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ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ
¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³Ýó ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0-Ç£
êϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
1. #a ·#a = #a 2 = |#a| 2
2. |#a ·#b| ≤ |#a| · |#b|
3. a ·#b = #b ·#a
4. (x#a) ·#b = x(#a ·#b)
5. #a ·(b # + #c) = #a ·#b + #a ·#c
5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÇó μ³óÇ, μáÉáñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³ÏÝѳÛï »Ý£ гñóã³÷áõÃÛ³Ý
¹³ëÁÝóóáõÙ μ»ñí³Í 5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ ѳٳñÛ³
μ³é³óÇáñ»Ý å³Ñå³ÝíáõÙ ¿ ݳ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ£ ÐÇß»óÝ»Ýù ³ÛÝ£
¸Çï³ñÏ»Ýù ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñáõÙ Ox ³é³ÝóùÁ
áõÕÕí³Í ¿ #a í»Ïïáñáí, ³ÛëÇÝùݪ #a í»ÏïáñÁ ³Û¹ ѳٳϳñ·áõÙ áõÝÇ (|#a|; 0; 0)
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£ ¸Çóáõù ³Û¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»-
ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ áõÝ»Ý (x 1 , y 1 , z 1 ) ¨ (x 2 , y 2 , z 2 ) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» áñ¨¿ #m í»Ïïáñ ³Û¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ
áõÝÇ (x; y; z) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ, ³å³ x = |m| # cosϕ, áñï»Õ ϕ-Ý #a ¨ #m í»ÏïáñÝ»-
ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿£ Ü߳ݳÏáõÙ ¿ª
#a ·#m = |#a| · |m| # · cos ϕ =|#a| · x£
²ÛëåÇëáí,
#a · #b = |#a|x 1 , #a · #c = |#a|x 2 , #a · (#b + #c) = #a · (x 1 + x 2 )
³ÛëÇÝùݪ
#a · (#b + #c) = #a · #b + #a · #c £
3, 4 ¨ 5 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¹»åùáõÙ ÷³Ï³·Í»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ μ³ó»É ëáíáñ³-
Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñáí£ Ø³ëݳíáñ³å»ë, »Ã» #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ #i,
#j, #k í»ÏïáñÝ»ñáí ïñíáÕ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ (x 2 ; y 2 ; z 2 ) »éÛ³ÏÝ»ñÝ »Ý, áñï»Õ #i, #j, #k ½áõÛ· ³é
½áõÛ· ÷áËáõÕճѳ۳ó Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ ¹Åí³ñ ã¿ ëï³Ý³É μ³Ý³Ó¨,
áñÁ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ³ñï³Ñ³ÛïáõÙ ¿ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáíª
#a · #b = (x 1 #i + y 1 #j + z 1 #k)·(x 2 #i + y 2 #j + z 2 #k) = x 1 x 2 #i 2 + x 1 x 2 #i#j + ... + z 1 z 2 #k 2 =
= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 £
²Ûëï»Õ Ù»Ýù û·ïí»óÇÝù Ýñ³ÝÇó, áñ
#i 2 =#j 2 = #k 2 = 1, #i#j = #i#k = #k#j = 0:£
²Ùñ³·ñ»Ýù ³Ûë μ³Ý³Ó¨Á, áñå»ë ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ë Ù»Ï Ñ³ïÏáõÃÛáõݪ
6. #a · #b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , áñï»Õ (x 1 ; y 1 ; z 1 )-Á ¨ (x 2 ; y 2 ; z 2 )-Á #a ¨ #b í»Ïïáñ-
Ý»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£
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