А.А. Евдокимов, И.А. Новиков, М.З. Смирнов, Д.В. Яценко. К ...

К вопросу о стабилизации… 133К ВОПРОСУ О СТАБИЛИЗАЦИИ ГЛУБИНЫПЕРФОРАЦИИ РОГОВИЦЫ ГЛАЗА ПРИ ЛАЗЕРНОЙКЕРАТЕКТОМИИА.А. Евдокимов, И.А. Новиков, М.З. Смирнов, Д.В. ЯценкоПолучено соотношение для глубины перфорации биоткани при воздействиикороткого лазерного импульса с учетом температурной нелинейностикоэффициента поглощения. Показано, что экспериментально наблюдаемыйэффект стабилизации глубины перфорации роговицы глаза излучением ArFлазера на длине волны 193 нм может быть объяснен ростом коэффициентапоглощения роговицы по мере ее нагрева пропорционально первой степени еетемпературы. Найдено решение обратной задачи, позволяющее получитьзависимость коэффициента поглощения от температуры, если известназависимость глубины перфорации от плотности энергии импульса.ВведениеВ последние годы лазерная фоторефракционая кератектомия (ЛФК)является широко используемой в офтальмологии техникой. Данный методзаключается в коррекции дефектов зрения (близорукость, дальнозоркость,астигматизм) с помощью лазера путем изменения кривизны роговицы глаза.Его преимущественное отличие перед другими методами состоит в высокойточности и избирательности воздействия лазерного излучения, при этомизлучение поглощается веществом роговицы на расстоянии порядкамикрона. С помощью диафрагм и других оптических элементов можнополучать различные распределения в пределах пятна, что позволяет нужнымобразом изменять радиус кривизны роговицы и, следовательно, еёоптическую силу.Особое место среди источников излучения занимает ArF-лазер (длинаволны 193 нм) с длительностью импульса примерно 15 нс. На сегодняшнийдень он считается лучшим источником для данной методики [3]. Отчастиэто объясняется высоким коэффициентом поглощения роговицы вультрафиолетовой области спектра [2]. В то же время ведутся исследованияпо применению новых лазерных систем [3], а также созданиюкомпьютерных моделей, адекватно описывающих процесс абляции приЛФК. Эти исследования в значительной мере затруднены сложностьюпроисходящих при лазерной кератектомии физических и биохимическихпроцессов [1].Экспериментальные исследования [2 - 4] показывают, что с ростомплотности энергии импульса F 0 от порогового значения F tr ≈ 40 мДж/см 2до примерно 1 Дж/см 2 глубина перфорации возрастает примерно до 1 мкм ипри дальнейшем росте F остается почти неизменной величиной. Таким

134А.А. Евдокимов, И.А. Новиков, М.З. Смирнов и др.образом, если плотность энергии импульса превышает указанное значение,то ее флуктуация в достаточно широких пределах не будет влиять наглубину перфорации. Этим обеспечивается высокая точность обработкироговицы, что имеет серьезное значение для клинической практики.Отмеченная выше зависимость глубины перфорации роговицы отплотности энергии импульса F значительно отличается от логарифмическойзависимости, описываемой классической формулой Вэлша (Walsh) (см.обсуждение в работах [5] и [6]), обычно используемой для определенияглубины перфорации за импульс:−1h = µ ln( F0/ Ftr), (1)где µ - коэффициент поглощения биоткани. Наиболее вероятное объяснениеэффекта стабилизации глубины перфорации заключается в ростекоэффициента поглощения роговицы с ростом температуры, то есть егонелинейности [2]. Другое возможное объяснение предполагает образованиеплазмы в области лазерного воздействия, что приводит к отражениюизлучения и его рассеянию назад [5]. В то же время нам неизвестныпубликации, где было бы дано удовлетворительное количественноеобъяснение наблюдаемых зависимостей глубины перфорации от плотностиэнергии импульса.В данной работе предложена простая модель абляции роговицыArF-лазером, основанная на идее температурной нелинейностикоэффициента поглощения, которая с достаточной точностью соответствуетэкспериментальным данным. Данная модель приводит к более общим, посравнению с формулой Вэлша, соотношениям для глубины перфорации,учитывающим тепловую нелинейность поглощения биоткани. На основеполученных соотношений решается задача вычисления пороговойтемпературы абляции роговицы и восстанавливается зависимостькоэффициента поглощения роговицы от температуры поэкспериментальным зависимостям глубины перфорации от плотностиэнергии.Влияние нелинейности поглощения на глубину перфорацииВ работе рассматривается феноменологическая теория лазерноговоздействия на роговицу, в которой отличия от формулы Вэлшаобъясняются температурной нелинейностью поглощения веществароговицы. Созданная модель базируется на предположении о том, чтокоэффициент поглощения быстро растет с ростом температуры, чтоподтверждается в [2, 3].Таким образом, можно сконструировать систему уравнений дляинтенсивности I(t,z) и температуры T(t,z) как функций времени t и глубиныпроникновения z. Такая система будет описывать распространение

К вопросу о стабилизации… 135импульса в среде при учете температурной нелинейности коэффициентапоглощения µ(Т):∂I = − µ ( T ) ⋅I,∂ z(1.1)∂ µ ( T )T = ⋅ I ,∂ t ρ cгде ρ - плотность, с – теплопроводность. Коэффициент поглощения светаµ(Т) считаем произвольной функцией температуры. Для упрощенияпоследующих выкладок удобно принять, что T(t,z) – это переменная частьтемпературы роговицы, то есть отклонение температуры от нормальногозначения.При записи уравнений (1.1), как и при выводе формулы Вэлша (1),предполагается, что длительность светового импульса настолько мала, чтоза время импульса можно пренебречь эффектом теплопроводности. Такоедопущение справедливо, если толщина d нагреваемой областиудовлетворяет соотношениюd F , (1.2)0trЗатем, решая систему уравнений (1.1) и пользуясь условием (1.2)(подробности вычислений описаны в Приложении), можно вывестивыражение для глубины перфорации за импульс, h:F01 dF′h = h( F 0) =ρ∫ , (1.3)c ( ′FT F )trгде F 0 - плотность энергии импульса на поверхности роговицы (при z = 0),τ р – длительность импульса, а зависимость температуры от светового потокав произвольной точке ткани T(F) задается неявно следующей формулой:Td T ′ρ ⋅ c∫ = F . (1.4)µ ( T ′0)

136А.А. Евдокимов, И.А. Новиков, М.З. Смирнов и др.В предельном случае, когда µ(Т) не зависит от температуры, можнопоказать, что полученные решения (1.3), (1.4) преобразуются в известную−1формулу Вэлша (1): h = µ ln( F / F ).0trАнализ экспериментальных зависимостейВ разделе 1 нами были получены решения системы уравнений дляплотности энергии излучения и температуры биоткани. Эти решенияпозволяют, зная зависимость коэффициента поглощения от температуры,определить зависимость глубины перфорации от плотности энергииимпульса. Таким образом, они обобщают формулу Вэлша (1). Болееактуальной представляется обратная задача: зная из экспериментазависимость глубины перфорации от плотности энергии, найти закон, покоторому изменяется коэффициент поглощения µ с ростом температурыроговицы T. Данная зависимость содержит информацию о механизмахлазерного воздействия на вещество роговицы.Экспериментальная зависимость глубины перфорации от плотностиэнергии, полученная в работе [2], с достаточной точностью может бытьаппроксимирована функцией⎡ ⎛ F0− Ftr⎞⎤h( F0 ) = hm⋅ ⎢1− exp⎜−⎟ , F0> FtrF⎥ , (2.1)⎣ ⎝ ∆ ⎠⎦где h m - максимальная глубина перфорации, ∆F - характерный диапазонплотностей энергии падающего излучения. Параметры h m и ∆F можноопределить по методу наименьших квадратов. Используяэкспериментальные данные из работы [2], получаем h m ≈ 1,5 мкм и∆F ≈ 580 мДж/см 2 .Подставляем соотношение (2.1) в левую часть (1.3) и дифференцируемобе части по F 0 . Полученное уравнение решаем относительно температуры.Получаем зависимость температуры биоткани от плотности энергииизлучения:∆F⎛ F − Ftr⎞T ( F)= ⋅exp⎜⎟,F > Ftr. (2.2)ρ⋅c⋅ hm⎝ ∆F⎠Приравнивая F к F tr , получаем пороговую температуру перфорации T tr ,которая соответствует началу процесса абляции:∆ FTtr= . (2.3)ρ ⋅ c ⋅ hmТаким образом, зная из экспериментальных данных значения ∆F и h m ,легко найти пороговую температуру перфорации.

К вопросу о стабилизации… 137Переходим к соотношению (1.4), которое должно выполняться приF > F tr и, соответственно, при T > T tr . Это приводит нас к двум условиям.Во-первых,TtrdT ′Ftr= ρc⋅ ∫ . (2.4)µ ′0( T )Во-вторых, производные по T от обеих частей соотношения (1.4) должнысовпадать при T > T tr .:dF ρc= , T > Ttr. (2.5)dT µ ( T)Производную в левой части последнего соотношения находим,дифференцируя обе части (2.2) по F. Далее, подставляя эту производнуюв (2.5) и решая относительно µ(T), получаемρcTµ ( T ) = , T > Ttr. (2.5)∆FТаким образом, экспериментальные зависимости можноудовлетворительно объяснить, предположив линейный рост коэффициентапоглощения с ростом температуры биоткани при температурах,превышающих пороговое значение.Рассмотрим случай, когда температура не превышает пороговоезначение. При этом условии экспериментальные данные о зависимости h(F 0 )не позволяют однозначно определить характер изменения коэффициентапоглощения с температурой. Должно выполняться интегральное условие(2.4). Этого, однако, недостаточно для восстановления детального видазависимости µ от T при T < T tr .ЗаключениеВ работе построена математическая модель лазерной абляции роговицыглаза с учетом температурной нелинейности коэффициента поглощения.Решена система уравнений для светового потока и температуры; полученызависимость светового потока от координаты и выражение для глубиныперфорации за импульс, обобщающее известную формулу Вэлша. Вчастном случае, когда коэффициент поглощения не зависит от температуры,это выражение сводится к формуле Вэлша.На основе предложенной теоретической модели проведен анализэкспериментальных зависимостей глубины перфорации роговицы глаза отплотности энергии импульса, опубликованных в литературе. Полученыадекватные количественные объяснения этих зависимостей. Дляудовлетворительного совпадения теоретической и экспериментальнойзависимостей достаточно предположить линейный рост коэффициентапоглощения с температурой.

138А.А. Евдокимов, И.А. Новиков, М.З. Смирнов и др.Полученное обобщение формулы Вэлша может быть полезно дляобъяснения и других экспериментальных данных по абляции биотканей,когда тепловая нелинейность коэффициента поглощения играетсущественную роль. В качестве примера можно привести воздействие намягкие биоткани излучением эрбиевого лазером на длинах волн 2,78 и 2,94мкм. На 2,94 мкм происходит просветление воды, входящей в составбиоткани, с ростом ее температуры, а на 2,78 мкм температурнаязависимость имеет более сложный характер.ПриложениеВ настоящем Приложении решается система уравнений (1.1) и, далее, наоснове условия (1.2) выводится соотношение для глубины перфорации заимпульс.Решая второе уравнение системы (1.1) относительно интенсивности изаписывая интенсивность (плотность мощности) как частную производнуюот плотности энергии по времени, получаем:1 ∂T∂Fρ⋅c⋅ ⋅ = . (П1)µ ( T ) ∂t∂tВводим функцию температуры Ф(T):Td T ′ρc∫ = Ф ( Т ) . (П2)0µ ( T ′)Тогда, дифференцируя обе части соотношения (П2) по времени,получаем:∂ФdФ T ρc= ⋅∂= ⋅∂T.∂tdT ∂tµ ( T ) ∂tСравнивая это выражение с (П1), получаем соотношение:∂Φ ∂F= ,∂t∂tиз которого следует, чтоΦ ( T ( t,z))= F(t,z)+ A(z), (П3)где координату z мы отсчитываем внутрь от поверхности роговицы глаза, заz = 0 принимаем поверхность роговицы, А(z) – произвольная функциякоординат, которую находим далее.В начальный момент времени (t = 0), имеем F(0, z) = 0, T(0, z) = 0, тогдаиз соотношения (П2) следует, что Ф(T(t,z))=0, и из соотношения (П3)получаем А(z) = 0. Таким образом,TdT ′ρc∫ ≡ Ф(Т ) = F(t,z). (П4)µ ( T ′)0

К вопросу о стабилизации… 139Отсюда неявно можно найти функцию T(F). Преобразуем второеуравнение системы (1.1) к видуµ ( T ) ⋅ I = ρ c ⋅ ∂ T . (П5)∂ tПодставляя соотношение (П5) в правую часть первого уравнениясистемы (1.1), имеем:F = − ρ c ⋅ T∂ ∂ t ∂ ∂z∂ . (П6)∂ tИнтегрируя последнее соотношение по времени, получаемF = − ρ cT + B ( z )∂ ∂ z, (П7)где B(z) – произвольная функция координаты z. Для нахождения этойфункции заметим, что при t = 0 F(z) = 0 при любом z, следовательно,∂ ∂ Fz= 0 , а также T = 0. Отсюда следует, что B(z) = 0. Таким образом,F = − ρ∂ ∂ zcT . (П8)Теперь, если фиксировать t, то частные производные переходят в обычные,и решение получается в виде:F cTdzd = − ρ => dz = − dFρ cT, (П9)Dz = ∫ ρ cT dF( F' , (П10)')Fпричем константа D определяется из условия, что при z = 0 должно бытьF = F 0 . Таким образом,D0 = ∫Fρ cT dF ( F'')=> D=F 0Окончательно получаем:Foz = ∫ ρ cT dF( F' , (П11)')Fгде Т(F) задается неявно формулой (П4):Td T ′ρc∫ = F . (П12)µ T ′0( )В соответствии с принятым выше критерием, на глубине перфорацииz = h поток должен быть равен пороговому значению F = F tr . Подставляядва последних равенства в формулу (П11), получаем следующеесоотношение для глубины перфорации, обобщающее формулу Вэлша (1.1):F 0 'dFh = ∫ . (П13)ρcTF′Ftr( )

140А.А. Евдокимов, И.А. Новиков, М.З. Смирнов и др.Если µ(Т) не зависит от температуры (µ(Т)= µ), то, подставляя его вρ сТвыражение (П12), получим после интегрирования F = µ иρ сdF = µ ⋅ dT . Далее, подставляя получившее соотношение в (П13) иинтегрируя, имеем:⎜⎛ Fo⎟⎞FoFoρc=⎝ ⎠∫ = ρ ⋅ dT Fµ ∫ =ρcT dF lnh1( F' ') c T µ ,FFто есть получаем формулу Вэлша (1):−1h = µ ln F / F .( )0Литератураtr1. M.S. Kitai et al. // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1991. № 27. 302 p.2. G.H. Pettit, M.N. Ediger, R.P. Weiblinger // Opt. Eng. 1995. № 34. 661 p.3. C.A. Puliafito, K. Wong, R.F. Steinert // Lasers in Surgery and Medicine. 1987. № 7.155p.4. F.E. Fantes, G.O. Waring. Lasers. // Surg. Med. 1989. № 9. P. 533-542.5. R. Srinivasan. Science. 1986. № 234. P. 559-565.6. M.H. Niemz. Laser-Tissue interactions. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.1996.