7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice - Realisticky cz

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnicePředpoklady: kružnice, 2505, 7103, 7304Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole okuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli dobře doplňovat na čtverec. Jedobré jim dát na konci předchozí hodiny jeden dva příklady a v případě, že jimbudou dělat problémy, probrat ještě jednou hodinu 2505.Dosud jsme v analytice počítali pouze s přímými čarami. Samozřejmě existuje i spoustaútvarů, které nejsou složeny pouze z přímých čar.Čarám, které nejde rozložit na přímé úseky se říká křivky. Mezi nejsnáze popsatelné křivkypatří kuželosečky – křivky, které vzniknou, když rovina seče kuželovou plochu (samo sevysvětlující termín).Př. 1:Sepiš všechny kuželosečky, které znáš. Načrtni polohu, ve které sečná rovina sečekuželovou plochu, aby vznikla daná kuželosečka.KružniceElipsa („rozšlápnutá kružnice“, „ovál“)Sečná rovina je kolmá k ose kuželové plochy.Parabola (graf kvadratické funkce)Sečná rovina není kolmá na osu, ale svírá s nívětší úhel než strana kuželové plochy.Hyperbola (graf lineární lomené funkce)Sečná rovina je rovnoběžná se stranou1

kuželové plochySečná rovina svírá s osou kuželové plochymenší úhel než strana.Postupně všechny kuželosečky prozkoumáme. Začneme od nejjednodušší – kružnice.Rovnice přímky ax + by + c = 0 - podmínka, kterou splňují body na přímce a nesplňují bodymimo ní.Hledáme rovnici kružnice - podmínku, kterou splňují body na kružnici a nesplňují ji žádnéjiné body v rovině.Slovně podmínku známe z planimetrie: kružnice je množina všech bodů roviny, které mají oddaného bodu (středu kružnice) stejnou kladnou vzdálenost (poloměr kružnice)⇒ zkusíme zapsat podmínku jako rovnici a získaná rovnice bude rovnicí kružnice.Př. 2: Najdi rovnici kružnice se středem [ 2;3]jako X [ x;y ] . Příklad řeš dvakrát do dvou sloupců, v levém sloupci pro zadanéhodnoty, v pravé obecně pro S [ m;n ] a r.Body kružnice jsou od bodu S [ 2;3]vzdálenyo 2 ⇒ zapíšeme jejich vzdálenost pomocívzorce pro vzdálenost dvou bodů.XS = 2( x s ) 2( y s ) 2− + − = 2x( x ) ( y )2 2 2y− 2 + − 3 = 2 / To už je rovnicehledané kružnice. Odmocnina není hezká ⇒rovnici umocníme.S a poloměrem r = 2 . Body kružnice zapišBody kružnice jsou od bodu S [ m;n ]vzdáleny o r ⇒ zapíšeme jejich vzdálenostpomocí vzorce pro vzdálenost dvou bodů.XS = r2( ) ( ) 2x − s + y − s = rx( ) ( )y2 2 2x − m + y − n = r2 2( x − 2) + ( y − 3)= 4( ) ( )2 2 2x − m + y − n = r - Rovnice kružniceve středovém tvaru (ihned můžem určit středa poloměr kružnice)./Kružnici k ( S;r ) , kde [ ; ]2 2 2( x − m) + ( y − n)= r .S m n je možné zapsat ve středovém tvaru rovnicíPř. 3: Najdi středový tvar rovnice kružnice k ( S;r ) , pokud platí:a) S [ 4; − 1], r = 1 b) S [ −1; − 2], r = − 2 c) [ 1;0 ]a) S [ 4; − 1], r = 1 ⇒ ( x ) ( y [ ]) 2 2( x − 4) + ( y + 1)= 12 2− 4 + − − 1 = 1S − , r = 0,52

) S [ −1; − 2], r = − 2 ⇒ Rovnici nejde sestavit, kružnice nemůže mít záporný poloměr.c) S [ − 1;0 ] , r = 0,5 ⇒ ( x [ ]) ( y )( ) 2 2x + 1 + y = 0, 252 2 2− − 1 + − 0 = 0,5Př. 4: Urči střed a poloměr kružnice k ( S;r ) , pokud je dána středovou rovnicí:2 22 2a) ( x − 2) + ( y + 3)= 9b) ( x + 1) + ( y − 4)= − 22 22 2c) x + y = 3d) ( x + 2) − ( y − 1)= 42 2a) ( x − 2) + ( y + 3)= 9 ⇒ [ 2; 3]2 2b) ( x ) ( y )c)xS − , r = 9 = 3+ 1 + − 4 = − 2 ⇒ Nejde o rovnici kružnice, protože − 2 nemůže být poloměr.4+ y = 3 ⇒ S [ 0;0], r = 3 = 32 22 2d) ( x ) ( y )+ 2 − − 1 = 4 ⇒ Nejde o rovnici kružnice mezi závorkami není plus.2 2 2Rovnici kružnice ( ) ( )x − m + y − n = r jsme nazývali středová ⇒ existuje ještě jiný druhrovnice kružnice. Získáme ho, když umocníme závorky:( x ) ( y )2 2− 2 + − 3 = 42 2x x y y− 4 + 4 + − 6 + 9 = 42 2x x y y− 4 + − 6 + 9 = 02 2x y x y+ − 4 − 6 + 9 = 0 - obecná rovnice kružnicePř. 5:Najdi obecnou rovnici kružnice, která je dána středovou rovnicí( ) ( )2 2 2x − m + y − n = r .2 2 2Jenom umocníme závorky ve tvaru ( ) ( )2 2 2 2 2x − 2mx + m + y − 2ny + n − r = 02 2 2 2 2x + y − 2mx − 2ny + m+ n − r = 02 2x y mx ny p+ − 2 − 2 + = 0px − m + y − n = r :2 2 2Je-li kružnice dána středovou rovnicí ( ) ( )2 2x y mx ny p+ − 2 − 2 + = 0 , kdex − m + y − n = r , nazýváme rovnici2 2 2p = m + n − r obecnou rovnicí této kružnice.Jaké má obecná rovnice výhody? Nejsou tam závorky.Nevýhody? Není z ní poznat, o jakou kružnici jde. ⇒ Je to vlastně výhoda, dá se na tovymyslet spousta příkladů.3

Př. 6:Najdi střed a poloměr kružnice dané obecnou rovnicí2 2x y x y+ + 4 −8 − 5 = 0.Střed a poloměr dokážeme určit ze středové rovnice ⇒ musíme obecnou rovnici předělat na2 2středovou ⇒ musíme sestavit závorky (vyrobit vzorec A + 2AB + B ):2 2 2 2A + 2AB + B A − 2AB + B2 2 2 2 2 2 2 2x + y + 4x −8y − 5 = x + 2x ⋅ 2 + 2 − 2 + y − 2y⋅ 4 + 4− 4 − 5 =0 02 2 2 2( x + 2) − 4 + ( y − 4) −16 − 5 = ( x + 2) + ( y − 4)− 25 = 02 2( x + 2) + ( y − 4)= 25 ⇒ Kružnice má střed v bodě [ 2;4]S − a poloměr r = 25 = 5.Př. 7:Urči středy a poloměry kružnic, které jsou dány následujícími rovnicemi:2 22 2a) x + y − 2x + 6y+ 6 = 0b) x + y − 4x− 4 = 0c)e)2 2x + y − 4x − 6y+ 20 = 0d)2 1 2x − x + y − 8y+ 13 = 022 2x y x y+ − 3 − 4 = 0a)2 2x y x y+ − 2 + 6 + 6 = 0+ − 2 + 6 + 6 = − 2 + + 6 + 6 =2 2 2 2x y x y x x y y2 2 2 2 2 2x − 2x ⋅ 1+ 1 − 1 + y + 2y⋅ 3 + 3 − 3 + 6 =2 2( x − 1) + ( y + 3)− 4 = 02 2( x − 1) + ( y + 3)= 4 ⇒ Kružnice má střed v bodě [ 1; 3]b)2 2x y x+ − 4 − 4 = 02 2 2 2 2 2 2 2x + y − 4x − 4 = x − 4x + y − 4 = x − 2x ⋅ 2 + 2 − 2 + y − 4 =2 2( x − 2)+ y − 8 = 0( ) 2 2x − 2 + y = 8 ⇒ Kružnice má střed v bodě [ 2;0]c)2 2x y x y+ − 4 − 6 + 20 = 0( x ) ( y )( x ) ( y )2 2S − a poloměr r = 4 = 2 .S a poloměr r = 8 = 2 2 .2 2 2 2 2 2 2 2x + y − 4x − 6y + 20 = x − 2x ⋅ 2 + 2 − 2 + y − 2y⋅ 3+ 3 − 3 + 20 =− 2 + − 3 + 7 = 02 2− 2 + − 3 = − 7 ⇒ Nejde o rovnici kružnice, druhá mocnina poloměru nemůže býtzáporná.d)2 2x y x y+ − 3 − 4 = 02 22 2 2 3 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 2 2 2x + y − 3x − 4y = x − 2x ⋅ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + y − 2y⋅ 2 + 2 − 2 =2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠23 2 25⎛ ⎞⎜ x − ⎟ + ( y − 2)− = 0⎝ 2 ⎠44

23 2 25⎛ ⎞⎜ x − ⎟ + ( y − 2)=⎝ 2 ⎠4⇒ Kružnice má střed v boděS ⎡ 3⎢⎤ ;2⎣ 2 ⎥⎦ a poloměr 25 5r = = .4 2e)1− + − 8 + 13 = 022 2x x y y2 22 1 2 2 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 2 2x − x + y − 8y + 13 = x − 2x ⋅ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + y − 2y⋅ 4 + 4 − 4 + 13 =2 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠2 22 2⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞49⎜ x − ⎟ + ( y − 4) − − 3 = ⎜ x − ⎟ + ( y − 4)− = 0⎝ 4 ⎠ 16 ⎝ 4 ⎠1621 2 49⎛ ⎞⎜ x − ⎟ + ( y − 4)= ⇒ Kružnice má střed v bodě⎝ 4 ⎠16S ⎡ 1⎢⎤ ;4⎣ 4 ⎥⎦ a poloměr 49 7r = = .16 4Pedagogická poznámka: Pokud hodina probíhá normálně, většina třídy bude končits předchozím příkladem, Ti nejrychlejší stihnou následující. Se zbytkem třídy sijeho řešení kontrolujeme na začátku příští hodiny.Př. 8:Rozhodni o pravdivosti následujících vět:a) Každou kružnici je možné zapsat pomocí obecné rovnice kružnice.2 2b) Každá rovnice tvaru x + y − 2mx − 2ny + p = 0 (všechny koeficienty jsou reálnáčísla) je obecnou rovnicí kružnice.a) Každou kružnici je možné zapsat pomocí obecné rovnice kružnice.Věta je pravdivá. Každou kružnici můžeme zapsat pomocí středové rovnice. Při převádění zestředové rovnice na obecnou jsme pouze umocňovali a sčítali. Tyto úpravy je možné provéstpro všechna reálná čísla ⇒ Vždy se nám podaří převést středovou rovnici na obecnou a tedyzapsat libovolnou kružnici pomocí obecné rovnice.2 2b) Každá rovnice tvaru x + y − 2mx − 2ny + p = 0 (všechny koeficienty jsou reálná čísla) jeobecnou rovnicí kružnice.2 2Věta určitě neplatí. V předchozím příkladu rovnice x + y − 4x − 6y+ 20 = 0 nešla převést nastředovou rovnici kružnice, na pravé straně vyšlo záporné číslo ⇒ Rovnice2 2x + y − 2mx − 2ny + p = 0 je rovnicí kružnice pouze v případě, že po provedení úpravzískáme na pravé straně kladné číslo, které je možné interpretovat jako druhou mocninupoloměru kružnice.Př. 9:(BONUS): Najdi podmínku, kterou musí splňovat parametry m, n, p, aby rovnice2 2x + y − 2mx − 2ny + p = 0 byla obecnou rovnicí kružnice.Provedeme úpravy a zkontrolujeme znaménko na pravé straně.2 2x + y − 2mx − 2ny + p = 0− 2 + − + − 2 + − + = 02 2 2 2 2 2x mx m m y ny n n p( ) ( )( ) ( )2 2 2 2x − m + y − n − m − n + p = 02 2 2 2x − m + y − n = m + n − p5

⇒ musí platit+ − > 0 .2 2m n pDodatek: Pokud máme rovnici( ) ( )1.2 2 2 2+ − 2 − 2 + = 0 upravenou do tvaru2 2x y mx ny px − m + y − n = m + n − p , pravá strana rovnice má význam vzdálenostiXS a mohou tedy nastat tři možnosti:+ − > 0 ⇒ Jde o rovnici kružnice se středem S [ m;n ] a poloměrem2 2m n p2 2r = m + n − p .2.3.+ − = 0 ⇒ Platí 02 2m n p2 2m n pXS = ⇒ rovnici splňuje jediný bod S [ m;n ]+ − < 0 ⇒ Platí XS < 0 ⇒ rovnici nesplňuje žádný bod v rovině.Př. 10: Petáková:strana 128/cvičení 74 b) d) e) f)2 2 2Shrnutí: Středová rovnice kružnice ( ) ( )vzdálenosti bodů kružnice od jejího středu.x − m + y − n = r vyjadřuje podmínku konstantní6