19.06.2015 Views

FINITE ELEMENT CENTE - FEniCS Project

FINITE ELEMENT CENTE - FEniCS Project

FINITE ELEMENT CENTE - FEniCS Project

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

¢¡¤£ ¡¦¥ § § ¨©§ § £ ¥ § £ ¥ § <br />

PREPRINT 2002-10<br />

Least-Squares Finite Element Methods with Applications<br />

in Electromagnetics<br />

Rickard Bergström<br />

Chalmers Finite Element Center<br />

CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY<br />

Göteborg Sweden 2002


¡ ¢ £¥¤ ¦¨§© ¦ ¦¨£¥¦¨¤ ¦¨ ¦¨ ¦¨§<br />

Preprint 2002-10<br />

Least-Squares Finite Element Methods with<br />

Applications in Electromagnetics<br />

Rickard Bergström<br />

Chalmers Finite Element Center<br />

Chalmers University of Technology<br />

SE–412 96 Göteborg Sweden<br />

Göteborg, December 2002


Least-Squares Finite Element Methods with Applications in Electromagnetics<br />

Rickard Bergström<br />

NO 2002-10<br />

ISSN 1404–4382<br />

Chalmers Finite Element Center<br />

Chalmers University of Technology<br />

SE–412 96 Göteborg<br />

Sweden<br />

Telephone: +46 (0)31 772 1000<br />

Fax: +46 (0)31 772 3595<br />

¡ ¡ £¢¥¤¡¦¨§©¢¦¢<br />

Printed in Sweden<br />

Chalmers University of Technology<br />

Göteborg, Sweden 2002


¢¡¤£¦¥¨§©¥<br />

!"#$ %%'&(¦ *)+),-"#!&*/.02143 5276'*8&9:;9;¦"#)=A@¤B4.<br />

<br />

(7


§¡ ¡ ¡ § ! ¡"§$#&%(')¥ * §$#<br />

¢¡¤£¦¥¨§¨©£¦¡¤¥<br />

,, -/.0£§$1% )¥ 1¡2.3§4%5 £76 8¡"§$/.9¥<br />

+<br />

][^ª€žB‰s{sw„€o £3‰Nœp|z{swžDp| hq}€phŠLª—}Pz{sut¢‰z{Š€p|zfsw£/swt{ph…ishª<br />

¼<br />

sut˜m@€qo„ tl£†•¯‰oqo„‰N¡fsƒŠ€qz{p| |t‚o £½•¯zw‰…¾¡Zphoqo¿žD‰swphŠ€k-phs{s¨‰@•«t‚ˆ€p h‰@k1t{„k1y€‰y-s¢ž-z{‰€oqph…0ª<br />

¼<br />

p|s{s{p|kt‚¤m–o¿D‰y-k€ŠPm@zu£< h‰k-Š€qt{„‰k€s§…†mr£3Bp„…ižD‰swphŠ


Y<br />

¦§¤©¨ _


I* *‚#&" "21-"£"2 a# ' 3©,$"¢'<br />

L<br />

@ Z R‰: l<br />

Z£¤£¤£<br />

Z ƒ Z BpnŠ€ph |‰…†žB‰swqt‚q‰k€sŸ‰@•“t‚ˆ-p†swy€DŠ-‰…½m–„k€s 8 @ „kt‚‰-ª«p–¥Ä¬-¥qª[t‚p‡t‚z‚m–ˆ€phŠ€z{m@o>ª[p|o„p‡v<br />

…iphkt‚s¦¥¦ªÈm@k-Š2o„p‡t§¡ :©¨ >@BADC¡ @ Š-phk€‰@t{pt{ˆ€p$zwphs{y-oqt‚qk€¬iŠ€ph |‰…†žB‰swqt‚q‰k0‰@•T8¥¢Œ¿p|t­Š-phk€‰@t{p$t‚ˆ-p<br />

Œ¿p|t¢¡<br />

…iphs{ˆ3•¯y-k€ |t{„‰k@ADC|µ…\ ‹^8 @ ” ·G ªP tfˆ€‰o„Š-s<br />

”<br />

Od > ^ 9 r+C0h_ji<br />

‘<br />

Cedd@gf r+C0h_ µ]y€„ƒD·9_ 9<br />

p|z{p¤¡Zp7ˆPmrœ@p qkt‚z{‰/Š€y€ |phŠm¦¡šp|„¬ˆtQ_8„k5t‚ˆ€p2œ@‰o„y-…†p¤qk1t{ph¬z{m@ö t{phz{…is9 h‰kt‚m@„k€qk€¬¦t‚ˆ-p¤ hy€zwo<br />

u<br />

|phŠUBp|tl¡ZphphkUt{ˆ€p3 hy-z{oƒm–k€Š®t‚ˆ-p3Š€qœ@phzw¬phk€ |p< h‰k-Š€qt{„‰k€s|¥­¦§ˆ€p½žPm@z‚m–…†p‡t‚phz i<br />

t‚ˆ1y€s$Dp‡t{t‚p|zÅPm@o„m@k€<br />

_<br />

…iphkt‚sf„k3t{ˆ€p…†p|s{ˆLª—m–k€Š9o„p|t<br />

H: …†mF¢[‹¥”šŠ€phk€‰–t‚pŸt‚ˆ€p¬oq‰Pm@oD…†p|s{ˆ0s{q›hp@¥¢‰kvÑ…½m–t{ ˜ˆ€„k-¬<br />

…iphs{ˆ-phsŸm@zwpIm@oqo„‰N¡šp|ŠLªB€y-t¡ZpIm@sws{y€…ipÅo„‰/ rm–o«x1yPm–s{ vÑy€k€ •¯‰z{…iqtl£9m–k€Šm½…i„k€q…½m@oLm@k€¬oqp |‰k€Š€ t‚„‰@k<br />

‰k¥“Œ¿p|t<br />

Wx: ><br />

Z<br />

‹ º ¥ÄÏ”<br />

@BADC W @<br />

@ Š€p|}€k€phŠ"1£ ¡fqt{ÎW<br />

W @<br />

:! 4{´µ" g ‹8 @<br />

” ·G »# $` {%$ f ‹¥” Z •¯‰zfm–o„o&¥ {'¡ @)( Z<br />

¡fˆ€p|z{p*$ f qs§t‚ˆ€p4s{p‡ẗ ‰@•Ym@o„oDœph ‡t‚‰z¨žD‰@oq£/k€‰…i¤m@oqsš‰@•~Š€ph¬@z{php4o„p|s{sft‚ˆPm–k"‰zfp|x/y€m@o«t{‰,+/¥“¦§ˆ/y-sxW$qs<br />

t‚ˆ-p¨swp|tƒ‰–•¿m@oqoPž€„p| hp|¡fqs{p¢œph ‡t‚‰zZžD‰@oq£/k€‰…i¤m@o/•¯y€k€ ‡t‚„‰@k€sZ‰–•LŠ€p|¬z{p|p¦+¡fˆ€q ˜ˆ


!£#"$§©&%(')§©*§¦©+¢©%<br />

¢¡¤£¦¥¨§©§¦©¢©§©<br />

§©<br />

hp!_3„s k€‰@t Š€p|}€k€phŠn‰k$t{ˆ€pšqkt‚phzu• m@ hp–¥ Æ7pš¡f„oqoz{p‡t‚y€zwkÅt‚‰¨t{ˆ€pƒpЀm– |tbŠ€p‡}Pk€ t‚„‰@k$‰@•€t{ˆ€„s~mrœphz{m@¬p–¥<br />

s{qk€<br />

m– hphs|ªPt‚ˆ€p-, _ ‹P«”lvÑk€‰zw…¢s{ hm@o„p|Š"£% r+C0h_ ˆPm–s¨Bphp|k­y€swphŠ<br />

’"‰zwph‰Nœp|zhªB‰k9t‚ˆ€pB‰y€k€ŠPm–zw£0m@k€Š0„kt{phzw•<br />

h‰…iž€y-t‚m–t‚q‰kPm@oqoq£4 hy€…$Dp|z{s{‰@…†p‰\ C0h_ ‹^P ”Ñvlk€‰@z{…0ªs{p|p¨²š‰/ ˜ˆ€p‡œim@k€Š


i y {¥Wª€¡fˆ€p|z{p •¯‰zfm@oqo<br />

Z i yÅ”(: > ]@BADC ‹[|}pˆy Z |}p i yI” b c ‘‹|.€ y Z |.€ i yI” b c ‹ º ¥¡ ”<br />

=B‹y<br />

¥&`°`bai` ¤ _Yg• ¨_¤<br />

¤<br />

3©5 *-%(5 *‡"¢5+5+%(5 "2'd#+*7£# "¢' L9<br />

Od > ^ ‹[ r+Ci Cedd@f<br />

r+C µ]y€„ƒD·Z µi y†€•ƒB· ”k cla ‘‹[<br />

ykp¥ƒB· ”k cl<br />

hqk€¬It‚ˆ€pphk-phz{¬–£


§Œ¿p|t§¦m: —¥bÆ®ps{ˆ-‰ —œ¢¡£¡¥¤ ¡t‚ˆPmFt “›n&<br />

r<br />

¦ _ 9 9_ ‘` ¦¢`_CLK ‹ Ë ¥Ë ” £ ] " < ¦¢``…`_ ``…`<br />

|}p¨¦ < ` Z ‹ Ë ¥ÄÏ”<br />

¦¢`_CLK 9<br />

m@k€Š<br />

9_ "<br />

|.€©¦ ` ¦¢`_CLK ‹ Ë ¥@” £ " < 9_ 9<br />

¡Zp4¬@p|t<br />

P‰zƒt‚ˆ-p4B‰y€k-ŠPm@zw£½t‚phzw…<br />

r+C0h_ ¦ €„ƒ 9_ k : ] 9<br />

k<br />

A<br />

9 r+C0h_ ¦ €„ƒ 9_ £<br />

‹ Ë ¥cb”<br />

k<br />

£ k<br />

¦ 9 9_ ‘` ¦¢`_CLK Z<br />

£ k<br />

9 9_ < " 9 9‹0 r+C<br />

hp3qk€phx1yPm@oqqtl£ ¡fˆ€p|z{p3¡Zp3y€s{p|Š¦t‚ˆ€p†t‚z‚m–<br />

m– hpa–wy€…iž9t{phzw…†sƒ¡Zpy-s{pŸt‚ˆ€pŸt{z{¤m–k€¬o„p¨„k€p|x/y€m@o„ tl£<br />

„kt{phzw•<br />

r+C0h_ µ¦ €•ƒD·9_ k cl < 9 r+C0h_ ¦<br />

@ €„ƒ 9_ 9<br />

r+C0h_ i _ µ]_ r+C<br />

¦ 9<br />

9 9 ‘ ` $`CLKš”‡¥­~„kPm–o„oq£@ª«•¯‰@zt‚ˆ-p<br />

&('7/9 +&( 49+* 4 6¨!


§Œ¿p|t¡ ©: y “Vy§$Š€p|k€‰@t‚pŸt{ˆ€pphz{zw‰zh¥°¦§ˆ€p|k<br />

—œ¢¡£¡¥¤<br />

&`…`…`_ : =B‹£ Z y†“Vy¦F” ‹ Ë ¥ l<br />

j ”<br />

``…`¢<br />

<br />

&``…`Q< ``…`My“›n¢yQ``…` `…``<br />

-@ r+C `yN`@<br />

Z ‹ Ë ¥ lOl ”<br />

"<br />

C<br />

<br />

r+C0h_ µ…y§v€„ƒB·9<br />

3 <br />

<br />

! / 0*+&(2 / 0- 2!" F : l &( !90--¡ 3 P : !"54 F : º &( 3 <<br />

F @<br />

<br />

: =B‹£ Z y†“›n¢y ‘ n$y†“ly¦F”<br />

: =B‹£ Z y†“›n¢yÅ” Z<br />

¡fˆ€p|z{p9¡šp9y€swp9t{ˆ€p"³4m–o„phzwÀ1„kU‰zut‚ˆ€‰¬@‰kPm@oqqtl£ =B‹£ Z i<br />

y {†Wª°„kUt‚ˆ-p0o„m@swtÅphx1yPm@oqqtl£¥<br />

¦¨sw„k€¬It{ˆ€p-2ƒm@y€ ˜ˆ£vuŽ ˜ˆ¡šm@z{›Åqk€phx1yPm–o„qtl£3m@k€Š0Š€qœ/qŠ€„k€¬$1£V`…`…`¢ &`…``¡Zp$m–z{z{ œpm–t<br />

yI”‡: j ª°•¯‰z i<br />

¡fˆ€p|z{p¡špy€swphŠ2Œ¿p|…†…†m Ë ¥ l qk3t‚ˆ€po¤m–swtf„k-phx1yPm@oqqtl£¥<br />

3 %!'d# "¢5 *-%!5 *‡"25+5+%(5 "¢')# *£#&"2' L9L<br />

s{q…†ž€oqpÅ rm–o„ hy-o¤m–t{„‰k¤¬ œp|st{ˆPm–tŸt{ˆ€p†p|k€phzw¬@£¤k€‰@z{… ‰@•Zt‚ˆ€pnp|z{z{‰@z¡fˆ-phk®y-s{„k-¬"m9€qo„„k-prm@z¢•¯‰z{…<br />

Î<br />

oqprm@sutwvlswx1yPm@z{p|sIž€z{qk€ hqž€o„p|s$sw„…iž€oq£p|x/y€m@o„sÅt{ˆ€p3z{p|s{qŠ€yPm@o¸¥¤¦§ˆ/y-sn¡Zp< rm–kUswt˜mFt‚p3t‚ˆ-p<br />

Š€p|z{qœ@phŠU•¯z{‰@…<br />

•¯‰oqo„‰N¡f„k€¬ÅmnžB‰sut‚phzw„‰zwLphzwz{‰z§p|swt{„…†m–t‚pŸqk9t{ˆ€pphk€p|z{¬@£9k-‰z{…0¥<br />

˜¡ œ ˜) ë ¨ y { W 8! &('7/9 +&( #& !


˜ˆ€ t‚›ŸŠ€‰@…½m@qk3¡fqt{ˆ0 |‰z{k-phz{s|¥<br />

rm–s{pŸ•¯‰z¢mI¬phk€p|z‚m@o[Œ¿qž€s{<br />

Ÿ$ ^¡ ¥I˜§¦©¨+¡¨ ¡ ¤ ˜¢š2œ¢¡^˜)<br />

ë<br />

}Pk€Š®‹<br />

Z<br />

”a{ˆ\ ‹|qp Z 8f”9pˆ\ C<br />

£<br />

º<br />

¤<br />

º<br />

¤<br />

<br />

: j Z Np¥ƒz: j ‰@kNP Z ‹ Ë ¥ l – r”<br />

„sZm@kPm@o £/s{phŠ½„k 2šˆ-phkLª 3yLª-m–k€Š%$ȉy2µ F·>ª1¡fˆ€phzwpqt“qsZswˆ€‰N¡fk3t‚ˆPm–t“t‚ˆ-phz{p¨p‡Â„sut‚sšmy€k€qx1y€p<br />

ž€zw‰€o„p|…<br />

<br />

;<br />

j •¯‰zfm@o„o&8¡fqt{ˆN|.€ : j ¥<br />

s{‰@o„y-t{„‰kL¥Y—y-zwt‚ˆ-phz{…i‰zwp@ª<br />

: j m@k-Š3t‚ˆ1y€s<br />

<br />

: j ª€m–k€Š%! swy€ ˜ˆ0t{ˆPm–t§ tƒs{m–t‚qsw}Pp|sƒt‚ˆ€pm@y/Â-qo„„m@zw£I¡Zprm@À†ž€z{‰@€o„p|…"»<br />

…†m@À1„k€¬m|€7<br />

}Pk€Š8!<br />

C ‹8f”ƒs{y€ ˜ˆ0t‚ˆPmFt {ˆ\<br />

Z | ”: > ]@BADC ‹[| €1‹”_ r+C y 2<br />

‹|9! ” Z ” b c“ ] <br />

Cedd@f Od ><br />

r+C y 2 €•ƒB·Z ”k cl Z ‹{µM_<br />

|p@ªBs{p|p 2š‰sut˜m@Bpho[m–k€Š 3Ÿm–y€¬piµ lOl ·¸¥<br />

h‰@k1œ@phzw¬phk€<br />

hm–t‚q‰k€shª~‰k€p3¡šm@kt‚snt‚‰¤…iprm@swy€z{p


£<br />

Cedd@f Od ><br />

Cedd@f Od ><br />

Od > Cedd@f<br />

<br />

Z µMƒ € 2 ·¤”k ‘‹|.€<br />

> :<br />

£<br />

€„ƒD·¤”k<br />

^ ‹”_¢|;p <br />

Z µM_ r+C g p‰ƒD·¤”k cl ‘0‹^_ r+C $Z µ 2 €ƒB· ”k cl ‘0‹[|€ <br />

Z µ 2 €ƒB· ”k cla<br />

Cedd@f Od > ^ ‹^_¢| p <br />

Z µ]_ r+C ¢pvƒD·¤”k cl ‘‹[|;p <br />

Z µ +€ƒD·¤”k cla ‘‹[|;p <br />

Z µ 2 €ƒB· ”k<br />

Cedd@f Od ><br />

‹0 C0h_ji ^ C0h_ |.€ ?‘ r+C0h_ µ ‹H“›n È”€„ƒD·Z r+C0h_ µ ‰€„ƒB· ”k cla<br />

‘‹[<br />

C0h_ |.€ ?‘ r+C0h_ µq‹ H“lnÈ”2€„ƒD·Z r+C0h_ µ ‰€„ƒD·¤”k £<br />

l<br />

‘‹0<br />

j<br />

•¯‰z$m@o„o {=\ C ‹^8f”‡¥¦§ˆ€„s$ž€z{‰-o„ph… qs¡Zpho„oZžD‰@s{phŠ´m@k-Š¦¡šp<br />

€„ƒD·¤”k cl<br />

Æ®pŸt{ˆ/y-s¨¬p‡t<br />

Cedd@f Od ><br />

f : ><br />

¡f‚f<br />

]@BADC ‹^_ r+C y g Z y g ” b)c “ ‹^_ r+C y g Z y g<br />

^<br />

” bdca ‹ Ë ¥º j ”<br />

” bdc “ ‹”_ r+C y 2 Z y 2 <br />

‘ ]<br />

‹[|.€ <br />

Z µ…y 2<br />

€„ƒB· ”k cl ‘‹|.€ <br />

Z µ]y 2<br />

: ><br />

]@BADC?^ ‹[| pz_$|}p¢ Z _ r+C g ” b c “ ‹[| eZ _ r+C g ” b c ‘‹|.€ <br />

Z | € 2 ” b ca<br />

‘ ]<br />

‹[|.€ <br />

Z µ 2 €„ƒB· ”k cl ‘‹[|.€ <br />

Z µ 2 €„ƒB· ”k<br />

> ]@BADC*^ ‹[|}p Z |}p g ” bdc ‘‹[|.€ <br />

Z | € 2 ” bdc ‘‹”_ r+C$Z |.€ g ” bdca<br />

:<br />

‘ ]<br />

]@BADC*^ ‹[|}p Z |}p ”7bdc&‘‹[| €<br />

Z |.€ ”7bdca<br />

‘ ]<br />

]@BADC*^ ‹[|}pU‹ H“lnÈ” Z | p ” bdc ‘‹[|.€/‹ 4“lnD” Z |.€ ” bdca<br />

: ><br />

‘ ]<br />

r+C0h_ µ]_ r+C ‹!“—nÈ”&p‰ƒD·Z i _& r+C0h_ µM_ r+C ¢pvƒB· ”k cl<br />

‘<br />

_ r+C_¢|;p


¡fqk€¬Åp|swt‚q…½mFt‚p¨•¯‰zƒt{ˆ€pphzwz{‰zf„k


yPm–Š€z‚m–t{„ ¢p‡•¯phz{p|k€ hp<br />

Œ[qk€prm–z<br />

j 0 l<br />

j º Ï 0 joj v<br />

¨‰i‰@•~p|o„p|…†p|k1t{s<br />

k€‰/Š€phs l l<br />

j ËË Ëb v<br />

¨‰n‰@•<br />

p l<br />

j rts ‹j<br />

£j lNË ”<br />

£jl p l<br />

j rts ‹j<br />

£j j<br />

l ” £j ?p l<br />

j rts<br />

@f<br />

¢¡ b0 ‹>¹”<br />

¢£¥¤3‹>¹” Ë £Ë@ËË p l<br />

j r§¦<br />

‹j<br />

£j 0” Ë l<br />

£ p l<br />

j r§¦<br />

‹j<br />

£j j ” Ë l<br />

£b Ïmp l<br />

j r§¦<br />

£ <br />

¡4‹>¹” Ï £# p l<br />

j r+Cg ‹j<br />

£j Ë@Ë ” Ï ©¨<br />

j º p l<br />

j r+Cg ‹j<br />

£j<br />

l ” Ï<br />

£0 Ë^l p l<br />

j r+Cg<br />

¦ m@€o„p l »0¦§ˆ€p­ |‰…iž€y-t‚p|Š …†m@¬k€p‡t‚q 0p|k€phzw¬„p|si•¯‰@z†Êbzw‰€o„p|… l ªšy-s{„k-¬¦Œ«Ž-Y‘“’ m–k€Š ž€qph |p|¡f„swp<br />

£<br />

L q5+%!61-" <br />

%<br />

^¡ ¥I˜/( œ ¡¨ ¡ ¤ ˜ 2œ¢¡^˜)<br />

Ÿ$<br />

¤<br />

l º<br />

o„qk€prm–znm@k€Š x1yPm–Š€z‚m–t{„ 0žD‰@oq£/k€‰…i¤m@oZphoqph…iphkt‚s|ª§ h‰…ižPm@zwphŠ ¡fqt‚ˆ z{p‡•¯phz{p|k€ hp"œ@m–o„y€p|s§t‚ˆ€p"z{p|o¤m–t{qœp<br />

phzwz{‰zš„sƒ¬ œp|k


10 0 Air<br />

10 −1 Error indicator<br />

§ © ') § © ¢)%<br />

£<br />

)© '§© <br />

&¢<br />

!£ §! $¢&%<br />

Fe<br />

Cu<br />

Total<br />

Least−squares functional<br />

10 −1<br />

10 −2<br />

10 −2<br />

10 −3<br />

10 −3<br />

10 −4<br />

10 −4<br />

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />

x 10 5<br />

10 −5<br />

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />

x 10 5<br />

£¢ ¥¤¦¢§¢ § ©¨¢ ©¢ ¢-© ¢<br />

¢¡¤£¡<br />

£¢¢©!& <br />

Ë » 2š‰…iž€y-t‚m–t‚q‰k€s[•¯‰zYÊbz{‰@€o„p|… l ¡fqt{ˆÅx1yPm@Š€z{m–t‚q ‹¯s{‰oq„Š$oq„k€p|s˜”[m@k€ŠÅoq„k€phm@zZ‹ ŠPm–s{ˆ€p|ŠIo„„k-phs˜”<br />

~q¬y€z{p<br />

‡t‚q‰k€sh¥ Pm@sw„s§•¯y€k€<br />

1.00<br />

1.00<br />

Iron<br />

Air<br />

0.20<br />

0.05<br />

Air<br />

0.20<br />

0.30<br />

0.05<br />

0.10<br />

Copper<br />

1.00<br />

0.30<br />

0.20 2.00<br />

1.00<br />

0.30<br />

0.20<br />

2.00<br />

Iron<br />

Copper<br />

0.20<br />

0.01<br />

¡£ §! ¢ #"<br />

~q¬y€z{pbÏ-»«³p|‰…†p‡t‚zu£‰@•/t‚ˆ€p°tl¡Z‰¨mFÂqsw£/…†…ip|t{z{q Yž€z{‰@€o„p|…†s|¥ ¦§ˆ€p°Š€q…†p|k€s{q‰k€s[m@zwp°¬qœ@phk4„k…†p‡t‚p|z{sh¥<br />

lNË


l Ï<br />

}Pp|o„Š9o„qk€phs§qk"mIswo„„ |pt‚ˆ€zw‰y€¬ˆ9t‚ˆ-pt{ˆ€z{p|pŠ€„…iphk€sw„‰k€m@oÈsw‰o„y-t{„‰k


phoqph…iphkt‚s lNºb0jº l ##bË v<br />

¨‰i‰@•<br />

º Ë 0 ºb ¢‰n‰@•~k-‰Š€p|s<br />

@f<br />

©¡ l ‹>¹” ?p l<br />

j rts ‹j<br />

£º j j ” 0<br />

£ 0 Ë p l<br />

j rts ‹j<br />

l<br />

£ºb ” l£j º p l<br />

j r¡<br />

¢£ ¤


lb<br />

§ © ') § © ¢)%<br />

£<br />

)© '§© <br />

&¢<br />

1<br />

0.9<br />

0.8<br />

Air<br />

Fe<br />

Cu<br />

Total<br />

10 0 Error indicator<br />

Least−squares functional<br />

0.7<br />

0.6<br />

10 −1<br />

0.5<br />

0.4<br />

0.3<br />

10 −2<br />

0.2<br />

0.1<br />

0<br />

0 1 2 3 4 5 6<br />

x 10 5<br />

10 −3<br />

0 1 2 3 4 5 6<br />

x 10 5<br />

£¢ ¥¤¦¢§¢ § ©¨¢ ©¢ ¢-© ¢<br />

¢¡¤£¡<br />

£¢¢©!& <br />

2š‰…iž€y-t‚m–t‚q‰k€s[•¯‰zYÊbz{‰@€o„p|… º ¡fqt{ˆÅx1yPm@Š€z{m–t‚q ‹¯s{‰oq„Š$oq„k€p|s˜”[m@k€ŠÅoq„k€phm@zZ‹ ŠPm–s{ˆ€p|ŠIo„„k-phs˜”<br />

~q¬y€z{p¦0»<br />

‡t‚q‰k€sh¥ Pm@sw„s§•¯y€k€<br />

}Pp|o„Š9o„qk€phs§qk"mIswo„„ |pt‚ˆ€zw‰y€¬ˆ9t‚ˆ-pt{ˆ€z{p|pŠ€„…iphk€sw„‰k€m@oÈsw‰o„y-t{„‰k


¨‰n•¯y€zwt{ˆ€phzfz{p|swt{z{„ ‡t‚q‰k€sfm@ž€ž-oq£3‰@k9t{ˆ€pphoqph |t{z{q }PphoqŠL¥<br />

t‚ˆ-pm–„zh¥<br />

0 l<br />

: “!U£¢!y „kQ8 @LZ ‹>¥ l m”<br />

|}p¡<br />

~ „kQ8 @LZ ‹>/¥ l P”<br />

|}pˆ\:<br />

p¥ƒB·D: j ‰kQP @O Z ‹>¥Ë m”<br />

µ¥<br />

p¥ƒB·D: j ‰kQP @O Z ‹>/¥Ë P”<br />

µ]\<br />

-» 3p‡t˜m@qo ‰–•“t{ˆ€pÅ…iphswˆ7mF• t‚phzm@ŠPm@ž-t{qœ@pÅz{p‡}Pk€ph…iphkth¥$¦§ˆ€pIžPm–zwtŸswˆ€‰N¡fk7qsŸm½t‚‰ž2œ/qp|¡‰@•<br />

~q¬y€z{p<br />

t{ˆ€p„zw‰k9 h‰zwp4‰–•YÊbz{‰@€o„p|… º ¥<br />

t‚ˆ-p4qkt‚phzw„‰zš‰@•<br />

MON©"†"R§S©# *-%a ©'<br />

¥L<br />

hpt‚ˆ€p hy-z{z{p|kt­qs"sw„k1y€s{‰@„ŠPm@om–k€Š t{ˆ€p•¯z{phx1y€p|k€ |£„s9oq‰ ¡ª¨¡šp7y€s{p t‚ˆ€p x1yPm@s{qswt‚m–t‚q t{„…ip‡v<br />

Žqk€<br />

p|x1yPm–t‚q‰k€s ˆPm@zw…†‰@k€„<br />

| €•y.: j „kQ8 @LZ ‹>¥ l r”<br />

¡fˆ€p|z{p<br />

y : _$\ Z<br />

‹>¥º m”<br />

~N: ~ £h‘ ¤<br />

£<br />

‹>/¥º P”<br />

l —”Y„…iž€oq„phs t‚ˆPm–ta|X€ ~z: j ¥Y¦§ˆ-p¨qk1t{phzu• m@ hpf h‰@k€Š€qt{„‰k-s°•¯‰@zYt‚ˆ€qs“ž-z{‰€oqph…<br />

¨‰–t‚p§t‚ˆPmFtZp|x1yPm–t‚q‰k­‹>¥<br />

h‰…iphs t‚ˆ-phk0Dp|<br />

µ~I€„ƒB·D: j ‰kQP @O Z ‹>¥Ë r”<br />

µ]y†€„ƒB·D: j ‰kQP @O Z<br />

‹>/¥Ë ŠP”<br />

m– hp†m@k€Š5µ€Ä·°Š-phk€‰@t{phs4t‚ˆ€p©–wy€…iž¦m@ |z{‰sws4t{ˆ€p†swy€zw• m– hp3m–s<br />

¡fˆ€p|z{pHƒ´„s4m0y€k€qt4k€‰@z{…†m@o~t‚‰0t‚ˆ€pi„kt{phzw•<br />

|pm_ f : l qkt{ˆ€pn¡fˆ€‰o„pIzwph¬q‰kLª¿t‚ˆ-pi…†m@¬k-p|t‚q Å}PphoqŠ7qsŸ h‰kt{„k1y€‰y€s4‰Nœp|zswy€zw• m@ |phs|¥<br />

Bp|•¯‰zwp@¥½Ž„k€<br />

|‰…†žB‰k€p|ktš‰@•¿t{ˆ€p¨p|o„p| |t‚zw„ f}PphoqŠLª¦ ¨§ ª1¡fˆ€„oqpÅ‹¸¥Ë N”b„…iž€o„qphs<br />

¦§ˆ€ps{m@…ip¨qs“t{z{y€p¢•¯‰zZt{ˆ€p¨t‚m@k€¬p|k1t{¤m@o—<br />

t‚ˆ€m–t© <br />

€oƒV: j ªL¡fˆ-phz{p Š€phk€‰–t‚phst‚ˆ-pÅ}PphoqŠ qk€s{qŠ€p$t{ˆ€pim@o„y€…i„k-„y€…Áž€o„m–t‚p–ªLs{qk€ hp ~V: j qk


h‰k-Š€qt{„‰k€sƒm@ž€ž€oq„phŠ0m@zwp<br />

¦§ˆ€p4D‰y-k€ŠPm@zu£<<br />

j ‰kQP Z p¥ƒN:<br />

y†€„ƒN: j ‰kQP £<br />

MON©" 17"¢'d# P 'jR§S©5+"¢'=Y %(5 S1-#+*-%!<br />

‘Yœp|kit{ˆ€‰y€¬Ît{ˆ€pƒ…†m@¬k€p‡t‚„ Z}PphoqŠI„sY |‰kt‚„k1y€‰@y€sb„kÅt{ˆ€pš¡fˆ€‰oqp§z{p|¬„‰kȪ@¡šp§sut‚qo„o/ˆPmrœp§t‚‰Ÿqk1t{z{‰/Š€y€ |p<br />

¥)L<br />

h‰@k1t{„k1y€‰y-s¨phoqph…iphkt‚s¨m@o„‰@k€¬it{ˆ€p$swy€zw• m– hphs|ªÈŠ€y-p$t‚‰it‚ˆ€p9–wy€…†ž"„k9t‚ˆ€pk€‰zw…½m@o[ |‰…†žB‰k€p|kt<br />

t‚ˆ-p$Š€qs{<br />

: ‹ Z \2”‡»~}Pk-Š¥¤8swy€ ˜ˆ"t{ˆPm–t<br />

¤<br />

b ‹¦¤<br />

Z<br />

= i<br />

b ‹¦¤<br />

Z<br />

= ¤Ÿ”T: G i<br />

9 |}p¥\ “ ¤ “;~ £9_b)c ‘ 9 |.€/‹”_$\¤”9_b)ca<br />

‘<br />

Od G ^ 9 r+C0h_ µ<br />

Cedd@f<br />

Cedd@f Od G ^ 9 r+C0h_ µ]\ pzƒD·9_<br />

l<br />

‹>¥±Ïm”<br />

‹>/¥ÄÏP”<br />

hp|…†p|ktŸ‰@•°t‚ˆ€p$‰y-t‚p|zŸD‰@y€k€ŠPm@zu£­qsk€‰@ts{žBph h }PphŠqk2Š€phsw hzw„ž-t{„‰k¤‰@•°t{ˆ€pÅt‚p|swtŸ hm@s{p–¥Æ7p<br />

¦§ˆ€pIž€o„m@<br />

|o„‰swphŠ½t{ˆ€p¨ |‰„oBm@k€Š†t‚ˆ€p¨m@o„y€…i„k-„y€…ž€o¤mFt‚p¢„k3m4 hy€Bp¨‰–•[m@ž€ž€zw‰rÂ-q…½mFt‚pho £It‚ˆ€zwphp¢t‚„…iphs°t‚ˆ-p<br />

ˆPmrœp¨phk€<br />

s{q›hp‰@•~mIs{„Š-p4qk¥ 0@m”<br />

‘‹[|}pˆ\}“ ¤<br />

Z |}p i<br />

\}“ i$”7bdc<br />

Z | €/‹^_ i \­”{”-b)c Z ‘‹[|.€/‹”_$\¤”<br />

i ¤”T: G<br />

>w‹<br />

‹-~ £<br />

Z |}p i \}“ i$” bdc£ ‹>/¥10–P”<br />

]@BADC


m@ |pt‚phzw…†s|ª<br />

m@k€Š9•¯‰zƒt{ˆ€p„kt‚p|zw•<br />

C ‹§¤<br />

Z<br />

= ¤”T: ] i<br />

=_‹§¤<br />

Z i<br />

=<br />

G<br />

‹§¤<br />

Z i<br />

Cedd@f Od G<br />

Z €„ƒ¿”k¡¢<br />

r+C pzƒD·Z µi£pzƒD·¤”k cl ‹>¥m”<br />

‹[ µ<br />

€„ƒ Z<br />

i r+C ‘‹0<br />

Od G ^ ‹[ r+C µ]\ p¥ƒD·Z µ i \ pzƒB· ”k cl ‹>/¥c@P”<br />

Cedd@f<br />

r+C µ]_e\ €§ƒD·Z µ]_ i \ €„ƒB· ”k cla Z ‘‹0<br />

‹0 r+C<br />

µ¥ p¥ƒB·Z µi p¥ƒD·¤”k ‹>¥@ r”<br />

¤”T: r+C µ]_e\}€„ƒD·Z µ]_ i \ €„ƒB· ”k £ ‘‹0<br />

¤”T: ]<br />

h‰…iž€oqp‡Â"œph ‡t‚‰z}€pho„Š-sh¥jlkž€z‚m@‡t‚qs{p@ª<br />

¨‰@t{pÅt‚ˆPmFt„k2t{ˆ€phswpIp‡Âž€zwphs{sw„‰k-s¡Zpnm@zwpÅŠ€prm–o„„k-¬½¡fqt{ˆ2<br />

t‚ˆ l º y-k€À1k€‰N¡fk$œ–m@z{„m@€o„p|sh¥<br />

‰k€p“s{p|žPm@z{m–t‚p|s«t{ˆ€pZzwprm@o/m@k-Šq…½m@¬@„kPm@zu£¨ž€m@zwt{s~m@k-Š4t{ˆ/y-s~ˆPm@s[t‚‰f¡Z‰z{À¡f<br />

&l%!k3 Sv# # *7%! ©T1H5+"¢'-S1‚#&'<br />

¥ %<br />

‡t‚p|ŠLª„k5t{ˆ€pm@€swphk€ |p7‰@•4sw„k€¬y-o¤m@zwqt‚qphs|ªft{ˆ€„s½ž€z{‰-o„ph… h‰y-o„ŠÇDp¤sw‰oqœ@phŠ s{y€ | hp|s{sw•¯y-o„oq£<br />

Ψs9pÐÂ-žBph<br />

¡fk0„k9 „¬y€zwp lOl ‹¸m”Ð¥Y¦§ˆ€pŸ hy-z{z{p|kt‚s<br />

¡fqt{ˆ9Œ«Ž-Y‘“’7¥¨2š‰…ižPm@zw„sw‰k½¡fqt{ˆ


¥¨§& §© ¢¡ ¢ ¢©! <br />

¢¡¤£<br />

¦ ¤£¢ © §© © ¢¦¥ "%¨§ "$©©¨ %<br />

<br />

¢ ¢)% &¢ )© ' ¢§© <br />

£<br />

© ¢ ©¢ ¡¢ ©&<br />

<br />

10 x 10−3 x [m]<br />

calculated data<br />

measurements<br />

280<br />

8<br />

260<br />

6<br />

240<br />

220<br />

Re(B z<br />

)<br />

4<br />

2<br />

|| R(u h<br />

) || 0<br />

200<br />

180<br />

0<br />

160<br />

−2<br />

140<br />

−4<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25<br />

120<br />

5 6 7 8 9 10 11 12<br />

Number of elements<br />

x 10 4<br />

¢ "<br />

„¬y€zwp lOl » 2š‰@…†ž€yt˜m–t{„‰k€sƒ•¯‰@zfÊ°zw‰€oqph… Ë ¡fqt{ˆ9o„„k-prm@zƒ€m@s{qsƒ•¯y€k€ |t{„‰k-sh¥<br />

~q¬y€zwp l º »°p| |t‚‰@z¢ž-o„‰@tf‰@•«t‚ˆ-p4qk€Š€y€ |phŠ0 hy€zwz{p|k1t¢qk9t{ˆ€p4m@o„y-…†qk€„y€… ž€o„m–t‚pŸ‰–•YÊbz{‰@€o„p|… Ë ¥<br />

º j


|z{ z{p|s{qŠ€yPm@o[m@s§zwp|}Pk-ph…iphkẗ t‚phzw„‰kÈ»<br />

9 |}p ‘qU£¢(_$\ ‹¸¥¡ 9_ ”<br />

: \<br />

‘ 9 |}pˆ\}“ ¤ “X~ £9_<br />

‘ 9 |.€/‹”_$\¤”9_ Z<br />

º'l


¤`T¤^¤e‰¤ ¤¢¡<br />

l ·~„zwswtuvl‰zwŠ€phzƒsu£/swt‚p|…Áo„phm@swt¢s{x1yPm–z{phs¢ž€ˆ€qo„‰sw‰ž€ˆ£¥<br />

µ<br />

¤§¦©¨¨ ¤ ¦£¢¥¡ ¢ ¥¨ ¤¨ £ ¨ ¤¡¦ ¢ ¤ ¥<br />

£¥¤<br />

· 2¨¥PΨ…iz{‰y- ˜ˆ€p@ª 2¨¥—²šp|z{kPm–z{Š€¸ª—’7¥¨3Ÿm@y€¬@p@ªPm@k-Š $¥B³qz‚m@y€o tr¥ °ph |t{‰z§žB‰@t‚p|k1t{¤m@oqs§„k<br />

µº<br />

!" < & 4( $ $5'


l F·Œb¥€¦ y-z{k€p|zh¥“²šphk- ˜ˆ€…½m–z{À


º Ï


¥ )£ $¢ © §© ' §©*§$© © ¢ ¢ ¢ ¢ ©& § ¢ ¢¦¢' §! ¢ <br />

¢¤£¤£¦¥¨§¦£¦¥<br />

¡¨ ¡¨ ¡ ¡ <br />

©<br />

¢© § £¤£!¢% © ' £ § ¢ §$¦<br />

@&¡ 11 ¡28AB ¡2DC*¡2 @<br />

?<br />

¥ §¦) ¢ § ¢ § ¢ ¢§© § )© ' ¢§© © ¢ '£ §! ¢ GF ¢ ¡¢ ¡¢ ©&<br />

¢¤£¤£¦¥¨§¦£¤E<br />

¡ ¤ ¡ ¡ AHI2 &¡2KJ ')* 9 ¡2 <br />

<br />

¥ © § ¢


¥ ¥¤¢ ©& ¢ ¢ ¢ ¢ ©& ¡¢ ¥&§ ¨§

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!