ºðÎð²â²öà ôÂÚà ôÜ 11

ì»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ, »Ã» Ýñ³Ýù ѳÙáõÕÕí³Í »Ý ¨ Ýñ³Ýó
»ñϳñáÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý£ ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ¹Åí³ñ ã¿
óáõÛó ï³É, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ï»Õ³¹ñ»É ïñí³Í
í»ÏïáñÇÝ Ñ³í³ë³ñ ÙdzÛÝ Ù»Ï í»Ïïáñ (³å³óáõó»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ)£⎦
¼ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÁ, ³ÛëÇÝùݪ 0 »ñϳñáõÃÛ³Ùμ í»ÏïáñÁ, ѳٳñíáõÙ ¿
ó³Ýϳó³Í í»ÏïáñÇÝ Ñ³Ù³·ÇÍ£
ÆÝãå»ë ¨ ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç, |#a|-Ý #a í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿ (ϳÙ
Ùá¹áõÉÁ)£
ÜáõÛÝ Ï»ñå, ÇÝãå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ í»ÏïáñÁ
Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ. #b = k · #a ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳ-
ÏáõÙ ¿, áñ #b í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ #a í»ÏïáñÇÝ ¨ |#b| = |k| · |#a|, Áݹ áñáõÙ, #b-Ç
áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ #a-Ç áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï, »Ã» k > 0 ¨ áõÝÇ Ýñ³ ѳϳ-
¹Çñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ, »Ã» k < 0£
⎡î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, ÇÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ×Çßï »Ý í»ÏïáñÁ
Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁª ó³Ýϳó³Í #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»-
ñÇ ¨ ó³Ýϳó³Í x ¨ y Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ.
(x · y)#a = x · (y#a)
x(#a + #b) = x#a + x#b
(x + y)#a = x#a + y#b
гٳÝÙ³Ý Ó¨áíª ÇÝãå»ë ¨ ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ñ, ϳñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É,
áñ áñå»ë½Ç #a ¨ #b áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÁ ÉÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³·ÇÍ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿
¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ ³ÛÝåÇëÇ k ÃÇí, áñ
#b = k · #a ⎦
ÜÙ³Ý Ï»ñå, ÇÝãå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ
·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª
!A#B + !B#C = !A#C
⎡ì»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñٳݪ ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç áõëáõÙݳëÇñí³Í ѳï-
ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ý³¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Çï³ñÏíáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ
ѳٳñ£ ì»ñÑÇß»Ýù ¹ñ³Ýùª
#a + #b = #b + #a, (#a + #b) + #c = #a + (#b + #c)£
ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳϳ¹Çñ, »Ã» Ýñ³Ýó »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý, ¨ Ýñ³Ýù ѳÏáõÕÕí³Í »Ý£
#a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ í»ÏïáñÁ, áñÇ ·áõÙ³ñÁ #b
í»ÏïáñÇ Ñ»ï ѳí³ë³ñ ¿ #a í»ÏïáñÇÝ£ #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ #a − #b ï³ñμ»ñáõ-
ÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É
#a − #b = #a + (−#b)
μ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ −#b-Ý #b í»ÏïáñÇ Ñ³Ï³¹ÇñÝ ¿£
60