PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 1. Funkce více proměnných 1.1 ...

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 5Příklad 1.21. f(x, y, z) = 3x 2 yz + 4xy 2 z + 5xyz 2 , P = (1, 1, 1), u = (6, −6, 3).Výsledek: 5Příklad 1.22. f(x, y) = ln (x + y), P = (1, 2), u = (u 1 , u 2 ) je směrový vektortečny paraboly y 2 = 4x sestrojené v bodě P (u 1 < 0). Výsledek: − √ 2/3Příklad 1.23. f(x, y) = x2 , P = (√ 3, −3), u = (uy 1 , u 2 ) je směrový vektor tečny√kružnice x 2 + y 2 + 4y = 0 sestrojené v bodě P (u 2 < 0). Výsledek: 3/2Příklad 1.24. f(x, y) = arcsin x, P = ( 1, 2) , u = (uy 2 1 , u 2 ) je směrový vektor√normály hyperboly xy = 1 sestrojené v bodě P (u 2 > 0). Výsledek: 255/34Příklad 1.25. f(x, y, z) = xy 2 +z 3 −xyz, P = (1, 1, 2), u svírá se souřadnicovýmiosami úhly α = π/3, β = π/4, γ = π/3. Výsledek: 5Příklad 1.26. Derivace funkce dvou proměnných f v bodě P ve směru vektoruu 1 = (1, 1) je − √ 12a derivace této funkce ve směru vektoru u 2 = (2, 3) je − √ 113.Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 3 = (1, 2).Výsledek: 0Příklad 1.27. Derivace funkce tří proměnných f v bodě P ve směru vektoruu 1 = (−1, 1, 0) je − √ 2, ve směru vektoru u 2 = (1, 0, −1) je − √ 12a ve směruvektoru u 3 = (1, −1, 1) je √ 43. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směruvektoru u 4 = (2, 2, 1). Výsledek: 2/3Příklad 1.28. Derivace funkce tří proměnných f v bodě P ve směru vektoru6u 1 = (2, 3, 1) je √14a ve směru vektoru u 2 = (−1, −3, 1) je − √ 611. Vypočítejtederivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 3 = (2, 2, 2).Výsledek: 2/ √ 3Příklad 1.29. Najděme rovnici tečné roviny k ploše x 2 − 2y 2 + z 2 = 3 rovnoběžnés rovinou ϱ : x + 2y + 2z − 1 = 0.Řešení: Pro nalezení rovnice tečné roviny ax + by + cz + d = 0 potřebujeme znátnapř. normálový vektor této roviny a jeden bod, který v této rovině leží. Protožehledaná tečná rovina má být rovnoběžná s rovinou ϱ, musí být jejich normálovévektory rovnoběžné, tj.(a, b, c) = k(1, 2, 2), k ∈ R.O ploše x 2 − 2y 2 + z 2 = 3 můžeme předpokládat, že je vrstevnicí (úrovňovouplochou) funkce tří proměnných f(x, y, z) = x 2 − 2y 2 + z 2 pro q = 3. Dále víme, žegradient funkce v každém bodě P je normálovým vektorem vrstevnice procházejícítímto bodem a je tedy normálovým vektorem tečné roviny v bodě P . Tedy( ∂f(P )∇f(P ) =∂x , ∂f(P )∂y , ∂f(P ) )= (a, b, c).∂z