14. P a S

DIM PaS 14Kostry grafůDefinice kostry grafu: Nechť G V,E je souvislý graf. Kostrougrafu G nazýváme každý jeho podgraf, který má stejnou množinuvrcholů a je zároveň stromem.1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů:(a) K3, (b) K2,2, (c) C5.Počty koster některých speciálních grafů:- pro n 2 graf Dnnemá žádnou kostru,- pro n 2 je počet koster grafu Knroven- pro n 3 je počet koster grafuCnroven n,n 2n ,- pro souvislý graf obsahující jedinou kružnici délky k platí, že početvšech jeho koster roven k,- každý strom má pouze jedinou kostru,- počet všech koster grafu Pnje roven 1,- graf Kmn ,má právěm n koster.n1 m1

Určení počtu všech koster grafu pomocí Laplaceovy matice:Je dán graf G V,E s pevně zvoleným číslováním na množiněvrcholů v1, v2, , vn.Laplaceovou maticí grafu G nazýváme matici LG lijl deg v pro i 1, , n,ii G il 1, jestliže vrcholy v,v sousedí v grafu G,ijlij 0, pokud tyto vrcholy nesousedí.Počet všech koster grafu G vypočteme takto:ij, kde:- pro libovolnou dvojici čísel i,j označíme symbolem LG,,i jsubmaticimatice LG, která vznikne vyškrtnutím i – tého řádku a j – téhosloupce,- číslo det LG,,i judává počet všech koster grafu G.2. Vypočtěte počet všech koster následujících grafů a nakreslete je:(a) K2 D2, (b) K1,2 K2.3. Pomocí Laplaceovy matice určete počet všech kosternásledujících grafů:(a) P4, (b) K1,2 K2, (c) K1,2 K2, (d) D1 K2 K2.4. Kostrou nesouvislého grafu rozumíme les vzniklý z kosterjednotlivých grafů. Kolik koster má graf K4 C4?

Metody sestavení kostry grafu:Postup 1 (ubírání hran):(1) Pokud graf neobsahuje kružnici, máme hledanou kostru a postupkončí. Jinak postoupíme na bod (2).(2) Vybereme libovolnou hranu, která leží na kružnici a tu z grafuubereme (její vrcholy ale ne). Se změněným grafem postoupíme nabod (1).Postup 2 (přidávání hran):Vycházíme z toho, že na množině V je zadán souvislý graf s nvrcholy, jehož hrany jsou očíslovány jako e1, e2, , e m. Začnemes diskrétním grafem na množině V. Postupně přidáváme hrany podlejejich očíslování. Pokud po přidání nějaké hrany vznikne v grafukružnice, vrátíme se o krok zpět a přidáme další hranu v pořadí.Postup opakujeme, pokud nevyčerpáme všechny hrany grafu. Postupsamozřejmě ukončíme, pokud počet hran dosáhne hodnoty n - 1.Ohodnocené grafyDefinice ohodnoceného grafu: Jedná se o dvojici Gw, , kdeG V,E je graf a w:E R je zobrazení množiny všech hran domnožiny reálných čísel. Zobrazení w se nazývá váhová funkce a prokaždé e Ewe nazývá váha hrany e. se hodnota Váhou grafu, případně váhou podgrafu rozumíme součet vah všechjeho hran.

Minimální (maximální) kostra grafu: Pokud Gw , je souvislýohodnocený graf, nazýváme jeho minimální (maximální) kostrou tujeho kostru, která má minimální (maximální) váhu.V každém ohodnoceném souvislém grafu existuje minimální amaximální kostra.Metoda pro nalezení minimální kostry - Hladový (Kruskalův)algoritmus: V ohodnoceném souvislém grafu s n vrcholy očíslujemehrany e1, e2, , e mtak, aby jejich váhy tvořily neklesajícíposloupnost, tedy we we we . Minimální kostru1 2 mvytváříme tak, že začneme s hranou e 1a dále přidáváme hrany tak, jakjsou v seřazeny v neklesající posloupnosti. Jakmile po přidání hranyvznikne kružnice, hranu škrtneme a přejdeme k další hraně.Postup ukončíme, když počet hran v kostře dosáhne hodnoty n 1.Váha minimální kostry je součtem vah hran, které ji tvoří.5. V grafu H jsou hranám přiděleny ceny (váhy). Matice cen jezadána tak, že její řádky a sloupce odpovídají po řadě vrcholům1, …, 9. Když hrana v grafu neexistuje, je na jejím místě0 1 3 1 2 2 10 2 1 2 0 1 3 30 1 2v matici pomlčka: 0 2 1 3 2(matice je0 1 1 0 2 20 10symetrická, uvádíme tedy jen její naddiagonální část). Pomocíhladového algoritmu najděte aspoň dvě nejlevnější (maximální)kostry a zakódujte je Prüferovým kódem.

6. Na následujícím grafu jsou uvedeny náklady na měsíčnípronájem počítačové linky mezi různými městy. Chceme-li mítzajištěno spojení každých dvou měst, musíme si pronajmoutkostru tohoto grafu. (a) Pomocí Laplaceovy matice určete, kolikmá tento graf koster, (b) najděte nejlevnější a nedražší kostru azakódujte je Prüferovým kódem, (c) najděte střed tohoto grafu,(d) jak byste pro ohodnocený graf změnili definici poloměru aprůměru? Určete tyto hodnoty.

7. Je dána matice cen grafu:0 1 10 3 2 1 0 2 3 2.0 2 0 30Hladovým algoritmem určete cenu minimální a maximálníkostry. Kolik minimálních koster má graf? Nějakou minimální amaximální kostru zakódujte Prüferovým kódem.