9.3. Řezy těles

9.3. Řezy těles
366
9. Stereometrie
Řez tělesa je průnik tělesa a roviny. V obecném případě je řezem hranatého tělesa n -úhelník.
Řez sestrojíme tak, že určujeme buď průsečnice roviny řezu s rovinami stěn tělesa nebo průsečíky
jednotlivých hran tělesa s rovinou řezu.
Při konstrukci řezu využíváme vztahy, které platí pro vzájemnou polohu přímek a rovin v prostotu.
Řešený příklad
• Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou σ = EMN , kde body M , N jsou středy hran AB ,
GH .
Řešení
Úsečky EM , EN leží na stěnách krychle, jsou částí řezu. Protože přední a zadní stěny krychle jsou
navzájem rovnoběžné, rovina řezu je protíná v rovnoběžných přímkách. Trojúhelníky AME a GNC
jsou shodné, úsečka NC je rovnoběžná s úsečkou EM . Řezem krychle je čtyřúhelník MCNE .

367
9. Stereometrie
• Je dán kvádr ABCDEFGH a rovina ρ = BPQ , bod P je střed hrany FG a bod Q leží na
přímce EF tak, že bod E je střed úsečky FQ . Sestrojte řez.
Řešení
Přímka BQ leží v přední stěně kvádru a protíná hranu AE v bodě N . Přímka PQ leží v horní stěně
kvádru a protíná hranu EH v bodě M . Řezem je čtyřúhelník BPMN .
• Zobrazte krychli ABCDEFGH a její řez rovinou ρ = MNP , kde body M , N,
P jsou středy
hran AB , SC,
CG .
Řešení
Úsečky MN, NP leží na stěnách krychle, jsou částí řezu. Sestrojíme bod X jako průsečík přímky
MN s přímkou CD . Přímka PX leží v zadní stěně krychle a protíná hranu GH v bodě Q . Další
strany řezu sestrojíme na základě rovnoběžnosti protějších stěn krychle: QR ⎟⎢ MN , RS ⎟⎢ NP .
Řezem je šestiúhelník MNPQRS .

368
9. Stereometrie
• Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV a rovina ρ = MNP , kde bod M je střed hrany
AV , bod N leží na hraně CV tak, že platí: CN : NV = 1 : 2 a bod P leží na prodloužení
hrany AB za bodem B tak, že platí: BP : AB = 1 : 4 . Sestrojte řez.
Řešení
V jehlanu nejsou protější stěny rovnoběžné, používáme vlastnost tří různoběžných rovin, jejichž
průsečnice procházejí jedním bodem. Při konstrukci řezu jehlanu zpravidla sestrojíme průsečnici
roviny řezu s rovinou podstavy.
Přímka PM leží v přední stěně jehlanu a protíná hranu BV v bodě R . Přímky BC a RN leží
v rovině stěny BCV , přímka BC leží v podstavě jehlanu, přímka RN v rovině řezu a protínají se
v bodě Q . Přímka p = PQ je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy. Přímka CD protíná přímku
p v bodě X , který je společný bod roviny řezu, roviny podstavy a roviny stěny CDV . Přímka XN
protíná hranu DV v bodě T . Řezem je čtyřúhelník RNTM .

369
9. Stereometrie
• Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou ρ = MNP , kde body M , N,
P jsou středy hran
AB , CG,
EH .
Řešení
Ze tří bodů M , N,
P žádná dvojice neleží na jedné stěně krychle. Sestrojíme tedy například průsečík
přímky PN s podstavou ABCD kvádru. Přímkou PN vedeme rovinu kolmou k rovině podstavy
kvádru, která protíná podstavu v přímce P1 C . Tato přímka protne přímku PN v bodě Q . Přímka
MQ protíná hranu BC v bodě R . Body T a S na hranách GH a AE sestrojíme tak, aby platilo
PT MR , MS TN . Řezem je šestiúhelník MRNTPS .
• Je dán pravidelný šestiboký hranol ABCDEF A′
B′
C′
D′
E′
F ′ . Sestrojte řez rovinou ρ = KLM ,
kde bod K je střed hrany A A′
, bod L leží na prodloužení hrany AB za bod B tak, že platí
BL : AB = 1 : 2 a bod M leží na hraně D D′
tak, že platí DM : MD′
= 1 : 2 .
Řešení
Sestrojíme průsečnici p = PL roviny řezu s rovinou podstavy, kde bod P získáme jako průsečík
přímky MN a přímky DB , protože obě leží v rovině kolmé k podstavě. Body řezu na jednotlivých
bočních hranách hranolu sestrojíme tak, aby se na přímce p protínaly prodloužené hrany postavy se
spojnicemi dvou bodů řezu na sousedních bočních hranách hranolu.

370
9. Stereometrie
• Sestrojte řez čtyřstěnu ABCD rovinou ρ = KLT , kde bod K leží na prodloužení hrany BC za
bod B tak, že platí BK : BC = 1 : 2 , bod L leží na hraně CD tak, že platí CL : LD = 2 : 1 a
bod T je těžiště trojúhelníka ABD .
Řešení
Přímka KL leží v rovině stěny BCD a protíná hranu BD v bodě M , přímka MT leží v rovině
stěny ABD a protíná hranu AD v bodě N . Řezem je trojúhelník MLN .

Úlohy k řešení
371
9. Stereometrie
Úloha 9.9.
Zobrazte řez kvádru ABCDEFGH rovinou ρ = KLM , kde bod K je střed hrany EF , bod L
leží na hraně BF tak, že platí BL : LF = 1 : 3 a bod M leží na hraně CG tak, že platí
CM : MG = 2 : 1.
♦
Úloha 9.10.
Zobrazte krychli ABCDEFGH a její řez rovinou ρ = MNP , kde bod M leží na hraně EF
tak, že platí EM : MF = 2 : 1 , bod N leží na přímce FG tak, že bod G je střed úsečky FN a
bod P leží na prodloužení hrany CD za bod C tak, že platí PC : CD = 1 : 4 .
♦
Úloha 9.11.
Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého hranolu ABCDEFGH rovinou ρ = AMN , kde bod M
leží na BF tak, že platí BM : MF = 1 : 2 , bod N leží na CG tak, že platí CN : NG = 2 : 1.
♦
Úloha 9.12.
Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou ρ = EBM , kde bod M leží na přímce FG tak,
že bod G je střed úsečky FM .
♦
Úloha 9.13.
Kvádr ABCDEFGH protněte rovinou
AB, BC .
ρ = MNH , kde body M , N jsou středy hran
♦
Úloha 9.14.
Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou ρ = EPM , kde bod M je střed hrany CG a bod
P leží na prodloužení hrany AB za bodem B tak, že platí PB : A = 1 : 4 .
♦
Úloha 9.15.
Pravidelný šestiboký hranol ABCDEF A′
B′
C′
D′
E′
F ′ protněte rovinou σ = AB D′
.
♦
Úloha 9.16.
Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV se středem podstavy S rovinou
ρ = MNP , kde bod M leží na hraně AV tak, že platí AM : MV = 1 : 3 , bod N leží na
prodloužení hrany AB za bodem B tak,že platí BN : AB = 1 : 2 a bod P je střed úsečky SV .
♦

372
9. Stereometrie
Úloha 9.17.
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se středem podstavy S . Sestrojte jeho řez rovinou
σ , která prochází středem Q úsečky SV rovnoběžně se stěnou VBC .
♦
Úloha 9.18.
Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se středem podstavy S protněte rovinou ρ = MNR , kde
body M , N jsou středy hran CV , DV a bod R leží na úsečce SV tak, že platí
RS : SV = 1 : 3 .
♦
Úloha 9.19.
Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV protněte rovinou ρ = PQT , kde body P , Q,
T jsou
středy hran AD , AB,
CV .
♦
Úloha 9.20.
Sestrojte řez čtyřstěnu ABCD rovinou ρ = KLM , kde bod K je střed hrany CD , bod L leží
na hraně AD tak, že platí AL : LD = 1 : 3 a bod M leží na prodloužení hrany BD za bodem
B tak, že platí MB : BD = 1 : 2 .
♦

9.9.
Výsledky
373
9. Stereometrie
Úsečka KL leží v přední stěně kvádru, úsečka LM v pravé boční stěně. Úsečka MN jako část řezu
v zadní stěně je rovnoběžná s úsečkou KL .
9.10.
Bod Q je průsečík přímky MN s hranou GH , bod R je průsečík přímky PQ s hranou CG , bod
T je průsečík přímky NR s hranou BF . Řezem je lichoběžník MTRQ .(obr.3.9.)

9.11.
374
9. Stereometrie
Úsečka AM leží v přední stěně hranolu, úsečka NP ležící v zadní stěně hranolu je s ní rovnoběžná,
bod P leží na hraně DH .Řezem je kosočtverec AMNP .
9.12.
Bod L je průsečík přímky EM s hranou GH , bod K je průsečík přímky BM s hranou CG .
Řezem je rovnoramenný lichoběžník EBKL .

375
9. Stereometrie
9.13.
Přímka MN je průsečnice roviny řezu ρ s rovinou podstavy kvádru. Tato přímka protíná přímku
AD podstavné hrany v bodě P , přímku CD podstavné hrany v bodě Q . Body P, H leží v levé
boční stěně kvádru a jejich spojnice protíná hranu AE v bodě K , body Q, H leží v zadní stěně
kvádru a jejich spojnice protíná hranu CG v bodě L .Řezem je pětiúhelník HKMNL .
9.14.
Přímka PE leží v přední stěně kvádru a protíná hranu BF v bodě N , úsečka MN je část řezu
v pravé boční stěně.Úsečka RM rovnoběžná s úsečkou EN je část řezu v zadní stěně, bod R leží na
hraně GH . Řezem je lichoběžník ENMR . (obr.3.13.)

376
9. Stereometrie
9.15.
Hrana D ′ E′
horní podstavy je částí řezu. Rovina řezu σ , rovina podstavy ABCDEF hranolu a
rovina boční stěny DC C′
D′
mají po dvou společné průsečnice AB , DC,
D′
M , které mají jeden
společný bod – protínají se na průsečnici AB roviny podstavy a roviny řezu. Rovina řezu σ , rovina
podstavy a rovina boční stěny EF F′
E′
se po dvou protínají v přímkách AB , EF,
E′
N , které
procházejí společným bodem na přímce AB . Řezem je šestiúhelník ABM D′
E′
N .
9.16.
Body MP leží v rovině ASV , bod X = AS ∩ MP je průsečík přímky MP s rovinou podstavy.
Přímka p = XN je průsečnice roviny podstavy s rovinou řezu ρ .Na této přímce se protínají přímky
podstavných hran AB , BC,
AD jehlanu a strany řezu MP , PR,
QM . Řezem je čtyřúhelník MPRQ .

9.17.
377
9. Stereometrie
Bod Q leží v rovině ACV . V této rovině vedeme bodem Q rovnoběžku s hranou CV , která protne
hranu AV v bodě L a přímku AC v bodě Y . V rovině BDV vedeme bodem Q rovnoběžku
s hranou BV , která protne hranu DV v bodě K a přímku BD v bodě X . Přímka XY protíná
podstavné hrany AB, CD v bodech M , N . Řezem je lichoběžník MNKL .
9.18.
Body M , R leží v rovině ACV , v této rovině protíná přímka MR přímku AC v bodě X . Body
N, R leží v rovině DBV , v této rovině protíná přímka NR přímku BD v bodě Y . Přímka XY
protíná podstavné hrany AD, BC v bodech K, L . Řezem je lichoběžník KLMN .

378
9. Stereometrie
9.19.
Přímka p = PQ je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy jehlanu. Přímka p protne přímku BC
v bodě X , který je společný bod tří rovin – roviny podstavy, roviny řezu a roviny boční stěny BCV .
Bodem X prochází tedy průsečnice TX roviny řezu s rovinou boční stěny, která protne hranu BV
v bodě M . Podobně bod Y je průsečík přímek p , CD a TY . Přímka TY protne hranu DV v bodě
N . Řezem je pětiúhelník PQMTN .
9.20.
Bod M leží na přímce BD , leží tedy v rovině ABD , ve které leží také bod L . Přímka LM protíná
hranu AB v bodě N . Bod M leží také v rovině BCD zároveň s bodem K . Přímka KM protíná
hranu BC v bodě P . Řezem je čtyřúhelník LNPK .