ºðÎð²â²öà ôÂÚà ôÜ 11

ì»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ç »ñÏñáñ¹ ï³ñ³ï»ë³ÏÁ
²Ûëï»Õ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£
øÝݳñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÁ£
ÊݹÇñ 4£ ¸Çóáõù A, B ¨ C-Ý ÙÇ áñ¨¿ »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý£
²å³óáõó»ù, áñ ×Çßï ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁª
3
cos A + cos B + cos C ≤ −−£
2
ÈáõÍáõÙ£ ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ í»ñóÝ»Ýù ó³Ýϳó³Í M Ï»ï, ûñÇݳÏ,
Ýñ³Ý Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ,³Û¹ Ï»ïÇó ï³Ý»Ýù »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»-
ñÇÝ áõÕճѳ۳óÝ»ñ ¨ ¹ñ³Ýó íñ³ M Ï»ïÇó ï»Õ³¹ñ»Ýù #m, #n ¨ #p Ùdzíáñ
í»ÏïáñÝ»ñ (ÝÏ. 47)£ лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝ-
Ý»ñÁ Éñ³óÝáõÙ »Ý »é³ÝÏÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇÝ㨠180°£
àõëïÇ #m·#n = #m·#n cos(180° −A) = − cos A, #m·#p = − cos B, #n·#p = − cos C£
л勉μ³ñª
0 ≤ (#m + #n + #p) 2 = #m 2 + #n 2 + #p 2 + 2#m#n + 2#m#p + 2#n#p =
= 3 − 2 cos A − 2 cos B − 2 cos C,
áñï»ÕÇó ¨ ëï³óíáõÙ ¿ å³Ñ³ÝçíáÕ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ∇
180° - A
ÜÏ. 47
²Ûë »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É Ñ»ï³ùñùÇñ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ£
⿱ áñ å³ñï³¹Çñ ã¿ñ ¹Çï³ñÏ»É ÙdzÛÝ #m, #n ¨ #p Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñÁ£
Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ¨ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÁ ѳçáÕáõÃÛ³Ùμ ϳñ»ÉÇ ¿ ½áõ-
·³Ïó»É ݳ¨ ï³ñ³Í³ã³÷³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë£
øÝݳñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÁ£
ÊݹÇñ 5£ ÊݹÇñ 5£ ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 Ëáñ³Ý³ñ¹áõÙ M Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ AA 1 ÏáÕÇ íñ³,
Áݹ áñáõÙ AM : MA 1 = 3 : 1, ÇëÏ N Ï»ïÁ BC ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïÝ ¿£ ï»ù MN ¨
DD 1 áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ£
74