ºðÎð²â²öà ôÂÚà ôÜ 11

51. ï»ù ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ùdzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç A ¨ B ·³·³ÃÝ»ñáí ¨ CC 1
ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïáí ³ÝóÝáÕ ³ÛÝ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ A 1 B 1 C 1 D 1
3 27
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£ (ä³ï.ª −−− ϳ٠−−−)
4 4
52. PABC ϳÝáݳíáñ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç, ÇëÏ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ ÏáÕÁª 2a£ P, B ¨ C Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý A ·³·³Ãáí ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³£ ï»ù ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ ³ÝÏÛáõÝÁ£
3
(ä³ï. 2arcsin −−−−)
2√$5
53. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÏáÕ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý
»ñÏáõ ³ñÅ»ùª 2 ϳ٠4£ ï»ù ³Û¹ μáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ ³ÛÝ É³ñÇ »ñ-
ϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ μáõñ·Ç »ñÏáõ ѳݹÇå³Ï³ó ÏáÕ»ñÇ ÙÇçݳϻï»-
ñáí£
54. 1, 2 ¨ 5 ß³é³íÇÕÝ»ñáí »ñ»ù ·Ý¹»ñ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ÝóÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÙÛáõë »ñÏáõëÇÝ ¨ ïí³Í »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇÝ£ ï»ù ÷áùñ ·Ý¹Ç ³Û¹ »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï ßáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£ (ä³ï. −−−/ 1 "$31 −−)
2 4
55. S ·³·³Ãáí SABC ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ
¿ a, ÇëÏ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁª a√$2£ êý»ñ³Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ A Ï»ïáí ¨ ßáß³÷áõÙ
¿ SB ¨ SC ÏáÕ»ñÁ Ýñ³Ýó ÙÇçݳϻï»ñáõÙ£ ïÝ»É ³Û¹ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ£
(ä³ï. −−−
a
/
"$23
−−−)
4 5
56. î»ïñ³»¹ñÇ Ñ³Ý¹Çå³Ï³ó ÏáÕ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ
»Ý£ ²å³óáõó»ù, áñª ³) ³Û¹ ï»ïñ³»¹ñÇ »ñÏáõ ÝÇëï»ñÇÝ Ý»ñ·Í³Í ßñç³-
ݳ·Í»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ÙdzóÝáÕ áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ ¿ ï»ïñ³»¹ñÇ ÏáÕ»ñÇó Ù»-
ÏÁ Áݹ·ñÏáÕ áÕÕÇÝ (ϳ٠½áõ·³Ñ»é ¿ ³Û¹ áõÕÕÇÝ)£
μ) ²Û¹ ï»ïñ³»¹ñÇ »ñ»ù ·³·³ÃÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ ëý»ñ³Ý ѳïáõÙ ¿ ãáññáñ¹
·³·³ÃÇó ¹áõñë »ÏáÕ »ñ»ù ÏáÕ»ñÁ (ϳ٠Ýñ³Ýó ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÝ»-
ñÁ) ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï»ñáõÙ, áñáÝù ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛ³Ý
·³·³ÃÝ»ñ£
57. ÎáÝÇ ÑÇÙùÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇó Ù»ÏÇ Ñ»ï, ÇëÏ ÏáÝÇ ·³·³-
ÃÁ ·É³ÝÇ ÙÛáõë ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿£ ɳÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ
ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£
(ä³ï. 2 ³Ý·³Ù)
58. ï»ù Ùdzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç »ñ»ù ÝÇëï»ñÁ ¨ Ýñ³Ý Ý»ñ·Í³Í ·áõݹÁ
ßáß³÷áÕ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£ (ä³ï. 2 − √$3 )
⎡59. ɳÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ¿ ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ åñǽٳ£ ïÝ»É ·É³ÝÇ ¨
åñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ£
38