PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 1. Funkce více proměnných 1.1 ...

18 ZDENĚK ŠIBRAVAPříklad 1.68. Na elipse, která je průnikem válcové plochy x 2 + y 2 = 1 a rovinyx + y + z = 1, najděme body, jejichž druhá mocnina jejich vzdálenosti od počátkuje největší, resp. nejmenší.Řešení: Pro vzdálenost bodu (x, y, z) od počátku platí √ x 2 + y 2 + z 2 , přičemžze všech bodů R 3 nás zajímají pouze takové body, které leží na válcové plošex 2 +y 2 = 1 a současně v rovině x+y+z = 1. Naším úkolem je tedy nalézt absolutníextrémy funkce f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 vázané na dvě podmínky x 2 + y 2 − 1 = 0(g 1 (x, y, z) = 0) a x + y + z − 1 = 0 (g 2 (x, y, z) = 0).Hledáme tedy takový bod (x, y, z), pro který je(6)(7)(8)(9)(10)∇f(P ) = λ∇g 1 (P ) + µ∇g 2 (P ) a současně g 1 (x, y, z) = 0, g 2 (x, y, z) = 0.Protože ∇f = (2x, 2y, 2z), ∇g 1 = (2x, 2y, 0) a ∇g 2 = (1, 1, 1) dostáváme2x − 2λx − µ = 0,2y − 2λy − µ = 0,2z − µ = 0,x 2 + y 2 − 1 = 0,x + y + z − 1 = 0,což je soustava pěti nelineární rovnic o pěti neznámých. Za předpokladu, že λ ≠ 1z rovnic (6), (7), (8) dostanemeµ(11) x =2(1 − λ) , y = µ2(1 − λ) , z = µ 2 .Dosazením do (9) a (10) a úpravou pakOdtud pakµ 2 = 2(1 − λ) 2 , µ =2(1 − λ)3 − λ .λ = 3 ± √ 2, µ = 2(1 ± √ 2).Odtud pak dosazením do (11)( √ √2 2P 1 = −2 , − 2 , 1 + √ )2 , P 2 =(√ √2 22 , 2 , 1 − √ )2 .Pro λ = 1 dostaneme z (6) a (7) µ = 0, z (8) z = 0 a z (9) a (10) pak x = 0∧y = 1a x = 1 ∧ y = 0. Dalšími kritickými body jsou tedyP 3 = (1, 0, 0) , P 4 = (0, 1, 0) .V takovýchto úlohách bývá právě řešení těchto soustav největším problémem.Proto doporučujeme pro jejich řešení použít některý z vhodných programů (Mathematica,Maple, Matlab).Protožef(P 1 ) = 1 + (1 + √ 2) 2 = 6.82843, f(P 2 ) = 1 + (1 − √ 2) 2 = 1.17157f(P 3 ) = f(P 4 ) = 1