Lekce - Realisticky cz

3.2.6 Pythagorova věta, Euklidovy věty IIPředpoklady: 3205V každém pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a, b a přeponou c platí:a = c ⋅ c a, b = c ⋅ cb, v = ca ⋅ cb, kde v je výška na přeponu a ca, cbjsouúseky přepony přilehlé ke stranám a, b.Každou z předchozích vět je možné vyslovit i geometricky. Například věta o výšcev = c ⋅ c : Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka se rovnáabobsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.Př. 1:Vypočítej zbývající prvky (a, b, c a , v, α, β) v pravoúhlém trojúhelníku ABCγ = 90° , je-li dáno: c = 10 , c = 6 .( )bCbvaAcbc Pb = c ⋅ c b= 10⋅ 6 = 60 = 2 15c = ca + cb ⇒ ca = c − cb= 10 − 6 = 4( )a = c ⋅ c a= 10⋅ 10 − 6 = 40 = 2 10 cmv = c ⋅ c = 4⋅ 6 = 24 = 2 6 cmaba 2 10sinα= = ⇒ α = 39°14'c 10b 2 15sin β = = ⇒ β = 50°46'c 10c aBPedagogická poznámka: U předchozího příkladu doporučuji studentům, aby si nakresliliobrázek a postupně do něj dopisovali údaje, které již znají. Tímto způsobem paksnáze přijdou na to, jak spočítat údaje, které zatím neznají.1

Př. 2:Najdi způsob, jak zkontrolovat správnost výsledků předchozího příkladu.CbvaAcbc Bc P aZ obrázku vidíme: ca< cb, a < b , α < β .Součet úhlů v trojúhelníku musí být 180° .α + β + γ = 180° ⇒ 39° 14' + 50° 46' + 90° = 180°180° = 180°Pro velikosti stran musí platit Pythagorova věta:= + ⇒ 210 = ( 2 10 ) + ( 2 15)2 2 2c a b100 = 4⋅ 10 + 4⋅15100 = 100 ⇒ platí.2 2Pedagogická poznámka: Zdůrazňuji studentům, že při kreslení obrázku je dobré zachovatpodstatné rysy (pravý úhel), přehánět rozdíly (velikosti cba ca) a nepřidávat dalšívlastnosti (hodně studentů, kreslí trojúhelníky zásadně pouze rovnoramenné).Z takto nakresleného obrázku je možné hodně vyčíst, jak je ukázáno v předchozímpříkladě.Př. 3:Vypočítej zbývající prvky (b, c, c a , c b , α, β) v pravoúhlém trojúhelníku ABCγ = 90° , je-li dáno: a = 3, v = 5 . Goniometrické funkce používej pouze pro( )určování velikostí vnitřních úhlů.Zadání neumožňuje přímé dosazení do žádného ze vzorců. Nakreslíme si obrázek:CbvaAc bP c a BZ pravoúhlého trojúhelníku CBP můžeme pomocí Pythagorovy věty spočítat úsek přeponyc .a2 2 2 2a( ) 2c = a − v = 3 − 5 = 4 ⇒ c = 22 22a 3 9a = c ⋅ c a⇒ c = = =ca2 29 5c = ca+ cb⇒ cb= c − ca= − 2 =2 2a2

9 5 3b = c ⋅ c b= ⋅ = 52 2 2a 3sinα = = ⇒ α = 41°49′c 923 5bsin β = = 2 ⇒ β = 48°11′c 92Př. 4: V pravoúhlém trojúhelníku ABC platí β = 90°. Načrtni obrázek tohoto trojúhelníku(včetně vyznačení výšky a úseků přepony) a zapiš pro tento trojúhelník Pythagorovuvětu a Euklidovy věty. Zapiš vztahy pro goniometrické funkce úhlů α a γ .Obrázek:BcvaAbCcbbP a2 2 2Pythagorova věta: b = a + c .Euklidovy věty: v = ba ⋅ bc, c = b ⋅ bc, a = b ⋅ ba.a cGoniometrické funkce: sinα = , cosα = , tgα =b bsin γ =cb, cosγ =ab, tgγ =caa, cotgγ = .cac, cotgα =Dodatek: Změnu označení, ke které došlo v předchozím příkladu, popisují schémata procyklickou záměnu:AacaC B c b. V předchozím příkladu se z úhlu γstal úhel β ⇒ všechna označení stran, vrcholů i úhlů se posunulo dvakrát vesměru šipek (například a → c nebo α → γ ). Schémata umožňují provést záměnuzcela mechanicky, bezpečnější je však rozhodně nakreslení obrázku a vnímanívztahů jako vztahů mezi stranami trojúhelníka a ne mezi písmeny.Pedagogická poznámka: Původně jsem začínal rovnou následujícím příkladem. Bohužel seukázalo, že záměna značení není pro studenty vůbec snadnou záležitostí (setkávajíse s ním zřejmě poprvé) a je nutné se nejdříve zabývat pouze jí.Při diskusi nad příkladem je třeba trvat na tom, že všechny vzorce jsou vztahymezi stranami trojúhelníka, nejde o vztahy mezi písmeny a tudíž je skoro jedno,jaká písmena si v konkrétním případě vybereme.3

Př. 5:Vypočítej zbývající prvky (b, ab, ac, v, β , γ ) v pravoúhlém trojúhelníku ABC( α = 90° ) , je-li dáno: c = 6 cm , a = 3.Pozor: nestandardní značení vrcholů ⇒ nakreslíme obrázek pro jednodušší zapsánízaměněných vzorců:AbvcCa bSpočteme úsek přepony:( ) 22cc = a ⋅ a c⇒ ac= = = 2a 3a = a + a ⇒ a = a − a = 3− 2 = 1cbb = a ⋅ a b= 3⋅ 1 = 3b2 6v = a ⋅ a = 2⋅ 1 = 2cbcsin γ = ⇒ γ = 54°44′absin β = ⇒ β = β = 35°16′ccaPa cBPř. 6:Dokaž Pythagorovu větu pomocí Euklidových vět.2 2 2Pythagorova věta c = a + b22dosadíme: a = c ⋅ c , b = c ⋅ c2c = c ⋅ ca+ c ⋅ cb2c = c ⋅ ( ca+ cb)ab2 2c = c ⋅ c = cUvedený postup můžeme i obrátit a dojít tak k Pythagorově větě ⇒ Pythagorova věta platí.Pedagogická poznámka: Předchozí příklad slouží k zabavení rychlejších studentů. Tipomalejší ho přeskakují.Př. 7: V pravoúhlém trojúhelníku ABC ( ∢ ACB = 90°) je dáno: ta= 4 , tb= 19délky stran trojúhelníka.Nakreslíme obrázek:. Urči4

B 1At at bBCA 1Hledáme trojúhelníky, u kterých známe dva údaje (a třetí můžeme zjistit), těžnice vycházejíze středů stran ⇒Acb B t a10,5 bCt bA 1B0,5 aaDvakrát můžeme využít Pythagorovu větu:• trojúhelník CBB1:t2 2b2⎛ b ⎞= a + ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ ´2 2 ⎛ a ⎞• trojúhelník CAA1: ta= b + ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ ´⇒ získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých222 b( 19 ) = a +422 2 a4 = b +422Substituce: a = x , b = yyyx + = 19 x + = 194⇒4⇒ y = 12x15+ y = 16 y = 4544Dosadíme do první rovnice a vypočteme x:x + 12 = 19 ⇒ x = 164Návrat k původní proměnné:2a = x = 16 ⇒ a = 16 = 425

2= y = 12 ⇒ b = 12 = 2 3Určíme stranu c: c a ( ) 2 b2 22= + = 4 + 2 3 = 28 = 2 7Trojúhelník ABC má strany o délkácha = 4cm , b = 2 3 cm , c = 2 7 cm .Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu studenti většinou nejdříve zkouší spočítatpříklad dělením těžnic na části. Hlavním problém při řešení příkladu je prostudenty fakt, že sestavení jedné rovnice pro jeden z pravoúhlých trojúhelníků jimneumožní cokoliv dopočítat. Musí mít obě rovnice najednou, ale většina z nichpříklad vzdá ve chvíli, kdy zjistí, že použít jeden z trojúhelníků k vyřešení příkladunestačí.Př. 8:Petáková:strana 87/cvičení 38strana 87/cvičení 40strana 87/cvičení 41 b) e)Shrnutí: Euklidovy věty i Pythagorovu větu používáme i u pravoúhlých trojúhelníkůs jiným označením vrcholů. Nezáleží na písmenech ve vzorcích ale na jejichvýznamu.6