PÅÃKLADY K MATEMATICE 2 1. Funkce vÃce promÄnnÃ½ch 1.1 ...

More documents

Recommendations

Info

8 ZDENĚK ŠIBRAVAa funkce f má v bodě P 2 = ( 3√ 4, 3√ 2) ostré lokální minimum. Hodnota tohotominima je f( 3√ 4, 3√ 2) = −112.Příklad 1.37. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = xy(6 − x − y).Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R 2 . Lokální extrémy může míttedy pouze ve stacionárních bodech. Tedytj.(3)(4)∂f(x,y)∂x∂f(x,y)∂y= y(6 − x − y) − xy = y(6 − 2x − y),= x(6 − x − y) − xy = x(6 − x − 2y),y(6 − 2x − y) = 0,x(6 − x − 2y) = 0.Při řešení soustavy (3),(4) budeme postupovat následovně:(i) Nechť je x = 0∧y = 0. Potom je splněna rovnice (3) i (4) a bod P 1 = (0, 0)je stacionární bod funkce f.(ii) Nechť je x = 0 ∧ y ≠ 0. Potom je splněna rovnice (4). Aby byla splněnarovnice (3) musí být (6 − 2x − y) = 0. Podle předpokladu je však x = 0 atedy y = 6 a bod P 2 = (0, 6) je stacionární bod funkce f.(iii) Nechť je x ≠ 0 ∧ y = 0. Potom je splněna rovnice (3). Aby byla splněnarovnice (4) musí být (6 − x − 2y) = 0. Podle předpokladu je však y = 0 atedy x = 6 a bod P 3 = (6, 0) je stacionární bod funkce f.(iv) Nechť je x ≠ 0 ∧ y ≠ 0. Potom, aby byla splněna rovnice (3), resp. rovnice(4), musí být (6 − 2x − y) = 0, resp. (6 − x − 2y) = 0. Další stacionárníbod tedy dostaneme řešením soustavy6 − 2x − y = 0,6 − x − 2y = 0.Odtud P 4 = (2, 2).Je zřejmé, že další možnost již nemůže nastat.Pro další vyšetření extrémů potřebujeme druhé derivace funkce f.∂ 2 f(x, y)∂x 2= −2y,∂ 2 f(x, y)∂y 2= −2x,∂ 2 f(x, y)∂x∂y= 6 − 2x − 2y.Pro P 1 = (0, 0) dostáváme( )0 6D = det = −36 < 0 ⇒ funkce nemá v bodě P6 01 = (0, 0) extrém.Pro P 2 = (0, 6) dostáváme( )−12 −6D = det= −36 < 0 ⇒ funkce nemá v bodě P−6 02 = (0, 6) extrém.Pro P 3 = (6, 0) dostáváme( )0 −6D = det= −36 < 0 ⇒ funkce nemá v bodě P−6 −123 = (6, 0) extrém.
PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 9Pro P 4 = (2, 2) dostáváme( )−4 −2D = det= 12 > 0 ⇒ funkce má v bodě P−2 −44 = (2, 2) extrém.Protože v bodě P 4 = (2, 2) je ∂ 2 f(P 4 )/∂x 2 = −4 < 0, má funkce f v tomto boděostré lokální maximum. Jeho hodnota je f(2, 2) = 4(6 − 2 − 2) = 8.Příklad 1.38. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = (x 2 − 2y + 1) 2 .Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R 2 . Lokální extrémy může míttedy pouze ve stacionárních bodech. Protožedostáváme∂f(x,y)∂x= 4x(x 2 − 2y + 1),∂f(x,y)∂y= −4(x 2 − 2y + 1),4x(x 2 − 2y + 1) = 0,−4(x 2 − 2y + 1) = 0.Obě rovnice budou splněny pouze v případě, když x 2 − 2y + 1 = 0, tj. funce mánekonečně mnoho stacionárních bodů, které všechny leží na parabole y = 1 2 (x2 +1).Z definice funkce plyne, že obor funkčních hodnot Hf = 〈0, +∞) a že f(x, y) = 0právě tehdy, když x 2 − 2y + 1 = 0 a ve všech ostatních bodech R 2 je f(x, y) > 0.To znamená, že funkce f nabývá ve všech bodech paraboly y = 1 2 (x2 + 1) svéhoneostrého minima 0.Poznámka 1.39. Je zřejmé, že příklad 1.38 jsme mohli vyřešit pouhou úvahou.Jak jsme již uvedli, je obor funkčních hodnot funkce funkce f(x, y) = (x 2 −2y +1) 2interval 〈0, +∞) a minimum funkce f je 0. Platí(x 2 − 2y + 1) 2 = 0 ⇔ x 2 − 2y + 1 = 0a to znamená, že funkce f nabývá svého neostrého minima ve všech bodech parabolyy = 1 2 (x2 + 1).Příklad 1.40. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = 2 − 3√ (x − y) 2 .Řešení: Funkce f je definována v celém R 2 . Její první parciální derivace jsou∂f(x, y)∂x= − 2 313√ x − y,∂f(x, y)∂y= 2 313√ x − y.Je zřejmé, že parciální derivace funkce f neexistují pro body (x, y), které leží napřímce y = x. Všechny tyto body jsou vratkými body funkce f a to znamená, žefunkce f může v těchto bodech mít lokální extrém. Oborem hodnot funkce f jeinterval (−∞, 2〉, přičemž f(x, y) = 2 právě tehdy, když y = x, a ve všech ostatníchbodech R 2 je f(x, y) < 2. To znamená, že funkce f(x, y) = 2 − 3√ (x − y) 2 ve všechbodech přímky y = x nabývá svého neostrého lokálního maxima 2. (Při řešenítohoto příkladu jsme mohli postupovat analogickým způsobem podle poznámky1.39).Příklad 1.41. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 3 +y 2 +z 2 +12xy+2z.
Page 4 and 5: 4 ZDENĚK ŠIBRAVAkde ∇f(P ) je g
Page 6 and 7: 6 ZDENĚK ŠIBRAVANechť tedy P = (
Page 10 and 11: 10 ZDENĚK ŠIBRAVAŘešení: Funkc
Page 12 and 13: 12 ZDENĚK ŠIBRAVA12108z 642-4 -4-
Page 14 and 15: 14 ZDENĚK ŠIBRAVA141210z8644-4-22
Page 16 and 17: 16 ZDENĚK ŠIBRAVAPříklad 1.63.
Page 22: 22 ZDENĚK ŠIBRAVAPříklad 1.98.

PÅÃKLADY K MATEMATICE 2 1. Funkce vÃ­ce promÄnnÃ½ch 1.1 ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

PÅÃKLADY K MATEMATICE 2 1. Funkce vÃce promÄnnÃ½ch 1.1 ...