncmlig
cos 2 a := 2 cos a' — i
eg bivibcre meb
sin 2 a : 2 sin a cos a
foo er
ellcr
cos a I
cot 2 a = -T—
sin a sin 2 a
= cot a — cosec 2 a
ffftte vi 2 a = z, foo
cosec z = cot^^z — cot z
©ffttcg nu otter Ijcri z = 90° — z, fno cr
sec z =: cot (45° •*- V z) — tg z
S111. 3. gor ^cnffgtgmffgjigen efter ovenftooenbc gorm;
ler ot fere .Qjecegningen for et ftort 2fntol trigonometdfTe gunc;
tioner, fom ?;ilffflbct vor, ^vig vi ville beregne ^nbellcr, var
bet lettefl eengong for olle ot ubrcgne Cocfficienterne, og mul;

175
tiplicere bii^c meb be tilfyrtvenbc Sjfponcntec af —-; cnf^tscr
of biffe fnnlcbcj ubrcgncbe ©terrelfcr bc^evcbc vi ba blot nt
multiplicere mci ben bev;il ^ercutc 'poteng nf Z°.
§. 53. SSove nltriinbcligc tvigonomctvifTe 'Jnbcller cre
ortificiclU D; Sognritl;mcrne af gunctionerne, men iffe
felve gunctionerne, cre nuijionc (tvig. $. 4). 3fltfnn ffulle
vi, eftcrnt be vnre funbne, fege Sognvit^mcrne. Sog feller
fovbnnbc vi biffe Operntioner i een, og flvffbtc ftvnr i en
Siffffe nt frcmftille log sin z, log eos z jc.
SSi ^ve
+ 1.2.3 1.2.3.4.5
Scttc Ubtn;f mnn oplefeg i gnctorer, for berpnn at onvcnbe
Sogovit^mer. SSi ^ave feet (§. 24), ot 3Gqvationcrncg
Optegning funne onfeeg fom en 9}iflabe ot finb< ct 'Probuctg
goctorer. ©fftte vi oltfao
1.2. 3 I. 2. 3.4. 5
fan inbfee vi, at z flrar er cn gnctor, eQcr ot z = o cr
en Slob of Seqvotionen. SSi ^ave oltfao cnbnu
at oplefe.
1.2.3 1.2.3.4.5
.^evi ffftte vi z- = —, foo er
X
I . I
1.2. 3.x 1.2. 3.4.5. x^
Sctte Ubtrpf leber ub i bet Uenbdige. Sen ^eicfte "Poteng
cr x", multiplicere vi ^ermeb, bliver Seqvgtionen

176
^M — 1
x» — = o
1.2.3
So ben cc of cn uenbelig ^ei ©rob, bliver beng 9lebbcc
ucnbdigt monge. SSi funne imiblertib let efterfpore biffe:
gor z =: o fonbt vi ferft Ubtvyffet ot blive o, b. e. ©i;
nug of en SBue ftoc 0° er o, ligelebeg vibe vi, nt ©inug
flf 180°, 360°, 540° er o; inbffftte vi oltfoa i gormlen
z = 5r, = 257, = 3a- o.f v., b. e. 180", 360°,
540° e. ftV. rectificcrebe, er^olbe vi ligelebeg o, oltfoo eve
3?ebberne
I I I I
z* TT^' 4?r^' 9'^^
eg oltfno moo 5@qvotionen Inbe ffg fvemftille vcb
Sivibere vi ^er otter meb x", ellcr f)vcr goctor meb x,
foo ^ove vi
V^~X!rV\.^
eller er
4^^V V 9^^'J
Sigclebeg funne vi oplefe
1 , I
cos z = I z^ -j z*
1.2 1.2.3.4
I. 2. X 1. 2. 3.4.x-
smz
©fftte vi nemlig bette Ubtri;f ligeftort meb o, og multipli;
(cre meb x", bo ^ove vi ^qvotionen

x» f — o
1.2
177
Sa cosz = o, nanr z = ITT, = i^, = I ir
o.f v., faa eve Siebbcvnc for benne S^qvation:
X = --, = -'^-, = - — !C.
oltfaa finbeg vcb famme gornnbringer, fom forljcn
•Sage vi altfaa ^craf Sogarit^merne, faa cr
Log sin z = Log z 4" Log f I ;• j
+ Log(.-^^+Log(^,-^^+..
Log cos z = Log ^i - ^ j 4- io^- ^i _ ^ j
©fftte vi ^cr z = —-rtr = -—;—jff,
180° 2 X 90°
ba er
Z° /^ Z^ "N
Lo,.siaz = io^—,r4-io^(^i-^
+
Zo^cosZ = Log(\~—'^+Log(\~^-,'^
-f- Zo^ ( I ''—- ) 4- Lo^ ( I )
V 25.90 V V. 49.90 V
II. 12

178
5;oge vi nf Stiffen for Zo^sinz be to ferfte Secb, ba
cre biffe
Log Z -j- Log TT — Log i8o 4- Log (i8o° -j- Z)
4- Log (i8o° — Z) — 2 Log i8o
= Zo^ Z 4- Zo^ (i8o -f- Z) -j- Log (i8o — Z)
4- Zo^- ;r — 3 Log i8o.
Sigclebeg for Log cos z er bet ferfle Seeb
Log Q - ^ ^ = Log (90 4- Z) 4- Log (90' - Z)
— 2 Zo^ 90.
Se 0Vrige Sceb ubvifleg i 9t«ffcr, og bn fffttcg for ^ort;
Z
^ebg ©fi;lb — = V. Stffffe; Ubviflingen fnn bebft fore;
tngcg efter gormlen Log (1 — x) (§. 49. 5ill. i), ibet vi
ffftte efter^nonbcrt of Slffffen for ©inug
ia f)ave vi
V2 V^ V'
Log (.--^ = - r:^4-^4-l!-4._.^
^V i8o^-y ^4^^2.4*^3.4^^ J
"••"' C-lsj)=- Ci^"^^^"^^!^-'-
0. f V.
= _ y^C~-h- + ~ + '-A
V4'^6^^8^^ J
V4*^6*^8*^ J

0. \. V.
Sigdcbeg for Cofinug blive 3lffffevne
179
'^s{'-^) = -(ii+J7+^+"")
^°^(—«^i?) = -(7^+^'+^?+")
= -v

180
— V'» 0,0000001943
— V " 0,0000000100
— V'* 0,0000000005
Log cos Z" = Log (90 4- Z) 4- Log (90 — Z)
-j- 1,0003806593 — ID
—Y^ 0,2337005501
— V* 0,0073390158
—v« 0,0004823589
—v' 0,0000387948
— v'"^ 0,0000034083
— v'^ 0,0000003143
— v'* 0,0000000299
— V'8 0,0000000029
— V" 0,0000000003
gor Sogorit^mcrne of 'Songenterne, Cotnngenterne, ©c;
contevne og Cofeconterne bc^.eveg ingen fffregne Stffffcr, ba
biffe finbeg let vcb ben blotte ©ubtroction nf be givne, ifelge
be ovenfor fremfatte gormler (5rig. §. 2).
Sill. Stffffcrne ville give be noturlige cller ^i;perbo«
liffe Sogorit^mer of ©inug og Cofinug; for ot finbe briggijTe
Sogorit^mcr mootte vi multiplicere meb 0,4342944819
eller og onvenbeg felgenbe Siffffe
log sin Z° z=: log Z 4- log (i8o° 4- Z)
4-log(i8o° —Z)
-f-3/7313323574
—V 0,0700228266
— V* 0,0011172664
— V* 0,0000392291
—v' 0,0000017293
— V 0,0000000844

— V " 0,0000000043
181
— V' * 0,0000000002
ligelebeg
log cos Z° = log (90° 4-Z) 4-log (90 —Z)
4-6,0915149811
— v^ 0,1014948593
— Y* 0,0031872941
— v^ 0,0002094858
— v^ 0,0000168483
— v'" 0,0000014802
— V " 0,0000001365
— V' * 0,0000000130
— v'® 0,0000000013
— V* * 0,0000000001
Sn for ©inug og Coffnug i 'Sobeacrne flebfe ^enffftteg be
beeabiffc Complementer (^rig. §. 4), fno ere biffe Slffffer
ollercbe foregcbe meb 10, fao ot be umibbelbart give be to;
bulnciffe Sognrit^mei;.
2(nm. en ubforlig Itatet fra 10" til 10" of be natndige
Sogantbmc s ©inuffer K. finbeg i
Benj. IJrsmi Trigonometria Colonise 1624.
.^craf l)aoeg ct 3tftrt)E, men fun for \)vett aJlinut eg
meb 7 ®ccimaler, i
©cbuljc'g ©ammlung logaritl;mifc^er:tvigonomctrij
fcbcr Xafeln.
5 enfelte 2;ilfo8lbe ere biffe ttabettec vigtige; men
til faboanligt S8rng anbefalc be bviggiffe fig.
§. 55. Sigefom vi af cn given S&ue f)ave funbet be
ttigonomctdffe gunctioner, funne vi omvenbt of biffe finbe
S5uen. SSi onvenbte ^ertil Siffffe ;5fnvcrfionen (§. 50); fno;
(cbcg Vffre given f. Sr.

182
I 3 17
tgz =r z-j z'4 z^H z'4 '-
^ '3 15 315
©fftte vi tg z = t, fno ville vi ffftte
z :=: at4-bt^4-ct'4-dt*4-et5-j-.fts4 :
bo er t =
al-j-bt^4- c )t'4- d)t*4- e jt^-f f
3(ltfno
a = I
b = o
-j- ac I 4" ^^
+ T\aO 4-|a*b
c-j--|^a ^ o
d-j-a^b = o
e-J-ab'-j-ac-j-Aa* = O
f4_4.b5 4-ad4-fa*b 3= o
0. f. V.
.^erof ville vi ublebe b = o, d = o, f = o, b. e.
(tile lige QJotenferg Coefpdentcr blive o, oltfno bortfnlbe biffe;
berimob ^nve vi
a = T . c = -4., e = i, g = —fo.fv.
(lltfoo
z = t-it'4-ii* —-ft'4
Ziil. 3nbf«tte vi i ben gormd z = 45°, fan cr
t = tg45° = I, z = 45^ rectificerebe AJT, oltfno
iy := i-i4-i —f-l-iH
Senne Siffffe vilbe imiblertib fnore longfomt convergerc, og
fun meb megen gKa^ic give n- nogcnlunbc rigtig.
Sflge vi cn JSue, m, nf ben ,?5ciTnffen^eb, nt tgin
= T, fna ec

2tgm 5
tg2m — tg . . in= . ^^
I
2 tg m I20
^^ I—tg2m- 119
183
SSi cre faalebeg fomne til en SSue iffun libct fterre enb
45°, bn 5angentcn fung er libet fterre enb i; vi ville be;
tcgne ben meb A, og ffftte frembdeg A —45° = B;
faa cr
tgB = ^^-=^ = -^ (5cig. §.8.xm).
» tgA4-i 239
©fftte vi nu
45° = A —B =: 4m —B,
fan, raor vi beftemme A og B, rectificcrebe, veb ipjfflp of
Slffffcn, vil gorfTjeaen imeUem biffe to Staffer ubtri;ffe 45°
rectificcrebe; oltfna, bo sr = 180° = 4X45° cectifi;
ccrebe, er
I T . I I .
s- = 16 5 3.5' 5.5' 7.5'
(I I . I
1239 3.239 5.239'
jjernf Inber nitfnn 3- fig meb cn ^ei @rob of S^eiagtig^cb
finbe, eg Inngt lettere enb ovenfor (I. ©com. §. 149 og
150) er viifl.
§. 56. Se (§. 53) fremfntte Siffffcr ville, jo minbre
23uen cv, meb befto fffvre Secb give ben trigonometriffe gunc;
tion neic. SSi vifle nntnge, ot z ^olbcr foo fan ©vnbcr, ot
vi meb ben Sleingtig^eb, vi enffe bet, funne ffftte
sinz 3=z z—iz' = z (i—-J-z')
tgz = z-j-iz^ = z(i4-iz'>

184
f)vor vi nltfan bortfofte z' og nlle ^«icre ^otenfci: of z.
'5nge vi tillige
cos Z = I -TZ*
eg oltfao ^crof ogfoo bortfofte z* og be ^eicre ^otcnfer af
z, fan funne vi ffftte
3fltfofl
(i-Az=)-^= i-Az^4
(i4-iz=)-*= i4-iz'^-j
tg z ^:zz z . cos z ^
Siffe gormler egne fig nu meget til Sogorit^me; Stegning;
t^i vi ^ove ^erof
log sin z log z -j- T l^og cos z
log tg z := log z — ^ log cos z
3(nvenbe vi bcm oltfon poo be ferfte ©robcr, foo fin;
beg of 5ovlcrne let Cofinug ubcn ol Sntcrpolotion; z ber;
imob jTol vffre ubtri;ft i Sele of Slnbiug; cr ben oltfoo gi;
ven i ©ecunbcr, bivibereg meb 2o6264"8^ t^i fonmnnge
©ccunbcr ^olber cn SBue ligcftor meb Slnbiug, of ^vilfct
%a\ Sogorit^men cr 5,314425.
©oolebeg finbe vi f. (Er. ©inug og 5ongeng of z
= 2°i9'ii",7 = 835i"7 poo felgenbe 53ionbc:
cos z = 9,999644 =: 0,000000 — 356
cos z^ = 0,000000 — 119
cos z ^ = 0,000000 -j- 237
9)Ien
logz = 3,921775
— 5'3i4425 „,
^- 8/607350

3(ltfao
log sinz =: 8,607231
log tgz z= 8,607587
185
^vilfc cnbog i bet fibftc Secimol cre olbdcg neiogtigc.
©onlcbeg ville vi let for be ferfle ©rnber cvl^olbc Sogn;
rit^mciSinuffevne og ^nngcntevnc, fom vi ellcvg, ubcn cn
ufiffer og vibtleftig 3nterpolntion, og ubcn nt ubftvffffe Za;
bcllcv i S5cgi;nbclfen mccv enb fibcn, ei funne cvljolbc.
Silt. I. Omvenbt, f)vig vi ffulbe enten nf ©inuS
ellcr 5nngcng finbe SBuen, ville vi ffftte
sin z I
sin z . cos z
cos z'
'0 '• . f
z =: = sin z . cos z
cos z •*
f)Vor bn z for at finbe cos z blot bc^ever ot fjcnbcg om;
trentligen, ibet vi ubcn ol 3i"terpolation toge of Sobdlcrne
ben uffrmefte SSffrbie.
Sill. 2. gor ot preve Steingtig^cbcn of biffe govm;
Icr, ville vi ubflrffffe S5eregningen cfter bem inbtil 5". SSi
^ave bo for
©inug •^ongcng
2
3
4
5
8,241855
8,542819
8,718800
8,843584
8,940296
8,241921
8,543084
8,719396
8,844644
8,941951
(Jnbnu vcb 5 ©rnber ofoigcr iffe 'Songenten i 6te Secimol
nogcn fulb C'cn^eb.

186
St Jim. gor at lette benne Slegning, fiat jeg t be ieo9«=
rit5me:2.a»ler, fom af mig bliue ubgione, tilfeiet for:
crcn veb Xalrgogarit^merne to Zal, S og T, fom iffe exe
onbet enb ben Correction, SaUSogaritbnien faacr, for at
ubtrnffe Sogaritbmen til ©inng og Xangcnten af et bcftcmt
Slntal ©ccunbcr; ben conftonte ®i»ifor 2o6264"8, l)vi^
Sogaritbme cr 5,314425, cr berimob ubelabt, ia benne
let flebfe fan tilfeieg.
§. 57. ©oolebeg ^nvc vi feet, ^votlebeg be lognrit^;
mifTc og trigonometrifTe ©tarrdfer (gunctioner) labe ffg ub;
trpffc veb Staffer, fom blive convergerenbe, og ^vorlebcg vi
vore iftonb til veb bem ot ferfffrbige vore Sognrit^mc;'2a;
fcctler fnnvcl for 'Jnllene fom for be trigonometriffe ©terrcl;
fer. 3?ffften poo fomme 5)conbe Inbe olle ©terrelfcr i ben
rene og onvenbte. S3iat^emotif fig ubvifle, og biffe Stffffcr
blive bo ©runbloget for 'Jobellcrne, fom efter bem conftrue;
vcg. Set vilbe imiblertib blive oltfor vibtleftigt, om vi fTulbe
fcercgne olle Seeb, ^vorof en foabon 'Jabet, for ot ben funbe
nicb Set^eb brugcg, mane beftnne. St 2(ntol, i gor^olb til
felve 'Sovlett, i Tflminbdig^cb meget ringe, bercgneg ofteft
ene ligefrcm, eg Steften, ber ligge imellem biffe, ubicbcg nt;
ter nf f)ine. Sigclebeg f}ave vi unbertiben en 5nbel given,
eller vel cnbog fung nogle Secb, ^vorof cn ^obcl fTal fot;
fffrbigeg, til en vig og fterre Ubffrfffning cub ben, ber
fro 93egi;nbdfen ^ovbeg; bo villc vi, of be og givne Sceb,
ubcn ot venbe tilbngc til ben ?))ict^obe, ^vorveb be oprinbe;
ligen ere funbne (noget, ber ofte enbogfoo iffe er eg muligt),
ublebe olle Sebbene til ^obcllcn.
Sen Stegniug, ^vorveb bette ffecr, falbcg 3"terpo;
lotion, og fferc gormler lobe fig ubvifle, ^vorcftcr benne
i be forffjcllige '^ilffflbc ^enfigtgmffgfigfl lober jig forctnge.

187
gor flt ubtjifle cn olminbclig 3nterpolationg; gormel,
villc vi nntnge, nt vi Ijnvbc
y = A-j-Bx4-Cx--|-Dx'-j
og bette y nf ben S&cffnffen^eb, ot for ct pnffcnbc x vilbe,
i bet t)3iinbfte inben cn vig ©rffnbfe, bet vffre tilftrffffdigt,
nt tnge nogle fnn Sceb (fov bet gevfte vilbe vi ene tnge be
4 fvcmfnttc) for ot finbe y.
SSi vifle nu ontnge at ^ove funbet oflerebe for fferc be;
flcmte SSffrbier of x, ncmlig x, x„ x,„ be tilfvorenbe
SSffrbier of j/ nemlig
y, = A 4- Bx, 4- Cx,= 4- Dx,^
y„ ^ A4-Bx„4-Cx„=4-Dx„'
y,„ = A-j-Bx,„-l-Cx,„»-j-Dx„,^
y.v = A4-Bx.,4-Cx,,= 4-Dx„'
0. f V.
SSi inbfee nu, at vore A, B, C, D cnbog iffe givne,
eflcr fjenbte vi albcleg iffe Stffffcng S^otur, vilbe vi bog funne
nf be befjcnbte y, y„ finbe bem, bo be cre og givne
veb Sgqvotioncr of ferfte ©rob.
gor beqvemt ot finbe ben, toge vi:
y„-y, = B(x„-x,)4.C(x„^-x,=) + D(x„3-x,3)
^Bovaf lober ffg bonne
y'dy' ^ B4-C^^^^--::4-D"^^^::1-"-:!
= B4-(x„4-x,)C-j-(x„»4-x„x,4-x,=)D
Senne ©terrelf'e ville vi betegne meb B, og ligelebeg ffftte
2S„ = B 4- (K,„ 4- x„) C 4- (x,„» -j- x,„ x„ 4- x„=)
»,„ = B4-(x„H-x„)C-|-(x,/4-x'x,„if x,„=)
jjcvaf ublebe vi otter
h,,—:^, = (x,„—x,)C4-(x,„='4-(x„, —x,)x„ —-„=)D

188
eg veb ot bivibcre meb x„, — x,
= c4-(x,„4-^--f x,)D
X/// ~~- X^
I)vilfen ©terrdfe vi ville betegne meb C, og ligclcbeS

189
og inbffftte vi ntter D = JD, bo fiove vi ben olminbdige
3nterpolationg; gormd
y = y, 4 (X - X,) [1^, + (X - x„) (C, + (x - x,,,) jD,)]
.fjovbe vi taget fferc Clcmentcr cub y, 23, C, JD, for at
beftemme y, vor gormlen blcven olbcleg ligcovtet meb ben
fremfntte.
Set bliver ftebfe ^cnfigtgtuffgfigft nt tnge x—x,; x —x„
fno fmane fom muligt; berfor vfflge vi imeflem be eg
givne ©terrelfcr i 3(lminbclig^eb fnnlebeg, nt x, fnlbcg ben,
bcr ligger x nffvmcfl, x„ ben berpnn nffrmeffe, o.f v.
X og ligdcbcg x, x„ fnlbcg 5(rgumcntec
fee y y, y,/
2( n m. ©om eiempcl oiHe vi tage folgenbc
Log 1931 = 7,5657932824
Zo^ 1938 = 7,5694117925
Log 1940 = 7,5704432521
Zo^-^ 1946 = 7/5735312627
eg beraf intcrpolere 1937; oi oitle ba f«tte
x,==i938; x„ = i94o; x„, = 1931; x,y = i945
Sa er
», = 5157298,0 C, = —1333'6
X)„ = 5166633,0 5D, = 4-0,46

190
§. 58» Snterpolfitionert IctteS 6eti;beligt, ^vig vi ^ave
flere Sceb givne, ber fvnrebe til 3trgumentcr, fom ffrebe frem
i nrit^metiff ^progrcgpon; Siffcrentfen i benne villc vi nntage
fom Sen^eb, eg bo ffftte for bet Seeb, vi ffulle fege,.
X = X, -j- m
f)Vor X bo gjfflbcr for bet nffrmeft foregooenbe Sceb, og m
er en egentlig ?£>xef. ©om y„ tnge vi bet Seeb, bcr felgcr
pnn y,; fom y,„ bet, ber gooer foron for y,; og fom y,^
bet, bcr felgcr pao y„. 31'rgumenterne, fom oltfoo gaac
frem i orit^metifT proportion, meb bcreg Secb, ftooe foolebeg
x„,
X,
x„
X,y
J"^
Dy„
Y' D.y,
Dy/ D,
7" D.y/,
Dy///
y.v
Dy, Dy„ ere be ferfte Siffcrentfer, fao ot
^j' = J" — y' ^y" = 7' — Y"' 0- f-«.
ligelebeg er D^y, D^y,, 2{nben; Sifferentfcrne ellcr
D^y, = Dy, — Dy„ D,y„ = Dy,„ — Dy„ 0. f V.
frembdeg Srebie;Sifferentfcrne D3y, D^j,, foo ot
D3y, = D,y„—D,y, o.f v.
2ff biffe Siffcrentfer lobe nu let Slementerne 35, B,,—-
C, C, ©, 0. f V. ffg bonne poo felgenbe S3?aob«
x„ — X, =4-1 X,/, — X, = — 1
I/// —X„ = — 2
X,v — X,„ =4-3
aitfoft
•X, = — 1
• x„ = 4-1
X,y X/ =4-2

191
y,„-y„ -(Dy„ + Dy,)
»„ = —r- = :; = KDy//-{-Dy,)
»,„ = '-^;- = J_LZX2_ = . (Dy„+Dy,+Dy„,)
Jjcraf attcr
X,„ — X, — I - '^'
gor ot banne (t„ tage vi
„ „ _Dy„,4-Dy//-fDy/ Dy„4-Dy,
3 2
i(2Dy„,-Dy„-Dy,) = KD,y//4-D,y,) + iD,y„
= iD,y„+iD,y,
oltfoo, bo x,y — x„ = -{-I, cr
€„ = iD,y„-j-|-D,y,
2tltfaa
__ ^z:^ __ ^(D^y/, —D.y,)
' X,^, —X, 2
= iD3y,
So nu X ^ X,-j-m, foo et
X — X, = : m
X — x„ =: m — I
X — x„, = m -j-1
3tltfao
y = y/ + m[Dy,4.(m-i)[iD,y, + (m + i)iD3y,]]
So vi poo fomme S3ioabe funne ublebe be felgenbe
eiemcntec, vifle vi inbfee ot ben olminbdige Snterpolotiong*
gormel for Jtrgumcnter i lige Jlfffnnb er

192
y = y
4-111 JO„+^T:1[D,,+=±;(.,„+==2(O..-))]|
Slntit. ©om Crempel ville vi tage Sogaritt)mc:2;angen:
tetne af 13°, 14-, 15°, 16°, 17°, 18°; beraf inteipo:
Icre 15° 24'
+
13= 9/363364 —
33407 4-
14 9,396771 2125 —
31281 288 4-
15 9,428052 1837 52
29444 236 ]£
16 9/457496 1601 41
27843 195
17 9/485339 1406
•26437
18 9/5II776
m = -=i = f, altfaa
m = -j- 0,4
m — I :^=. — 0,6
m-j- I = 4- 1,4
in — 2 = — 1,6
m-j-2 ^=z 4" 2,4
Se unberflrcgcbe Siffcrentfer ere be, fom onvenbeg. Sicg;
ningcn fereg nu faalebeg
m-j- 2
D,y, rcttcs mob D^y,
5
m — 2
®ctte tageg Oangc og anbringeg til D3y,, Ijcraf
4
m-j-i ^ m — I
tageg otter , l;«ormcb D^y, retteg, beraf ,
3 2
I)»ormeb Dy, retteg, og cnbeligt anbringeg bette muls
tipliccret meb m til y,; faalebeg fjAWi, l)»ig open;
flaaenbe S^al onvenbeg,

193
log tg 15" 24' = 9/400036.
gelgcnbc !Bem«vfning vil lette £)pm«r(fomf;cbeH pa«
Segnct af Siffeventfevne: So m —i, m —2 K. ffebfe
ere ncgntirc, faa inEi|\'eg: at, [)»ig be lige Siffcrentfer,
anben, fjcrbe :c., Ijauc famme Segn fom be uligc, forjlc,
treble, fcmte ic, ba Hive biifc bcrueb forminbffcbe, bete
imob be lige Siffercntfer fovmerebe veb be nligc, faae
fremt Segnct er bet fammc (benne gormevelfe diet govt
jninbffdfe tageg alffolnt, l)vai enten ©terrelfernc ere
pofitioc cller ncgatioe, faa at vt talbe gormevelfe, at
be feniine til at tcftiiae of et flerve aintal eutcn pol'irii'C
eHer negatioe eenl)ebev), omocnbt berimob, l;oig Xegnet
cr mobfat. SKcn, ba enl;»er np Sifferentg = 9;(¥:'fe faaer
fammc Segn fcm ben fovegaacnbe, forubfat at benne ct
obfolut tiltagcnbe, faa inbfeeg, at i ben ferfle, trebie,
femte ... SiffcvcntgiSJIaEEe ben Sifferentg, ber bruges,
flebfe veb gorrectionen of anben, fjcrbe, fjctte... Siffci
rentg-. 9ia!!fc, bringeg ben ooenflaacnbe Sifferentg wxi^
mere; berimob i anben, fjcrbe, ffctte ... Siffcrcntgc
3ioeEtc bringeg ben brugte Sifferentg oeb gcrrectiencn ben
eftevfelgcnbe notvmcvc; faalebeg i bet fremfatte gtempcl
blioer 52 fcrminbffct, 236 foimerct 0, f B.
§. 59. Cnbnu fnoer 3ntcrpolationg;gormlcn cn nnben
©fiffclfe; nnnr vi ffufle intcrpolere mibt imellem to Sceb
of en Stffffe, bo cr m = i, felgdigcn
altfao
y = y'
m = i m-f- I = T
m — I = — i m — 3 = — J
+^(Dy/-i (D.y/4-^ (D3y, - i (D, V,-f • (D.y, --))))
~ Y ' + ^Dy, -i.i(D,y, 4-iDjy,)
+ ^.i:.l.i(D,y,4--J:D,y,)
Cflcr, bo y,-j-^Dy, = 4(y,4-y„), fao funne vi
inbffftte benne ©terrdfe, fom vi vifle fnlbe-i-A, iffebctfot
y,4-4-Dy,; ligelebeg betegne vi ^^Y'-^-i^yY' ==
T(D2y/4-D2y„) meb ^B, o.f v., eflcr vi ffftte
II. 13

194
Y' + Y" = A
D,y,-hD,y„ = B
D,y,-KD,y„ = C
0. f V.
oltfoo er
„ 1 A 1 I t TJ I 1 I 1 s 1 p
y ^r t\ T . T • ^J J-* T^ T . T . T • T . TT ^
J- . i . V . ' . -- . ' D -I
^ |A-i[B-A(C-A(D-A(E—)))]j
SMtiin. ®cm Crcmpel vtere given felgenbe:
Sfelge en ©ebeligljcbgr^abel of Suvillarb, ffet;
tet paa ascregningcn of Sebcligljeben t gronfrig for
loooooo 9ci)f«bte, bar jeg beffemt Sivctg aJlibbcU
sgarigbcb eflcr 2Ribbcltallct of be 3lntal Slar, en spcr-fon
of en beffemt 2llber ^ar at Icve, for felgenbe Sllbrc;
ailber
4
12
43/26 —
3,83
39,43 -1,34
20
5,17 4-1/89
34/26 +0,55 —2,30
4,62 —0,41 -j-2,5i
28 29,64 -{-0,14 4-0/2I —2,41
36
4,48 —0,20
25,16 —0,06
4-0'io
0,31 0,25
4/54 4-0/" —0,15
44 20,63 -1-0,05 -l-o,i6 —0,03
52
4/49
16,13 0,32
0,27 +0,18
—0,02 4-0/19
60
4,17
11,96
4-0'25 4-0/01
0,57 —0,01
68
76
3,60 4-0/24
8,36 4-0/8I
2/79
5/57
Sntcrpolcre vi l)cr, for be mellemliggcnbc 2lar 32, 40,
48, ctftolbe vi, l;oor uregclmagfige enb Sifferentfcrne
fiDneg at vojre, SSccrbicrnc 27,41; 22,90; 18,35; f'"'

itte afoigc fva be oirfdigen umibbelbart beregnebe. ^1'i
Ijave faalebeg f»lgenbe label;
28
32
29,64
2,23
27,41 —2
36 5,16 I
40 2,Q0
2,26
— 2
1 2,2,S
44 j 20, A 2 -j- r
48 ' if^'35 4-5
I 2,22
52 I 16,13
f)vct Sifferentfcrne allcrcbe eve mevc vegelmagfige. Se
betpbdige ©pring, bcr oarc i Siffeventfevne i fevfte
5S0!!fc, l)ibr«rc bcctg fva ©jenflanbcng 58effnffenl)eb, bcelg
fra ben Ufitlerbeb, bcv ilcbfe finbeg i fibfle Sccimal.
3 gvemplct ere Siffcrentferncg Segn tilf»icbe; »i funne
eDerg let paa f«lgenbc 5D?aabc l)a»e taget .^cnfpn til bcm.
SScnotone oi be 4 paa l;inanben felgenbe Secb i giaiffcn
meb ]\], N, P, Q, faa er ifle Siffcrcntg=3iO!Ete J\ —j\l;
P-K; Q-P;2bcn Siffcrentg=Oi«tte P-2N-}-]\1;
Q —2P + JN; ©ummen af SMubeu^Siffercntferne Q-|-M
— (N+P). & ©ummen af be metfemfce Sceb, ]N eg P,
imellem 0»ilfe interpolereg, altfaa minbre enb af be vbet:
ffe (nogct ber oeb et let Docrflng fnavt fccg), ba blioe
N, P, cftcrfom Sifferentfcrne ere pDlitioc, forminbffcbe,
ellerg formcrebe; ligelebeg ainbcn-.Sifferentfcrne, forme:
bclff gjcrbc: Sifferentfcrne, 0. f v.
§. 60. 3fflercbe ovenfor (I. §. 55) er gorflaringcn nf
^jffbebreff given. S3igtigt}cben og 3lnvcnbelfen of bem
til at forforte ofte cnbog olbdcg ffmple Stcgninger, fi,mteg
tilflrffffeligen ot ^jemlc bcm ^Inbg i ben demcntffrc 'iixitf)i
mctif *). SScb Jpjfflp of S5ogffov;Stegningen vifle vi imibler;
*) 3fOEt cre vi Bcb ^jceiic«'8tof ijlani) tit at iit)tti)ffc ct gotf)OIb noa
let SJoEtmcjie meb minbre f)Cte Sat. 3iaat gortjolbcts gimie i«b

196
tib Vffre iffonb til f)cr fulbffffnbigcn ot be^onlte tern, og ub;
(trffffe bereg 5(nvcnbelfe til ffere of be ffben fremfntte ©tet;
rclfec, fom vi ^nvc ubtn;ft veb Stcffer.
Sen ovenfor (I. §. 55) beffnerebe ^jffbebref ^ottbe
felgenbe nlminbdige ©fiffclfe:
I
I
a-\ I
b4- J
d4----j
j^crof vare 'Portiol; SBr^ferne
a
I b
^^rjii--^"^
b
f JC.
1 be 4-I
3 ) a — 4- I -— I — abc 4- a 4- c
^+r
I bcd4-b4-d
^•^ 7+ ^ I abcd + ab4.ad+cd4i
b4---i
e. f V.
itfc f)a\ie nogcn abfctiit SJeiagtig^cb, citcc og oi ingcn faaban fraiie,
6il SRcgningcn 6eti)betigcn IctteS neb at tage tcenct 09 9iaviiict af tn
spartial.^rot tit Secb i ct gotOotb, fom ba jiaa bet SfiOEVuiciic ubtrijtfer
tet giune got^olb. Slnbtc ainocnbetfcr ^anc oi feet I. '*il^m.
{. 74. Sin. 3. 09 I. ©com. j. 149.

197
Sn^ver ni; ^ortlflI;95ref lober (Ig let bonne of be funbne
pno felgenbe Slioobe. SSi multiplicere ben ffbffc ^ortial;95reif«
Sfffler meb bet ^de Zal, ber fvorer til ben

198
Sill. I. SSifle vi beffemme gorfFjellen imellem ben
nte og ben (n —i)te ^nrtinl;5Bref; fnn, ^vig vi betegne
N M
biffe meb i^: "9 i^T' ^^" ^^^ Clvotient meb n, eg, bo
l)VOC
N
rs^ '
L
^- betcgner ben
i\ M
N^~ "i\!'
Mn -J- L
M'n-|-L'
(n — 2)bc sportiol ;a5re'f. er
,\M/ _ MN'
N'M' ~
(Mn -f- L) M' — M (M'n 4-L').
K'.M'
LM' — L'M
K'M'
So M, M' ^ere ben (n —i)te 'PnrtioliSSref til, foo,
^vig vi ffftte
M Lm4-K_
M^ L'm4-K/
f)vor K og K' cre ^ffUer og 3?ffvner i ben (n — 3)bc 'Par;
tinL'sSvuf, m ben (n — i)te O.voticnt, er
OI' —L'M
= L (L'm -f- K') — L' (Lm -j- K)
= LK' —L'K
SSi ville nitfnn ligefnnvel funne ubtri;ffe Sffflev i ben SSref,
ber ubgjer govffjellen mdlcm ben nte og (n — i)te 'Pnrtinl;
?&r0f, veb 'Jffflec og S^ffvner of bcu (n— i) og (n — 2)te
'PnvtinI 33v,0f o. f v., eflcr olminbcligt of l)vilfefoml)dff umibbd;
bnvt pan l)iunnben felgenbe *Pflrtial;$5v«fer. 2age vi oltfoa
ben ferfte og nnben, fno ^nve vt
Oib'4-j) X I—ab = I

199
3lltfan cr ?ffflercn ffebfe i; men, bo LM' — L'M = K'L
— KL'=r —(KL' —K'L), foo ^or KL' —LK' et mob;
fnt 5cgn nf LM' — L'M, ellcr cr benne + i, fnn cr fjiin
+ I; felgdigcn ere gorjTjeflcne nfvcrlcnbe pofitive og negn;
tive, og gorffjeflen imeflem 2ben og iffe 'Pnrtinl;S&ref ec
negntiv, imeflem 3bie og 2bcn pofttiv o. f v.
Sill. 2. ©ubtrn^ereg cn ^Pnvtinl; SBref frn .^oveb;
ajrefen, bo lober benne gorfFjd jtg olminbcligt ubtn;ffc.
N
ajetcgne vi fom for^cn ben ntc ^ortiol; .QSref meb r- =
Mn4-L
„^ ,\-f fan lob J?ovcb;.Q5refen (ig ubtri;ffe vcb blot ot
ffftte iftebctfor n, cfler bet ^cle Zal, ben fulbflffnbige Clvo;
tient, fom blev, noor ben tilfvorenbe Stcft vor r, og Si;
r
vtfor eflcr ben nffftforcgoncnbc Stcft R, inlt n-J--; oltfno
R'
vor J?oveb;93r0feii, fom vi vifle betegne meb
15
M(\V + £) + L
M'(n-h04-L'
NR4-Mr
(Mn-f-L)R-l-Mr
(M'n4-L')R4-M^
— N'R4-M'r
Stage vi nu J5oveb;23refen fro ^nrtiol; SSrefen, fao er
r^ 13 N NR4-Mr
K'~~^ N^~W^-fM^
NN'R -j- NM'r — (NN'R 4- N'Mr)
N' (N'R 4- M'r)
(NM' —N'M)r
N' (N'R -j- M'r)

200
'SKen ISM' — N'M er ligefom otic Siffcrentfer bnnnebe paa
lignenbe S}?aobe + i, nltfoo er gorfTjcllcn, ^vig vi tillige
ffftte N'R-f M'r = 13',
±r
N' iij'
Sn nu r ftebfe oftnger, N' tiltoger, foo nffvme fpnt;
ttal;SJ>rofcvtie ftg ftebfe mere eg nlere ijoveb; SSrefen, 09,
bn Sijferentfen ^nr Scgnct ±, fno inbfeeg, nt 'Pnvtinl;
S&v0ferne ofvcrlcnbe ere (tKre og minbre enb Jpoveb^Srefen,
nemlig ben fevfte ftjrre, ben onbcti minbre, ben trebie nt;
ter (tetre 0. f v.
Zill- 3. .^oveb;S5ri>feti ligger fnnlebeg (tebfe imellem
to pno f»inonben felgenbe *Pnrtinl;S5refcr, og gorffjeflen
imeflem biffe overgnncr oltfno ftebfe gorffjeflen fro ipovcb;
Srefen, foo ot vi veb benne, ber let finbeg C^ifl. i), funne
ftebfe gjere et Ovcrflag over ben geil, vi bcgooe, vcb ot
toge en J?oveb;S5r0f iftebct for en ^ortiot; SSref.
Sill. 4. ^ovbe vi en ucgcntlig .^jffbe;23r«f (I. §. 55.
?ifl,), bo lob poo benne (tg olbdcg onvcnbe bet gremfotte.
3(ntn. ©em erempler pa« ^jajbebr^f 09 bereg partial*
ajrvfcr tjcne felgenbe:
1)1^'-?
5537
^-(•vctageg §er felgenbe SioifiJn
I769i5537
1610.5307
159! 230
1421 159
171 71
15I 68
2 3
2 a
o I

®aa cre jQooticntcrne
3, 7, I, 2, 4, 5, I, 2,
Oicflcrne
230/ 159' 71/ 17/ 3/ 2/ I, o.
Slltfaa ..^jcebcbreCcu
7-h—I
i-f—I
2-h— I
4-f I
5 + —I
Spartial^Svefernc bleve
_i_ ^ 8 23 100 523 623
3' 22' 25' 72' 313' 1637' 1950
gcvfljcUcne fra ^oocbbrefcn
, 230 230
3X5537 — "T": 16611
159 159
22X5537 121814
71 , 7i
25X5537
17
138425
17
72X5537 396644
3 I 3
313X5537 — "t": 1733081
1637 X 5537 9064069
I . I
1950 X 5537 10797150
3
201
II) 3- ^ 3/1415926536
So benne SecimolbreC ec ofbrubt, fao, ^oig vi ^avbe,
efter bc« fajboanlije Diegel (I. 5. 35. EiB. 2), bcflemt

202
bet fibfle eiffer, var ben mulige geil cnbnu + 0,49999betegne
rt altfaa benne meb x, fao er
14159265364-X
TT = 3-
I0000000000
I)»or X ligger imeflem -j- Ms — 1 gorctagfg nu Sis
vifionen, ba flaacr ben faalebeg;
1415926536 +
13^7713720 +
882I28I6
602864
2792641
2712888
797536
602864
X
105 X
4- io6x
+ 32996X
1946724-33102 X
106760 + 332I5X
I0000000000
9911485752 ±7X
88514248 —7 X
88212816 + io6x
301432 —113X
194672 + 33102X
106760— 33215X
87912 i 66317X
18848 —99532 X
87912 4-66317X
3nbf«tte vi nu x =:= iJ-, faa inbfee vi at ben fib|le
(Kcfl liggcr imeflem —30918 og 4-68614.
sjKeb benne 9iefl, fom faalebeg er albeleg ubeitcmt,
^j«lpcr bet iffe at fortfojttc Sivift'onen; vi t)ere bcgaar^
fag i ailminbcligOeb veb Sccimal:S8ref op, faafnart x'g
Coefficient bliuer fterre enb Oieiten.
be funbne iivoticnter, faa ere biffe
^agc vi altfaa ene
3, 7, 15, I, 292, 1,1,1
3 cr bet fevfte l)ele 3;al, og Sjojbebretcn bliver beit, bet
for 3- cr frcmfat (I. ©corn, §. 150).
fevnc eve
spartiaUSve:
„
3/
22 ill 3 S S
T/ TTli./ TTT/
] 03 99 3
TTToT /
1 0 4 3 4 S
TTTTT /
2 0 )i 3 4 1
6 6 3 n /
313189
UlsTT*
gor nu at bcftcmme ©roenbfen af be geil, vi bcgaae
veb at tage en spartialrSBref iftebct for r, vifle »i bvage
be paa Ijinanbcn felgenbe ^partial = SSrefer fra liinanben
(Zill. 3), D« finbe faalebeg, Ijoig vi fojtte ^ =
3, gcilcn minbre enb V —3
2 2
T
33^3
1 oT
3 S S
J03 993
TTTOTT
0. f V.
1 i >
TTT
3 5 5
3)3
10 6
3 3 3
LOW
10 3 9 93
TTToJ"
J 03 9 9 3
33 ioJ
1
T
TTToTTS
i

203
9?eb af biffe ipartial=3?refcr at tage ben fibfle WTW
eg fcroanblc ben til Sccimal :5Bvet, cvl;olbe oi
3,1415926536
altfaa n- neic faalebeg, fom oi tjaue anrcnbt ben, for
bcvaf at finbe ^iabe:58vo{en, faa at oi Ijarc ogfaa bcr
cn ipreoe, at Sioifionen oar tilflrceEEcligen fortfat,
§. 61. S?i funne ^ove fammcnljffngcnbc SErefer of en
nlmlnbcligcre ©fiffclfe, enb ben bcfinercbe .^jffbebvef, ^vori
5ffflcrue ftebfe vore i, f. Sr.
a
a-l c
c-j--—
^ +
(£n fanbnn vnr ben, vi ^nve fvemfnt veb a.vnbrnt;
ertrnctionen (I. §. 74. 5ifl. 3).
Ogfnn nf en S&ref of ovenftancnbe nlminbdige ©fiffclfe
Inbe fig Q)artifll;93refcr ubvifle, fom bleve
a
I)- a ttb
^^ abc-j-ca-j-cb
abed -|- acd -j- abh
^^ ^d -j- cad -jTbcd+Tab -j- hb "' ^' ^'*
?;ngeg govfTjcflcnc imeflem to pnn l)innnbcn felgenbe 'Pnvtinl;
a^vefer, bn cre biffe
^'' — ^^ a(ab4-b)
— abc
^^~ 3) = (^b+l-Kabc-j-ca-j-bc) "' ^*"*

204
aSi inbfee, nt biffe Siffcrentfer vifle i ^fftlercn cr^olbe
efter^oonbcn 55ogflavcrne ab, abc, abc6 o.f v., og fUm
nercn blive ^robuctet of be to 'Partial; SSraferg 3'Jffvnere,
^vig Sifferentg ffufle ubtri;ffeg. $5vugc vi o!tfnn fnmme
S&etegnelfeg;S)iocbe fom for^cn (§. 60. '5iU. 3), ncmlig ffftte
i(te Q>ortiol;95r«f liig
2bcn -
3bie -
A'
£
0. f V.
foo ere gor(rjeDene
ab «bc abcb
^A'B'
og ligelebeg
B'C' ' CD'
M N abc-
M' iX' — M'N'
Omvenbt funne vi oltfoo ffftte
N M_abc n
3lltfoa
W' M^ "^ ~mW~
M
M^
L
±
abc
L'M'
N L abc tit abc - -
N^ 1/ + "^"L^M'" + ~M^
L K
Ubtri;ffe vi nu — otter veb ^jfflp of ^7- og gov(TjcI;
L' Jv'
lett; benne ^ortiaI;25r«f otter vcb ben foregooenbe, og frem;
belcg til vi fom til ben ferfte 'Pnrtinl;S3re'f, foo vor
tn

205
N A rtb . «bc
N' A' A'B' ' B'C'
M N
aSor ^- oflerebe ben fibjte 'Partial ;S5ref, fno vor =^
A a
.^ovcobrefen, tiflige cr — = —; oltfao, ^vig vi betegne
I\. Si
ijovcbbr^fcn fom fov^en, foo cr
13 tt ab . abc
13' a A'B' ' B'C' ^
Silt. I. ©dv om ingen "PovtinhSSref funbe folbeS
ben fibfle, ibet ben fommcn^ffitgcnbe aSref blev uenbelig,
vilbe bog JjovcbbrMen lobe (tg ubvifle, men i en uenbelig
Stffffe of ovenflonenbe gorm, iftebct for, ot, noor ben
fommen^ffngcnbe 55ref vor (luttet, blcv Stffffcn bet ogfoo.
S t n. 2. Sen af ben fommen^ffngenbe 93r0f funbne
Stffffe ^cvbc ofvcrlcnbe 'Jcgn: jpovbe oflc ©terrelfernc a, b,
c, b Vffret negative, fno vilbe ben tilfvnrenbe Stffffe
^ove vffvct negativ. J?nvbe vi nitfno tngct cn foobon ^xeS
fdv negativ, vor cn Stffffe meb lutter pofitive Seeb opftooen.
§. 62. ©fulbe vi omvenbt ^ove foronbret en given
Stffffe til en fommen^ffugenbe S&ref, bn ^nvbe bet vffret
muligt, vcb ot fammenltgne Cebbcne meb ben (§. 61) funbne
Stffffe. 2i

206
^vilfen vi for ^ort^ebg ©fijlb, bo ben of^ffnger of be 4
Slemcnter p, q, r, x, vifle betegne meb F (p, q, r, x).
SOtcb i?cnfi;n til p og q cr Stffffcn olbcleg fommetcijT,
foo nt vi funne forvcrle biffe 93ogftnvcr, eflcr ffftte
F (p, q, r, x) = F (q, p, r, x).
Snnne vi en nlbcleg lignenbe Stffffe of Slemcntcrne
p, q-J-i-' I'-f-i' ^f f""" ^' ''•'•c betegne meb
F(p, q-f-i/ r-f-i/ x), foo cr benne
, pCq-HO ^ • p(p-^I)Cq-^I)(q4-2) ^,
^"^1.(1-4-1)'' I- 2 (r4-i) (r4-2)''
p(p-

F (p, q, V, x)
F (p, q-j-i, v-f-i, x)
p(r — q) F(p-j-i- q4-i/ i'4-'-/ ^)
r (r -j- i) F (p, q 4- I , r 4- I, \)
.^oovaf nitfnn vil felge
F (p, q, r, x)
207
F (p/ q 4- I / 1- 4- I' 5^)
P(r —q) F (p4-i, q-j-t/ i'4-2^ x)
r(r-j-i)^ F (p, q-j-i, 1 + 1, x)
3lltfao omvenbt
F(p, q-j-i, i'4-i/ x)
F (p, q, r, x)
I
P (!• — q) F (p-j-l, q-j-i, 1-4-2, x)
r(r4-i) F (p, q4-i, r-j-i, x)
gor ot ubvifle Clvotientcn i Stffvnevcn of bette f&xeh
Ubtvyf, be^Bve vi blot ot beraffrfe, ot p og q funne em;
bijtteg, nltfao vifle vi funne finbe bet neie paa fnmme CiKnobe
fom bet funbne, eflcr og be^eve vi blot ^eri ot ffrive q-j-i
iftebct for p, p for q, r-j- I for r, altfnn er
F (q-f-i/ p-fi/ i'-j-2, x)
F (q-|-i/ p/ r4-i/ x)
I
(q-t-i)O--l-i—P) F(p4-i, q-j-2,r-j-3,x)
(r-j-i)(r4-2) F(p4-i,q4-i,r + 2,x)
.ijvor vi bn otter vifle vffre iftonb til ot ubvifle Clvotientett
paa famme iSioabc. SScb bo frembdeg ftebfe at ubvifle ben,
inbfee vi, ot vi cv^olbe en ^jffbebvef af felgenbe gorm:

^voc
208
JC F (p^ q4-i/ r-j-1, x)
ax F (p, q, r, x)
bx
ex
0. f V.
P (r — q) , Cq-f-i)(r + i—p)
* — q(r4-i) (r4-i)(r4-2)
(p4-i)(i-4-i —q) , (q4-2)(r-j-2—p)
= — (i.4_2)(r4-3) — (r4-3)(r-j-4)
(p-j-2)(r4-2 —q) __ (q4-3)(i--f 3 —p)
* (;r4-4)(v4-5) (i- + 5)(r4-6)
0. f V.
Silf. Ovenftoocnbe ^jffbebref ubtri;ffcr Q.voticntett
nf to Stffffcr. ©fftte vi q = o, bn bliver F (p, q, r, x)
1; vi er^olbe oltfoo i bette 'Silffflbc cn Ubvifling of en
enfelt Stffffe, ^vcri vi enbnu vifle ffftte, iftebctfor r, r —i,
bo cc
F (p, I, r, X) = i4-P-x4-^P4r^''' +
vr' ' ' ' ' r q (r -j-1)
^voc
ax
I bx
cx
dx
I •
ex
a = -5- b = ''~P
r r(r4-i)
I

209
c ::== (P+Qr j 2 (r -j- I — p)
'' — (r-hi) (1-4-2) ' ""(1-4-2) (V 4-3)
c =: (p4-2)(t- H;^Ji) ^ 3 (»• 4- 2 — p)
(r 4-3) (1-4-4) (i-4-4)(i-4-5)
§. 63. 3tnvcnbclfcn of ovenflnncnbe gormler fan let
gjercg pan forfFjeflige Stffffcr.
5age vi SMnomial; gormlen (§. 45) og ffftte beri
(a4-b)'> = an^i-l--^
b
09 enbvibere — = u, foo Inbcr (i -j-u)" =
a
, n(n—I) n(n —i)(n —2)
I 4- nu -j u- -{ u^
' I. 2 I. 2. 3
(tg fnmmcnligne meb ben fibfle Stffffe, nnnr vi nemlig ffftte
F (p, I, q, x) = F (—n, I, I, —u)
bn fnnlebeg
fno er
a =
c =
(I 4- U)n =
n
I
(n-i)
2- 3
2 (n — 2)
4- 5
b z=
d =
f =
n-j-1
I. 2
2 (n -j- 2)
3- 4
3 (" -f 3)
o.f V.
5. 6
n
— u
1
I —
n4- I a
I. 2
l-f— n— I
— u
2. 3
I • 2 (u -|- 2) u
14--^^^^—
II. 14

210
©fftte vi i benne gormel n = —|, bo er
(i4-u) ^ =
I
. + i^
encr
(i4-u)^ = i4-
14-
i-f-
u
1 +
.+i^
. + ^
3tnvenbe vi nu benne gormel for ot finbe y^a, eg on;
toge bet n«rmc(te aLVobcnt;'Jnl nt vffre m=, eg ffftte a —m'
= r, fnn cr
Va = r;;^:^^ = m ^14--^
r
eg nitfnn, ^vig vi ffftte —7 = u, cr
in- I
ya = m(i -j-u)^
inbffftte vi nu i ben fnmmen^ffngcnbe SBr»f SSffrbien
nf u, og multiplicere meb m, bn er
2m'
V^a = m X I 4^
i-l
4 m-
i-i
4 111
0. f V.

211
jpvornf bo let, vcb ot multiplicere virfetigt meb m, og ber;
nfffl ^vcr enfelt Seeb meb 2m, ben for Q,vnbrot;

212
5ogcg foe X cn egentlig SSr^f ligefom ovenfor (§.48),
bo tnbfeeg, ^vor ^urtigt biffe Staffer convergerc.
gor ot ubvifle e cfler ©runbtnllet nf be nnturlige 80*
gorit^mec, ville vi ubvifle er, ^vilfet let fon (!ee eftec Stfff;
fen (§. 50).
S^emlig, bo
y = Z^o^(i4-x), og oltfnn omvenbt e^ = i-j-x,
fno er
er = i4-y4. II 4-^1^4-
I. 2 I. 2. 3
ffftte vi nu y = —y, bn cr
e-y = i-y4-^^ 1
•' ' I. 2 1.2. 3 '
J?erof finbe vi bo
2y' , 2y*
ey-e-y = 2y4-—;^4-
1.2.3 • 1.2.3.4.5
Sigdcbeg
•^ \ ' 1.2.3 ' 1.2.3.4.5 ' J
ey4-e-y = 24-^-j ^-^1
1.2 1.2.3.4
\ 1.2 1.2.3.4 J
23cgge Stffffcr lobe fig fommcnligne meb F (p, q, r, x);
fntte vi nemlig x = j ^ , ^vor k og k' 6cti;bebe to uenbc;
ligt (tore Zal, fnn, noor vi fatte p = k, q = k', inb;
fee vi, nt foovd pqx = y=, fom (p-j-i) (q4-i)x^
= y% ba ©en^eben iffe vil gjere goctorcrne p og q, fom
olt cre uenbdige, ftarre, og felgdigcn funne vi ffftte

eg
Jtltfoo
eT — e — T —
C -j- e - T =
eT — e — T
=:2yF(k,k', 5,11)
= 2F(k,k',5,ll)
K'''''^'kk^)
— Y . V
F ^k, k', i, —J
213
SRen vi funne nu gjcme ^er i 5«fleren t«nfe eg k'
foreget meb i, eflcr fot ligcftor meb k' -j- i, ubcn ot bette
vilbe foronbre SSffrbien of Stffffcn, og foolebeg fammenligne
ben meb gunctionen, fom ovenfor er ubviflct fom fommen;
^ffngenbe Sdxsi (§. 62). SSi fjove bo
ax = ^c^-^0, y' __ _2l
i. I *4kk' I. 3
_ (k'-j-i)(^-k) 4kk' _ y-
• "" 1.4 * y* ~~ 3.5
_ (k-j-i)(i-k') X-__ _r_
cx ^ i 4kk' 5. 7
3(ltfao
0. f V.
eT —e-T y_
eT-J-e-T y^
• + "^11

214
Snbffftte-vi i benne gormd y =r i, foo cr
e-j-C" —I
I
"^ e^4-i
I
I.I
4.^-3
+ 1,1
1-4-3-^
'+ i.i
x4--^-^ 1.1
x-f^-^
SOiultipliccce vi ^eri Sebbene meb 3, 5, 7- i ^fffler
eg Slffvncc, vifle SBreferne bortfolbe, eg vi cr^olbe, veb
«t multiplicere i ZciHex og SRffvner meb e-'
c' —I I
e^4-l
Sigclebeg, vcb
1+' 3+
ot ffftte y r=
I
r 1 I
5 1 r
e-j-i
I
6+--.
lO-j—- —
14-j-....
S5ctegne vi benne fnmmcn^ffngenbe fdxet meb M, fno er
e — I
- = M
e4-l
1
- i 1
'
er^olbe vi

3lltfao
i-j-M
*" 7—M
215
5:age vi f)craf ene, for ot ^ave et ilrcmpd poo ben
uumcrifTe Stegniug, be 4 fremfotte Sceb, foo ^ove vi, veb ot
860
forvonblc ^jffbcbrefen poo fffbvonlig IBJoabe, M = —T-/-
2721
og for e = = 2,7182817 , fom ferft i bet
1001
(ibfle Secimol cr i for lifle (§. 50).
§. 65. gor i fommen^ffngenbe S5ref ot ubvifle be
Stffffcr, vi ^ave funbet for Sirfel; gunctioner, vifle vi ferfl
tage Ubtri;ffene for sin z og cos z (§. 53). SSi ^ove bo
sinz
1.2.3 1.2.3.4.5
z^ z"
cos z =^ I j-
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6
Siffe Stffffcr ere nitfnn neic be fomme, fom vi fonbt oven;
for for eT — e-T og ey-{-e — r; tun finbeg ^er nfve;;lenbe
5egn og gnctoren 2 bortfolber, oltfoo funne vi ffftte
sinz = zF r k, k', f, —^ )
cosz
= F(k,k',i,_-Q
g«lgdigen er^olbe vi, ligefom for^cn, Q,votienten of biffe
Stffffcr, cfler

2l6
cosz z'
1-3
I —
z-
3-5
I -^
5.7
I
z^
7-9
€t Ubtri;f, ^vig Sov vi longt ti;beligcce inbfee, enb ben,
ber ^erj?er i feen (§. 53) fremfatte 3t«ffe for 2ongenten.
2oge vi Ubtri;ffct for SBuen, bcftcmt vcb ^ongcnten,
ibet vi ffftte tgz = t, foo er
z = t —4-134->t=—f 1^4
I 4- X
fom ogfoo er ot fommcnligne meb loff -—^—, fung at
I — X
^er og pnbeg ofvejclenbe ?egn, og fom vi oltfoo funne ffftte
ligeftort meb tF (;, i, ^, — t'),
Sfltf'oo ec
I
I.I
— t*
1-3
2.2
t^
.3-5 3^..
r + " 4^4

£atfe vi ficv t z= 1, fnn er r. •=. 45°, nitfno
I
1 +
I. I
'1- 2
, 3-5
i-l-
3-3
5-7
217

Sni)|)olt) af begge S)e(e»
%0t\te DeeL
Snblebning . . . . ©ibex.
SKatl^cmtttiEcng Scfinition 03 Snbbcling . . , §. 1-3..
SRot^ematifle ©atninger • . . . . . . » § . 4.5.
Scgn og 0runbf(«tningci: • S. 6.7.
Slrit^metif . . ©ibe5.
Zal forflaret; Snbbeling of Sirit^metifen . . §. 1,2.
Set bccobifle lolfpftem 5. 3.
(gengartebe ffolflerrclfer bcfincrebe . . . . . § . 4.
Slbbition i bde 5Ettt . . . . . . . . . §. 5-10.
©ubtroction t Ode a;al . . . . . . . . §. 11-15.
©ommenfatte ©terrelfcr beftncrebe . . . . . § . 16.
SJlultiplication i l;ele Zal §. 17-24.
Sivifio*^' »)cle Stat . . . . . . . . . 5. 25-30.
0icgning meb ben«vnte Stal . . . . . . . § . 31.
©ecimol = asrefer . . . . . . . . . . § . 32.
aibbition 09 ©ubtroction of Sccimal; SSr^let . §. 33.
sDlultipltcatiott nf SecimoliSBrefer . . . . . § . 34.
Sioifton of Sectmol:58r9ter . . . . . . . 5. 35.

219
33laal, sprimtal, ftBllebg 5!Kaal ic 5. 36-40.
Jatllebg betdigt Zal (communis diviilmis) . . 5. 41.42.
SSreE beftneret, forfortet ic §. 43-47.
Sibbition of SBretcr §.48.
©nbtraction af SBreter . . . . . . . . § , 49.
SKultiplication af SSteter §• 50.51.
Sirifion of SBrefcr §. 52, 53.
Sccimal=S8v»E til f«b»anlig SBvef 5. 54.
Sjflibcbrot 5. 55.56.
Sogflaorcgning 5. 57-60.
Slbbition af aSogflaoflerrdfer . . , . . . § . 6i.
Subtraction of SBogflovflerrelfcr §. 62.
Slultiplication of SSogilavflerrelfcr . . . . § . 63. 64.
Sivifion of SBogftaofterrclfcr . . . . . . § . 65.
Hvaitat-- og enbiE=5Eal . . . . . . . . § . 66-71.
aottbratet af ct asinomium . . . . . . . 5, 72.
iQrabratrobg: fitractionen • §• 73. 74.
enbng of ct SBinomium . . . . . . . , § . 75.
eubiErobg = (ErtractioncH . . . . . . . . § . 76. 77.
Sor^olb og spropottioner §. 78-82.
Slrit^metiffe sptoportioncr §. 83.84.
®eometrif!e sproportionct §. 85-87.
gocanbringer meb geomcttiffe sproportioner . . §. 88-93.
©ammenfatte gortjolb . . . . . . . . 5. 94.
SlMVcnbclfc of sproportioner poo Olcgnla Sctri . §. 95.
Omvenbt 3tegula Sctri . . . . . . . . § . 96.
©amittcnfat SJicgula Sctri (Dlccftff Siegcl) . . 5. 97.
Sjffiberegleit 5, 98.
©clflabg: 09 a3lanbingg: meaning . . . . . § . 99.

220
Signingct . . . . ^ . " » • . . . . §. 100-104.
gigninger meb en UbcEjenbt of f#rfte ©rob . §, 105-110,
Signinger meb ficve UbeEjenbte of ferfte ®rab 5. 111-113.
SRaor er en Signing ubcflemt 5. 114.
avabratif!e Signingct . . . . . . . . § . 115-121,
Sogaritlinier . . . . . . , . . . . § . 122-128.
StentcgiOiegning meb Sogaritl;mct . . . . §.129.
gorfljct imellem clementwr 03 Oeicre Sltitl;mcttE 5. 130.
©cometrie . . . . . . . . . ©ibe 85.
Stumfterrelfcrne bcfinercbe 5. i-io.
SSinfler, lobrette Sinier 5. ii-i8»
^nraflellcr . . . . . . § . 19.20.
giguver . . . . . • » §. 21-23.
girEcl . . §. 24.
Snbbeling i clementoir 03 Ijeicrc ©cometric,
?planimetric 03 ©tcreometrie . . . . §. 25.
©Ejarenbe 09 bererenbe SirElcr §. 26-28.
6ongruentg:®rnnbf«tnin3Cn . . . . . . 5. 29.
Slfle rette SSinElcr ere li3e(lote . . . . . § . 30.
6on3ruentc Srianslcr §. 31-35.
gorfIieHi3C gccntctriffe Dpsflver . . . . . § . 36-42.
sRobocoinEler 09 S£opvintlcr §. 43-46*
Wbvenbige SSinElcr. Snbbeling nf Svtanglcrne
meb .^enfpn til SSiuElerne . . . . . 5. 47.48.
©terfl ©ibe li33er ooerfot (lerfl SSinfel . . §. 49-5t>
©ibfte 5£ilf(Blbe of lEtiangletg (Songrucntg, Ztii
ongler, 0»cri 2 ©iber fun ere ligeflorc . 5. 52-54.
faroflcflc Sinier . §. 55-60.
qiBe SJinElcr i et Itriangcl 2R 5. 61.

221
qjaralldcgrammct ; ; . . 5. 62-67.
5patallelcgrammer paa eeng ©vunblinie og $9ibc §. 68-72.
Sen pptljagorifTe ©tstning §.73. 74.
Sinier eg SSinfler oeb girflen §, 75-91.
Snbflreonc og omflreone gignrer . . . . § , 92-94.
IRegulcerc spolpgoner . . . . . . . . § . 95-97.
giitEant og ©ctEant , §. 98,99.
^proportion imeflem Sinier i Sriangler . . §. 100-104.
£igebannebe ^dangler §. 105-112.
g)roportionale Sinier i SirElcn . . . . . § . 113-115.
@eomctrif!t at f«ge fjcrbe Jproportionals 09
og aJJdlcmproportional: ©tervclfe . . §. 116-118.
§)berfle 09 mellcmfle govljolb, S;iEant . . . §. 119-121.
Edanglcrg 03 sparaHdogrammevg gorljolb . . §. 122-125.
Oiabing, gemEant: og a;iEant:£ibcn banne ct
retoinElct ^riaiigct §. 126.
gorljolbafspolpgoncrgspevimetreogglabcinbl^olb §. 127-130.
gigurcrg goroanbling-09 fipabratnr . . . §,131-138.
Siettc Sinicrg Itbmaaling • §. 139.140.
SSinElcrg 09 givEelbucrg Ubinaaling . . . . § . 141.142.
glabcrg Ubttiaating . . . . . . . . . § . 143-147.
eivElcng Ubmaaling . . . . . . . . . § . 148-153.
Cp8«»er, oplefle veb Sllgcbra . . . . . 5. 154.
3(nbcn ^aU
ainbcn gifbeling. ©tereometrie . . . ©ibex.
Sinicrg og ?planerg 3ndination S. 1-27.
sptigmer 03 qjoraflelcpibcr . . . . . . § . 28-40.
5Poramibcr . . . . . . . . . . . § . 41-45.
Sylinbre S. 46.

222
.Scglct §• 47'
.Suglen §.48.49.
Stcgularc Segemer §.50.
£e3cmerg Itbmaalins . . . . , . . . . § • 5i-54'
Sescmerg Doeifabe . . . . . . . . . § . 55*
Susleng Ubmaaling . . . . . . . . . § . 56. 57-
©tcreometrifle Dpgovcr, bel;anblebc vcb llgebro §. 58-61.1
£rebie Slfbeling, Srigonometrie . . ©ibe
Strigonomctnflc gunctioner . . . . . . . S. i-4'
gormler for gunctioner of ©um 09 Sifferentg of
SSinfler §. 5-9.
5plan 09 fp^arif! Urigonomctde §. 10.
CfictvinElcbc plane ariansler . . . , . . . . § • ii»
©EjaovinElcbe plane ^iriongler . . . . . . § • 12-15.
©pl;«nfl tngonomctdffe .^ovebformlet . . . 5. 16.17.
SictvinElcbe fpt)«riflc 2;riangler . . . . . . § . 18.19-
©EjavvinElcbe fp^ceriflc Srianglcr §. 20-22.
©aupeg gormler 5. 23.
31 r i 11) m e t i t
spotcng, OJobfterrclfcv, imaginaive ©terrelfcr . §. x-io.
3iene Ijeiere 9ffgoarioncr §. xi-15.
evponCntiaU^ffqoaticner . . . . . . . . § . 16.17.
Ubeftemte Dpgaver §. 18-23.
y?eicre ?ffq»ationer . . ' . . . . . . , § . 24-29.
Dpte^ning af bt cubific ?eq»ationer . . . . 5. 30. 31.
3lritOmctif!e sprogregfipncr §. 32-35.
.S>eierc aritl)metifFe attcffer, figurlige Zal . . §, 36-39.
©comctrifFe $progrcgfioner . §. 40-42.

223
Ubeftemte eocfficicnter^ SDlctbobe §• 43- 44.
iBincmial: gurmlen §,45.46.
spolpnomiaUgormlcn 5. 47.
SiuEEcr for Sogaritbmer §. 48-51.
JRceEEcr for tvigonometvifle gnnctioner og TT . §• 52-56.
Snterpolationg: gormler §. 57-59-
Sjatbebref §. 60-65.

9v e t t e I f e r.
Site 5. Silt. 20. "ba" Icei "a(tfaa"
— 10. — 21. EF Uxi ET
— 10. — 23. "bnigcS" iKi "bt'mgcS"
— 12. — 29. LO tocS LR
— 16. — 19. LKD:VRP tceSVRPtLKD
— 17. — 9. "-^^riSmct" t(Ko "ipi^ramibct"
— 18. — II. GC tees EC
— 25. — 18- "