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Æ. ü. Þ²ðÆÆÜ
ºðÎð²â²öàôÂÚàôÜ 11
²í³· ¹åñáóÇ
μݳ·Çï³Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÑáëùÇ
11-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù
ºñ¨³Ý
§²Ýï³ñ»ë¦
2010

Ðî¸ 373.167.1 : 514 (075)
ظ 22.151 ó72
Þ 365
¸³ë³·ÇñùÁ ѳëï³ïí³Í ¿ г۳ëï³ÝÇ Ð³Ýñ³å»ïáõÃÛ³Ý
ÏñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ý³Ë³ñ³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó
¸³ë³·ÇñùÁ ѳëï³ïí³Í ¿ èáõë³ëï³ÝÇ ¸³ßÝáõÃÛ³Ý
ÏñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ý³Ë³ñ³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó
êáõÛÝ Ññ³ï³ñ³ÏáõÃÛáõÝÁ »Ýóϳ ¿ ï³ñ³ÍÙ³Ý ³ÙμáÕç ³ß˳ñÑáõÙ
Äàííîå èçäàíèå ïîäëåæèò ðàñïðîñòðàíåíèþ
íà òåððèòîðèè âñåãî ìèðà
лÕÇݳÏ` Þ³ñÇ·ÇÝ Æ.ü.
³ñ·Ù³ÝáõÃÛáõÝÝ` §²Ýï³ñ»ë¦ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛ³Ý
§²Ýï³ñ»ë¦ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝÝ Çñ ËáñÇÝ ßÝáñѳϳÉáõÃÛáõÝÝ áõ »ñ³Ëï³·ÇïáõÃÛáõÝÝ
¿ ѳÛïÝáõÙ èáõμÇÏ ²í»ïÇëÇ ²í»ïÇëÛ³ÝÇÝ ¨ ê³Ùí»É Ðñ³ÝïÇ
¸³É³ÉÛ³ÝÇÝ` ¹³ë³·ñùÇ Ù³ëݳ·Çï³Ï³Ý μ³ñÓñáñ³Ï óñ·Ù³ÝáõÃÛ³Ý,
³é³ç³μ³ÝÇ, ϳï³ñí³Í Éñ³óáõÙÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ³ÛÝ ÐÐ ÏñÃ³Ï³Ý Íñ³·-
ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£
Þ 365
Þ³ñÇ·ÇÝ Æ.ü.
ºñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ£ ²í³· ¹åñáóÇ μݳ·Çï³Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÑáëùÇ 11-ñ¹
¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù - ºñ.£ ²Ýï³ñ»ë, 2010 - ¿ç£
ISBN 978-9939-51-174-0
Ðî¸ 373.167.1 : 514 (075)
ظ 22.151 ó72
¡ Æ. ü. Þ³ñÇ·ÇÝ
¡ §Äðîôà¦, 2008
¡ §²Ýï³ñ»ë¦, 2010
¡ ¸³ë³·ñù»ñÇ ßñç³Ý³éáõ ÑÇÙݳ¹ñ³Ù, 2010
´áÉáñ Çñ³íáõÝùÝ»ñÁ å³ßïå³Ýí³Í »Ý
¡ È. Ô. Øàðèãèí
¡ §Äðîôà¦, 2008
¡ §Àíòàðåñ¦, 2010
¡ Îáîðîòíûé ôîíä ó÷åáíèêîâ, 2010
Âñå ïðàâà çàùèùåíû

11-ñ¹ ¹³ë³ñ³Ý

5
äîî²Î²Ü زðØÆÜܺð
äïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñ »Ý ÏáãíáõÙ ³ÛÝåÇëÇ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÁ, áñáÝù ëï³óíáõÙ
»Ý áñ¨¿ (ëáíáñ³μ³ñ ѳñÃ) å³ïÏ»ñÝ áõÕÕÇ ßáõñç åïï»Éáõ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ:
²Û¹ áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ åïïÙ³Ý ³é³Ýóù:
ºÃ» åïï³Ï³Ý ó³Ýϳó³Í Ù³ñÙÇÝ Ñ³ï»Ýù Ýñ³ ³é³Ýóùáí ³ÝóÝáÕ Ï³-
Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ùμ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ³Û¹ Ù³ñÙÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ:
äïï³Ï³Ý Ù³ñÙÝÇ μáÉáñ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý:
äïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ Ï³ñ¨áñ³·áõÛÝ ï»ë³ÏÝ»ñÝ »Ý ÏáÝÁ, ·É³ÝÁ ¨
·áõݹÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹åñáó³Ï³Ý å³ïÏ»ñ³óáõÙ áõÝÇ ¹ñ³Ýó Ù³ëÇÝ,
áñáíÑ»ï¨ í³Õ Ù³ÝÏáõÃÛáõÝÇó å³ñμ»ñ³μ³ñ ѳݹÇå»É ¿ ÏáݳӨ, ·É³Ý³Ó¨
¨ ·Ý¹³Ó¨ ³é³ñϳݻñÇ:
Ø»Ýù ϹÇï³ñÏ»Ýù ÏáÝ»ñÇ ¨ ·É³ÝÝ»ñÇ ÙÇ Ñ³ïáõÏ ï»ë³Ï` áõÕÇÕ ßñç³Ý³-
ÛÇÝ ÏáÝ»ñ ¨ ·É³ÝÝ»ñ:
5.1 ÎáÝ
àõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ÏáÝÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏáÕ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ϳ½Ùí³Í ¿ »ñÏáõ
Ù³ëÇó` ÑÇÙùÇó ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇó: ²Û¹åÇëÇ ÏáÝÇ ÑÇÙùÁ ßñç³Ý ¿:
ÎáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ϳ½Ùí³Í ¿ μáÉáñ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇó, áñáÝù Ùdzó-
ÝáõÙ »Ý S Ï»ïÁ (ÏáÝÇ ·³·³ÃÁ) ÏáÝÇ ÑÇÙùÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»-
ï»ñÇÝ: Àݹ áñáõÙ, S Ï»ïÁ ãÇ å³ïϳÝáõÙ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ ¨ åñáÛ»ÏïíáõÙ
¿ ÑÇÙùÇ O Ï»ÝïñáÝÇÝ£ SO ѳïí³ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ (ÝÏ.
1): §àõÕÇÕ, ßñç³Ý³ÛÇݦ μ³é»ñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý, áñ ÏáÝÇ ÑÇÙùÁ ßñç³Ý ¿ (§ßñç³Ý³ÛÇݦ)
¨ ·³·³ÃÁ åñáÛ»ÏïíáõÙ ¿ ³Û¹ ßñç³ÝÇ Ï»ÝïñáÝÇÝ (§áõÕÇÕ¦):
(àõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ) ÏáÝÁ ëï³ÝáõÙ »Ýù, »Ã» áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÁ åïï»Ýù
Ýñ³ áñ¨¿ ¿çÇ (³í»ÉÇ ×Çßï, ³Û¹ ¿çÁ å³ñáõݳÏáÕ áõÕÕÇ) ßáõñç: ²Û¹ ¹»åùáõÙ
Ýßí³Í ¿çÁ ³Ýß³ñÅ ¿ ¨ ³ÛÝ å³ñáõݳÏáÕ áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÝÇ ³é³Ýóù:
4

²Ûëå»ë, »Ã» O ·³·³ÃÇÝ ÏÇó áõÕÇÕ ³ÝÏÛáõÝáí SOA »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïáõÙ »Ýù
SO ¿çÇ ßáõñç ëï³ÝáõÙ »Ýù SO ³é³Ýóùáí ÏáÝ, S-Á ÏáÝÇ ·³·³ÃÝ ¿, O-Ý` ÑÇÙùÇ
ßñç³ÝÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿, OA-Ý ³Û¹ ßñç³ÝÇ ß³é³íÇÕÝ ¿ (ÝÏ. 2):
ÜÏ. 1
ÜÏ. 2
ȳÛÝ ÇÙ³ëïáí, ÏáÝ ³ë»Éáí ѳëϳÝáõÙ »Ýù ³ÛÝåÇëÇ Ù³ñÙÇÝ, áñÇ Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÁ ëï³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå: ì»ñóíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ñà ÷³Ï
³é³Ýó ÇÝùݳѳïáõÙÝ»ñÇ L Ïáñ ¨ Ýñ³ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ Ï³Ù³-
Û³Ï³Ý S Ï»ï: È ÏáñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÏáÝÇ áõÕÕáñ¹, Ýñ³Ýáí ë³Ñٳݳ÷³ÏíáÕ
å³ïÏ»ñÁ` ÏáÝÇ ÑÇÙù, ÇëÏ S Ï»ïÁ` ÏáÝÇ ·³·³Ã: ÎáÝÇ S ·³·³ÃÁ Ýñ³ L áõÕ-
Õáñ¹Ç Ï»ï»ñÇ Ñ»ï ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ
»Ý ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñ: Üñ³Ýù §ÉóÝáõÙ »Ý¦ Ïá-
ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ: ºÃ» ÏáÝÇ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ Ïïñ»Ýù ÍÝáñ¹áí, ³å³ ³ÛÝ
Ñݳñ³íáñ ÏÉÇÝÇ §÷é»É¦ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³: àõ-
ÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ÏáÝÇ ÷éí³ÍùÁ ÏÉÇÝÇ ßñç³Ý³-
ÛÇÝ ë»Ïïáñ, áñÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ ÏáÝÇ
ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ ë»ÏïáñÇ ³Õ»ÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁª ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇ
»ñϳñáõÃÛ³ÝÁ (ÝÏ. 3): ºÃ» l-áí Ý߳ݳϻÝù
ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ R-áíª ÑÇÙùÇ
ß³é³íÇÕÁ, ³å³ ³Û¹ ßñç³Ý³ÛÇÝ ë»ÏïáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ 2πR ¿, ÇëÏ
ß³é³íÇÕÁª l, áõëïÇ Ýñ³ ٳϻñ»ëÁ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù ѳñóã³÷áõÃÛáõÝÇó,
ѳí³ë³ñ ¿
1
−− 2πR · l =πRl :
2
5
ÜÏ. 3

²ÛëåÇëí ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª
S Ï. ÏáÕÙ =πRl ,
ÇëÏ Ýñ³ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª
S É. =πRl + πR 2 £
ÎáÝÇ í»ñÁ ïñí³Í ÁݹѳÝáõñ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í
μáõñ· ϳñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É, áñå»ë ÏáÝÇ Ù³ëݳíáñ ï»ë³Ï:
Ø»Ýù ÏáõëáõÙݳëÇñ»Ýù ÙdzÛÝ áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ÏáÝÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨
ѳÏÇñ× ÉÇÝ»Éáõ ѳٳñ §áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇݦ μ³é»ñÁ μ³ó ÏÃáÕÝ»Ýù: ²ÛëåÇëáí,
»Ã» ³ëíáõÙ ¿ §¹Çï³ñÏ»Ýù Ïáݦ, ÝϳïÇ áõÝ»Ýù §¹Çï³ñÏ»Ýù áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ
Ïáݦ:
⎡¸Çï³ñÏ»Ýù ÏáÝÇ Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÁ ï³ñμ»ñ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí
ÜÏ. 4
ÎáÝÇ Ñ³ïáõÛÃÁ Ýñ³ ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ
ѳñÃáõÃÛ³Ùμ, ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ
¿, áñÇ ëñáõÝùÝ»ñÁ ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÝ »Ý (ÝÏ. 4)£
سëݳíáñ³å»ë, ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏ-
ÛáõÝ ¿ ÏáÝÇ ³é³Ýó³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ£
ÎáÝÇ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃÝ»ñÁ ùÝ-
ݳñÏ»Éáõ ѳٳñ Ý³Ë ë³ÑٳݻÝù ï³ñ³-
Í³Ï³Ý å³ïÏ»ñÝ»ñÇ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý ·³Õ³-
÷³ñÁ (ÇÝãå»ë ¹³ ·Çï»ÇÝù ѳñóã³÷áõ-
ÃÛáõÝÇó)£
ê³ÑÙ³ÝáõÙ£ ¸Çóáõù Ýßí³Í ¿ »Õ³Ý³Ï,
áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý F å³ïÏ»ñÇ
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳Ýáõ-
ÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñíáõÙ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÙÇ áñ¨¿
Ï»ï£ Î³ë»Ýù, áñ ¹ñ³Ýáí ³é³ç³ó»É ¿ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝ, »Ã» F
å³ïÏ»ñÇ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÷áËíáõÙ ¿ ÙǨÝáõÛÝ ÃÇí
³Ý·³Ù, ³ÛëÇÝùÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k > 0 ÃÇí, ³ÛÝå»ë, áñ F-ÇÝ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í
X ¨ Y Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ XY = k · X′Y′, áñï»Õ X′-Á ¨ Y′-Á X-ÇÝ ¨ Y-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ
Ï»ï»ñÝ »Ý Ýßí³Í Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ÇëÏ XY-Á X ¨ Y Ï»-
ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿£
ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷á-
ËáõÃÛ³Ùμ áõÕÇÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ áõÕÕÇ, ׳鳷³ÛÃÁª ׳鳷³ÛÃÇ, ѳïí³ÍÁª
ѳïí³ÍÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý ׳鳷³ÛÃÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏ-
ÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ ÆÝùÝáõñáõÛÝ ³å³óáõó»ù, áñ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷á-
ËáõÃÛ³Ùμ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ ѳñÃáõÃ۳ݣ ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ,
»ñÏáõ å³ïÏ»ñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ÝÙ³Ý, »Ã» Ýñ³Ýù ÙÇÙÛ³Ýó ³ÝóÝáõÙ »Ý
ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ùμ£
6

î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç å³ñ½³·áõÛÝ ÝÙ³ÝáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ÑáÙáï»-
ïÇ³Ý ¿ (Ýٳݳ¹ñáõÃÛáõÝÁ)£ ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, k > O ·áñͳÏóáí
ÑáÙáï»ïdz ú Ï»ÝïñáÝÇ ÝϳïÙ³Ùμ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ÛÝ
Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ó³Ýϳó³Í X Ï»ï ï»Õ³÷áËáõÙ ¿ OX ׳鳷³ÛÃÇ
³ÛÝåÇëÇ X′ Ï»ïÇ, áñ OX′ =k · OX (ÝÏ. 5)
²å³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÁª k ·áñͳÏóáí ÑáÙáï»ïdzÛÇ ¹»åùáõÙ Ýñ³
Ï»ÝïñáÝáí ã³ÝóÝáÕ ó³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛáõÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ½áõ·³-
Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ (ϳ٠ÇÝùÝ Çñ íñ³, »Ã» k = 1)£
Æñáù, ¹Çóáõù ú-Ý ÑáÙáï»ïdzÛÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿, ÇëÏ α-Ý ³Û¹ Ï»ïáí ã³ÝóÝáÕ
ó³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛáõÝ (ÝÏ. 6)£ ²Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç í»ñóÝ»Ýù ó³Ýϳó³Í
AB áõÕÇÕ£ ÐáÙáï»ïdzÛÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ùμ A Ï»ïÁ ϳÝóÝÇ OA ׳鳷³ÛÃÇ
A′ Ï»ïÇ, ÇëÏ B Ï»ïÁ OB ׳鳷³ÛÃÇ B′ Ï»ïÇ,
OA′ OB′
Áݹ áñáõÙ −−−− = k, −−−− = k£ àõëïÇ
OA OB
ΔOAB ~ ΔOA′B′ ¨ ѻ勉μ³ñ ∠OAB =∠OA′B′, áõëïÇ AB||A′B′£
ÜÏ. 5
7
ÜÏ. 6
ì»ñóÝ»Ýù ³ÛÅÙ α ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ Ù»Ï ³Ûɪ AC áõÕÇÕ£ ÐáÙáï»-
ïdzÛÇ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ Ï³ÝóÝÇ Çñ»Ý ½áõ·³Ñ»é A′C′ áõÕÕÇ£ ¸Çï³ñÏíáÕ ÑáÙáï»ïdzÛÇ
¹»åùáõÙ α ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′B′ ¨ A′C′ áõÕÇÕÝ»ñÁ å³ñáõ-
ݳÏáÕ Ñ³ñÃáõÃ۳ݣ ø³ÝÇ áñ A′B′||AB ¨ A′C′||AC, ³å³ α||α′ Áëï »ñÏáõ
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ½áõ·³Ñ»éáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ£
²Ûëï»ÕÇó, áñå»ë ѻ勉Ýù, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁª
ÎáÝÇ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ¨ ÏáÝÁ ѳïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ÏáÝÁ ѳïáõÙ ¿ ßñç³-
Ýáí, ÇëÏ Ýñ³ ٳϻñ¨áõÛÃÁª ßñç³Ý³·Íáí, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÏáÝÇ
³é³ÝóùÇ íñ³£

ÜÏ. 7
¸Çóáõù β-Ý ÏáÝÇ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ¨
ÏáÝÁ ѳïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ ¿ (ÝÏ. 7)£ ÎáÝÇ
·³·³ÃÁ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ÑáÙáï»ïdzÛÇ
Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ β ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³-
ÝÁ, ÏáÝÇ Ñ³ïáõÛÃÁ β ѳñÃáõÃÛ³Ùμ ï³-
ÝáõÙ ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ íñ³£ л勉μ³ñ, ÏáÝÇ
ѳïáõÛÃÁ β ѳñÃáõÃÛ³Ùμ ßñç³Ý ¿, ÇëÏ
ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ñ³ïáõÛÃÁ ³Û¹
ѳñÃáõÃÛ³Ùμª ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÇ Ï»Ýïñá-
ÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÏáÝÇ ³é³ÝóùÇ íñ³£ ∇
5.2 гï³Í ÏáÝ
ÎáÝÁ ѳïáÕ ¨ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é
ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ÏáÝÁ ïñáÑáõÙ ¿ »ñÏáõ Ù³ëÇ£
¸ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ÏáÝ ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁ ÏáãíáõÙ
¿ ѳï³Í ÏáÝ£ (ÝÏ. 8)£ êϽμݳϳÝ
ÏáÝÇ ÑÇÙùÁ ¨ ³ÛÝ ßñç³ÝÁ, áñ ëï³óí»É ¿
ÏáÝÁ ѳñÃáõÃÛ³Ùμ ѳï»ÉÇë ÏáãíáõÙ »Ý
ѳï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñ£ ¸ñ³Ýó Ï»ÝïñáÝ-
Ý»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ ѳï³Í
ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ μ³ñÓñáõ-
ÃÛáõÝÁ Áݹ·ñÏáÕ áõÕÇÕÁª ѳï³Í ÏáÝÇ
³é³Ýóù£ ÎáݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ
áñÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÙ ¿ ѳï³Í ÏáÝÁ,
ÜÏ. 8
ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛã
ÎáݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÇ ³ÛÝ
ѳïí³ÍÝ»ñÁ, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý ÑÇÙù»ñÇ ÙÇç¨, ÏáãíáõÙ »Ý ѳï³Í ÏáÝÇ
ÍÝáñ¹Ý»ñ (AA 1 , BB 1 ¨ ³ÛÉÝ)£ гï³Í ÏáÝÇ μáÉáñ ÍÝáñ¹Ý»ñÁ, ³ÏÝѳÛï ¿,
Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý (AA 1 = PA − PA 1 ,BB 1 = PB − PB 1 ¨ PA 1 = PB 1 , PA = PB)£
гï³Í ÏáÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³Éª åïï»Éáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ë»Õ³ÝÁ Çñ ³ÛÝ ÏáÕÙÇ
ßáõñçÁ, áñÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ÑÇÙù»ñÇÝ£ гï³Í ÏáÝÇ ³é³Ýóùáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáõÛÃÁ
ÏáãíáõÙ ¿ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃ. ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ
ë»Õ³Ý, áñÇ ÑÇÙù»ñÁ ѳï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÝ»ñÝ »Ý, ÇëÏ
ëñáõÝùÝ»ñÁª ѳï³Í ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÁ£
êï³Ý³Ýù μ³Ý³Ó¨ ѳï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ
ѳßíÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ ú·ïí»Éáí ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ μ³-
ݳӨÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýùª
S Ï.Ñ.Ï. = π · OA · PA −π· A 1 O 1 · PA 1
8

Ü߳ݳϻÝù OA = r, O 1 A 1 = r 1 , AA 1 = l£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ
S Ï.Ñ.Ï. = πr(PA 1 + AA 1 ) −πr · PA 1 ,= pr l +π(r − r 1 )PA 1 (1)
PA 1 r PA 1 r 1 l · r
ΔPO
1
1 A 1 ~ ΔPOA, áõëïÇ −−− = −− ϳ٠−−−−−−− = −−, áñï»ÕÇó PA 1 = −−−−−,
PA r 1 PA 1 + l r r − r 1
áñÁ ï»Õ³¹ñ»Éáí (1) μ³Ý³Ó¨Ç ³ç Ù³ëáõÙ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª
S Ï.Ñ.Ï. = π(r + r 1 )l £⎦
5.3 ɳÝ
Ø»Ýù áõëáõÙݳëÇñ»Éáõ »Ýù §áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ·É³ÝÁ¦: Üñ³ ٳϻñ¨áõÛÃÁ
ϳ½Ùí³Í ¿ »ñÏáõ ÑÇÙù»ñÇó ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇó: àõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ·É³-
ÝÇ ÑÇÙù»ñÁ »ñÏáõ ѳí³ë³ñ ßñç³ÝÝ»ñ »Ý, áñáÝù
ï»Õ³¹ñí³Í »Ý ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ
³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýó Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇ-
ÕÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹
áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·É³ÝÇ ³é³Ýóù£ ɳÝÇ ÏáÕÙ-
ݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ýñ³ ÑÇÙù»ñÇÝ
áõÕճѳ۳ó μáÉáñ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ, áñáÝó
ͳÛñ»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ÑÇÙù»ñÇ ßñç³Ý³·Í»-
ñÇÝ: ²Û¹ ѳïí³ÍÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ·É³ÝÇ ÍÝáñ¹-
Ý»ñ, ÇëÏ ÑÇÙù»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ÙdzóÝáÕ OO 1
ѳïí³ÍÁª ·É³ÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ£ ¸ñ³Ýù Çñ³ñ
ѳí³ë³ñ ѳïí³ÍÝ»ñ »Ý£ ÌÝáñ¹Ç »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ μ³ñÓñáõÃÛ³ÝÁ (ÝÏ. 9):
ɳÝÁ åïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝ ¿, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿, »Ã» áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ åïï»Ýù
Ýñ³ ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÇ (³Û¹ ÏáÕÙÁ å³ñáõݳÏáÕ áõÕÕÇ) ßáõñç:
àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ³Û¹ ÏáÕÙÁ å³ñáõݳÏáÕ áõÕÇÕÁ
ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ·É³ÝÇ ³é³ÝóùÁ: Üϳñ 10-áõÙ
å³ïÏ»ñí³Í ¿ O 1 O 2 ³é³Ýóùáí ·É³Ý, áñÁ
ëï³óíáõÙ ¿, »Ã» ABO 1 O 2 áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ åïï»Ýù
O 1 O 2 áõÕÕÇ ßáõñç, O 1 -Á ¨ O 2 -Á` ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇ
Ï»ÝïñáÝÝ»ñÝ »Ý:
ÆÝãå»ë ÏáÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ϳñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñ-
Ï»É áã ÙdzÛÝ áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ·É³ÝÝ»ñ, ³ÛÉ
ݳ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ·É³ÝÝ»ñ: ê³Ï³ÛÝ Ù»Ýù ÙÇßï
ϹÇï³ñÏ»Ýù ÙdzÛÝ áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ·É³ÝÝ»ñ
¨ ѳٳå³ï³ëË³Ý áñáßÇãÝ»ñÁ μ³ó ÏÃáÕ-
Ý»Ýù: ºÃ» ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ
Ïïñ»Ýù ÍÝáñ¹áí, Ýñ³ ÷éí³ÍùÁ ÏÉÇÝÇ
9
ÜÏ. 9
ÜÏ. 10

áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, áñÇ ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ ѳí³ë³ñ ¿ ·É³ÝÇ ÍÝáñ¹ÇÝ (ϳ٠μ³ñÓñáõ-
ÃÛ³ÝÁ), ÇëÏ ÙÛáõëÁª ·É³ÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ: àõëïÇ »Ã» H-áí
Ý߳ݳϻÝù ·É³ÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ R-áíª ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ, ³å³ ·É³ÝÇ
ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª
S Ï.·. = 2πRH,
ÇëÏ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª
S É. = 2πRH + 2πR 2 ,
⎡¸Çï³ñÏ»Ýù ³ÛÅÙ ·É³ÝÇ Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÁ ï³ñμ»ñ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí
1°. ºÃ» ѳïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ·É³ÝÇ ³é³ÝóùÇÝ, ³å³ ³ÛÝ
·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ѳïáõÙ ¿ ÙÇ ßñç³Ý³·Íáí, áñÁ ѳí³ë³ñ ¿
·É³ÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇÝ£
²å³óáõÛó. ²Ûë ÷³ëïÁ ³ÝÙÇç³å»ë μËáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ½áõ·³-
Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó,
Áëï áñÇ ó³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛáõÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
Çñ»Ý ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÇÝùÝ Çñ»Ý
(³Û¹ Ù³ëÇÝ ÏËáëíÇ ·ÉáõË 7-áõÙ)£ ¸Çóáõù β-Ý
·É³ÝÁ ѳïáÕ ¨ Ýñ³ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñ-
ÃáõÃÛáõÝ ¿ (ÝÏ. 11)£ ɳÝÇ ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõ-
ÃÛ³Ùμ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÁ
ѳٳï»ÕáõÙ ¿ β ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ·É³ÝÇ ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï, ѳٳï»ÕáõÙ ¿ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ñ³ïáõÛÃÁ ÑÇÙùÇ ßñç³-
ÜÏ. 11
ݳ·ÍÇ Ñ»ï£ ∇
10

2°. ɳÝÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÁ ·É³ÝÁ ѳïáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝáí (ºÝ-
ó¹ñíáõÙ ¿, áñ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ ·É³ÝÇ ³é³ÝóùÇó ÷áùñ ¿ R-Çó)£
²å³óáõÛó£ ¸Çóáõù MN-Á ·É³ÝÇ OO 1
³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é α ѳñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·É³ÝÇ
ÑÇÙùÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍÝ ¿ (ÝÏ. 12)£
M ¨ N Ï»ï»ñáí ï³Ý»Éáí ·É³ÝÇ MM 1 ¨
NN 1 ÍÝáñ¹Ý»ñÁ Ïëï³Ý³Ýù MM 1 N 1 N áõÕ-
Õ³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é ¿
OO 1 -ÇÝ, áñáíÑ»ï¨ MM 1 ||OO 1 £ ø³ÝÇ áñ MN
¨ OO 1 ˳ãíáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇó Ù»Ïáí (MN-áí)
³ÝóÝáõÙ ¿ ÙÛáõëÇÝ ½áõ·³Ñ»é ÙdzÛÝ Ù»Ï
ѳñÃáõÃÛáõÝ, ³å³ MM 1 N 1 N ѳñÃáõÃÛáõÝÁ
ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ α ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï£ ∇
ÜÏ. 12
5.4 áõݹÁ ¨ Ýñ³ Ù³ë»ñÁ
´áÉáñ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇó §³Ù»Ý³ÏÉáñÁ¦, ÇÝã Ëáëù, ·áõÝ¹Ý ¿: Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛ-
ÃÁ (³ÛëÇÝùݪ ·Ý¹áÉáñïÁ ϳ٠ëý»ñ³Ý) (1)
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý ï»ÕÝ ¿, áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý ÙÇ Ï»-
ïÇó: ²Û¹ Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ·Ý¹áÉáñïÇ Ï»ÝïñáÝ,
ÇëÏ ·Ý¹áÉáñïÇ Ï»ïÁ Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÇ
Ñ»ï ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ ¨ í»ñçÇÝÇë »ñϳñáõÃÛáõÝÁ
ÏáãíáõÙ ¿ ß³é³íÇÕ (ÝÏ. 13):
ݹáÉáñïÇ ¨ ·Ý¹Ç Ñ»ï (×Çßï ³ÛÝå»ë,
ÇÝãå»ë ßñç³Ý³·ÍÇ ¨ ßñç³ÝÇ Ñ»ï) ϳåí³Í
»Ý ïñ³Ù³·ÍÇ ¨ ɳñÇ Ñ³ëϳóáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÁ ⎡³ÛÝ ¿ª ɳñÁ ëý»ñ³ÛÇ ó³Ýϳó³Í
»ñÏáõ Ï»ï»ñÁ ÙÇóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÝ ¿, ÇëÏ ëý»-
ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ É³ñÁª ïñ³Ù³-
·ÇÍÁ):⎦
ÜÏ. 13
áõݹÁ ϳé³ç³Ý³ áñå»ë åïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝ, »Ã» ßñç³ÝÁ (ϳ٠ÏÇë³ßñç³ÝÁ)
åïï»Ýù ïñ³Ù³·ÍÇ ßáõñç:
лï¨Û³É ûáñ»ÙÁ ï³ÉÇë ¿ ·Ý¹Ç ß³ï ϳñ¨áñ μÝáõó·ñÇã ѳïÏáõÃÛáõÝÁ:
(1) гÏÇñ× ·ñ³éÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ù»Ýù ³í»ÉÇ Ñ³×³Ë Ïû·ï³·áñÍ»Ýù §ëý»ñ³¦ ï»ñÙÇÝÁ£
11

»áñ»Ù 5.1 (·Ý¹Ç ѳïáõÛÃÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ):
Ý¹Ç ó³Ýϳó³Í ѳñà ѳïáõÛÃÁ ßñç³Ý ¿: (гٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ,
ëý»ñ³ÛÇ ó³Ýϳó³Í ѳñà ѳïáõÛÃÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ¿)£ Àݹ áñáõÙ, »Ã» ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ
ѳí³ë³ñ ¿ R-Ç, ÇëÏ Ñ³ïÙ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·Ý¹Ç Ï»Ýïñá-
ÝÇó ѳí³ë³ñ ¿ d-Ç, ³å³ ѳïáõÛÃÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ r =√"R 2 "−" $d 2 :
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù O-Ý ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÝ ¿, O°-Á` ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇ åñáÛ»ÏódzÝ
¿ ѳïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³, OO° = d, A-Ý ëý»ñ³ÛÇ ¨ ѳïáõÛÃÇ Ñ³ñ-
ÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ áñ¨¿ Ï»ï ¿ (ÝÏ. 14): êï³óí³Í OO°A »é³ÝÏÛáõÝáõÙ
∠OO°A = 90°: л勉μ³ñ, O°A =√"O"A 2 "−""O°$O 2 =√"R 2 "−"$d 2 : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿,
áñ A-Ý å³ïϳÝáõÙ ¿ ѳïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõ-
ÝáõÙ ÁÝÏ³Í O° Ï»ÝïñáÝáí ¨ r ß³é³íÕáí ßñç³-
ݳ·ÍÇÝ: ¸Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É, áñ ³Û¹ ßñç³Ý³·ÍÇ
ó³Ýϳó³Í Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ ïñí³Í ëý»ñ³ÛÇ
íñ³: ∇
Ý¹Ç Ñ³ïáõÛÃÇ r ß³é³íÇÕÁ ÏÉÇÝÇ ³Ù»Ý³Ù»-
ÍÁ, »ñμ ѳïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ³ÝóÝÇ ·Ý¹Ç
Ï»ÝïñáÝáí: Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõ-
ÃÛ³Ùμ ѳïáõÛÃÁ ³Û¹å»ë ¿É ÏáãíáõÙ ¿` ·Ý¹Ç Ù»Í
ÜÏ. 14
ßñç³Ý, ÇëÏ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ßñç³Ý³·ÇÍÁ`
Ù»Í ßñç³Ý³·ÇÍ:
⎡»áñ»Ù 5.1-Çó, Ù³ëݳíáñ³å»ë, ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É ÙÇ Ï³ñ¨áñ ѻ勉Ýù.
ºñÏáõ ëý»ñ³Ý»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ¿£
²å³óáõÛó£ ¸Çóáõù O 1 -Á ¨ O 2 -Á ³Û¹ ëý»ñ³Ý»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÝ »Ý, ÇëÏ A-ݪ
Ýñ³Ýó ѳïÙ³Ý ·ÍÇ áñ¨¿ Ï»ï (ÝÏ. 15) (μݳϳݳμ³ñ, »Ýó¹ñíáõÙ ¿, áñ ëý»-
ñ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý Ù»ÏÇó ³í»ÉÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñ ¨
Ýñ³Ýó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ã»Ý ѳÙÁÝÏÝáõÙ)£ A Ï»-
ïáí ï³Ý»Ýù O 1 O 2 áõÕÕÇÝ áõÕճѳ۳ó α ѳñ-
ÃáõÃÛáõÝ£ Àëï 5.1 ûáñ»ÙÇ, α ѳñÃáõÃÛáõÝÁ »ñ-
Ïáõ ëý»ñ³Ý»ñÝ ¿É ÏѳïÇ B Ï»ÝïñáÝáí ¨ A Ï»-
ïáí ³ÝóÝáÕ K ßñç³Ý³·Íáí£ ²ÛëåÇëáí, K ßñç³Ý³·ÇÍÁ
å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ ëý»ñ³Ý»ñÇ
ѳïÙ³Ý ·ÍÇÝ£ ØÝáõÙ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ³Û¹ ëý»-
ñ³Ý»ñÁ ³ÛÉ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñ ãáõݻݣ ºÝó¹ñ»Ýù
ѳϳé³ÏÁª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ K ßñç³Ý³·-
ÍÇÝ ãå³ïϳÝáÕ X Ï»ï, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
ëý»ñ³Ý»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÍÇÝ£ X Ï»ïáí ¨ O 1 O 2
áõÕÕáí ï³Ý»Ýù ѳñÃáõÃÛáõÝ£ ²Û¹ ѳñÃáõÃÛáõ-
ÝÁ ÏѳïÇ ëý»ñ³Ý»ñÁ O 1 ¨ O 2 Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí
ÜÏ. 15
ßñç³Ý³·Í»ñáí£ ²Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÁ Çñ³ñ Ñ»ï
12

ѳïíáõÙ »Ý K ßñç³Ý³·ÍÇÝ å³ïϳÝáÕ »ñÏáõ Ï»ï»ñáõÙ ¨ μ³óÇ ³Û¹ ³Ýó-
ÝáõÙ »Ý X Ï»ïáí£ ÆëÏ ¹³ Ñݳñ³íáñ ã¿, áñáíÑ»ï¨ ï³ñμ»ñ Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí
»ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ ã»Ý ϳñáÕ áõÝ»Ý³É »ñÏáõëÇó ³í»ÉÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñ£
êï³óí»ó ѳϳëáõÃÛáõÝ, áõëïÇ Ù»ñ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÁ ëË³É ¿ñ ¨ åݹáõÙÁ
³å³óáõóí³Í ¿£⎦
»áñ»Ù 5.2* (ϳñ׳·áõÛÝ áõÕÇÝ ëý»ñ³ÛÇ íñ³Ûáí)
Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ Ýñ³ A ¨ B »ñÏáõ Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ï³ñ-
׳·áõÛÝ áõÕÇÝ ³Û¹ Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ù»Í ßñç³Ý³·ÍÇ AB ÷áùñ ³Õ»ÕÝ ¿:
²å³óáõÛó: AB ÷áùñ ³Õ»ÕÇ íñ³ í»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ï ¨ ³å³óáõó»Ýù,
áñ A ¨ B Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ï³ñ׳-
·áõÛÝ áõÕÇÝ å»ïù ¿ ³ÝóÝÇ M Ï»ïáí (ÝÏ. 16):
¸Çóáõù O-Ý ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿: î³Ý»Ýù
M-áí »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝ, Ù»ÏÝ áõÕճѳ۳ó
OA-ÇÝ, ÙÛáõëÝ` OB-ÇÝ: ²Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ѳïáõÙ »Ý ëý»ñ³Ý »ñÏáõ` ω ¨ υ ßñç³Ý³·Í»-
ñáí, áñáÝù áõÝ»Ý ÙdzÏ` M ÁݹѳÝáõñ Ï»ï: ¸Çï³ñÏ»Ýù
A-Çó B Ï³Ù³Û³Ï³Ý áõÕÇ, áñÁ ãÇ
³ÝóÝáõÙ M Ï»ïáí:
¸Çóáõù ³Û¹ áõÕÇÝ ω ßñç³Ý³·ÇÍÁ ѳïáõÙ ¿
K Ï»ïáõÙ, ÇëÏ υ ßñç³Ý³·ÇÍÁ` P Ï»ïáõÙ: лßï
ÜÏ. 16
¿ ï»ëÝ»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ¨ M Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ áõÕÇ, áñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ
ѳí³ë³ñ ¿ A ¨ K Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ áõÕáõ »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ:
¸ñ³Ýáõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ ѳÙá½í»É, »Ã» åïï»Ýù ω ßñç³Ý³·ÇÍÝ OA ³é³ÝóùÇ
ßáõñçÝ ³ÛÝå»ë, áñ K Ï»ïÝ Ñ³ÙÁÝÏÝÇ M-Ç Ñ»ï: Üٳݳå»ë, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
B ¨ M Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ áõÕÇ, áñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ B ¨ P Ï»ï»ñÁ
ÙdzóÝáÕ áõÕáõ »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ: ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ A ¨ B Ï»ï»ñÁ Ùdzó-
ÝáÕ Ï³ñ׳·áõÛÝ áõÕÇÝ Çñ³Ï³ÝáõÙ å»ïù ¿ ³ÝóÝÇ M Ï»ïáí: »áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í
¿, ù³ÝÇ áñ M-Á AB ÷áùñ ³Õ»ÕÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿: ∇
13

⎡R ß³é³íÕáí ëý»ñ³ÛÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳßí»Éáõ ѳٳñ Ïû·ïí»Ýù
S = 4πR 2 μ³Ý³Ó¨Çó, áñÇ ³å³óáõÛóÁ ÏïñíÇ 12-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ï³ñ³-
ͳã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ£
ݹ³ÛÇÝ ·áïÇ ÏáãíáõÙ ¿ ëý»ñ³ÛÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÝ ³éÝí³Í ¿ ·áõݹÁ ѳïáÕ
»ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ (ÝÏ. 17)£ ²Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
O 1 O 2 -Á ÏáãíáõÙ ¿ ·Ý¹³ÛÇÝ ·áïáõ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ Ñ³ïáõÙÇó
ëï³óí³Í ßñç³ÝÝ»ñÁª ·Ý¹³ÛÇÝ ·áïáõ ÑÇÙù»ñ£ ºÃ» ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇó
Ù»ÏÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ëý»ñ³Ý, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù ·Ý¹³ÛÇÝ ë»·Ù»Ýï£ Ð³ïáõÛÃáõÙ
ëï³óí³Í ßñç³ÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë»·Ù»ÝïÇ ÑÇÙù, ÇëÏ Ñ³ïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÝ áõÕ-
ճѳ۳ó AC ïñ³Ù³·ÍÇ AB ѳïí³ÍÁª ë»·Ù»ÝïÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝ (ÝÏ. 18)
ºÃ» ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ëý»ñ³Ý, ÇëÏ ÙÛáõëÁ ³ÝóÝáõÙ
·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝáí, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù ÏÇë³·áõݹ£
ÜÏ. 17 ÜÏ. 18
ݹ³ÛÇÝ ë»Ïïáñ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ Ù³ñÙÇÝÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ ·Ý¹³ÛÇÝ ë»·-
Ù»ÝïÇó ¨ ÏáÝÇó Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå£ ²ÛÝ ¹»åùáõÙ,
»ñμ ë»·Ù»ÝïÁ ÷áùñ ¿ ÏÇ볷ݹÇó, ·Ý¹³ÛÇÝ
ë»ÏïáñÁ ëï³óíáõÙ ¿ ë»·Ù»ÝïÁ Éñ³óÝ»Éáí
ë»·Ù»ÝïÇ Ñ»ï ÝáõÛÝ ÑÇÙùÁ áõÝ»óáÕ ¨ ·Ý¹Ç
Ï»ÝïñáÝÁ ·³·³Ã áõÝ»óáÕ ÏáÝáí (ÝÏ. 19)£ ÆëÏ
»Ã» ë»·Ù»ÝïÁ Ù»Í ¿ ÏÇ볷ݹÇó, ³å³ ·Ý¹³-
ÛÇÝ ë»ÏïáñÁ ëï³óíáõÙ ¿ ³Û¹ ë»·Ù»ÝïÇó Ñ»-
é³óÝ»Éáí Ýñ³ Ñ»ï ÁݹѳÝáõñ ÑÇÙù ¨ ·Ý¹Ç
Ï»ÝïñáÝÁ ·³·³Ã áõÝ»óáÕ ÏáÝÁ£
ݹ³ÛÇÝ ·áïáõ (·Ý¹³ÛÇÝ ë»·Ù»ÝïÇ) Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳßííáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É μ³-
ݳӨáíª
ÜÏ. 19
S = 2π·R·h,
14

áñï»Õ R-Á ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÝ ¿, h-Áª ·Ý¹³ÛÇÝ ·áïáõ (·Ý¹³ÛÇÝ ë»·Ù»ÝïÇ) μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ£
²Ûë μ³Ý³Ó¨Á ϳå³óáõó»Ýù 12-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ï³ñ³Í³ã³÷áõ-
ÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ£⎦
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. (û) ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ h-Ç, ÇëÏ ÍÝáñ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ` l-Ç:
ï»ù ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ ¨ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2. àñáß»°ù, û ÇÝã Ù³ñÙÇÝ ¿ ëï³óíáõÙ, »Ã» ù³é³ÏáõëÇÝ åïï»Ýù Ýñ³
³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ßáõñçÁ:
3. (Ï) ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Á μ³ñÓñáõÃÛáõÝÇó »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿: ï»ù Ýñ³
³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÛÝ ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ·³·³ÃÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ
¿ ÏáÝÇ ·³·³ÃÇ Ñ»ï:
4. (Ï) ï»ù 3 ß³é³íÕáí ·Ý¹Ç ³ÛÝ Ñ³ñà ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇó ѳí³ë³ñ ¿ 2:
5. ÎáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ 2 »ñϳñáõÃÛ³Ùμ Ý»ñùݳÓÇ·áí ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ
áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿: ÎáÝÇ ·³·³Ãáí ï³ñí³Í ¿ ѳïáõÛÃ, áñÁ
ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ α ³ÝÏÛáõÝ: ï»ù ³Û¹ ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
6. Þñç³ÝÇó Ïïñ»É »Ý Ýñ³ ù³éáñ¹ Ù³ëÁ ѳݹÇë³óáÕ ë»Ïïáñ: Þñç³ÝÇ
Ïïñ³Í ¨ Ùݳó³Í Ù³ëÇó å³ïñ³ëï»É »Ý »ñÏáõ ÏáÝ»ñÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñ ⎡(ëáëÝÓ»Éáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ):⎦
ï»ù ³Û¹ ÏáÝ»ñÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ:
7. 2 »ñϳñáõÃÛ³Ùμ ß³é³íÕáí ëý»ñ³Ý ѳï»É »Ý ѳñÃáõÃÛ³Ùμ, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇó ѳí³ë³ñ ¿ 1: ï»ù ³Û¹ ѳïáõÛÃÇ Çñ³ñÇó
³é³í»É³·áõÛÝ Ñ»é³óí³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñ ÙdzóÝáÕ ëý»ñ³ÛÇ íñ³ ·ïÝíáÕ Ï³ñ-
׳·áõÛÝ áõÕáõ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
8. ï»ù a ÏáÕÙáí ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛ³Ý` Ýñ³ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ ¨ ÏáÕ-
Ù»ñÇó Ù»ÏÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ ßáõñçÁ åïïáõÙáí ëï³óí³Í Ù³ñÙÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ
ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
9. (û) ɳÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ r: гñÃáõÃÛáõÝÁ ѳïáõÙ ¿ ·É³-
ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ, μ³Ûó ãÇ Ñ³ïáõÙ Ýñ³ ÑÇÙù»ñÁ, ¨ ϳ½ÙáõÙ ¿ α
³ÝÏÛáõÝ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï: ï»ù ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ùμ ·É³ÝÇ Ñ³ïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ:
10. (û) a ÏáÕÙáí ù³é³ÏáõëÇÝ åïïíáõÙ ¿ Ýñ³ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³Ñ»é l
áõÕÕÇ ßáõñçÁ, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó ѳí³ë³ñ ¿ h, ÇëÏ
³Û¹ áõÕÕÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ù³é³Ïáõëáõ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ³ÝóÝáõÙ ¿ ³Û¹ ù³é³-
Ïáõëáõ ѳϳ¹Çñ ÏáÕÙ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí: Üϳñ³·ñ»ù ëï³óí³Í åïï³-
Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÁ: ï»ù Ýñ³ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
15

11. (¹) γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Á åïïíáõÙ ¿ Ýñ³ ·³·³Ãáí ³Ýó-
ÝáÕ ¨ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ ßáõñç: ï»ù ëï³óí³Í Ù³ñÙ-
ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõ-
ÝÁ a ¿, ÇëÏ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ h:
12. (¹) гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ßñç³Ý³·ÇÍ ¨ »ñÏáõ Ï»ï` A ¨ B 1 ,
Áݹ áñáõÙ, A-Ý ·ïÝíáõÙ ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ Ý»ñëáõÙ: гÛïÝÇ ¿, áñ ßñç³Ý³·ÇÍÁ
áñ¨¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÇÍ ¿, ÇëÏ B 1 -Á ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ÏáÝÇ ·³·³Ãáí
³ÝóÝáÕ ¨ Ýñ³ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý B Ï»ïÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³: γéáõó»ù AB ѳïí³ÍÇ ¨ ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ѳïÙ³Ý Ï»ïÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ⎡(ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³):⎦
13. (¹) àõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ÏáÝÇ ·³·³Ãáí ï³ñí³Í ¿ ³é³í»É³·áõÛÝ Ù³Ï»-
ñ»ëáí ѳïáõÛÃÁ: ä³ñ½í»ó, áñ ³Û¹ ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿
ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó: ï»ù ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ
ÏáÝÇ ·³·³ÃÇÝ ÏÇó (ÍÝáñ¹Ý»ñáí ϳ½Ù³Í) ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
14. (¹) ɳÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ h ¿, ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ` r: ï»ù ѳñÃáõÃÛ³Ý
íñ³ ³Û¹ ·É³ÝÇ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:
Èñ³óáõóÇã ËݹÇñÝ»ñ
1. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ h-Ç£ Üñ³ ·³·³ÃÇó DZÝã Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛ³Ý íñ³ å»ïù ¿ ï³Ý»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃ, áñå»ë½Ç ѳïáõÛ-
ÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ÷áùñ ÉÇÝÇ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó
h
ä³ï. −−−−
√$2
2. ɳÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ 37 ëÙ ¿, μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª 24 ëÙ£ ɳÝÇ ³é³ÝóùÇÝ
½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃÁ ù³é³ÏáõëÇ ¿£ ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
·É³ÝÇ ³é³ÝóùÇó£ ä³ï.ª 35 ëÙ
3. r ß³é³íÕáí ¨ O Ï»ÝïñáÝáí ·Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ A Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñ-
ÃáõÃÛáõÝÁ OA áõÕÕÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 30° ³ÝÏÛáõÝ£ ïÝ»É ·Ý¹Ç ëï³óí³Í ѳïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ£
3πr 2
ä³ï.ª −−−−−
4
⎡4. ɳÝÇ Ù»ç ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ÙÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝ ¿ ï³ñí³Í, áñÁ ÑÇÙùÇ
ßñç³Ý³·ÍÇó ѳïáõÙ ¿ 120°-Ç ³Õ»Õ£ ²é³ÝóùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁª h = 10 ëÙ, Ýñ³
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó a = 2 ëÙ£ àñáß»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
5. ɳÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳñ³μ»ñáõÙ ¿ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»-
ñ»ëÇÝ ÇÝãå»ë π £ 4£ ïÝ»É ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñáí ϳ½Ùí³Í
³ÝÏÛáõÝÁ£
16

6. ɳÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 5 ¹Ù ¿, ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª 5 ¹Ù£ 10 ¹Ù »ñϳñáõ-
ÃÛ³Ùμ ѳïí³ÍÇ Í³Ûñ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý »ñÏáõ ÑÇÙù»ñÇ ßñç³Ý³·Í»ñÇ íñ³£
ïÝ»É Ýñ³ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ³é³ÝóùÇó£
7. ɳÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 2 Ù ¿, ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª 7 Ù£ ²Û¹ ·É³ÝÇÝ, ³é³ÝóùÇ
ÝϳïÙ³Ùμ ûù ¹Çñùáí, Ý»ñ·Í³Í ¿ ÙÇ ù³é³ÏáõëÇ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ μáÉáñ
·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÑÇÙù»ñÇ ßñç³Ý³·Í»ñÇ íñ³£ ïÝ»É ³Û¹ ù³é³Ïáõëáõ
ÏáÕÙÁ£
8. ɳÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 10 ëÙ-áí ³í»ÉÇ ¿ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÇó, ÇëÏ ÉñÇí Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÁ 144 π ëÙ 2 ¿£ àñáᯐ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÝ áõ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ£
9. 1) ƱÝãÇ ¿ ѳí³ë³ñ ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ¨ Ýñ³ ³é³Ýóù³-
ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ£
2) ƱÝã μ³ñÓñáõÃÛáõÝ å»ïù ¿ áõݻݳ ·É³ÝÁ, áñå»ë½Ç Ýñ³ ÏáÕÙݳÛÇÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñ»ù ³Ý·³Ù Ù»Í ÉÇÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£
10. ɳÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª r = 2 ëÙ, ÇëÏ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª h = 7ëÙ£ àñáß»É
³Û¹ ·É³ÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇÝ Ñ³í³ë³ñ³Ù»Í ßñç³ÝÇ ß³é³íÇÕÁ£
11. ɳÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ Q-Ç, ÇëÏ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁª M-Ç£ àñáᯐ ³Û¹ ·É³ÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
12. ÎáÝÇ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ ¨ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ñ³ñ³μ»ñáõ-
ÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ π-Ç£ ïÝ»É ÍÝáñ¹Ç ûùáõÃÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝÁ ÑÇÙùÇ ÝϳïÙ³Ùμ£
13. 1) ÎáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÝ ¿ R£ ´³ñÓñáõÃÛ³Ý ÙÇçݳϻïáí ÑÇÙùÇÝ
ï³ñí³Í ¿ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝ£ ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
2) ÎáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ R-Ç£ àñáᯐ ³ÛÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»-
ñ»ëÁ, áñÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ ÑÇÙùÇÝ ¨ ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝáõÙ ¿ m £ n ѳñ³μ»ñáõÃÛ³Ùμ
(·³·³ÃÇó ¹»åÇ ÑÇÙùÁ)£
14. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 20-Ç, Ýñ³ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª 25-Ç£
ïÝ»É ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇó ѳí³ë³ñ ¿ 12-Ç£
15. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ H-Ç£ ´³ñÓñáõÃÛ³Ý ¨ ÍÝáñ¹Ç ϳ½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁ 60° ¿£ ïÝ»É »ñÏáõ ÷áËáõÕճѳ۳ó ÍÝáñ¹Ý»ñáí ï³ñí³Í ѳïáõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ£
16. ÎáÝÇ ·³·³Ãáí ï³ñí³Í ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ÏáÝÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿
30° ³ÝÏÛáõÝ£ êï³óí³Í ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ
ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇÝ£ ï»ù ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ ³ÝÏÛáõÝÁ£
17. ï»ù ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ ³ÝÏÛáõÝÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿,
áñ ³Û¹ ÏáÝÁ áõÝÇ »ñ»ù ÷áËáõÕճѳ۳ó ÍÝáñ¹Ý»ñ£
18. 1) ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ÑÇÙùÇ R ß³é³íÇÕÇÝ£ ÎáÝÇ ·³·³-
Ãáí ï³ñí³Í ¿ ÙÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝ, áñÁ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇó ѳïáõÙ ¿ 90°-Ç
³Õ»Õ£ àñáᯐ ëï³óí³Í ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
2) ÎáÝÇ ·³·³ÃÇó ÑÇÙùÇ ÝϳïÙ³Ùμ 45°-Ç ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï ï³ñí³Í ¿ ÙÇ
ѳñÃáõÃÛáõÝ, áñÁ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇó ѳïáõÙ ¿ Ýñ³ ãáññáñ¹ Ù³ëÁ£ ÎáÝÇ
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 10 ëÙ-Ç£ àñáß»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
17

19. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÙÇçݳϻïáí Ýñ³ l »ñϳñáõÃÛ³Ùμ ÍÝáñ¹ÇÝ ½áõ·³-
Ñ»é ï³ñí³Í ¿ ÙÇ áõÕÇÕ£ ïÝ»É ÏáÝÇ Ù»ç å³ñ÷³Ïí³Í ³Û¹ áõÕÕÇ Ñ³ïí³-
ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
20. ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Á 13 ëÙ ¿, μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª 12 ëÙ£ ²Û¹ ÏáÝÁ ѳïí³Í ¿ ÑÇÙùÇÝ
½áõ·³Ñ»é MN áõÕÇÕáí, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÑÇÙùÇó 6 ëÙ ¿, ÇëÏ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÇóª
2 ëÙ£ ïÝ»É ³Û¹ áõÕÇÕÇ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÁ, áñ å³ñ÷³Ïí³Í ¿ ÏáÝÇ Ù»ç£
21. 1) àñáᯐ ³ÛÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ, áñÝ ëï³óíáõÙ ¿,
»ñμ ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÍÇ ÙÇ Í³ÛñÇó »ÉÝáÕ É³ñÁ åïïíáõÙ ¿ ïñ³Ù³·ÍÇ
ßáõñçÁ, »Ã» ïñ³Ù³·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿ 25 ëÙ-Ç, ÇëÏ É³ñÁª 20 ëÙ-Ç£
2) r = 7 Ù ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ A Ï»ïÇó ï³ñí³Í ¿ AB = l = 24 Ù
ßáß³÷áÕÁ, ÇëÏ Ýñ³ B ͳÛñÇóª ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ BOC ѳïáÕÁ£
àñáᯐ ³ÛÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ·ÍáõÙ ¿ ѳïá-
ÕÇ Ñ³ïí³ÍÁ ßáß³÷áÕÇ ßáõñçÁ åïï»ÉÇë£
22. гí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿ Çñ μ³ñÓñáõÃÛ³Ý ßáõñçÁ£
àñáᯐ ³Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ, »Ã» Ýñ³ å³ñ³·ÇÍÁ 30 ëÙ ¿, ÇëÏ åïïÙ³Ý
Ù³ñÙÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª 60 π ëÙ 2 £
23. ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñáí ϳ½Ùí³Í ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÝÏÛáõÝÁ 60° ¿£ ïÝ»É ÏáÝÇ
ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ ¨ ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ£
24. гßí»É ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ÷éí³ÍùÇ ³ÝÏÛáõÝÁª ³) »Ã»
ÍÝáñ¹Ý»ñáí ϳ½Ùí³Í ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÝÏÛáõÝÝ áõÕÇÕ ¿, μ) »Ã» ÍÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 30°-Ç ³ÝÏÛáõÝ£
25. 1) ÎÇë³ßñç³ÝÇÝ ïñí³Í ¿ ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ó¨£ ïÝ»É ÏáÝÇ
ÍÝáñ¹Ç ¨ μ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£
2) ê»ÏïáñÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 3 Ù-Ç, Ýñ³ ³ÝÏÛáõÝÁª 120°-Ç£ ê»ÏïáñÁ
áÉáñ»É »Ý ÏáÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ó¨áí£ ïÝ»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ£
26. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 11 ëÙ ¨ 16 ëÙ, ÍÝáñ¹Áª 13 ëÙ£
ïÝ»É ÷áùñ ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇó ÙÇÝã¨ Ù»Í ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÇÍÁ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£
27. гï³Í ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Á ѳí³ë³ñ ¿ 2a-Ç ¨ ÑÇÙùÇ ÝϳïÙ³Ùμ ûùí³Í ¿
60°-Ç ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï£ ØÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ÙÛáõë ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÇó£
ïÝ»É ³Û¹ ß³é³íÇÕÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ£
28. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 3 ¹Ù ¨ 7 ¹Ù, ÍÝáñ¹Áª 5 ¹Ù£ ï-
Ý»É ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
29. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÝ »Ý 4 ¨ 25£ ´³ñÓñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³Ýí³Í
¿ 3 ѳí³ë³ñ Ù³ë»ñÇ ¨ μ³Å³ÝÙ³Ý Ï»ï»ñÇó ÑÇÙù»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñ-
ÃáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ï³ñí³Í£ ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ£
30. гï³Í ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 4 ¹Ù-Ç, ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»-
ñÁª 2 ¹Ù-Ç ¨ 5 ¹Ù-Ç£ ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
31. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý R ¨ r£ ÌÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ ÝϳïÙ³Ùμ
ûùí³Í ¿ 60-Ç ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï£ ïÝ»É ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
18

32. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ áõ ÍÝáñ¹Á ѳñ³μ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë
1 £ 4 £ 5, μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 8 ëÙ-Ç£ ï»ù ѳï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
33. 1) àñáß»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ýñ³ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ 572 π Ù 2 -Ç, ÇëÏ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁª 6 Ù-Ç ¨ 14 Ù-Ç£
2) гï³Í ÏáÝÇ Ù»ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª h = 63 ¹Ù, ÍÝáñ¹Áª l = 65 ¹Ù ¨ ÏáÕÙ-
ݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª S = 26 ¹Ù 2 £ àñáᯐ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£
34. гï³Í ÏáÝÇ Ù»ç ÍÝáñ¹Íª l = 5 ëÙ, ÇëÏ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁª 1 ëÙ ¨
5 ëÙ£ ïÝ»É ÙǨÝáõÛÝ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ áõ ÙǨÝáõÛÝ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÝ áõÝ»óáÕ ·É³ÝÇ ß³é³íÇÕÁ£
35. àñáß»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³
ÍÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 30°-Ç ³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ ³é³Ýóù³ÛÇÝ
ѳïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ F-Ç£
36. гï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ S-Ç, ÇëÏ
ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁª R-Ç ¨ r-Ç£ àñáᯐ ÉñÇí ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ£
37. 1) àñáß»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³
ÍÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 45°-Ç ³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ
»Ý R ¨ r£
2) àñáß»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³
ÍÝáñ¹Á ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 60°-Ç ³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ ÑÇÙù»ñÇ Ù³-
Ï»ñ»ëÝ»ñÝ »Ý Q ¨ q£
38. 1) гï³Í ÏáÝÇ Ù»ç ïñí³Í »Ý μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª H, ÍÝáñ¹Áª l ¨ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁª S£ àñáᯐ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
2) гï³Í ÏáÝÇ Ù»ç áñáᯐ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã»
ïñí³Í »Ý ÑÇÙù»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁª Q ¨ q áõ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»-
ñ»ëÁª S£
39. 1) áõݹÁ, áñÇ ß³é³íÇÕÁ 41 ¹Ù ¿, Ï»ÝïñáÝÇó 9 ¹Ù Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý
íñ³ ѳïí³Í ¿ ѳñÃáõÃÛáõÝáí£ àñáß»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
2) Ý¹Ç ß³é³íÕÇ ÙÇçݳϻïáí Ýñ³Ý áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝ ¿
ï³ñí³Í£ ÆÝãå»±ë »Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÙ ëï³óí³Í ѳïáõÛÃÇ ¨ ·Ý¹Ç Ù»Í ßñç³-
ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ£
40. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ 63 ëÙ ¿£ ØÇ Ï»ï ·ïÝíáõÙ ¿ ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³
¨ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇó Ñ»é³ó³Í ¿ 16 ëÙ-áí£ ïÝ»É ³Û¹ Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇó£
41. Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³ ·ïÝíáÕ »ñÏáõ Ï»ï»ñÁ ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»ï ÙÇ-
³óÝáÕ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý 60°-Ç ³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ ³Û¹ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í
³Ù»Ý³Ï³ñ× Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ íñ³Ûáí ѳí³ë³ñ ¿ 5 ëÙ-Ç£
àñáᯐ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
19

42. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ R-Ç£ ²Û¹ ß³é³íÕÇ ëý»ñ³ÛÇ íñ³ ·ïÝíáÕ
ͳÛñ³Ï»ïÇó ï³ñí³Í ¿ ÙÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝ, áñÁ ß³é³íÇÕÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 60°-Ç
³ÝÏÛáõÝ£ ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
43. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ R ¿£ Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³ ·ïÝíáÕ ÙÇ Ï»ïÇó ï³ñí³Í
»Ý »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝóÇó Ù»ÏÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ·áõݹÁ, ÇëÏ ÙÛáõëÁ
Ýñ³ ÝϳïÙ³Ùμ ûùí³Í ¿ 30°-Ç ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï£ ïÝ»É Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
44. Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³ ïñí³Í ¿ »ñ»ù Ï»ï£ ²Û¹ Ï»ï»ñÇ áõÕÕ³·ÇÍ Ñ»-
é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ »Ýª 6 ëÙ, 8 ëÙ, 10 ëÙ£ Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 13 ëÙ-Ç£
ïÝ»É ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
³Û¹ »ñ»ù Ï»ï»ñáí£
45. Ý¹Ç ïñ³Ù³·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿ 25 ëÙ-Ç£ Üñ³ ٳϻñ¨áõÛÃÇ íñ³ ïñí³Í
¿ A Ï»ïÝ áõ ÙÇ ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÇ μáÉáñ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý A Ï»ïÇó 15 ëÙ Ñ»-
é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ (áõÕÇÕ ·Íáí)£ ïÝ»É ³Û¹ ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ£
46. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÝ ¿ 15 ëÙ£ ݹÇó ¹áõñë ïñí³Í ¿ A Ï»ïÁ, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇó ѳí³ë³ñ ¿ 10 Ù-Ç£ Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³
·ïÝ»É ³ÛÝ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÇ μáÉáñ Ï»ï»ñÝ A Ï»ïÇó 20 Ù Ñ»-
é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ »Ý ·ïÝíáõÙ£
47. 1) R ß³é³íÇÕÝ áõÝ»óáÕ »ñÏáõ ѳí³ë³ñ ·Ý¹»ñ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë,
áñ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÙÛáõëÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³£ àñáß-
»É ³ÛÝ ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñáí ѳïíáõÙ »Ý ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÁ£
2) ºñÏáõ ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 25 ¹Ù ¨ 29 ¹Ù, ÇëÏ Ýñ³Ýó Ï»ÝïñáÝ-
Ý»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁª 36 ¹Ù£ àñáᯐ ³ÛÝ ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñáí
ѳïíáõÙ »Ý Ýñ³Ýó ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñÁ£
48. ºé³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 13 ëÙ, 14 ëÙ ¨ 15 ëÙ£ ïÝ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ñ³ñÃáõ-
ÃÛáõÝÇó ÙÇÝ㨠³ÛÝ ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÁ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿
»é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ£ Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 5 ëÙ-Ç£
49. Þ»Õ³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÝ »Ý 15 ëÙ ¨ 20 ëÙ£ ݹ³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ
ßáß³÷áõÙ ¿ Ýñ³ μáÉáñ ÏáÕÙ»ñÁ£ Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ 10 ëÙ ¿£ ïÝ»É ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇó
ÙÇÝ㨠߻ճÝÏÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£
50. Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³ ·ïÝíáÕ Ï»ïáí ï³ñí³Í »Ý »ñÏáõ ÷áËáõÕÕ³-
ѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù ѳïáõÙ »Ý ·áõݹÁ r 1 ¨ r 2 ß³é³íÇÕÝ»ñ áõÝ»-
óáÕ ßñç³ÝÝ»ñáí£ ïÝ»É ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
51. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 7 ëÙ-Ç£ Üñ³ ٳϻñ¨áõÛÃÇ íñ³ ï³ñí³Í
»Ý »ñÏáõ ѳí³ë³ñ ßñç³Ý³·Í»ñ, áñáÝù ѳïíáõÙ »Ý 2 ëÙ »ñϳñáõÃÛáõÝ áõÝ»-
óáÕ É³ñáí£ ïÝ»É ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ, ÇٳݳÉáí, áñ Ýñ³Ýó
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý£
52. áõݹÁ ßáß³÷áÕ »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ, áñ
áõÕÕí³Í ¿ ¹»åÇ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÁ, ѳí³ë³ñ ¿ 120°-Ç£ Þáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÇ
ÙÇç¨ ³Ù»Ý³Ï³ñ× Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ íñ³Ûáí ѳí³ë³ñ ¿
70 ëÙ-Ç£ ïÝ»É ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
20

53. ÎÇë³·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ R-Ç£ ïÝ»É Ýñ³ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ£
54. Ý¹Ç Ù»ç, Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÇ ÙÇ ÏáÕÙáõÙ, ï³ñí³Í »Ý »ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é ѳïáõÛÃÝ»ñ,
áñáÝó ٳϻñ»ëÝ»ñÝ »Ý 49 π ¹Ù 2 ¨ 4 π Ù 2 , ÇëÏ Ýñ³Ýó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁª
9 ¹Ù£ àñáᯐ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
55. a ÏáÕÙ áõÝ»óáÕ ù³é³ÏáõëÇÝ åïïíáõÙ ¿ Çñ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ Í³ÛñÇó ï³ñí³Í
áõÕճѳ۳óÇ ßáõñçÁ£ àñáᯐ ëï³óí³Í Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
56. гí³ë³ñ³ÏáÕÙ »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿ Çñ ÏáÕÙÇ Í³ÛñÇó ï³ñ³Í
áõÕճѳ۳óÇ ßáõñçÁ£ ÆÝãå»±ë »Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÙ Çñ³ñ »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñáí
·Í³Í ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ£
57. гí³ë³ñ³ÏáÕÙ »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ, áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç, ß³ñáõݳÏí³Í
¿ Çñ »ñϳñáõÃÛ³Ý ã³÷ ¨ ³Û¹ ß³ñáõݳÏáõÃÛ³Ý Í³ÛñÇó Ýñ³Ý
ï³ñí³Í ¿ ÙÇ áõÕճѳ۳ó£ ïÝ»É ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñ
Ïëï³óíÇ, »Ã» »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíÇ ³Û¹ áõÕճѳ۳óÇ ßáõñçÁ£
58. гí³ë³ñ³ÏáÕÙ »é³ÝÏÛ³Ý μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ß³ñáõݳÏí³Í ¿ ·³·³ÃÇó
³ÛÝ ÏáÕÙÁ, Çñ »ñϳñáõÃÛ³Ý ã³÷áí, ¨ ³Û¹ ß³ñáõݳÏáõÃÛ³Ý Í³ÛñÇó Ýñ³Ý
ï³ñí³Í ¿ ÙÇ áõÕÕ³Ñ³Û³ó£ ºé³ÝÏÛ³Ý a ÏáÕÙÇ ÙÇçáóáí áñáᯐ ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñ Ïëï³óíÇ, »Ã» »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíÇ ³Û¹ ³é³ÝóùÇ
ßáõñçÁ£
59. ø³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙ»ñÁ ͳé³ÛáõÙ »Ý áñå»ë ÏáÕÙ»ñ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³-
ÏáÕÙ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ, áñáÝù ϳéáõóí³Í »Ý ¹ñëÇó ¨ ³é³ç³ó³Í å³ïÏ»ñÁ
åïïíáõÙ ¿ ³ÛÝ áõÕÇÕÇ ßáõñçÁ, áñÁ ÙdzóÝáõÙ ¿ »ñÏáõ ѳϳ¹Çñ »é³ÝÏÛáõÝÝ»-
ñÇ ³ñï³ùÇÝ ·³·³ÃÝ»ñÁ£ ø³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç£ àñáß»É
ëï³óí³Í Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
60. γÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç, åïïíáõÙ ¿ Çñ
ÏáÕÙÇ ßáõñçÁ£ àñáᯐ ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
61. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ ¿ç»ñÝ »Ý 5 ëÙ ¨ 12 ëÙ, åïïíáõÙ ¿ ÙÇ ³ñï³ùÇÝ
³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ, áñ ½áõ·³Ñ»é ¿ Ù»Í ¿çÇÝ ¨ Ýñ³ÝÇó 3 ëÙ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛ³Ý íñ³ ¿ ·ïÝíáõÙ£ àñáᯐ åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
62. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ ¿ç»ñÝ »Ý 15 ëÙ ¨ 20 ëÙ, åïïíáõÙ ¿ Ý»ñù-
ݳÓÇ·ÇÝ ï³ñ³Í ³ÛÝ áõÕճѳ۳óÇ ßáõñçÁ, áñ ³ÝóÝáõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý Ù»Í
ëáõñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³Ãáí£ àñáᯐ åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
63. ºé³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 9 ëÙ, 10 ëÙ ¨ 17 ëÙ, åïïíáõÙ ¿ Çñ ³ÛÝ
μ³ñÓñáõÃÛ³Ý ßáõñçÁ, áñ Çç»óí³Í ¿ ÷áùñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÇó£ àñáᯐ ëï³óí³Í
Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
64. ºé³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 8 ëÙ áõ 5 ëÙ ¨ ϳ½ÙáõÙ »Ý 60° ³ÝÏÛáõÝ,
åïïíáõÙ ¿ ³Û¹ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ, áñÝ áõÕճѳ۳ó
¿ ³ÝÏÛ³Ý ÷áùñ ÏáÕÙÇÝ£ àñáᯐ åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
65. Þ»Õ³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç, ÇëÏ ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁª 60°-Ç,
åïïíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ, áñ ï³ñí³Í ¿ ³Û¹ ëáõñ ³ÝÏÛ³Ý ·³·³Ãáí
¨ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ÏáÕÙÇÝ£ àñáᯐ åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
21

66. гí³ë³ñ³ëñáõÝ ë»Õ³ÝÁ, áñÇ ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 45°-Ç, ÇëÏ
ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ ÷áùñ ÑÇÙùÇÝ, åïïíáõÙ ¿ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ ßáõñçÁ£
àñáᯐ åïïÙ³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, »Ã» ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç£
67. R ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ÏÇë³ßñç³ÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ¿ ÙÇ ë»Õ³Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³
ѳٳñ ëïáñÇÝ ÑÇÙù ͳé³ÛáõÙ ¿ ³Û¹ ßñç³ÝÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ, ÇëÏ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ïá-
ÕÁ Ó·áõÙ ¿ 30°-Ç ³Õ»Õ£ àñáᯐ ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñ ëï³óíáõÙ
¿, »ñμ ë»Õ³ÝÁ åïïíáõÙ ¿ Çñ ÑÇÙùÇÝ áõÕճѳ۳ó ß³é³íÕÇ ßáõñçÁ£
68. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ѳٳñ áñå»ë ÑÇÙù ͳé³ÛáõÙ ¿ ÙÇ
ù³é³ÏáõëÇ, áñÁ Ý»ñ·Í³Í ¿ ·Ý¹³ÛÇÝ ë»·Ù»ÝïÇ ÑÇÙùÇ Ù»ç£ ´áõñ·Ç ¨ ë»·Ù»ÝïÇ
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý£ Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁª R = 6,5 Ù, ë»·Ù»ÝïÇ
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ª h = 5 Ù£ ïÝ»É μáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
69. AB-Ý R ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ÏÇë³ßñç³Ý³·ÍÇ ïñ³Ù³·ÇÍÝ ¿. BC-Ý ÙÇ
³Õ»Õ ¿, áñ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 60°£ î³ñí³Í »Ý AC ɳñÁ ¨ CD ßáß³÷áÕÁ, áñï»Õ
D Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ AB ïñ³Ù³·ÍÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛ³Ý íñ³£ àñáᯐ ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿, »ñμ ACD »é³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿
AD ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ£
70. àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý a ¨ b ÏáÕÙ»ñáí áñáᯐ ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿, »ñμ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿ ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ
¨ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇÝ ½áõ·³Ñ»é ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ£
71. àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý a ¨ b ÏáÕÙ»ñáí áñáᯐ ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, áñ ëï³óíáõÙ ¿, »ñμ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ åïïíáõÙ ¿ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ Í³ÛñÇó
Ýñ³Ý ï³ñ³Í áõÕճѳ۳óÇ ßáõñçÁ£
72. ABCD ë»Õ³ÝÇ Ù»ç, áñï»Õ BC || AD-ÇÝ, ïí³Í ¿ ∠BAD = 60°, AB = 8
ëÙ, AD = 5 ëÙ ¨ BC = CD£ àñáᯐ ³ÛÝ Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñ
ëï³óíáõÙ ¿, »ñμ ³Û¹ ë»Õ³ÝÁ åïïíáõÙ ¿ AD ÏáÕÙÇ ßáõñçÁ£
22

⎡5.5 5.5 ³Õ³÷³ñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù³ñÙÝÇ Ù³ëÇÝ
ܳËáñ¹ ß³ñ³¹ñ³ÝùáõÙ Ù»Ýù μ³½ÙÇóë û·ï³·áñÍ»É »Ýù Ù³ñÙÇÝ ¨ Ù³ñÙ-
ÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛê μ³é»ñÁ ÝϳïÇ áõݻݳÉáí ¹ñ³Ýó Ù³ëÇÝ Ó»ñ ³Ïݳéáõ å³ï-
Ï»ñ³óáõÙÝ»ñÁ£ ²ÛÅÙ Ù»Ýù Ïï³Ýù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù³ñÙÝÇ ¨ Ýñ³ Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ£
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñùÇÝ, »Ã» ·áÛáõ-
ÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ Ï»ÝïñáÝáí ·áõݹ, áñÁ ³ÙμáÕçáíÇÝ å³ïϳÝáõÙ ¿ ³Û¹ μ³½-
ÙáõÃÛ³ÝÁ£
´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïÇñáõÛÃ, »Ã» Ýñ³
μáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ »Ý ¨ Ýñ³Ý å³ï-
ϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï ϳñ»ÉÇ ¿ Ùdzó-
Ý»É μ»ÏÛ³Éáí, áñÁ ³ÙμáÕçáíÇÝ å³ïϳÝáõÙ ¿
Ýßí³Í μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ (ÁݹáõÝí³Í ¿ ³Û¹ å³ÛÙ³-
ÝÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³Ýí³Ý»É ϳå³Ïóí³Í)£
ä³ñ½³μ³Ý»Ýù ïñí³Í ë³ÑÙ³-
ÝáõÙÁ ·Ý¹Ç ûñÇݳÏáí (ÝÏ. 20)£
Ý¹Ç ó³Ýϳó³Í Ï»ï, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹
·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇó r (r < R) Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³
ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ·Ý¹Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï, ù³ÝÇ áñ
³Û¹ Ï»ïÁ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ¨ R − r ß³é³íÕáí
·áõݹÁ ³ÙμáÕçáõÃÛ³Ùμ ·ïÝíáõÙ ¿ R ß³é³íÕáí
ÜÏ. 20
ëϽμÝ³Ï³Ý ·Ý¹Ç Ù»ç£ Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇó R-Çó ÷áùñ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³
·ïÝíáÕ μáÉáñ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ïÇñáõÛà ¿£ Æñáù, ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ ³Û¹åÇëÇ
A ¨ B Ï»ï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ·Ý¹Ç Ù»ç, ù³ÝÇ áñ
Ýñ³ ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÇó ÷áùñ ¿ R-Çó£
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ïí³Í μ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï, »Ã» ³Û¹
Ï»ïÁ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ó³Ýϳó³Í ·áõݹ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ·áÝ» ÙÇ Ï»ï, áñÁ
å³ïϳÝáõÙ ¿ Ýßí³Í μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ ¨ ·áÝ» ÙÇ Ï»ï, áñÁ ãÇ å³ïϳÝáõÙ ³Û¹
μ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ£ ´³½ÙáõÃÛ³Ý μáÉáñ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿
³Û¹ μ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ£
Ý¹Ç Ñ³Ù³ñ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ÙdzÛÝ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝù
·Ý¹Ç O Ï»ÝïñáÝÇó ·ïÝíáõÙ »Ý ×Çßï R Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³, ³ÛëÇÝùÝ ·Ý¹Ç
»½ñÁ ëý»ñ³Ý ¿£ Æñáù, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Û¹åÇëÇ C Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ r > 0 ß³é³í-
Õáí ¨ C Ï»ÝïñáÝáí ·Ý¹áõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ Ýᯐ C 1 ¨ C 2 Ï»ï»ñ, áñáÝóÇó Ù»ÏÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
O Ï»ïÇó Ù»Í ¿ R-Çó, ÇëÏ ÙÛáõëÇÝÁª ÷áùñ ¿ R-Çó, ³ÛëÇÝùÝ C 2 -Á
å³ïϳÝáõÙ ¿ ëϽμÝ³Ï³Ý ·Ý¹ÇÝ, ÇëÏ C 1 -Áª ãÇ å³ïϳÝáõÙ£
îÇñáõÛÃÁ Çñ »½ñÇ Ñ»ï ÙdzëÇÝ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï ïÇñáõÛã ò³Ýϳó³Í ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ï ¨ ÷³Ï ïÇñáõÛà ÏáãíáõÙ ¿ Ù³ñÙÇÝ£ (ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ ë³Ñٳݳ÷³Ï
ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
23

å³ñáõݳÏáÕ ·áõݹ)£ سñÙÝÇ »½ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ Ù³ñÙÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛã áõÝ-
¹Á Ù³ñÙÝÇ ûñÇÝ³Ï ¿£ سñÙÇÝÝ»ñ »Ý ѳݹÇë³Ýáõ٠ݳ¨ Ù»½ ³ñ¹»Ý ͳÝáÃ
μ³½Ù³ÝÇëïÁ, ·É³ÝÁ ¨ ÏáÝÁ£⎦
5.6 äïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ`
ÙÇÙÛ³Ýó, ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ»ï
ßáß³÷Ù³Ý ï»ë³ÏÝ»ñÁ
ê³ÑÙ³ÝáõÙ
êý»ñ³ÛÇ Ñ»ï ÙÇ³Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ï áõÝ»óáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ëý»-
ñ³Ý (³Û¹ Ï»ïáõÙ) ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝ:
»áñ»Ù 5.3 (ëý»ñ³ÛÇÝ ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ)
êý»ñ³ÛÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ A Ï»ïáí ³ÝóÝáõÙ ¿ ëý»ñ³Ý ßáß³÷áÕ ÙÇ³Ï Ñ³ñ-
ÃáõÃÛáõÝ: ²Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ OA ß³é³íÕÇÝ, áñï»Õ O-Ý ëý»ñ³-
ÛÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù, α-Ý A-áí ³ÝóÝáÕ ¨ OA-ÇÝ áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÝ ¿ (ÝÏ. 21): ´³óÇ A-Çó α ѳñÃáõÃÛ³Ý μá-
Éáñ Ï»ï»ñÝ ÁÝÏ³Í »Ý ëý»ñ³ÛÇó ¹áõñë, áñáí-
Ñ»ï¨ O-Çó Ýñ³Ýó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ
¿ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ: (ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ãå³ïϳÝáÕ Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÇó ѳí³ë³ñ ¿ ³Û¹ Ï»-
ïÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýñ³ åñáÛ»ÏódzÛÇ Ñ»-
é³íáñáõÃÛáõÝÁ)£ àõñ»ÙÝ α-Ý ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõ-
ÃÛáõÝ ¿:
ÜÏ. 21
ØÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» áñ¨¿ ѳñÃáõÃÛáõÝ ßáß³-
÷áõÙ ¿ ëý»ñ³Ý A Ï»ïáõÙ, ³å³ A-Ý ³Û¹ ѳñ-
ÃáõÃÛ³Ý` O-ÇÝ ³Ù»Ý³Ùáï Ï»ïÝ ¿: л勉å»ë, ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏ-
ÝáõÙ ¿ α-Ç Ñ»ï: ∇
î³ñ³ÍáõÃÛáõÝáõÙ Ñݳñ³íáñ »Ý åïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ` ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»-
ñÇ ¨ áõÕÇÕÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï ßáß³÷Ù³Ý ï³ñμ»ñ ¹»åù»ñ (»Õ³-
ݳÏÝ»ñ): ²Ñ³ ¹ñ³ÝóÇó ÙÇ ù³ÝÇëÁ:
гñÃáõÃÛáõÝÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÏáÝÇ (·É³ÝÇ) ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ. ³Ûë ¹»åùáõÙ
ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ÏáÝÇ (·É³ÝÇ) ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ñ»ï áõÝÇ ÙÇ³Ï Áݹ-
ѳÝáõñ ÍÝáñ¹:
àõÕÇÕÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ëý»ñ³Ý (ÏáÝÇ, ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ). ³Ûë
¹»åùáõÙ áõÕÇÕÝ áõÝÇ ëý»ñ³ÛÇ (ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ, ÏáÝÇ Ï³Ù ·É³ÝÇ
24

ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ) Ñ»ï ÙÇ³Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ï: ÎáÝÇ ¨ ·É³ÝÇ ¹»åùáõÙ
ßáß³÷áÕ áõÕÇÕÁ ãå»ïù ¿ ³ÝóÝÇ ÑÇÙùÇ Ï»ï»ñáí, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÏáÝÇ ·³·³Ãáí:
⎡êý»ñ³Ý ßáß³÷áõÙ ¿ ÏáÝÇ Ï³Ù ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ, »Ã»
Ýñ³Ýù áõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝ: êý»ñ³Ý ßáß³÷áõÙ ¿ Ù»Ï ³ÛÉ
ëý»ñ³ÛÇ, »Ã» Ýñ³Ýù áõÝ»Ý ÙdzÛÝ Ù»Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ï£ ÆÝùÝáõñáõÛÝ ³å³óáõó»ù,
áñ ³Û¹ ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ÙdzóÝáÕ áõÕÇÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ýñ³Ýó ßáß³÷-
Ù³Ý Ï»ïáí£ ²Ûë ¹»åùáõÙ Ñݳñ³íáñ ¿ ßáß³÷Ù³Ý »ñÏáõ ï»ë³Ï` Ý»ñùÇÝ ¨
³ñï³ùÇÝ: ¸³ å»ïù ¿ ÑÇᯐ ³ÛÝ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï, áñáÝó
Ó¨³Ï»ñåÙ³Ý Ù»ç ãÇ ×ßïíáõÙ ßáß³÷Ù³Ý μÝáõÛÃÁ: ⎦
´áÉáñ ï³ñ³Í³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇó ѳñà å³ïÏ»ñÙ³Ý ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó
³Ù»Ý³³ÝѳñÙ³ñÁ ·áõÝ¹Ý ¿£ àñå»ë ϳÝáÝ ·áõݹÁ, ³é³í»É ¨ë ÙÇ ù³ÝÇ ·Ý-
¹»ñÁ ·Í³·ñáõÙ ã»Ý å³ïÏ»ñáõÙ, ÙdzÛÝ óáõÛó »Ý ï³ÉÇë Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÁ (ϳÙ
Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ), ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ß³é³íÇÕÁ ¨ ³ÛÉÝ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù
ûñÇݳÏ, Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ£
ÊݹÇñ 8. R ß³é³íÕáí ãáñë ·Ý¹»ñ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó£
ï»ù ³ÛÝ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ μáÉáñ ³Û¹ ·Ý¹»ñÇÝ£
ÈáõÍáõÙ£ ²Û¹ ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ
»Ý 2R ÏáÕáí ϳÝáݳíáñ ï»ïñ³»¹ñÇ
·³·³ÃÝ»ñ (ÝÏ. 22)£
ø³ÝÇ áñ ïñí³Í ·Ý¹»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ßáß³-
÷áõÙ »Ý, ³å³ áñáÝ»ÉÇ ·áõݹÁ Ýñ³Ýó μáÉáñÇÝ
ßáß³÷áõÙ ¿ ÙǨÝáõÛÝ Ï»ñåª Ï³Ù ³ñï³ùݳå»ë
ϳ٠ݻñëÇó£ Þáß³÷áõÙÝ»ñÇ ³ÛÉ ¹»åù»ñ Ñݳñ³íáñ
ã»Ý£ ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áñáÝ»ÉÇ ·Ý-
¹Ç Ï»ÝïñáÝÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ ï»ïñ³»¹ñÇ
μáÉáñ ·³·³ÃÝ»ñÇó£ ¸Åí³ñ 㿠ѳÙá½í»É, áñ ³Û¹
ÜÏ. 22
R√$6
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ÏÉÇÝÇ −−−−−£ ºÃ» áñáÝ»ÉÇ ·áõݹÁ ïñí³Í ·Ý¹»ñÇÝ
2
R√$6
ßáß³÷áõÙ ¿ ³ñï³ùݳå»ë, ³å³ Ýñ³ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ −−−−− − R£
2
Ü»ñùÇÝ ßáß³÷Ù³Ý ¹»åùáõÙ (áñáÝ»ÉÇ ·áõݹÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ïí³Í ·Ý¹»ñÁ)
R√$6
Ýñ³ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ −−−−− + R£ ∇
2
äïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ßáß³÷Ù³Ý í»ñ³μ»ñÛ³É ËݹÇñÝ»ñáõÙ ß³ï ѳ-
×³Ë û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ûųݹ³Ï ѳïáõÛÃÝ»ñÇ Ï³éáõóÙ³Ý, åñáÛ»ÏïÙ³Ý
Ù»Ãá¹Ý»ñÁ£ ÈáõÍ»Ýù, ûñÇݳÏ, Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ£
ÊݹÇñ 9£ ÎáÝÁ ¨ ·É³ÝÁ áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ÑÇÙù»ñ ¨ ѳí³ë³ñ μ³ñÓñáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñ£ Üñ³Ýó ÑÇÙù»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ ¨ ßáß³-
25

÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó£ ºñÏáõ ·Ý¹»ñ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ
¿ ÏáÝÇ (ϳ٠·É³ÝÇ) ÑÇÙùÇ ß³é³íÕÇÝ, ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó, ·É³ÝÇ ¨ Ïá-
ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÁ ¨ ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ, áñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ·É³-
ÝÇ ÙÛáõë ÑÇÙùÁ ¨ ÏáÝÇ ·³·³ÃÁ£ ï»ù ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ
³ÝÏÛáõÝÁ£
ÈáõÍáõÙ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ·É³ÝÇ í»ñÇÝ ÑÇÙùáí ¨ ÏáÝÇ ·³·³Ãáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñ-
ÃáõÃÛáõÝÁ£ ¸Çóáõù A-Ý ¨ B-Ý ·É³ÝÇ ¨ ÏáÝÇ ³é³ÝóùÝ»ñÇ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ
å³ïϳÝáÕ Ï»ï»ñÝ »Ý, C-Ý ¨ D-Ý ·Ý¹»ñÇ ¨ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý ßáß³÷Ù³Ý Ï»ï»-
ñÁ (ÝÏ. 23 ³), r-Á ³Û¹ ·Ý¹»ñÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ÏáÝÇ ¨ ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÁ£
²ÛÝ μ³ÝÇó, áñ ÏáÝÇ ¨ ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó ßáß³÷áõÙ »Ý, Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
AB = 2r£ ø³ÝÇ áñ ·Ý¹»ñÁ ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó, ³å³ CD = 2r£ ÆëÏ ·Ý¹»ñÁ
ÙÇÙÛ³Ýó ¨ ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷»Éáõó Ñ»ï¨áõÙ ¿ª CA = DA = 2r£
²ÛÝáõÑ»ï¨, ù³ÝÇ áñ DA = BA = CA = 2r, ∠DAB =∠BAC = 30°, ëï³ÝáõÙ »Ýù,
áñ DB = BC = 4r sin15° = 4r sin (45° − 30°) = r(√$6 −√$2 )£
¸Çï³ñÏ»Ýù ÏáÝÇ ³é³Ýóùáí ¨ C Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ (ÝÏ. 23 μ)
¸Çóáõù ú-Ý ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÝ ¿, α-Ý ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ ·³·³ÃÇ
³ÝÏÛ³Ý Ï»ëÁ£ Ý¹Ç ¨ ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ ßáß³÷Ù³Ý å³ÛÙ³ÝÇó
Ñ»ï¨áõÙ ¿ , áñ
1 π
∠CBO = −−− (−− − α), ³ÛëÇÝùÝ
2 2
π α OC 1 √⎯ 6 + √⎯ 2
tg (−−− − −−−) = −−−− = −−−−−−−− = −−−−−−−,
4 2 BC √⎯ 6 − √⎯ 2 4
³) μ)
ÜÏ. 23
26

áñï»ÕÇó
π α √⎯ 6 + √⎯ 2
−−− − −−− = arctg −−−−−−−−
4 2 4
ä³ï³ë˳ݪ ÎáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿
√⎯ 6 + √⎯ 2
π− 4arctg −−−−−−−−: ∇
4
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³ñÏÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. R ß³é³íÕáí »ñ»ù ·Ý¹»ñ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¨ ÇÝã-áñ
ѳñÃáõÃ۳ݣ ï»ù ³ÛÝ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ïí³Í ·Ý¹»ñÇÝ ¨
ÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ£
2. ºñÏáõ ѳí³ë³ñ ·Ý¹»ñ ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¨ α Ù»ÍáõÃÛ³Ùμ »ñÏÝÇëï
³ÝÏÛ³Ý ÝÇëï»ñÇÝ£ ²é³çÇÝ ·áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ÙÇ ÝÇëïÁ
A Ï»ïáõÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ·áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ÙÛáõë ÝÇëïÁ B
Ï»ïáõÙ£ AB ѳïí³ÍÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿ ·ïÝíáõÙ ·Ý¹»ñÇó ¹áõñë£
3. ºñ»ù Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ÏáÝ»ñÇ ÑÇÙù»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ñ³ñ-
ÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÝÇ
³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ a ÏáÕÙáí ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿£ ï»ù ³ÛÝ ·Ý¹Ç
ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ¨
³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ, áñÇ Ù»ç ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹ ÏáÝ»ñÇ ÑÇÙù»ñÁ£
4. ï»ù ³ÛÝ ·É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿
Ùdzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÝ ³ÛÝå»ë, áñ ·É³ÝÇ ³é³ÝóùÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç
³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ íñ³, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÑÇÙùÁ ßáß³÷áõÙ ¿ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç »ñ»ù
ÝÇëï»ñÁ Ýñ³Ýó Ï»ÝïñáÝÝ»ñáõÙ£
5. r(r < 1) ß³é³íÕáí ãáñë ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý 2 »ñϳñáõ-
ÃÛ³Ùμ ¿ç»ñáí ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñáõÙ ¨
Ý»ñùݳÓÇ·Ç ÙÇçݳϻïáõÙ£ ï»ù ³ÛÝ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ³Û¹
ãáñë ·Ý¹»ñÇÝ£ ²Ù»Ý ÙÇ r-Ç Ñ³Ù³ñ ù³ÝDZ ³Û¹åÇëÇ ·áõݹ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ£
6. R ß³é³íÕáí ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝáí ï³ñí³Í ¿ ѳñÃáõÃÛáõÝ£ ºñ»ù Çñ³ñ
ѳí³ë³ñ ·Ý¹»ñ ßáß³÷áõÙ »Ý ëý»ñ³ÛÇÝ, ï³ñí³Í ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ¨ ÙÇÙÛ³Ýó£
ï»ù ³Û¹ ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£
7. ØǨÝáõÛÝ ß³é³íÕáí »ñÏáõ ·Ý¹»ñ ¨ ÙǨÝáõÛÝ ß³é³íÕáí »ñÏáõ ³ÛÉ ·Ý¹»ñ
¹³ë³íáñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·áõݹ ßáß³÷áõÙ ¿ Ùݳó³Í »ñ»-
ùÇÝ ¨ ÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ£ ï»ù Ù»Í ¨ ÷áùñ ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»-
ñáõÃÛáõÝÁ£
27

8. R ß³é³íÕáí ·áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÙÇ Ñ³ñÃáõÃ۳ݣ ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ
ѳï R ß³é³íÕáí ·Ý¹»ñ ϳñáÕ »Ý Çñ³ñ Ñ»ï ãѳïí»Éáí ßáß³÷»É ïí³Í ·Ý-
¹ÇÝ ¨ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£
9. Æñ³ñ ѳí³ë³ñ ãáñë ÏáÝ»ñ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýù μáÉáñÁ
áõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ ·³·³Ã ¨ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ Ùݳó³Í
»ñ»ùÇÝ£ ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³-
·³ÃÇ ³ÝÏÛáõÝÁ£
10. γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç 13 ѳí³ë³ñ ·Ý¹»ñ ¹³ë³íáñ»É
³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýù Çñ³ñ Ñ»ï ãѳïí»Ý ¨ Ýñ³ÝóÇó 12-Á ßáß³÷»Ý ÙÇ ·Ý¹ÇÝ£
11. 2 ¨ 3 ß³é³íÕáí ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ A ¨ B Ï»ï»ñáõÙ »Ý, AB = 7: ²Û¹
·Ý¹»ñÁ ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ ѳïáõÙ ¿ AB áõÕÇÕÁ M Ï»ïáõÙ: ï»ù AM-Ç
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
12. ÎáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ 4 »ñϳñáõÃÛ³Ùμ ÏáÕÙáí ϳÝáݳíáñ
»é³ÝÏÛáõÝ ¿: áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ M Ï»ïáõÙ ¨ ÏáÝÇ
ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ: ï»ù ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ, »Ã» M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÁ ÏáÝÇ ³é³ÝóùÇó ѳí³ë³ñ ¿. ³) 1, μ) 3:
13. ɳÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ Ùdzíáñ ù³é³ÏáõëÇ ¿: ï»ù Ýñ³
Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷áÕ ÷áùñ³·áõÛÝ ëý»-
ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ:
14. àõÝ»Ýù ѳñÃáõÃÛáõÝ ¨ Ýñ³Ý áõÕճѳ۳ó áõÕÇÕ: ï»ù Ýñ³Ýó »ñÏáõëÇÝ
¿É ßáß³÷áÕ r ß³é³íÕáí ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ:
15. (Ï) ï»ù ïñí³Í »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý »ñÏáõ ÝÇëï»ñÝ ¿É ßáß³÷áÕ
ÙǨÝáõÛÝ ß³é³íÕáí ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ:
16. R ß³é³íÕáí ·áõݹÁ ßáß³÷áõÙ ¿ α ѳñÃáõÃÛáõÝÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù r ß³é³íÕáí
μáÉáñ ·Ý¹»ñÁ, áñáÝù ßáß³÷áõÙ »Ý ¨° ·áõݹÁ, ¨° ѳñÃáõÃÛáõÝÁ: ï»ù
³Û¹ ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ, Ýñ³Ýó` ïñí³Í ѳñÃáõÃÛ³Ý ¨ ïñí³Í ·Ý¹Ç Ñ»ï
ßáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ:
17. êý»ñ³ÛÇó ¹áõñë ·ïÝíáÕ A Ï»ïÇó ï³ñí³Í áõÕÇÕÁ ëý»ñ³Ý ßáß³÷áõÙ
¿ B Ï»ïáõÙ, ÇëÏ A-áí ³ÝóÝáÕ Ù»Ï ³ÛÉ áõÕÇÕ Ñ³ïáõÙ ¿ ëý»ñ³Ý C ¨ D Ï»ï»-
ñáõÙ: ²å³óáõó»°ù, áñ AB 2 = AC ⋅ AD:
18. (¹) ABC »é³ÝÏÛáõÝáõÙ AB = 3, AC = 4, ÇëÏ B ¨ C Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ·Ý¹»ñÇ
ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 2 ¨ 3: A Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕ ßáß³÷áõÙ ¿ ÙÇ ·áõݹÁ
M Ï»ïáõÙ, ÙÛáõëÁ` K Ï»ïáõÙ: ï»ù MK-Ý, »Ã» ³) BC = 2, μ) BC = 5, ·) BC = 6:
19. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 11: ºñ»ù ·Ý¹»ñÇ Ï»ÝïñáÝ-
Ý»ñÁ ³Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñáõÙ »Ý: ²Û¹ »ñ»ù ·Ý¹»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ßáß-
³÷áÕ ù³ÝDZ ѳñÃáõÃÛáõÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, »Ã» ³Û¹ ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ
»Ý` ³) 7, 7, 7. μ) 1, 1, 1. ·) x, x, x (³Ûë ¹»åùáõÙ å³ï³ë˳ÝÁ ϳËí³Í
¿ x-Çó). ¹) 3, 4, 6:
20. (¹) ºé³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý a, b ¨ c: ºñ»ù ·Ý¹»ñ ßáß³÷áõÙ »Ý
»é³ÝÏÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÁ »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñáõÙ: ÆÝãDZ »Ý ѳí³ë³ñ ³Û¹
·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ:
28

5.7 Ü»ñ·ÍÛ³É ¨ ³ñï³·ÍÛ³É μ³½Ù³ÝÇëï»ñ
´áÉáñ áõéáõóÇÏ μ³½Ù³ÝÇëï»ñÇ ¹³ëáõÙ ³é³ÝÓݳóÝ»Ýù »ñÏáõ ϳñ¨áñ ÁÝï³ÝÇù`
Ý»ñ·ÍÛ³É ¨ ³ñï³·ÍÛ³É μ³½Ù³ÝÇëï»ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ
àõéáõóÇÏ μ³½Ù³ÝÇëïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý»ñ·ÍÛ³É, »Ã» Ýñ³ μáÉáñ ·³·³ÃÝ»ñÝ ÁÝ-
Ï³Í »Ý ëý»ñ³ÛÇ íñ³: ²Û¹ ëý»ñ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ μ³½Ù³ÝÇëïÇÝ ³ñï³·ÍÛ³É
ëý»ñ³:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ
àõéáõóÇÏ μ³½Ù³ÝÇëïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñï³·ÍÛ³É, »Ã» Ýñ³ μáÉáñ ÝÇëï»ñÁ
ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇ ëý»ñ³ÛÇ: ²Û¹ ëý»ñ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ μ³½Ù³ÝÇëïÇÝ
Ý»ñ·ÍÛ³É ëý»ñ³:
²ÏÝѳÛï ¿ Ý»ñÙáõÍ³Í Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÙ³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳñóã³÷áõ-
ÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóÇó ѳÛïÝÇ Ý»ñ·ÍÛ³É áõ ³ñï³·ÍÛ³É μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ¨
³ñï³·ÍÛ³É áõ Ý»ñ·ÍÛ³É ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:
àã μáÉáñ μ³½Ù³ÝÇëï»ñÝ »Ý Ý»ñ·ÍÛ³É Ï³Ù ³ñï³·ÍÛ³É, ë³Ï³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï
»Ý Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÝ»ñÁ, áñáÝù ÝÙ³Ý »Ý »é³ÝÏÛ³Ý Ù³ëÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
Ë³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñÇÝ:
»áñ»Ù 5.4 (»é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ Ù³ëÇÝ)
ºé³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³:
²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù ABCD »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Á (ÝÏ. 24): γéáõó»Ýù
AB, AC ¨ AD ÏáÕ»ñÇÝ ÙÇçÝáõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: (гïí³ÍÇ ÙÇç-
ÝáõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝÁ Ýñ³ ͳÛñ³Ï»ï»ñÇó ѳí³ë³ñ³Ñ»é ï³ñ³Íáõ-
ÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÝ ¿): Ü߳ݳϻÝù O-áí ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÁ: (áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹åÇëÇ
ÙÇ³Ï Ï»ï: ²å³óáõó»Ýù ¹³: ì»ñóÝ»Ýù
³é³çÇÝ »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Üñ³Ýù ѳïíáõÙ
»Ý, áñáíÑ»ï¨ áõÕճѳ۳ó »Ý áã ½áõ·³-
Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ: Üñ³Ýó ѳïÙ³Ý áõÕÇÕÁ Ýß³-
ݳϻÝù l-áí: ²Û¹ áõÕÇÕÝ áõÕճѳÛó ¿ ABC
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ: AD-Ç ÙÇçÝáõÕճѳÛó ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é ã¿ l-ÇÝ ¨ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ ³ÛÝ,
ù³ÝÇ áñ ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ AD áõÕÇÕÁ ÏÉÇÝ»ñ
áõÕճѳ۳ó l-ÇÝ ¨ áõñ»ÙÝ, ÁÝÏ³Í ÏÉÇÝ»ñ ABC
ѳñÃáõÃÛáõÝáõÙ)£ O Ï»ïÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ A ¨
B, A ¨ C, A ¨ D Ï»ï»ñÇó: àõñ»ÙÝ, ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³Ñ»é ¿ ABCD μáõñ·Ç μáÉáñ
·³·³ÃÝ»ñÇó, ѻ勉å»ë, O Ï»ÝïñáÝáí ¨ ѳٳå³ï³ëË³Ý ß³é³íÕáí
ëý»ñ³Ý ³ñï³·ÍÛ³É ¿ ABCD μáõñ·ÇÝ:
29
ÜÏ. 24

²ÛëåÇëáí, Ù»Ýù ³å³óáõó»óÇÝù ABCD μáõñ·ÇÝ ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ ·á-
ÛáõÃÛáõÝÁ: Øݳó ³å³óáõó»É Ýñ³ ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ: ´áõñ·Ç ·³·³ÃÝ»ñáí ³Ýó-
ÝáÕ ó³Ýϳó³Í ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ ³Û¹ ·³·³ÃÝ»ñÇó: àõñ»ÙÝ,
³ÛÝ å³ïϳÝáõÙ ¿ μáõñ·Ç ÏáÕ»ñÇ ÙÇçÝáõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»-
ñÇÝ, ѻ勉μ³ñ, ³Û¹åÇëÇ ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ O Ï»ïÇ Ñ»ï:
»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ∇
»áñ»Ù 5.5 (»é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç Ý»ñ·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ Ù³ëÇÝ):
ò³Ýϳó³Í »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï Ý»ñ·ÍÛ³É
ëý»ñ³:
²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù ABCD »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Á (ÝÏ. 25): î³Ý»Ýù Ýñ³
AB, AC ¨ BC ÏáÕ»ñÇÝ ÏÇó »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÝ»-
ñÇ ÏÇëáñ¹³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²Û¹ ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÙÇ³Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ï, áñÁ
Ù»Ýù ÏÝ߳ݳϻÝù Q-áí: ²Û¹ Ï»ïÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é
¿ μáõñ·Ç μáÉáñ ÝÇëï»ñÇó: (Q-Ý Ñ³í³ë³ñ³Ñ»é
¿ ABC ¨ ABD, ABC ¨ ADC, ABC ¨
DBC ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇó)£ àõñ»ÙÝ, Q Ï»Ýïñá-
Ýáí ¨ ѳٳå³ï³ëË³Ý ß³é³íÕáí ëý»ñ³Ý
Ý»ñ·ÍÛ³É ¿ ABCD μáõñ·ÇÝ: ²Û¹åÇëÇ ëý»ñ³ÛÇ
ÜÏ. 25
ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõóíáõÙ ¿, ÇÝãå»ë ݳËáñ¹
ûáñ»ÙáõÙ: ∇
⎡ÆÝùÝáõñáõÛÝ ³å³óáõó»ù, áñ ó³Ýϳó³Í ϳÝáݳíáñ μáõñ·Ç ϳñ»ÉÇ ¿
³ñï³·Í»É ¨ Ý»ñ·Í»É ëý»ñ³, Áݹ áñáõÙ ¹ñ³Ýó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý
μáõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ Áݹ·ñÏáÕ áõÕÕÇ íñ³£⎦
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ: Ü»ñ·ÍÛ³É ¨ ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ϳñáÕ »Ý í»ñ³μ»ñí»É ݳ¨ ÏáÝÇÝ, ѳï³Í ÏáÝÇÝ áõ ·É³ÝÇÝ:
30

⎡êý»ñ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÏáÝÇÝ, ѳï³Í ÏáÝÇÝ Ï³Ù ·É³ÝÇÝ Ý»ñ·Íí³Í, »Ã» ³ÛÝ
ßáß³÷áõÙ ¿ Ýñ³Ýó ÑÇÙù»ñÁ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÍÝáñ¹Á£ ÎáÝÁ (ѳï³Í ÏáÝÁ,
·É³ÝÁ) Ý»ñ·Íí³Í ¿ ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇݪ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ÏáÝÇ ·³·³ÃÝ
ÁÝÏ³Í ¿ ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³, ÇëÏ ÏáÝÇ ÑÇÙùÁ (ѳï³Í ÏáÝÇ, ·É³ÝÇ
ÑÇÙù»ñÁ) ·Ý¹³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ñ³ïáõÛÃÝ ¿ (ѳïáõÛÃÝ»ñÝ »Ý)£⎦
ò³Ýϳó³Í ÏáÝ áõÝÇ ³ñï³·ÍÛ³É ¨ Ý»ñ·ÍÛ³É ëý»ñ³Ý»ñ: ºÃ» ï³Ý»Ýù Ïá-
ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ, ³ÛÝ ÏѳïÇ ³ñï³·ÍÛ³É ¨ Ý»ñ·ÍÛ³É ëý»ñ³Ý»ñÁ
³Û¹ ëý»ñ³Ý»ñÇ Ù»Í ßñç³Ý³·Í»ñáí, Áݹ áñáõÙ, ëï³óí³Í ßñç³Ý³·Í»ñÁ ѳ-
Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ ÏÉÇÝ»Ý ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ ѳݹÇë³óáÕ
»é³ÝÏÛ³Ý ³ñï³·ÍÛ³É Ï³Ù Ý»ñ·ÍÛ³É ßñç³Ý³·Í»ñÁ: ɳÝÁ, ÇÝãå»ë ¨ ÏáÝÁ,
ÙÇßï áõÝÇ ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³, ⎡Áݹ áñáõÙ »Ã» ï³Ý»Ýù ·É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ
ѳïáõÛÃÁ, ³ÛÝ ÏѳïÇ ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³Ý, Ýñ³ Ù»Í ßñç³Ý³·Íáí, áñÁ
ÏѳݹÇë³Ý³ ·É³ÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛà ѳݹÇë³óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ³ñﳷͳÍ
ßñç³Ý³·ÇÍÁ£⎦ ê³Ï³ÛÝ Ç ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ÏáÝÇ, ·É³ÝÇÝ ¨ ѳï³Í
ÏáÝÇÝ áã ÙÇßï ¿ Ñݳñ³íáñ Ý»ñ·Í»É ëý»ñ³: êý»ñ³Ý Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ÙÇ-
³ÛÝ ³ÛÝ ·É³ÝÝ»ñÇÝ, áñáÝó ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ ù³é³ÏáõëÇ ¿ ⎡¨ ³ÛÝ Ñ³ï³Í
ÏáÝ»ñÇÝ, áñáÝó ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛà ѳݹÇë³óáÕ ë»Õ³ÝÇ Ñ³Ý¹Çå³Ï³ó
ÏáÕÙ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý£ Àݹ áñáõÙ ³Û¹ ëý»ñ³Ý»ñÇ
Ù»Í ßñç³Ý³·Í»ñÁ ÏѳݹÇë³Ý³Ý ·É³ÝÇ ¨ ѳï³Í ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÇÝ
Ý»ñ·Íí³Í ßñç³Ý³·Í»ñÁ (³å³óáõó»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ)£
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Ñݳñ³íáñ »Ý μ³½Ù³ÝÇëï»ñÇ ¨ ³ÛÉ åïï³Ï³Ý Ù³ñ-
ÙÇÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ÏóáõÙÝ»ñ£ ²Ûëå»ëª ÏáÝÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ¿ μáõñ· - Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ
μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³Ý³·ÍÇÝ, ÇëÏ μáõñ-
·Ç ·³·³ÃÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ÏáÝÇ ·³·³ÃÇ Ñ»ï£ ´áõñ·ÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ¿ Ïáݪ Ýß³-
ݳÏáõÙ ¿, áñ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÝ ³ñï³·Íí³Í ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ßñç³-
ݳ·ÍÇÝ, ÇëÏ ·³·³ÃÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ÏáÝÇ ·³·³ÃÇ Ñ»ï£ äñÇ½Ù³Ý ÏáãíáõÙ ¿
·É³ÝÇÝ Ý»ñ·Íí³Í, »Ã» Ýñ³ ÑÇÙù»ñÁ Ý»ñ·Íí³Í »Ý ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇÝ£ äñǽ-
Ù³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ·É³ÝÇÝ ³ñï³·Íí³Í, »Ã» Ýñ³ ÑÇÙù»ñÁ ³ñï³·Íí³Í »Ý ·É³-
ÝÇ ÑÇÙù»ñÇÝ£⎦
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. (Ï) ï»ù a ÏáÕáí ϳÝáݳíáñ ù³é³ÝÇëïÇ ³ñï³·ÍÛ³É ¨ Ý»ñ·ÍÛ³É
ëý»ñ³Ý»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ:
2. (Ï) ï»ù R ß³é³íÕáí ëý»ñ³ÛÇÝ Ý»ñ·Í³Í Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕÇ »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÁ:
3. (Ï) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇÝ Ñݳñ³íáñ ¿ ³ñï³·Í»É
ëý»ñ³Ý, ³å³ ¹³ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëï ¿:
31

4. (Ï) îñí³Í ¿ a ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇ ¨ b ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñáí ϳ-
Ýáݳíáñ μáõñ·: ï»ùª
³) ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ,
μ) Ý»ñ·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ,
·) μáõñ·Ç μáÉáñ ÏáÕ»ñÁ ßáß³÷áÕ ëý»ñ³ÛÇ,
¹) ÑÇÙùÇ ÏáÕ»ñÁ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÇ ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ßáß³÷áÕ
ëý»ñ³ÛÇ,
») μáõñ·Ç ÑÇÙùÁ ¨ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÁ ßáß³÷áÕ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïÇ ËݹÇñÁ ÉáõÍ»ù` 1) ù³é³ÝÏÛáõÝ, 2) »é³ÝÏÛáõÝ, 3) í»-
ó³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ѳٳñ:
5. (Ï) ï»ù r ÑÇÙùÇ ß³é³íÕáí ¨ h μ³ñÓñáõÃÛ³Ùμ ÏáÝÇ ³ñï³·ÍÛ³É ¨
Ý»ñ·ÍÛ³É ëý»ñ³Ý»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ:
6. ݹÇÝ ³ñï³·Í»É »Ý ·É³Ý ¨ ÏáÝ, áñÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ áõÕÕ³ÝÏ-
ÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝ ¿: ï»ù ·É³ÝÇ ¨ ÏáÝÇ ÍÝáñ¹Ý»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ:
7. (Ï) ï»ù a ÑÇÙùÇ ÏáÕÙáí ¨ h μ³ñÓñáõÃÛ³Ùμ ϳÝáݳíáñ n-³ÝÏÛáõÝ
åñǽٳÛÇ ³ñï³·ÍÛ³É ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ:
8. (Ï) γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ
¿ 1: ï»ù åñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿,
áñ Ýñ³Ý Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ·áõݹ:
9. (¹) îñí³Í ¿ ³ñï³·ÍÛ³É åñǽٳ: ï»ù Ýñ³ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, »Ã» ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ S:
10. (¹) гñÃáõÃÛ³Ý Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ùdzíáñ ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝÇó ѳí³ë³ñ
¿ a: Êáñ³Ý³ñ¹Ç ÙÇ ÝÇëïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³, ÇëÏ Ñ³Ý¹Çå³Ï³ó
ÝÇëïÇ ·³·³ÃÝ»ñÁ` Ùdzíáñ ëý»ñ³ÛÇ íñ³: ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ Ëáñ³-
ݳñ¹Ç ÏáÕÁ:
11. (Ï) îñí³Í ¿ Ý»ñ·ÍÛ³É åñǽٳ: ²å³óáõó»ù, áñ Ýñ³ ÑÇÙùÁ Ý»ñ·ÍÛ³É
μ³½Ù³ÝÏÛáõÝ ¿: ï»ù ÑÇÙùÇ ³ñï³·ÍÛ³É ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ, »Ã» åñǽ-
Ù³ÛÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ h ¿, ÇëÏ Ýñ³Ý ³ñï³·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ` R:
12. (Ï) ´áõñ·Ç ÑÇÙùÁ Ý»ñ·ÍÛ³É μ³½Ù³ÝÏÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»ù, áñ ³Û¹ μáõñ-
·ÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ñï³·Í»É ëý»ñ³: ï»ù ³Û¹ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ, »Ã» μáõñ·Ç
ÑÇÙùÇÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ r, μáõñ·Ç μ³ñÓñáõ-
ÃÛáõÝÁ` h, ÇëÏ μ³ñÓñáõÃÛ³Ý ÑÇÙùÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ·³·³ÃÇ Ñ»ï:
13. ABCD »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·ÇÝ AB ÏáÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ a, ÇëÏ ACB ¨ ADB ³ÝÏ-
ÛáõÝÝ»ñÝ áõÕÇÕ »Ý: ï»ù ³Û¹ μáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ:
14. R ß³é³íÕáí ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝáí ï³ñí³Í »Ý »ñ»ù` ½áõÛ· ³é ½áõÛ·
÷áËáõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ: ï»ù ³ÛÝ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß-
³÷áõÙ ¿ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ïñí³Í ëý»ñ³Ý:
15. ÎáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÝ a ÏáÕÙáí ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿: ÎáÝÇ
³é³Ýóùáí ï³ñí³Í »Ý »ñÏáõ ÷áËáõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù μ³Å³-
ÝáõÙ »Ý ÏáÝÁ ãáñë Ù³ëÇ: ï»ù ³Û¹ Ù³ë»ñÇó Ù»ÏÇÝ Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ:
32

16. Ødzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç Ý»ñëáõÙ ·ïÝíáõÙ »Ý áõà ѳí³ë³ñ ·Ý¹»ñ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ
·áõݹ Ý»ñ·ÍÛ³É ¿ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ·³·³ÃÝ»ñÇó Ù»ÏÇÝ ÏÇó »é³-
ÝÇëï ³ÝÏÛ³ÝÁ ¨ ßáß³÷áõÙ ¿ »ñ»ù ѳñ¨³Ý ·³·³ÃÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳-
ÝáÕ ·Ý¹»ñÇÝ: ï»ù ³Û¹ ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ:
17. (Ï) R ß³é³íÕáí ãáñë ·Ý¹»ñ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó:
ï»ù Ýñ³Ýó μáÉáñÇÝ ßáß³÷áÕ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ:
18. ºñÏáõ ·Ý¹»ñ ßáß³÷áõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýó ¨ ³ÛÝåÇëÇ »é³ÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý ÝÇëï»ñÁ,
áñÇ μáÉáñ ѳñà ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ áõÕÇÕ »Ý: ï»ù ³Û¹ ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»-
ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ:
19. (û) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» ù³é³ÝÇëï ³ÝÏÛ³ÝÁ Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É
·áõݹ, ³å³ Ýñ³ ѳϳ¹Çñ ѳñà ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý:
²å³óáõó»ù, áñ ×Çßï ¿ ݳ¨ ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÁ. »Ã» ù³é³ÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý
ѳϳ¹Çñ ѳñà ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý, ³å³ Ýñ³Ý Ñݳñ³íáñ
¿ Ý»ñ·Í»É ·áõݹ:
20. (û) îñí³Í ¿ QABC »é³ÝÇëï ³ÝÏÛáõÝ, áñáõÙ ∠BQC = α, ∠CQA =β,
∠AQB = γ: Üñ³Ý Ý»ñ·ÍÛ³É ·áõݹÁ BQC ÝÇëïÁ ßáß³÷áõÙ ¿ K Ï»ïáõÙ: ï»ù
KQB ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ:
21. (¹) ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ Ý»ñ·Í³Í ¿ S ·³·³Ãáí ÏáÝÇ ÑÇÙùÇÝ: SABC »é³-
ÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý SA, SB, SC ÏáÕ»ñáí »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳-
ݳμ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý x, y ¨ z: ï»ù SAB ¨ SAO ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí ϳ½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁ, »Ã» SO-Ý ïñí³Í ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿:
22. (¹) O ·³·³Ãáí ¨ OA, OB, OC, OD ÏáÕ»ñáí OABCD ù³é³ÝÇëï ³ÝÏÛáõ-
ÝÁ OAC ѳñÃáõÃÛ³Ùμ μ³Å³Ýí³Í ¿ »ñÏáõ Ù³ëÇ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëï³óí³Í
Ù³ëÇÝ Ý»ñ·Íí³Í ¿ ·áõݹ: ²Û¹ ·Ý¹»ñÁ ßáß³÷áõÙ »Ý OAC ѳñÃáõÃÛáõÝÁ K ¨ M
Ï»ï»ñáõÙ: ï»ù KOM ³ÝÏÛ³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ∠BOA =α, ∠DOA =β,
∠BOC = ∠COD:
23. (û) ²å³óáõó»ù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ù³é³ÝÇëïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÝÇëïÇ
ÙÇçݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ »ñ»ù ³Ý·³Ù
÷áùñ ¿ ³Û¹ ù³é³ÝÇëïÇÝ ³ñï³·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÕÇó: ú·ï³·áñÍ»Éáí
³Û¹ ÷³ëïÁ, ³å³óáõó»ù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ù³é³ÝÇëïÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ
R ≥ 3r ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ R-Á ¨ r-Á ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ ù³é³ÝÇëïÇÝ
³ñï³·Í³Í ¨ Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý:
24. (¹) γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ l-Ç,
ÇëÏ ·³·³ÃÇÝ ÏÇó ѳñà ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ α: ï»ù ³Û¹ μáõñ·Ç ³ñï³·ÍÛ³É
ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ:
33

Èñ³óáõóÇã ËݹÇñÝ»ñ
⎡1. 1) àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ÏáÕ»ñÝ »Ý 4 ëÙ, 6 ëÙ ¨ 12 ëÙ£ ïÝ»É
Ýñ³Ý ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
2) γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2
ëÙ-Ç, ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁª 4 ëÙ-Ç£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
2. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 9 ¹Ù-Ç£ Üñ³ Ù»ç Ý»ñ·Í³Í ¿ ϳÝáݳíáñ
ù³é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳ, áñÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 14 ¹Ù-Ç£ ïÝ»É åñǽ-
Ù³ÛÇ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ£
3. γÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 8 Ù ¿, ÏáÕÙݳÛÇÝ
ÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁª 13 Ù£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
4. R ß³é³íÇÕÝ áõÝ»óáÕ ·Ý¹Ç ßáõñçÁ ³ñï³·Í³Í ¿ ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏ-
ÛáõÝ åñǽٳ£ àñáᯐ åñǽٳÛÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
5. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2 Ù-Ç,
ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁª 3 Ù-Ç£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ïñ³Ù³·ÇÍÁ£
6. Ý¹Ç Ù»ç, áñÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 14 ëÙ-Ç, Ý»ñ·Í³Í ¿ ÙÇ Ï³Ýáݳíáñ
»é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳ, áñÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿
26 ëÙ-Ç£ ïÝ»É åñǽٳÛÇ ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ£
7. àõÕÇÕ åñǽٳÛÇ Ñ³Ù³ñ áñå»ë ÑÇÙù ͳé³ÛáõÙ ¿ ÙÇ »é³ÝÏÛáõÝ, áñÇ
ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 6 ëÙ, 8 ëÙ ¨ 10 ëÙ£ äñǽٳÛÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 24 ëÙ-Ç£
ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
8. ÆÝãå»±ë »Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÙ »ñ»ù ·Ý¹»ñÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ,
»Ã» ³é³çÇÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷áõÙ ¿ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÝÇëï»ñÁ, »ñÏñáñ¹Á ßáß-
³÷áõÙ ¿ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ÏáÕ»ñÁ, ÇëÏ »ññáñ¹Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ Ýñ³ »ñ»ù ·³·³ÃÝ»-
ñáí£
9. Ý¹Ç ßáõñçÝ ³ñï³·Íí³Í ¿ ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳ, ÇëÏ åñǽ-
Ù³ÛÇ ßáõñçÁª ·áõݹ£ ïÝ»É ³Û¹ ·Ý¹»ñÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ£
10. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ h-Ç, ÏáÕÙ-
ݳÛÇÝ ÏáÕÁª b-Ç£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
11. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 4 Ù-Ç, μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª
ÝáõÛÝå»ë 4 Ù-Ç£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
12. 1) γÝáݳíáñ ï»ïñ³»¹ñÇ a ÏáÕÇ ÙÇçáóáí áñáß»É Ý»ñ·Í³Í ¨ ³ñﳷͳÍ
·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£
2) ÆÝãå»±ë »Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÙ »ñ»ù ·Ý¹»ñÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»-
ñÁ, »Ã» ³é³çÇÝÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ϳÝáݳíáñ ï»ïñ³»¹ñÇ ÝÇëï»ñÁ,
»ñÏñáñ¹Á ßáß³÷áõÙ ¿ Ýñ³ ÏáÕ»ñÁ, ÇëÏ »ññáñ¹Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ Ýñ³ ·³-
·³ÃÝ»ñáí£
13. γÝáݳíáñ ûÏï³»¹ñÇ a ÏáÕÙÇ ÙÇçáóáí áñáᯐ Ýñ³Ý Ý»ñ·Í³Í ¨ ³ñﳷͳÍ
·Ý¹»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£
34

14. 1) àñáß»É Ï³Ýáݳíáñ μáõñ·ÇÝ Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ, »Ã» μáõñ·Ç
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ h-Ç, ÇëÏ ÑÇÙùÇ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁª 60°-Ç£
2) ÜáõÛÝåÇëÇ ËݹÇñ, »ñμ ÑÇÙùÇ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ 45° ¿£
15. îíÛ³É μáõñ·Ç μáÉáñ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 9 ëÙ-Ç, ÇëÏ Ýñ³
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª 5 ëÙ-Ç£ àñáᯐ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
16. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ h-Ç£ ÎáÕÙ-
ݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÁ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
17. γÝáݳíáñ μáõñ·Ç Ù»ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ H-Ç, ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª
R-Ç£ ´³ñÓñáõÃÛ³Ý ¨ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÇ ÇÝãåÇëDZ ³éÝãáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ
³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÁ Ï·ïÝíǪ 1) μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ íñ³, 2) μáõñ·Ç Ý»ñëáõÙ
¨ 3) μáõñ·Çó ¹áõñë£
18. ´áõñ·Ç ѳٳñ áñå»ë ÑÇÙù ͳé³ÛáõÙ ¿ ÙÇ Ï³Ýáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ, áñÇ
ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 3 ¹Ù-Ç£ ÎáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕ»ñÇó Ù»ÏÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2 ¹Ù-Ç ¨ áõÕ-
Õ³Ñ³Û³ó ¿ ÑÇÙùÇÝ£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
19. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ Ñ³ï³Í μáõñ·Ç ÑÇÙù»ñÇ ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 7 ¹Ù ¨ 1 ¹Ù£
ÎáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁ ÑÇÙùÇ ÝϳïÙ³Ùμ ûùí³Í ¿ 45°-Ç ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï£ ïÝ»É ³ñﳷͳÍ
·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
20. γÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ Ñ³ï³Í μáõñ·Ç ÑÇÙù»ñÇ ÏáÕÙ»ñÝ »Ý 3 Ù ¨ 4 Ù,
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª 7 Ù£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
21. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ Ñ³ï³Í μáõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 17
ëÙ-Ç, ÑÇÙù»ñÇ ßáõñçÝ ³ñï³·Í³Í ßñç³Ý³·Í»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 5 ëÙ ¨ 12
ëÙ£ ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
22. R ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ·Ý¹ÇÝ ³ñï³·Í»É »Ý ϳÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ Ñ³ï³Í
μáõñ·, áñÇ ÑÇÙùÇÝ ³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 45°-Ç£ àñáß-
»É Ýñ³ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
23. Ý¹Ç Ù»ç Ý»ñ·Í³Í ¿ ·É³Ý, áñÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ ѳñ³μ»ñáõÙ ¿ μ³ñÓñáõÃÛ³ÝÝ
³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë m £ n£ àñáᯐ ³Û¹ ·É³ÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, »Ã» ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ѳí³ë³ñ ¿ S-Ç£
24. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ h-Ç, ÍÝÇãÁª l-Ç£ ïÝ»É ³ñﳷͳÍ
·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
25. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 5 ëÙ-Ç£ Ý¹Ç Ù»ç Ý»ñ·Í³Í ¿ ÏáÝ, áñ ÑÇÙùÇ
ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 4 ëÙ-Ç£ ïÝ»É ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ£
26. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 8 Ù ¿, ÍÝÇãÁª 10 Ù£ ïÝ»É Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
27. r ß³é³íÕáí ·Ý¹ÇÝ ³ñï³·Í³Í ¿ ÏáÝ, áñÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ ѳñ³μ»ñáõÙ ¿ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇÝ ÇÝãå»ë 3 £ 2£ àñáß-
»É ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ£
28. ÎáÝÇÝ, áñÇ ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ r-Ç, ÇëÏ ÍÝÇãÁª l-Ç, Ý»ñ·Í³Í
¿ ·áõݹ£ àñáᯐ ³ÛÝ ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñáí ·Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷áõÙ ¿
ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇÝ£
35

29. ݹÇÝ, áñÇ ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ r-Ç, ³ñï³·Í³Í ¿ ÙÇ ÏáÝ, áñÇ ÍÝáñ¹Ý»-
ñáí ϳ½Ùí³Í ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÝÏÛáõÝÝ áõÕÇÕ ¿£ àñáᯐ ÏáÝÇ ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ£
30. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 20 ëÙ-Ç, ÍÝáñ¹Áª 25 ëÙ-Ç£ ïÝ»É
Ý»ñ·Í³Í ³ÛÝ ÏÇë³·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ, áñÇ ÑÇÙùÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ íñ³,
ÇëÏ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ£
31. ÎáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 9 ëÙ-Ç, ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª 12 ëÙ-Ç£
ïÝ»É ÏáÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ³ÛÝ ë»·Ù»ÝïÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏáÝÇ Ñ»ï áõÝÇ
ÁݹѳÝáõñ ÑÇÙù, ÇëÏ ë»·Ù»ÝïÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÏáÝÇ μáÉáñ ÍÝáñ¹-
Ý»ñÇÝ£
32. гï³Í ÏáÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 3Ù ¨ 4 Ù, μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª 7 Ù£
ïÝ»É ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
33. Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ 10 ëÙ ¿£ Üñ³ Ù»ç Ý»ñ·Í³Í ¿ ѳï³Í ÏáÝ, áñÇ ÑÇÙù»ñÇ
ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 6 ëÙ ¨ 8 ëÙ£ ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ (»ñ-
Ïáõ ¹»åù)£
34. Ý¹Ç ßáõñçÝ ³ñï³·Í³Í ¿ ÙÇ Ñ³ï³Í ÏáÝ, áñÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÝ
»Ý r ¨ R£ ïÝ»É ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
35. Ý¹Ç ßáõñçÝ ³ñï³·Í³Í ¿ ÙÇ Ñ³ï³Í ÏáÝ, áñÇ ÍÝÇãÁ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõ-
ÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 45°-Ç ³ÝÏÛáõÝ£ ²å³óáõó»É, áñ Ýñ³ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ·Ý¹Ç ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£
36. àñáᯐ ·Ý¹Ç ßáõñçÝ ³ñï³·Í³Í Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ
ٳϻñ»ëÁ, »Ã» Ýñ³ ÍÝáñ¹Á 13 ëÙ ¿, ÇëÏ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁª 6 ëÙ£
37. ݹ³ÛÇÝ ë»ÏïáñÇ ß³é³íÇÕÁ R ¿, ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ³Õ»ÕÁ 60°£
ïÝ»É ë»ÏïáñÇÝ Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ¨ ³ÛÝ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõ-
ÝÁ, áñáí Ýñ³Ýù ßáß³÷íáõÙ »Ý£
38. ݹ³ÛÇÝ ë»ÏïáñÇ Ù»ç Ý»ñ·Íí³Í »Ý »ñÏáõ ÷á˳¹³ñÓ³μ³ñ Çñ³ñ
ßáß³÷áÕ ·Ý¹»ñ, áñáÝó ß³é³íÇÕÝ»ñÝ »Ý 1 ¹Ù ¨ 3 ¹Ù£ ïÝ»É ïíÛ³É ë»ÏïáñÇ
ß³é³íÇÕÁ£⎦
39. ºñÏáõ ѳí³ë³ñ ·É³ÝÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñÁ ˳ãíáÕ »Ý ¨ å³ïϳÝáõÙ »Ý
Ùdzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç »ñÏáõ ѳϳ¹Çñ ÝÇëï»ñÇÝ£ ²Û¹ ·É³ÝÝ»ñÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó ßáß³÷áõÙ »Ý£ ï»ù ïí³Í ·É³ÝÝ»ñÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£
40. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1£ ²Û¹ μáõñ·ÇÝ
³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç Ï»ÝïñáÝÁ μáõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ μ³Å³ÝáõÙ ¿ 1 £ 2 ѳñ³μ»-
ñáõÃÛ³Ùμ ѳßí³Í μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÇó£ ï»ù ³Û¹ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£
41. γÝáݳíáñ μáõñ·ÇÝ Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ 3 ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ μáõñ-
·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÇó£ ï»ù μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÇÝ ³éÁÝûñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý
1
ÏáëÇÝáõëÁ£ (ä³ï. −−−)
2
36

42. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 3, ÇëÏ μáõñ·ÇÝ
³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2£ ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ μáõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ£
(ä³ï.ª 1 ϳ٠3)
43. γÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 4, ÇëÏ μáõñ-
·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 3£ ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ μáõñ·Ç
μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ£ (ä³ï.ª 2 ϳ٠4)
44. ø³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç μáÉáñ ÏáÕ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 1£ ïÝ»É Ýñ³Ý ³ñï³-
√$2
·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ£ (ä³ï.ª −−−−)
2
45. γÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 2£ ´áõñ·ÇÝ
³ñï³·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÇó 1
Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³£ ï»ù ³Û¹ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ£ (ä³ï.ª √$5 )
46. ø³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç μáÉáñ ÏáÕ»ñÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý£ ï»ù ³Û¹ μáõñ-
·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ¨ Ý»ñ·Í³Í ëý»ñ³Ý»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ£
(ä³ï.ª √$3 + 1)
47. ´áõñ·Ç ÑÇÙùÁ 1 ÏáÕÙáí ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿£ ´áõñ·Ç μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ
ÝáõÛÝå»ë ѳí³ë³ñ ¿ 1 ¨ ³ÝóÝáõÙ ¿ ÑÇÙùÇ ·³·³ÃÝ»ñÇó Ù»Ïáí£ ï»ù ³Û¹
μáõñ·ÇÝ Ý»ñ·Í³Í ¨ ³ñï³·Í³Í ëý»ñ³Ý»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£
√$3 √$21
(ä³ï. −−−−−−−; −−−−)
4 + √$7 2
48. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1, ÇëÏ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ ÏáÕÁª 2£ ¸Çï³ñÏ»Ýù μáÉáñ Ñݳñ³íáñ ·Ý¹»ñÁ, áñáÝù ßáß³÷íáõÙ »Ý ³Û¹
μáõñ·Ç ÝÇëï»ñÁ å³ñáõݳÏáÕ μáÉáñ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ£ ø³ÝDZ ³Û¹åÇëÇ
·áõݹ ϳ£ ï»ù ¹ñ³Ýó ß³é³íÇÕÝ»ñÁ£ (ä³ï. 8 ·áõݹ, Ù»ÏÁ μáõñ·ÇÝ Ý»ñ·Í³Í
√$11 22√$3
·áõݹÁ −−−−−−−−− ß³é³íÕáí, ãáñë Ñ³ï ³é·Íí³Í 165 + −−−−− ß³é³íÇÕÝ»ñáí
√$3 + 3√$15 3
¨ »ñ»ù ·Ý¹»ñ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ μáÉáñ ãáñë ÝÇëï»ñÇ ß³-
√$11
ñáõݳÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, −−−−−−−−−− ß³é³íÇÕÝ»ñáí)£
√$15 − 3√$3
49. ÎáÝÇ ÍÝáñ¹Á ѳí³ë³ñ ¿ 1, ÇëÏ ÍÝáñ¹Ç ¨ ÑÇÙùÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁª α£ ï»ù ÏáÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£ α-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åsin
α cos α
ùáõÙ ³Û¹ ß³é³íÇÕÁ ÏÉÇÝÇ ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ£ (ä³ï. −−−−−−−−−−−, α = 60°)
1 + cos α
50. ¸Çï³ñÏ»Ýù ïí³Í »ñÏáõ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ïí³Í ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ßáß³-
÷áÕ μáÉáñ Ñݳñ³íáñ ëý»ñ³Ý»ñÁ£ ï»ùª ³) ³Û¹ ëý»ñ³Ý»ñÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý
ßáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ; μ) ³Û¹ ëý»ñ³Ý»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ£ (ä³ï. ³) »Ã» ³Û¹ »ñÏáõ Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÁ
ѳïáõÙ ¿ ïí³Í ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, ³å³ áñáÝ»ÉÇ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»-
ÕÁ ßñç³Ý³·ÇÍ ¿, ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙª áõÕÇÕ; μ) áñáÝ»ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»-
ÕÁ ëý»ñ³ÛÇ ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍÝ ¿£
37

51. ï»ù ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ùdzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç A ¨ B ·³·³ÃÝ»ñáí ¨ CC 1
ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïáí ³ÝóÝáÕ ³ÛÝ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ, áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ A 1 B 1 C 1 D 1
3 27
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£ (ä³ï.ª −−− ϳ٠−−−)
4 4
52. PABC ϳÝáݳíáñ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ a-Ç, ÇëÏ ÏáÕÙݳ-
ÛÇÝ ÏáÕÁª 2a£ P, B ¨ C Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý A ·³·³Ãáí ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³£ ï»ù ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ ·³·³ÃÇ ³ÝÏÛáõÝÁ£
3
(ä³ï. 2arcsin −−−−)
2√$5
53. γÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÏáÕ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÁݹáõÝáõÙ »Ý
»ñÏáõ ³ñÅ»ùª 2 ϳ٠4£ ï»ù ³Û¹ μáõñ·ÇÝ ³ñï³·Í³Í ëý»ñ³ÛÇ ³ÛÝ É³ñÇ »ñ-
ϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ μáõñ·Ç »ñÏáõ ѳݹÇå³Ï³ó ÏáÕ»ñÇ ÙÇçݳϻï»-
ñáí£
54. 1, 2 ¨ 5 ß³é³íÇÕÝ»ñáí »ñ»ù ·Ý¹»ñ ¹³ë³íáñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ÝóÇó
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ ÙÛáõë »ñÏáõëÇÝ ¨ ïí³Í »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇÝ£ ï»ù ÷áùñ ·Ý¹Ç ³Û¹ »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï ßáß³÷Ù³Ý Ï»ï»ñÇ
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£ (ä³ï. −−−/ 1 "$31 −−)
2 4
55. S ·³·³Ãáí SABC ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·Ç ÑÇÙùÇ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ
¿ a, ÇëÏ ÏáÕÙݳÛÇÝ ÏáÕÁª a√$2£ êý»ñ³Ý ³ÝóÝáõÙ ¿ A Ï»ïáí ¨ ßáß³÷áõÙ
¿ SB ¨ SC ÏáÕ»ñÁ Ýñ³Ýó ÙÇçݳϻï»ñáõÙ£ ïÝ»É ³Û¹ ëý»ñ³ÛÇ ß³é³íÇÕÁ£
(ä³ï. −−−
a
/
"$23
−−−)
4 5
56. î»ïñ³»¹ñÇ Ñ³Ý¹Çå³Ï³ó ÏáÕ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ
»Ý£ ²å³óáõó»ù, áñª ³) ³Û¹ ï»ïñ³»¹ñÇ »ñÏáõ ÝÇëï»ñÇÝ Ý»ñ·Í³Í ßñç³-
ݳ·Í»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ÙdzóÝáÕ áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ ¿ ï»ïñ³»¹ñÇ ÏáÕ»ñÇó Ù»-
ÏÁ Áݹ·ñÏáÕ áÕÕÇÝ (ϳ٠½áõ·³Ñ»é ¿ ³Û¹ áõÕÕÇÝ)£
μ) ²Û¹ ï»ïñ³»¹ñÇ »ñ»ù ·³·³ÃÝ»ñáí ³ÝóÝáÕ ëý»ñ³Ý ѳïáõÙ ¿ ãáññáñ¹
·³·³ÃÇó ¹áõñë »ÏáÕ »ñ»ù ÏáÕ»ñÁ (ϳ٠Ýñ³Ýó ß³ñáõݳÏáõÃÛáõÝÝ»-
ñÁ) ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï»ñáõÙ, áñáÝù ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛ³Ý
·³·³ÃÝ»ñ£
57. ÎáÝÇ ÑÇÙùÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇó Ù»ÏÇ Ñ»ï, ÇëÏ ÏáÝÇ ·³·³-
ÃÁ ·É³ÝÇ ÙÛáõë ÑÇÙùÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿£ ɳÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ
ù³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ Ù»Í ÏáÝÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£
(ä³ï. 2 ³Ý·³Ù)
58. ï»ù Ùdzíáñ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç »ñ»ù ÝÇëï»ñÁ ¨ Ýñ³Ý Ý»ñ·Í³Í ·áõݹÁ
ßáß³÷áÕ ·Ý¹Ç ß³é³íÇÕÁ£ (ä³ï. 2 − √$3 )
⎡59. ɳÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ¿ ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ åñǽٳ£ ïÝ»É ·É³ÝÇ ¨
åñǽٳÛÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ Ñ³ñ³μ»ñáõÃÛáõÝÁ£
38

60. àñáᯐ a ÏáÕ áõÝ»óáÕ Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÝ ³ñï³·Í³Í ·É³ÝÇ ÉñÇí Ù³-
Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇ
ßñç³Ý³·Í»ñÇ íñ³)£
61. 10 ëÙ ÏáÕ áõÝ»óáÕ Ï³Ýáݳíáñ ûÏï³»¹ñÇÝ ³ñï³·Í³Í ¿ ·É³Ý£ úÏï³»¹ñÇ
»ñÏáõ ·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ·É³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñáõÙ, ÇëÏ
Ùݳó³Í ãáñëÁª Ýñ³ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³£ ïÝ»É ·É³ÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ
ٳϻñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£
62. ÎáÝÇ Ù»ç ïñí³Í »Ý ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª R ¨ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª H£ Êáñ³-
ݳñ¹Ç ÙÇ ÝÇëïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ íñ³, ÇëÏ Ýñ³ ѳݹÇå³Ï³ó ÝÇëïÇ
·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³£ ïÝ»É Ëáñ³-
ݳñ¹Ç ÏáÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ£
63. ÎáÝÇ Ù»ç ïñí³Í »Ý ÑÇÙùÇ ß³é³íÇÕÁª R ¨ μ³ñÓñáõÃÛáõÝÁª H£ Üñ³ Ù»ç
Ý»ñ·Íí³Í ¿ ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ ÙÇ ÑÇÙùÁ ·ïÝíáõÙ
¿ ÏáÝÇ ÑÇÙùÇ íñ³, ÇëÏ ÙÛáõë ÑÇÙùÇ ·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÏáÝÇ ÏáÕÙ-
ݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³£ àñáᯐ ³Û¹ åñǽٳÛÇ ÏáÕÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ Ýñ³
μáÉáñ ÝÇëï»ñÁ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ »Ý£
64. ÎáÝÇÝ, áñÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÁ ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ ¿, Ý»ñ·-
Í³Í ¿ ϳÝáݳíáñ ù³é³ÝÏÛáõÝ μáõñ·£ ÆÝãå»±ë »Ý Ñ³ñ³μ»ñáõÙ ÏáÝÇ ¨ μáõñ-
·Ç ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£⎦
39

6
Îààð¸Æܲîܺð ºì ìºÎîàðܺð
î²ð²ÌàõÂÚ²Ü Øºæ
6.1 ¸»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Çï³ñÏ»Ýù O Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ
÷áËáõÕճѳ۳ó »ñ»ù áõÕÇÕÝ»ñ£ Îѳٳñ»Ýù, áñ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ O ëϽμݳϻïáí ¨ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ Ùdzíáñ ѳïí³ÍÝ»ñáí
Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³Ýóù£ гٳñ³Ï³É»Ýù ³Û¹ ³é³ÝóùÝ»ñÁ ¨
¹ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ ³Ýí³Ý»Ýù Ox ³é³Ýóù, »ñÏñáñ¹Áª Oy ³é³Ýóù, ÇëÏ »ññáñ¹Áª
Oz ³é³Ýóù£ ²Û¹ »ñ»ù ³é³ÝóùÝ»ñÁ »é³ã³÷ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ϳ½-
ÙáõÙ »Ý ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ·Á£ ²ÛÅÙ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý
ó³Ýϳó³Í A Ï»ïÇ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý
Ù»ç ¹Ý»É (x; y; z)
Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñí³Í »éÛ³Ï, áñáÝù
ϳÝí³Ý»Ýù A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ ¨
Ï·ñ»Ýù ³Ûëå»ëª A(x; y; z)£ ²Ûëï»Õ x-Á
A Ï»ïÇ ³é³çÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ ¿ ϳ٠A
Ï»ïÁ 0x ³é³ÝóùÇ íñ³ åñáÛ»Ïï»Éáõó
ÜÏ. 26
ëï³óí³Í A 1 Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÁ Ox
³é³ÝóùÇ íñ³ (ÝÏ. 26): Üٳݳå»ë
ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý y ¨ z Ãí»ñÁ£ ºí ѳϳé³ÏÁª (x; y; z) Ãí»ñÇ ó³Ýϳó³Í ϳñ-
·³íáñí³Í »éÛ³ÏÇ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ Ù»Ï Ï»ï£
⎡î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ »Ý
Ñ»ï¨Û³É ³ÏÝѳÛï Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
³) »Ã» B 1 Ï»ïÁ ѳٳã³÷ ¿ A(x; y; z) Ï»ïÇÝ xOy ѳñÃáõÃÛ³Ý ÝϳïÙ³Ùμ,
³å³ B 1 Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý (x; y; −z) Ãí»ñÁ. (ÇÝùÝáõñáõÛÝ ·ñ»ù ÙÛáõë
»ñÏáõ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ A Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»-
ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ)£
40

μ) »Ã» B 2 Ï»ïÁ ѳٳã³÷ ¿ A(x; y; z) Ï»ïÇÝ Ox ³é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ùμ, ³å³
B 2 Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý (x; −y; −z) Ãí»ñÁ. (ÇÝùÝáõñáõÛÝ ·ñ»ù ÙÛáõë »ñ-
Ïáõ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ A Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ï»ñÇ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ)£
·) »Ã» B 3 Ï»ïÁ ѳٳã³÷ ¿ A(x; y; z) Ï»ïÇÝ O ëϽμݳϻïÇ ÝϳïÙ³Ùμ,
³å³ B 3 Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý (−x; −y; −z) Ãí»ñÁ£⎦
6.2 Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³
ßñç³Ý³·ÍÇ ¨ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ
¸Çï³ñÏ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á
(ÝÏ. 27)£ ¸Çóáõù ßñç³Ý³·ÍÇ Q Ï»ÝïñáÝÁ áõÝÇ (a; b) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ÇëÏ R-Á
Ýñ³ ß³é³íÇÕÝ ¿£ ºÃ» M(x; y)-Á ßñç³Ý³·ÍÇ
áñ¨¿ Ï»ï ¿, ³å³ Áëï ßñç³Ý³·ÍÇ ë³ÑÙ³Ý-
Ù³Ý QM = R£ ì»ñÑÇß»Éáí ѳñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ
Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Á, ëï³ÝáõÙ
»Ýùª
√"(x"−"a") 2 "+" ("y"−"b$) 2 = R ϳÙ
(x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2 (1)
лÝó ³Ûë ѳí³ë³ñáõÙÝ ¿É ѳݹÇë³-
ÝáõÙ ¿ Q (a; b) Ï»ÝïñáÝáí ¨ R ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ
ѳí³ë³ñáõÙÁ£ Þñç³Ý³·ÍÇ ó³Ý-
ϳó³Í M(x; y) Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ
»Ý ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ¨ ѳϳé³ÏÁª
»Ã» áñ¨¿ M(x; y) Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»-
ÜÏ. 27
ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (1) ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, ³å³ ³Û¹ Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ýßí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ
íñ³£
ºñμ»ÙÝ ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ·ñí³Í ãÇ ÉÇÝáõÙ (1) ï»ëùáí ¨ ³Û¹ áã
ëï³Ý¹³ñï ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ §ï»ëݻɦ ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
ú·ï³Ï³ñ ¿ ÑÇß»É, áñ
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳ٠ßñç³Ý³·ÇÍ
¿, ϳ٠ϻï, ϳ٠¹³ï³ñÏ μ³½ÙáõÃÛáõÝ£¸³ å³ñ½»Éáõ ѳٳñ å»ïù ¿ ѳí³ë³ñÙ³Ý
Ó³Ë Ù³ëáõÙ ³é³ÝÓݳóÝ»É ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ x ¨ y ÷á÷á˳ϳÝ-
Ý»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ£ ²Û¹ »Õ³Ý³ÏÇÝ ¹áõù ͳÝáà »ù ѳÝñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóóÇó
ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ ѻﳽáï»ÉÇë£
úñÇݳÏ, x 2 + y 2 − 4x + 2y = 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ó¨³÷áË»É Ñ»ï¨Û³É
Ï»ñåª
(x 2 − 4x + 4) + (y 2 + 2y + 1) − 5 = 0, (x − 2) 2 + (y + 1) 2 = 5£
41

²ÛëåÇëáí, ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Q(2; −1) Ï»ÝïñáÝáí ¨ √$5 ß³é³í-
Õáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£
²ÛÅÙ ¹áõñë μ»ñ»Ýù áõÕÇÕ ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý
íñ³£
¸Çï³ñÏ»Ýù Ý³Ë ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ áõÕÇÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ
ëϽμݳϻïáí£ ¸Çóáõù ¹Çï³ñÏíáÕ áõÕÇÕÁ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý
áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ α ³ÝÏÛáõÝ, Áݹ áñáõÙ ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝÁ ã³÷íáõÙ ¿ ų-
Ù³óáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ (ÝÏ. 28)£ ²ÛÝå»ë áñ α-Ý
÷á÷áËíáõÙ ¿ 0-Çó ÙÇÝ㨠180°, Áݹ áñáõÙ ã»Ýù ¹Çï³ñÏáõÙ ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ áõ-
ÕÇÕÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ûñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï£ Ü߳ݳϻÝù k = tg α£ k-Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿, »ñμ áõÕÇÕÁ ³Ýó-
ÝáõÙ ¿ I ¨ III ù³éáñ¹Ý»ñáí ¨ μ³ó³ë³Ï³Ý ¿ II ¨ IV ù³éáñ¹Ý»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕ-
ÕÇ Ñ³Ù³ñ£ k ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇó£
¸Çóáõù M (x; y)-Á áõÕÕÇ áñ¨¿ Ï»ï ¿£ Àëï ï³Ý·»ÝëÇ ë³ÑÙ³Ýٳݪ
y
k = tg α = −−, ϳ٠y = kx
x
êï³óí³Í ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí
³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ áõÕճѳ۳ó ã¿ Ox ³é³ÝóùÝ£ ÆëÏ ûñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª x = 0£
²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý l áõÕÇÕ, áñÁ áõÕճѳ۳ó ã¿ ³μëóÇëÝ»ñÇ
³é³ÝóùÇÝ£ ¸Çóáõù ³Û¹ áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ P(0; b) Ï»-
ïáõÙ (ÝÏ. 29)£ Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí ï³Ý»Ýù l áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é l 1
áõÕÇÕÁ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ÙǨÝáõÛÝ x ³μëóÇëÁ áõÝ»óáÕ M ¨ M 1 »ñÏáõ Ï»ï»ñ, áñáÝù
·ïÝíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ l ¨ l 1 áõÕÇÕÝ»ñÇ íñ³£ ÆÝãå»ë ³ñ¹»Ý ·Çï»Ýù,
y 1 = kx, áñï»Õ k-Ý l áõÕÕÇ (ÇÝãå»ë ݳ¨ l 1 áõÕÕÇ) ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳ-
ÏÇóÝ ¿£ OPMM 1 -Á ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿, áõëïÇ M Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ ëï³óíáõÙ ¿ M 1
Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÇó ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë P Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ ëï³óíáõÙ ¿ O Ï»ïÇ
ÜÏ. 28 ÜÏ. 29
42

ûñ¹ÇݳïÇóª ³ÛëÇÝùÝ b ·áõÙ³ñ»Éáí, ³ÛëÇÝùÝ y = y 1 + b£ ²ÛëåÇëáí, l áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ
áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª
y = kx + b
²Û¹ ï»ëùáí ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ áã áõÕճѳ۳ó ó³Ý-
ϳó³Í áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ÆëÏ »Ã» áõÕÇÕÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³μëóÇëÝ»ñÇ
³é³ÝóùÇÝ, ³å³ Ýñ³ μáÉáñ Ï»ï»ñÁ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ ³μëóÇëÁ, ³ÛëÇÝùÝ ³Û¹
áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áõÝÇ x = a ï»ëùÁ£
ºíë Ù»Ï ³Ý·³Ù ÑÇß»óÝ»Ýù k ¨ b å³ñ³Ù»ïñ»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ.
k-Ý áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ áõÕÕÇ ¨ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ
¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÁ (³ÝÏÛáõÝÁ ã³÷íáõÙ ¿ ų-
Ù³óáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ)£
b-Ý ³Û¹ áõÕÕÇ ¨ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÝ ¿£
²ÛëåÇëáí, ϳñ»ÉÇ ¿ »½ñ³Ï³óÝ»É, áñ ³é³çÇÝ
³ëïÇ׳ÝÇ ó³Ýϳó³Í ѳí³ë³ñáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ
Ax + By + C = 0
ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñï»Õ A-Ý ¨ B-Ý Ùdzų-
Ù³Ý³Ï Ñ³í³ë³ñ ã»Ý ½ñáÛÇ, Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ-
Û³óÝáõÙ ¿ áõÕÇÕ ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ (ÝÏ. 30)£
Àݹ áñáõÙ, »Ã» B ≠ 0, ³å³ y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Éáí
x-áí, ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ μ»ñ»É
A C
y = − −−−x − −−− ϳÙ
B B
ÜÏ. 30
y = kx + b ï»ëùÇ, ³ÛëÇÝùÝ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏóáí ѳí³ë³ñٳݣ ÆëÏ »Ã»
C
B = 0, ëï³ÝáõÙ »Ýù x = − −−−, ³ÛëÇÝùÝ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ۳ó
A
áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ£
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. (Ï) ñ»ù ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» ïí³Í »Ý Ýñ³ Q Ï»ÝïñáÝÇ ¨
ßñç³Ý³·ÍÇÝ å³ïϳÝáÕ A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
³) Q (−1; 2), A (0; 5), μ) Q (2; 0), A (−1; −2), ·) Q (1; −2), A (−1; 2)£
2. (Ï) ñ»ù A Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ l áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ,
»Ã»ª
³) A (2; −3), l áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ y = 2x − 5;
μ) A (1; 1), l áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ y = −3x + 1;
·) A (3; 0), l áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ 3x − 2y = 0
43

3. (û) M Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ I ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ·ÍÇÝ, ÇëÏ K Ï»ïÁª
II ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ·ÍÇÝ£ ï»ù M ¨ K Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»-
ݳ÷áùñ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »Ã» I ¨ II ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É
ï»ëù»ñÁª
I
II
³) x 2 + y 2 = 5 (x − 5) 2 + (y − 1) 2 = 1
μ) x 2 + y 2 2x = 0 x 2 − 3x + y 2 + y = 100
·) x 2 + y 2 − x + y = 0 x 2 + y 2 + 2x − y − 1 = 0
¹) x 2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 x 2 + y 2 − 3x + y − 5 = 0
4. (Ï) ä³½»ù Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñíáÕ Ïáñ»ñÇ ï»ëùÁª
³) x 2 + y 2 − 4x − 6y + 13 = 0
μ) x 2 + y 2 − x − y + 1 = 0
·) x 2 + y 2 − 3x − 5y − 7 = 0
¹) y − 1 = √"5""−$x 2
») x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 − 5x 2 − 5y 2 + 4 = 0
5. ñ»ù AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçÝáõÕճѳ۳óÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ
»Ý (−2; 3), ÇëÏ B Ï»ïÇÝÁª (1; −4)£
6. (û) îí³Í »Ý A(1; 2) ¨ B(3; 0) Ï»ï»ñÁ£ ï»ù ³ÛÝ M Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³-
÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ
³) AM 2 + BM 2 = 2AB 2 μ) AM 2 − BM 2 = AB 2
·) AM = 2BM ¹) AM 2 + BM 2 − AM·BM = AB 2
7. (û) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» k 1 -Á ¨ k 2 -Á Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇÝ áã
½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñÝ »Ý, ³å³ Ýñ³Ýó áõÕճѳ-
Û³óáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ ïñíáõÙ ¿ k 1·k 2 = −1 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝáí£
8. (û) ñ»ù A ¨ B Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã»
³) A(2; −1), B(−2; 1), μ) A(3; 0), B(0; 4), ·) A(4; 3), B(3; 2)£
9. ï»ù A Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ l áõÕÕÇó, »Ã»ª
³) A(0; 0), l £ y = x + 1;
μ) A(1; 4), l £ y = 3x − 2;
·) A(−2; −1), l £ 2x + 3y + 1 = 0
Èñ³óáõóÇã ËݹÇñÝ»ñ
⎡1. ÆÝã å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ a ¨ b ß³é³íÇÕÝ»ñáí ßñç³Ý³·Í»ñÁ, áñáÝó
Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ c, Ïѳïí»Ý£
2. Ox ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ íñ³ í»ñóí³Í »Ý »ñÏáõ Ï»ï»ñ£ ¸ñ³ÝóÇó
Ù»ÏÇ ûñ¹ÇݳïÁ 2 ¿£ ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ÙÛáõë Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ£
44

3. ï»ù xOy ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳ-
Ù³ñ |x| = 3£
4. ï»ù (−3; 4) Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÇó£
5. ï»ù ³ÛÝ Ï»ïÁ, áñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇó
¨ (3, 6) Ï»ïÇó£
6. x 2 + y 2 = 169 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³ ·ï»ù ³ÛÝ Ï»ï»-
ñÁ, áñáÝó ³) ³μëóÇëÁ 5 ¿, μ) ûñ¹ÇݳïÁ −12 ¿£
7. îí³Í »Ý A(2; 0) ¨ B(−2; 6) Ï»ï»ñÁ£ ñ»ù ³ÛÝ ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõ-
ÙÁ, áñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ AB ѳïí³ÍÝ ¿£
8. îí³Í »Ý A(−1; −1) ¨ C(−4; 3) Ï»ï»ñÁ£ ñ»ù C Ï»ÝïñáÝáí ¨ AÏ»ïáí
³ÝóÝáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
9. ï»ù Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ-
¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ ßñç³Ý³·ÇÍÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ (1; 4) Ï»ïáí ¨ Ýñ³
ß³é³íÇÕÁ ѳí³ë³ñ ¿ 5£
10. ï»ù x 2 + y 2 − 8x − 8y + 7 = 0 ßñç³Ý³·ÍÇ ¨ Ox ³é³ÝóùÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»-
ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
11. ï»ù x 2 + y 2 + 8x − 8y − 8 = 0 ¨ x 2 + y 2 − 8x + 8y − 8 = 0 ßñç³Ý³·Í»ñÇ
ѳïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
12. ñ»ù (1; 2) Ï»ïÁ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ¨ Ox ³é³ÝóùÁ ßáß³÷áÕ ßñç³Ý³·-
ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
13. ñ»ù (−3; 4) Ï»ïÁ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ³ÛÝ ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ,
áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí£
14. γ½Ù»ù (0; 1) ¨ (1; 2) Ï»ï»ñÇó ѳí³ë³ñ³Ñ»é Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý ï»ÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
15. ï»ù Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ ¨ Ïááñ¹Çݳï³-
ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
1) x + 2y + 3 = 0
2) 3x + 4y = 12
3) 3x − 2y + 6 = 0
4) 4x − 2y − 10 = 10
16. ï»ù 3x + 4y = −1 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í áõÕÕÇ ³ÛÝ Ï»ïÁ, áñÇ ³μëóÇëÁª
x = 1£
17. ï»ù Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»-
ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
1) x + 2y + 3 = 0 4x + 5y + 6 = 0
2) 3x − y − 2 = 0 2x + y − 8 = 0
3) 4x + 5y + 8 = 0 4x − 2y − 6 = 0
18. ï»ù A(−1; 1) ¨ B(1; 0) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
19. ÆÝãDZ »Ý ѳí³ë³ñ ax + by = 1 áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý a ¨ b ·áñͳÏÇóÝ»-
ñÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ ³ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ (1; 2) ¨ (2; 1) Ï»ï»ñáí£
45

20. c-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ x + y + c = 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í áõÕÇÕÁ
ßáß³÷áõÙ ¿ x 2 + y 2 = 1 ßñç³Ý³·ÍÇÝ£
21. γ½Ù»ù ³ÛÝ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ (2; 3) Ï»ïáí ¨ ½áõ·³-
Ñ»é ¿ Ox ³é³ÝóùÇÝ£
22. 4x + 3y − 2 = 0 áõÕÕÇ íñ³ A, B ¨ C Ï»ï»ñÝ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ
³) AB = BC; μ) AC = 3AB; ·) AC = AB 2
23. 2x + 3y − 1 = 0 ¨ 4x − y + 2 = 0 áõÕÇÕÝ»ñÇ íñ³ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
A ¨ B Ï»ï»ñÝ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ C(1; 1) Ï»ïÁ ѳݹÇë³Ý³ AB ѳïí³ÍÇ
ÙÇçݳϻïÁ£
24. îñí³Í »Ý A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(0; 0; 3), D(1; 2; 0) Ï»ï»ñÁ£ ¸ñ³ÝóÇó
áñá±Ýù »Ý ·ïÝíáõÙª
³) xOy ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, μ) Oz ³é³ÝóùÇ íñ³, ·) yOz ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç£
25. îñí³Í ¿ A(1; 2; 3) Ï»ïÁ£ ï»ù ³Û¹ Ï»ïÇó Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³Ýóù-
Ý»ñÇÝ ¨ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ï³ñí³Í áõÕճѳ۳óÝ»ñÇ ÑÇÙù»ñÇ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
26. îñí³Í »Ý (1; 2; 3); (0; −1; 2); (1; 0; −3) Ï»ï»ñÁ£ ï»ù Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹Çݳï-
Ý»ñÁ£⎦
⎡6.3 ¾ÉÇåë, ÑÇå»ñμáÉ, å³ñ³μáÉ
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1: ¾ÉÇåë ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ïñí³Í »ñÏáõ F 1 ¨ F 2 Ï»ï»-
ñÇó ѳëï³ïáõÝ ¿ ¨ Ù»Í ¿ F 1 F 2 ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó£
²Û¹ ѳëï³ïáõÝÁ ÏÝ߳ݳϻÝù 2a-áí£
F 1 -Á ¨ F 2 -Á ÏáãíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ ýáÏáõë-
Ý»ñ, ÇëÏ F 1 F 2 ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ,
áñÁ ÏÝ߳ݳϻÝù 2c-áí, ýáÏáõë³ÛÇÝ Ñ»-
é³íáñáõÃÛáõÝ£
гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Ç-
ݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝå»ë,
áñ Ox ³é³ÝóùÝ ³ÝóÝÇ F 1 ¨ F 2 Ï»ï»-
ñáí, ÇëÏ Oy ³é³ÝóùÁª F 1 F 2 ѳïí³ÍÇ
ÙÇçݳϻïáí (ÝÏ. 31)
²Û¹ ¹»åùáõÙ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ¿ÉÇåëÇ
ÜÏ. 31
ó³Ýϳó³Í M(x; y) Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ
46

MF 1 + MF 2 = 2a
гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ F 1 Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý F 1 (−c; 0), ÇëÏ F 2 Ï»ïÇÝÁª
F 2 (c, 0), »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Çó ëï³ÝáõÙ »Ýù
√"(x" +" c") ""+$y 2 2 +√"(x"−"c") 2 "+"y$ 2 = 2a (1)
å³ÛÙ³ÝÁ£ ê³ ¿É Ñ»Ýó ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÁÝïñí³Í Ïááñ-
¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£ öáñÓ»Ýù ³ÛÝ ·ñ»É ÏáÙå³Ïï ï»ëùáí£ ¸ñ³ ѳ-
Ù³ñ »ñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ ï»Õ³÷áË»Ýù ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ë ¨ »ñÏáõ ÏáÕ-
ÙÁ μ³ñÓñ³óÝ»Ýù ù³é³ÏáõëǪ
(x + c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a√"(x"−"c") 2 "+"y$ 2 + (x − c) 2 + y 2
²ÏÝѳÛï å³ñ½»óáõÙÝ»ñÇó Ñ»ïá ëï³ÝáõÙ »Ýùª
(a 2 − c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 )
ø³ÝÇ áñ a > c, ³å³ a 2 − c 2 > 0£ Ü߳ݳϻÝù b 2 = a 2 − c 2 , áõëïÇ b =√"a "−"$c 2 2
¨ (1)-Á ÏÁݹáõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2
ϳÙ
x 2 y 2
−−− + −−− = 1, (2)
a 2 b 2
áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ£
²Ûëï»Õ 2a-Ý ¨ 2b-Ý ÏáãáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ Ù»Í ¨ ÷áùñ
³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñ, ÇëÏ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÁª ¿ÉÇåëÇ
c
Ï»ÝïñáÝ£ ε= −−ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ¿ÉÇåëÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ï£ Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
a
³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï ѳïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¿ÉÇåëÇ ·³·³ÃÝ»ñ£
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ. Üß»Ýù, áñ Çñ³Ï³ÝáõÙ Ù»Ýù óáõÛó ïí»óÇÝù, áñ (1) ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ
μ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í M(x; y) Ï»ï μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ݳ¨ (2) ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ£
γñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ×Çßï ¿ ݳ¨ ѳϳé³ÏÁª ³ÛëÇÝùÝ
(2)-ÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í M(x; y) Ï»ï μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ݳ¨ (1)-ÇÝ£
öáñÓ»ù ¹³ ϳï³ñ»É ÇÝùÝáõñáõÛÝ£
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2£
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2£ ÐÇå»ñμáÉ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³-
÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ ïñí³Í »ñ-
Ïáõ F 1 ¨ F 2 Ï»ï»ñÇó (áñáÝù ÏáãíáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ ýáÏáõëÝ»ñ) ѳëï³ïáõÝ ¿ª
|MF 1 − MF 2 | = 2a, a > 0:
F 1 F 2 ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ÏÝ߳ݳϻÝù 2c-áí, ÏáãíáõÙ ¿ ýáÏáõë³-
ÛÇÝ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ F 1 F 2 -Ç ÙÇçݳϻïÁª ÑÇå»ñμáÉÇ Ï»ÝïñáÝ£
гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ÁÝïñ»Ýù
³ÛÝå»ë, áñ Ox ³é³ÝóùÝ ³ÝóÝÇ F 1 ¨ F 2 Ï»ï»ñáí, ÇëÏ Oy ³é³ÝóùÁª F 1 F 2 -Ç
ÙÇçݳϻïáí (ÝÏ. 32)£
²Û¹ ¹»åùáõÙ F 1 ¨ F 2 Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
ÏÉÇÝ»Ý (−c; 0) ¨ (c; 0)£
47

¸Çóáõù M(x; y)-Á ÑÇå»ñμáÉÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿. Áëï ÑÇå»ñμáÉÇ ë³ÑÙ³Ý-
ٳݪ
|MF 1 − MF 2 | = 2a,
ϳÙ
MF 1 − MF 2 =±2a,
ú·ïí»Éáí »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Çó, ëï³ÝáõÙ »Ýùª
√"(x" +" c") 2 ""+$y 2 −√"(x"−"c") 2 "+"y$ 2 =±2a (3)
ê³ ¿É Ñ»Ýó ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÁÝïñí³Í Ïááñ¹Ç-
ݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£ ºñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ ï³Ý»Ýù ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ç
Ù³ë ¨ »ñÏáõ ÏáÕÙÁ μ³ñÓñ³óÝ»Ýù ù³é³ÏáõëÇ,
(x + c) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a√"(x"−"c") 2 "+"y$ 2 + (x − c) 2 + y 2
ä³ñ½ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ïá ëï³ÝáõÙ »Ýùª
(c 2 − a 2 )x 2 − a 2 y 2 = a 2 · (c 2 − a 2 )
ø³ÝÇ áñ (Áëï »é³ÝÏÛ³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý) c > a, ³å³ c 2 − a 2 > 0£
Ü߳ݳϻÉáí b 2 = c 2 − a 2 , Ïëï³Ý³Ýù
ϳÙ
ÜÏ. 32
b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2
x 2 y 2
−−− − −−− = 1 (4)
a 2 b 2
áñÁ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ£ ÆÝãå»ë ¨ ¿ÉÇåëÇ ¹»åùáõÙ,
ϳñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ×Çßï ¿ ݳ¨ ѳϳé³Ï åݹáõÙÁª (4)-ÇÝ μ³í³ñ³ñáÕ
ó³Ýϳó³Í M(x; y) Ï»ï μ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ݳ¨ (3)-ÇÝ£
Ox ³é³ÝóùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ Çñ³Ï³Ý ³é³Ýóù, Oy-Áª Ï»ÕÍ ³é³Ýóù£
2a-Ý ¨ 2b-Ý ÏáãíáõÙ »Ý ÑÇå»ñμáÉÇ Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ-
48

c
Ý»ñ£ ε = −−− -Ý ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇå»ñμáÉÇ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ï£ ¾ÉÇåëÇ ¨ ÑÇå»ñμáÉÇ
a
a a
ѳٳñ x = − −−− ¨ x = −−− áõÕÇÕÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ýñ³Ýó ¹Çñ»ÏïñÇëÝ»ñ£
ε ε
ä³ñ³μáÉ. гÝñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóóÇó Ó»½ ѳÛïÝÇ ¿, áñ å³ñ³μáÉ ÏáãíáõÙ ¿
b 4ac − b 2
y = ax 2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ (− −−−, −−−−−−−) Ï»ïÁ
2a 4a
ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇ ·³·³Ã£ سëݳíáñ³å»ë, b = c = 0 ¹»åùáõÙ
y = ax 2 (1)
å³ñ³μáÉÇ ·³·³ÃÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáõÙ£
²ÝóÝ»Ýù Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ýáñ ѳ-
ٳϳñ·Ç, ÷áË»Éáí Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
³é³ÝóùÝ»ñÇ ³ÝáõÝÝ»ñÁª ³ÛëÇÝùÝ ûñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ݳËÏÇÝ ³μëóÇëÝ»-
ñÇ ³é³ÝóùÝ ¿, ÇëÏ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁª
ݳËÏÇÝ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ£
²Ûë Ýáñ ѳٳϳñ·áõÙ (1)-Á Ï·ñíÇ
1
y 2 = −−
a
x ï»ëùáí, ϳ٠Ý߳ݳϻÉáí
1
−−− -Ý 2p-áíª (ѳٳñ»Ýù, áñ a > 0)
a
y 2 = 2 px, p > 0 (2)
ï»ëùáí (ÝÏ. 33):
(2)-Á ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ Ýßí³Í Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ·áõÙ£ ä³ñ½»Ýù p ·áñͳÏóÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ£
p
p
¸Çï³ñÏ»Ýù F(−−−; 0) Ï»ïÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇ ýáÏáõë ¨ x = − −−− ѳ-
2 2
í³ë³ñáõÙáí áñáßíáÕ d áõÕÇÕÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ñ³μáÉÇ ¹Çñ»ÏïñÇë£ ¸Çóáõù
M(x; y)-Á å³ñ³μáÉÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿£ (2) ѳí³ë³ñáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ x ≥ 0£
p
àõëïÇ M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ d ¹Çñ»ÏïñÇëÇó ÏÉÇÝÇ δ = −−− + x, ÇëÏ
2
MF =/(x """""1 −−−) ""$
2
+ y 2 ¨ ù³ÝÇ áñ y 2 = 2px, ³å³ MF = δ£ àõëïÇ, å³ñ³μáÉÇ
2
μáÉáñ Ï»ï»ñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý Ýñ³ ýáÏáõëÇó ¨ ¹Çñ»ÏïñÇëÇó£ ²ÛëåÇëáí,
å³ñ³μáÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿ª
ä³ñ³μáÉ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ,
áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý ïí³Í Ï»ïÇó ¨ ïí³Í áõÕÕÇó£
p
2
ÜÏ. 33
p
2
49

ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1°. ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í ¿ÉÇåëÇ ýáÏáõëÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ,
¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ ¨ ¹Çñ»ÏïñÇëÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª
x 2
³) 2x 2 + 5y 2 = 3 μ) −−− + 4y 2 = 1 ·) x 2 + 6y 2 = 6
3
2. ñ»É ¿ÉÇåëÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ ³ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
1
A(1; 1) Ï»ïáí ¨ Ýñ³ ¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ ѳí³ë³ñ ¿ −−£
2
x 2 y 2
3. b-Ç ÇÝã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ y = 2x + b áõÕÇÕÁ −−− + −−− = 1 ¿ÉÇåëÇ Ñ»ï
9 4
áõÝÇ Ù»Ï ÁݹѳÝáõñ Ï»ï£
4. γ½Ù»É ¿ÉÇåëÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» Ýñ³ ÷áùñ ÏÇë³é³ÝóùÁ
ѳí³ë³ñ ¿ 2, ÇëÏ ¹Çñ»ÏïñÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª x = 3£
5. ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í ÑÇå»ñμáÉÇ ýáÏáõëÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ,
¿ùëó»ÝïñÇëÇï»ïÁ ¨ ¹Çñ»ÏïñÇëÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª
³) x 2 − 4y 2 = 4 μ) 9x 2 − y 2 = 9 ·) 25x 2 − y 2 = 1
6. ñ»É ÑÇå»ñμáÉÇ Ï³ÝáÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» ³ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ A(1; 2)
1
Ï»ïáí, ÇëÏ Ýñ³ ¹Çñ»ÏïñÇëÝ»ñÇó Ù»ÏÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª x = −−£
3
x 2 y 2
7. y = 4 áõÕÇÕÁ −−− − −−− = 1 ÑÇå»ñμáÉÁ ѳïáõÙ ¿ A ¨ B Ï»ï»ñáõÙ£ ïÝ»É
4 9
AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÑÇå»ñμáÉÇ ýáÏáõëÝ»ñÇó£
8. k-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ y = kx áõÕÇÕÁ x 2 − y 2 = 1 ÑÇå»ñμáÉÇ Ñ»ï ãÇ
ѳïíáõÙ£
9. y 2 = 4x å³ñ³μáÉÇ íñ³ ·ïÝ»É ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý
å³ñ³μáÉÇ ýáÏáõëÇó ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÇó£
10. ä³ñ³μáÉÇ ¹Çñ»ÏïñÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª x = −1£ ä³ñ³μáÉÇ íñ³ í»ñóí³Í
¿ M Ï»ïÝ ³ÛÝå»ë, áñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí ¨ M Ï»ïáí ³Ýó-
ÝáÕ áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1£ ïÝ»É M Ï»ïÇ Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÁ£
11. ñ»É ³ÛÝ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñáÝù ³ÝóÝáõÙ »Ý (−1; 0) Ï»-
ïáí ¨ y 2 = 4x å³ñ³μáÉÁ ѳïáõÙ ×Çßï Ù»Ï Ï»ïáõÙ£
50

6.4 ºñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Á,
ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ
¸Çóáõù A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ B (x 2 ;, y 2 ; z 2 )-Á ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ï»ï»ñ »Ý£ ²Û¹
¹»åùáõÙª
AB = √⎯(⎯x ⎯−⎯ 1 x⎯ ⎯ 2 ) ⎯+⎯(⎯y⎯ 2 1 ⎯−⎯y⎯ 2 )⎯ ⎯+⎯ 2 (⎯z⎯ 1 ⎯−⎯⎯z⎯ 2 ⎯) 2
²Ûë μ³Ý³Ó¨Á, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ ³ñï³-
ѳÛïáõÙÝ ¿ Ýñ³ »ñ»ù ÷áËáõÕճѳ۳ó
ÏáÕ»ñáí£ Æñáù, »Ã» A ¨ B Ï»ï»ñáí ï³-
Ý»Ýù Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇÝ μá-
Éáñ Ñݳñ³íáñ áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ (ÝÏ. 34), ³å³ Ïëï³Ý³Ýù ⎥x 1 − x 2 ⎥,
⎥y 1 − y 2 ⎥, ⎥z 1 − z 2 ⎥ ÏáÕ»ñáí ¨ AB ³ÝÏÛáõ-
ݳ·Íáí áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëï£ ºÃ» A ¨ B
ÜÏ. 34
Ï»ï»ñÇ áñ¨¿ ѳٳÝáõÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ
Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý, ³å³ áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÁ ϳñáÕ ¿ í»ñ³Íí»É áõÕÕ³ÝÏ-
Û³Ý Ï³Ù Ñ³ïí³ÍÇ£
ºñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
(x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = R 2 (*)
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ μ³í³ñ³ñáÕ M(x, y, z) Ï»ï»ñÇ μ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ a, b, c ¨
R-Á ïí³Í Ãí»ñ »Ý, Q(a, b, c) Ï»ÝïñáÝáí ¨ ⎥R⎥ ß³é³íÕáí ëý»ñ³ ¿, ³ÛëÇÝùݪ
(*)-Á ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ£
⎡6.5 6.5 гïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ
¸Çóáõù A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ A 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 )-Á ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»-
ï»ñ »Ý£ A 1 A 2 ѳïí³ÍÇ C ÙÇçݳϻïÇ x; y; z Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ³ñï³Ñ³Ûï»ù
A 1 ¨ A 2 Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí (ÝÏ. 35)£ ¸ñ³ ѳٳñ A 1 , A 2 ¨ C Ï»ï»ñáí
ï³Ý»Ýù oz ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕ-
Ý»ñ£ ¸ñ³Ýù xOy ѳñÃáõÃÛáõÝÁ Ïѳï»Ý
A′ 1 (x 1 ; y 1 ; 0), A′ 2 ( x 2 ; y 2 ; 0) C′(x; y; 0) Ï»ï»-
ñáõÙ£ ºÃ» A 1 A 2 áõÕÇÕÁ áõÕճѳ۳ó ã¿ xOy
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, ³å³ Áëï ³ɻëÇ Ã»áñ»-
ÙÇ, C′ Ï»ïÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ A′ 1 A′ 2 ѳïí³ÍÇ
ÙÇçݳϻïÁ£ ÆëÏ Ñ³ñóã³÷áõÃÛ³Ý
¹³ëÁÝóóÇó Ù»Ýù ·Çï»Ýù, áñ xOy ѳñ-
ÃáõÃÛ³Ý íñ³ ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ Ïááñ-
¹ÇݳïÝ»ñÁ Ýñ³ ͳÛñ³Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹Ç-
ÜÏ. 35
51

ݳïÝ»ñáí ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáíª
x 1 + x 2 y 1 + y
x = −−−−−−, y = −−−−−−£
2
2 2
(ºÃ» A 1 A 2 ⊥ xOy, ³å³ ³Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÁ ³ÏÝѳÛïáñ»Ý ï»ÕÇ áõÝ»Ý)£
àñå»ë½Ç ëï³Ý³Ýù μ³Ý³Ó¨ z Ïááñ¹ÇݳïÇ Ñ³Ù³ñ, μ³í³Ï³Ý ¿ A 1 , C ¨
A 2 Ï»ï»ñÇó ï³Ý»É Oy (ϳ٠Ox) ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ ¨ ¹Çï³ñÏ»É
¹ñ³Ýó ѳïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ Oxz (ϳ٠Oyz) ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ
Ïëï³Ý³Ýùª
z 1 + z 2
z = −−−−−−£
2
²ÛëåÇëáí,
A 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) ¨ A 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ Ïááñ-
¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳßííáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáíª
x 1 + x 2 y 1 + y 2 z 1 + z 2
x = −−−−−−, y = −−−−−−, z = −−−−−−£
2 2 2
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. xOy ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ·ï»ù ³ÛÝ Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, áñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é
¿ A(0; 1; −1), B(−1; 0; 1), C(0; −1; 0) Ï»ï»ñÇó£
2. ï»ù ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý (0; 0; 1); (0; 1; 0); (1; 0; 0)
Ï»ï»ñÇó ¨ ·ïÝíáõÙ »Ý yOz ѳñÃáõÃÛáõÝÇó 2 Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³£
3. Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ï»ù ³ÛÝ Ï»ïÁ, áñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿ A(1; 2; 3) ¨
B(−2; 1; 3) Ï»ï»ñÇó£
4. γ½Ù»ù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ,
áñáÝù ѳí³ë³ñ³Ñ»é »Ý A(1; 2; 3) Ï»ïÇó ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳ-
Ï»ïÇó£
5. ²å³óáõó»ù, áñ ABCD ù³é³ÝÏÛáõÝÁ ߻ճÝÏÛáõÝ ¿, »Ã»
³) A(6; 7; 8), B(8; 2; 6), C(4; 3; 2), D(2; 8; 4)
μ) A(0; 2; 0), B(1; 0; 0), C(2; 0; 2), D(1; 2; 2)£
6. îñí³Í »Ý ѳïí³ÍÇ ÙÇ Í³Ûñ³Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª A(2; 3; −1) ¨ Ýñ³
ÙÇçݳϻïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª C(1; 1; 1)£ ï»ù ѳïí³ÍÇ ÙÛáõë ͳÛñ³Ï»-
ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
7. ï»ù ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ D ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» Ýñ³
Ùݳó³Í »ñ»ù ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳÛïÝÇ »Ýª
³) A(2; 3; 2), B(0; 2; 4), C(4; 1; 0)
μ) A(1; −1; 0); B(0; 1; −1); C(−1; 0; 1)
·) A(4; 2; −1); B(1;−3; 2); C(−4; 2; 1)
52

8. ï»ù A ¨ B Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ.
³) A(1; 2; 3), B(−2; −3; 1), μ) A (−1; −3; 0), B (3; −4; 5)£
9. (Ï) ï»ù 0x ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ïÝíáÕ ¨ A(−2; 4; 1), B(1; 1; 2) Ï»ï»ñÇó
ѳí³ë³ñ³Ñ»é M Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
10. ï»ù xOy, xOz, yOz Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ å³ïϳÝáÕ
³ÛÝ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳí³ë³ñ³Ñ»é ¿
(0; 0; 3), (0; 4; 0), (5; 0; 0) Ï»ï»ñÇó£
11. (Ï) ñ»ù Q(−1; 2; −3) Ï»ÝïñáÝáí ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí
³ÝóÝáÕ ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
12. ñ»ù ³ÛÝ ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ A (1; −2; 3) ¨ B (−3; 4;
−1) Ï»ï»ñÁ ïñ³Ù³·Íáñ»Ý ѳϳ¹Çñ »Ý£
13. ñ»ù 0y ³é³ÝóùÇ íñ³ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ³ÛÝ ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõ-
ÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ A(0; 2; 3) ¨ B(−1; 0; 2) Ï»ï»ñáí£
14. ²å³óáõó»ù, áñ x 2 + y 2 + z 2 + x + 2y + 3z = 0-Ý ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£
ï»ù Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ¨ ß³é³íÇÕÁ£
15. ñ»ù Q(−1; 3; 2) Ï»ÝïñáÝáí ¨ yOz ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ßáß³÷áÕ ëý»ñ³ÛÇ
ѳí³ë³ñáõÙÁ£
16. ñ»ù Q(3; −1; 4) Ï»ÝïñáÝáí ¨ Ox ³é³ÝóùÁ ßáß³÷áÕ ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
17. ñ»ù Q(−1; 0; 2) Ï»ÝïñáÝáí ¨ x 2 + y 2 + z 2 = 2y ëý»ñ³ÛÇÝ ßáß³÷áÕ ëý»-
ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
18. ï»ù (0; 0; 0), (3; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 5) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ ëý»ñ³ÛÇ
Ï»ÝïñáÝÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ¨ ß³é³íÇÕÁ£
6.6 гñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ
²Ûë å³ñ³·ñ³ýáõÙ Ù»Ýù ϳå³óáõó»Ýù ÙÇ Ï³ñ¨áñ ûáñ»Ùª
»áñ»Ù 6.1 (гñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ï»ëùÁ)
ò³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛáõÝ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ
ϳñáÕ ¿ ïñí»É ax + by + cz + d = 0 ѳí³ë³ñáõÙáí, áñï»Õ a, b, c, d-Ý Ãí»ñ »Ý,
Áݹ áñáõÙª a, b, c Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ½ñáÛÇó ï³ñμ»ñ ¿£
ºí ѳϳé³ÏÁ, ó³Ýϳó³Í ax + by + cz + d = 0 ѳí³ë³ñáõÙ, áñï»Õ a, b, c
Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ 0-Çó ï³ñμ»ñ ¿, ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ£
²å³óáõÛó. ¸Çï³ñÏ»Ýù L ѳñÃáõÃÛáõÝÁ£ ¸Çóáõù A(m; n; p)-Ý ï³ñ³Íáõ-
ÃÛ³Ý áñ¨¿ Ï»ï ¿, A 0 (m 0 ; n 0 ; p 0 )-Ý` A Ï»ïÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ¿ L ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³,
M(x; y; z)-Á L ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ï ¿ (ÝÏ. 36)
53

ÜÏ. 36
ø³ÝÇ áñ AA 0 áõÕÇÕÁ áõÕÕ³-
Ñ³Û³ó ¿ L ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, ³å³
³ÛÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³Û¹ ѳñÃáõ-
ÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í áõÕÕÇ, Ù³ëݳíáñ³å»ë
A 0 M áõÕÕÇÝ£ AA 0 M
»é³ÝÏÛáõÝáõó Áëï äÛáõó·áñ³ëÇ
ûáñ»ÙǪ
AA 02
+ A 0 M 2 = AM 2
(m − m 0 ) 2 + (n − n 0 ) 2 + (p − p 0 ) 2 + (x − m 0 ) 2 + (y − n 0 ) 2 + (z − p 0 ) 2 =
= (x − m) 2 + (y − n) 2 + (z − p) 2 £
²ÏÝѳÛï Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ïá, Ïëï³Ý³Ýùª
(m − m 0 )x + (n − n 0 )y + (p − p 0 )z + (m 0 − m)m 0 + (n 0 − n)n 0 + (p 0 − p)p 0 = 0£ (*)
²ÛëåÇëáí, Ù»Ýù ³å³óáõó»óÇÝù, áñ L ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í
M(x, y, z) Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, áñï»Õ
ax + by + cz + d = 0
a = m − m 0 , b = n − n 0 , c = p − p 0 ,
d = (m 0 − m)m 0 + (n 0 − n)n 0 + (p − p 0 )p 0 £
²Ûëï»Õ, μ³óÇ ¹ñ³ÝÇó, (m; n; p)-Ý ¹Çï³ñÏíáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ ãå³ïϳÝáÕ
áñ¨¿ A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý, ÇëÏ (m 0 ; n 0 ; p 0 )-Ý ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýñ³
A 0 åñáÛ»ÏódzÛÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùݪ a; b; c Ãí»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ 0-Çó
ï³ñμ»ñ ¿£ гëϳݳÉÇ ¿ ݳ¨, áñ ïí³Í ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ãå³ïϳÝáÕ Ï»ï»ñÇ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ëï³óí³Í ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ã»Ý μ³í³ñ³ñáõÙ£ »áñ»ÙÇ
³é³çÇÝ Ù³ëÝ ³å³óáõóí³Í ¿£
²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù ûáñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù
ax + by + cz + d = 0
ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0£
ì»ñóÝ»Ýù áñ¨¿ A 0 (m 0 ; n 0 ; p 0 ) Ï»ï, áñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ μ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³Û¹
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùݪ am 0 + bn 0 + cp 0 + d = 0£ a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 å³ÛÙ³ÝÇó
Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ³Û¹åÇëÇ Ï»ï ³Ýå³ÛÙ³Ý ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ£ ºÃ» ûñÇݳÏ, a ≠ 0,
d
³å³ ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É m 0 = − −−−,
a
n 0 = p 0 = 0: ì»ñóÝ»Ýù A (m, n, p) Ï»ïÁ,
áñï»Õ m = a + m 0 , n = b + n 0 , p = c + p 0 (³Ûë Ãí»ñÁ Ù»Ýù Ïé³Ñ»óÇÝù ûáñ»ÙÇ
³é³çÇÝ Ù³ëÇ ³å³óáõÛóÇó) ¨ ·ñ»Ýù ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ
³ÝóÝáõÙ ¿ A 0 Ï»ïáí ¨ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AA 0 áõÕÕÇÝ£ Îëï³Ý³Ýù (*) ѳí³ë³-
54

ñáõÙÁ£ öá˳ñÇÝ»Éáí ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç m, n ¨ p-Ý Çñ»Ýó ѳٳå³ï³ë-
Ë³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñáí (m = a + m 0 , n = b + n 0 , p = c + p 0 ) ¨ ϳï³ñ»-
Éáí å³ñ½³·áõÛÝ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù
ax + by + cz − am 0 − bn 0 − cp 0 = 0
ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ÆëÏ ù³ÝÇ áñ am 0 + bn 0 + cp 0 + d = 0, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù
ax + by + cz + d = 0
ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛëåÇëáí, ïí³Í ѳí³ë³ñáõÙÁ, Çñáù, ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ
¿£ »áñ»ÙÁ ÉÇáíÇÝ ³å³óáõóí³Í ¿£ ∇
àñáß Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ¹áõñë μ»ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ å³ñï³-
¹Çñ ã¿ í³ñí»É ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ¹³ ³ñí»ó ûáñ»ÙÇ ³å³óáõÛóáõÙª ³ÛÝ ¿ª ·ï-
Ý»É A ¨ A 0 Ï»ï»ñÁ ¨ Ñ»ïá ·ñ»É ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ÈáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ£
ÊݹÇñ.
ñ»ù (1; 0; 0), (0; 2; 0) ¨ (0; 0; 3) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
ÈáõÍáõÙ.
ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ
ax + by + cz + d = 0
ï»ëùÁ£ î»Õ³¹ñ»Ýù ³Û¹ ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ïñí³Í Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
Îëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Áª a + d = 0, 2b + d = 0, 3c + d = 0 áñÇó a, b ¨
c-Ý Ï³ñáÕ »Ýù ³ñï³Ñ³Ûï»É d-áí ¨ ï»Õ³¹ñ»É ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý
Ù»ç£ d-Ç ï³ñμ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ μáÉáñ ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙ-
Ý»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý£ ì»ñóÝ»Éáí, ûñÇÝ³Ï d =−6,
Ïëï³Ý³Ýù 6x + 3y + 2z − 6 = 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ∇
z
O
x
y
55

ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. (Ï) ñ»ù A (3; −2; 4) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ OA áõÕÕÇÝ áõÕճѳ۳ó, áñï»Õ
O-Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÝ ¿, ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
2. (Ï) ñ»ù Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÁ (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Ï»-
ï»ñáõ٠ѳïáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
3. (Ï) ²å³óáõó»ù, áñ ax + by + cz + d = 0 ¨ ax + by + cz + d 1 = 0 (d ≠ d 1 ) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí
ïñíáÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý£
4. (Ï) ñ»ù (−2; 0; 3) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ 2x − y − 3z + 5 = 0 ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ½áõ-
·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
5. ñ»ù AB-Ç ÙÇçݳϻïáí ³ÝóÝáÕ ¨ AB-ÇÝ áõÕճѳ۳ó ѳñÃáõÃÛ³Ý
ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ A(1; −4; 3), B(−5; 2; 1)£
6. ñ»ù A(−3; 0; 1), B(2; 1; −1), C(−2; 2; 0) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý
ѳí³ë³ñáõÙÁ£
7. (¹) ñ»ù ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ x + 2y + 3z = 0
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ¨ ßáß³÷áõÙ ¿ x 2 + y 2 + z 2 = 1 ëý»ñ³ÛÇÝ£
8. ²å³óáõó»ù, áñ A(1; −1; 0), B(2; 1; 2), C(−3; 1; 1) ¨ D(−2; 3; 3) Ï»ï»ñÁ
¹³ë³íáñí³Í »Ý ÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç£
9. ï»ù Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÇó ÙÇÝ㨠x − 2y + 3z − 5 = 0 ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÁ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£
10. (¹) ñ»ù (3; 0; 0) ¨ (0; −2; 0) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ,
áñÁ ßáß³÷áõÙ ¿ x 2 + y 2 + z 2 − 2z = 0 ëý»ñ³ÛÇÝ£
⎡11. ƱÝã å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ ax + by + cz + d = 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é
¿ xOy ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£
12. îñí³Í »Ý A(1; 2; 3) ¨ B(0; 1; −1) Ï»ï»ñÁ£ ñ»ù ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ,
áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ A Ï»ïáí ¨ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AB áõÕÕÇÝ£
13. γ½Ù»ù ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ A Ï»ïáí ¨
áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ AB áõÕÕÇÝ, »Ã»ª
³) A(−1; 1; 2), B(2; 0; 1)
μ) A(1; 0; −1), B (1; 0; −1), B(4; 3; −3)
·) A(3; −4; 5), B (2; 1; 2)
14. ï»ù ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ, áñáí ax + by + cz + d = 0 ѳñÃáõÃÛáõÝÁ §ÏïñáõÙ¦
Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÁ, »Ã» a, b, c, d-Ý Ñ³í³ë³ñ ã»Ý 0-Ç£
15. ²å³óáõó»ù, áñ a 1 x + b 1 y = d 1 , a 2 x + b 2 y = d ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý
·ÇÍÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ Oz ³é³ÝóùÇÝ£
16. гñÃáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ax + by + cz + d = 0 ѳí³ë³ñáõÙáí£ Æ±Ýã å³Û-
Ù³ÝÝ»ñÇ å»ïù ¿ μ³í³ñ³ñ»Ý P(k; l; m) Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, áñå»ë½Ç
³Û¹ Ï»ïáí ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÁ áõÕճѳ۳ó
ÉÇÝÇ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£
56

17. îñí³Í ¿ P(k; l; m) Ï»ïÁ£ ñ»ù ³ÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ
³ÝóÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí ¨ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ OP áõÕÕÇÝ£
18. ï»ù Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí ïñí³Í »ñ»ù ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ѳïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
³) x + y + z = 1; x − 2y = 0; 2x + y + 3z + 1 = 0;
μ) x − y = 3; y + z = 2; x − z = 4;
·) x + 2 = 0; 2x − y = 3; 3x + 2y − z = 8;
¹) x + 2y + 3z = 1; 3x + y + 2z = 2; 2x + 3y + z = 3£
19. ƱÝã å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ ax + by + cz + d = 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í
ѳñÃáõÃÛáõÝÁª
³) ½áõ·³Ñ»é ¿ Oz ³é³ÝóùÇÝ
μ) ³ÝóÝáõÙ ¿ Oz ³é³Ýóùáí£
20. ƱÝã å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ ax + by + cz + d = 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñí³Í
ѳñÃáõÃÛáõÝÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Oxy ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£⎦
6.7 àõÕÇÕ ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç
²Ûë å³ñ³·ñ³ýÇ ³Ýí³ÝáõÙÁ ³ÛÝù³Ý ¿É ×Çßï ã¿£ êáíáñ³μ³ñ áõÕÇÕ ·ÇÍÁ
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñíáõÙ ¿ »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí,
³í»ÉÇ ×Çßïª »ñÏáõ ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí£ ïÝ»Ýù,
ûñÇݳÏ, Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïáí
¨ A(a; b; c) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
¸Çóáõù A Ï»ïÇ μáÉáñ Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÁ ½ñáÛÇó ï³ñμ»ñ »Ý£ OA ׳é³-
·³ÛÃÇ íñ³ ¹Çï³ñÏ»Ýù ϳٳ۳ϳÝ
M(x; y; z) Ï»ï (ÝÏ. 37)
ÜÏ. 37
²ÏÝѳÛï ¿, áñ
x OM y z
−− = −−−−− = −− = −−£
a OA b c
x y z
−− = −−− = −−−
a b c
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×Çßï »Ý Ý³¨ OA-Ç Ñ³Ï³¹Çñ ׳鳷³ÛÃÇ Ñ³Ù³ñ, áõëïÇ
¹ñ³Ýóáí ïñíáõÙ ¿ OA áõÕÇÕÁ£ ¸ñ³Ýù ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É »ñÏáõ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³-
ٳϳñ·Ç ï»ëùáí, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿ª
bz − ay = 0
{ cx − az = 0 £
57

ÜÏ. 38
ì»ñóÝ»Ýù ³ÛÅÙ A 1 (a 1 ; b 1 ; c 1 ) ¨
A 2 (a 2 ; b 2 ; c 2 ) Ï»ï»ñ ¨ ·ïÝ»Ýù A 1 A 2
áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ øÝݳñÏ»Ýù
Ý³Ë ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ ³Û¹ Ï»ï»ñÇ
ѳٳå³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ
Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ã»Ý£ ¸Çóáõù M(x; y;
z)-Á A 1 A 2 áõÕÕÇ áñ¨¿ Ï»ï ¿, Áݹ áñáõÙ,
áñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýù
û ·ïÝíáõÙ ¿ A 1 A 2 ׳鳷³ÛÃÇ íñ³£
гٳå³ï³ëË³Ý ÝÙ³ÝáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇó (ÝÏ. 38) ëï³ÝáõÙ »Ýùª
x − a 1 A 1 M
−−−−−− = −−−−−£
a 2 −a 1 A 1 A 2
y - b 1 z − c 1
²Û¹åÇëÇÝ ÏÉÇÝ»Ý Ý³¨ −−−−−− , −−−−−−
b 2 - b 1 c 2 − c 1
ѳñ³μ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ л勉μ³ñ A 1 (a 1 ; b 1 ; c 1 )¨ A 2 (a 2 ; b 2 ; c 2 ) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ
áõÕÇÕÁ ïñíáõÙ ¿
x − a 1 y − b 1 z − c −−−−− = −−−−− = −−−− 1
a 2 −a 1 b 2 −b 1 c 2 −c 1
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí, »Ã» ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ
Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ã»Ý£
¸Çï³ñÏ»Ýù ³ÛÅÙ ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ A 1 ¨ A 2 Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ù»ç ϳÝ
Çñ³ñ ѳí³ë³ñÝ»ñ£ ¸Çóáõù c 1 = c 2 = c£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ A 1 A 2 áõÕÕÇ μáÉáñ Ï»ï»ñÇ
ѳٳñ z = c ¨ »Ã» a 1 ≠ a 2 , b 1 ≠ b 2 , ³å³ ѳٳå³ï³ëË³Ý áõÕÇÕÁ ïñíáõÙ ¿
x − a y − b 1
----------- = ---------
{ a 2 −a 1 b 2 −b 1
z = c
ѳٳϳñ·áí£
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. ñ»ù A(−2; 1; 3) ¨ B(1; 5; −3) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ-
Ý»ñÁ£
2. ²é³ç³ñÏ»ù »Õ³Ý³Ï, áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ áõÕÇÕÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ï³É ÙÇ Ñ³í³ë³ñáõÙáí£
58

3. (û) A(−2; 3; 5) ¨ B(3; −1; 4) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáõÙ ¿ áõÕÇÕ£ ï»ù ³ÛÝ Ï»ï»-
ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, áñáÝóáí ³Û¹ áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ ¿ xoy, yoz ¨ zox ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÁ£
4. ï»ù A(3; 2; 1) ¨ B(2; 1; 3) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ ¨ x = 3y + 2z = 11
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
5. (¹) ï»ù A(1; −3; −5), B(2; 4; 6) ¨ C(−1; 2; −4) Ï»ï»ñÇó ѳí³ë³ñ³Ñ»é
Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ£
6. (¹) ²å³óáõó»ù, áñ x 2 + y 2 = r 2 (h − z) 2 ѳí³ë³ñáõÙÁ 0 ≤ z ≤ h å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ
ï³ÉÇë ¿ áõÕÇÕ ßñç³Ý³ÛÇÝ ÏáÝÇ ÏáÕÙݳÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
7. (¹) ñ»ù ³ÛÝ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ (3; 2; −2) Ï»ïáí, ѳïáõÙ
¿ Ox ³é³ÝóùÁ ¨ x = 1, y = −2 áõÕÇÕÁ£
8. ï»ù A(4; −3; 5) Ï»ïÇÝ x = y = z áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷ Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
9. ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ïÝíáÕ M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ
A(4; 5; −2) ¨ B(7; 6; 3) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇó£
10. ï»ù A(1; 1; 1) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ x − 2y − 3z = 0, 2x + y − z = 2 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí
ïñíáÕ áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
6.8 ì»ÏïáñÝ»ñÁ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç
гñóã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ ïñí³Í í»ÏïáñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ å³Ñå³ÝíáõÙ
¿ ݳ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ£ AB í»ÏïáñÁ (·ñíáõÙ ¿ !A#B) A ¨ B Ï»-
ï»ñáí ïñíáÕ áõÕÕáñ¹í³Í ѳïí³Í ¿, Áݹ áñáõÙ, ³é³çÇÝ Ï»ïÁª A Ï»ïÁ ѳÝ-
¹Çë³ÝáõÙ ¿ í»ÏïáñÇ ëϽμݳϻïÁ, ÇëÏ B-ݪ í»ñçݳϻïÁ£
ì»ÏïáñÝ»ñÁ Ñ³×³Ë Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ݳ¨ ÙÇ ï³éáíª #a , #b , #c ¨ ³ÛÉÝ£
#a ¨ #b »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳ·ÇÍ (ÏáÉÇÝ»³ñ), »Ã» Ýñ³Ýù ÁÝ-
Ï³Í »Ý ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³Ù ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕÇ íñ³ ¨ ï³ñ³·Çͪ ѳϳé³Ï
¹»åùáõÙ£
⎡ºÃ» »ñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý !A#B ¨ !C#D í»ÏïáñÝ»ñ ѳٳ·ÇÍ »Ý, Áݹ áñáõÙ AB
¨ CD ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ѳÙáõÕÕí³Í »Ý, ³å³ !A#B ¨ !C#D í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý
ѳÙáõÕÕí³Í, ÇëÏ »Ã» ³Û¹ ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ѳÙáõÕÕí³Í ã»Ý, ³å³ !A#B ¨ !C#D
í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳÏáõÕÕí³Í (ÑÇß»óÝ»Ýù, áñ OA ¨ O 1 A 1 ÙÇ áõÕÕÇ íñ³
ãÁÝÏ³Í »ñÏáõ ׳鳷³ÛÃÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳÙáõÕÕí³Í, »Ã» Ýñ³Ýù ½áõ·³Ñ»é
»Ý ¨ ÁÝÏ³Í »Ý OO 1 ë³Ñٳݳ·Íáí ÏÇë³Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏáõÙ£ ØÇ áõÕÕÇ
íñ³ ÁÝÏ³Í OA ¨ O 1 A 1 ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳÙáõÕÕí³Í, »Ã» Ýñ³Ýù
ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ϳ٠Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÝ Áݹ·ñÏáõÙ ¿ ÙÛáõëÁ)£
59

ì»ÏïáñÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ, »Ã» Ýñ³Ýù ѳÙáõÕÕí³Í »Ý ¨ Ýñ³Ýó
»ñϳñáÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý£ ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ¹Åí³ñ ã¿
óáõÛó ï³É, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ï»Õ³¹ñ»É ïñí³Í
í»ÏïáñÇÝ Ñ³í³ë³ñ ÙdzÛÝ Ù»Ï í»Ïïáñ (³å³óáõó»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ)£⎦
¼ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÁ, ³ÛëÇÝùݪ 0 »ñϳñáõÃÛ³Ùμ í»ÏïáñÁ, ѳٳñíáõÙ ¿
ó³Ýϳó³Í í»ÏïáñÇÝ Ñ³Ù³·ÇÍ£
ÆÝãå»ë ¨ ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç, |#a|-Ý #a í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ ¿ (ϳÙ
Ùá¹áõÉÁ)£
ÜáõÛÝ Ï»ñå, ÇÝãå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ í»ÏïáñÁ
Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏ»Éáõ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ. #b = k · #a ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳ-
ÏáõÙ ¿, áñ #b í»ÏïáñÁ ѳٳ·ÇÍ ¿ #a í»ÏïáñÇÝ ¨ |#b| = |k| · |#a|, Áݹ áñáõÙ, #b-Ç
áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ #a-Ç áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï, »Ã» k > 0 ¨ áõÝÇ Ýñ³ ѳϳ-
¹Çñ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ, »Ã» k < 0£
⎡î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, ÇÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ×Çßï »Ý í»ÏïáñÁ
Ãíáí μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁª ó³Ýϳó³Í #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»-
ñÇ ¨ ó³Ýϳó³Í x ¨ y Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ.
(x · y)#a = x · (y#a)
x(#a + #b) = x#a + x#b
(x + y)#a = x#a + y#b
гٳÝÙ³Ý Ó¨áíª ÇÝãå»ë ¨ ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ñ, ϳñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É,
áñ áñå»ë½Ç #a ¨ #b áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñÁ ÉÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³·ÇÍ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿
¨ μ³í³ñ³ñ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ ³ÛÝåÇëÇ k ÃÇí, áñ
#b = k · #a ⎦
ÜÙ³Ý Ï»ñå, ÇÝãå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ
·áõÙ³ñÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁª
!A#B + !B#C = !A#C
⎡ì»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñٳݪ ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý Ù»ç áõëáõÙݳëÇñí³Í ѳï-
ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ý³¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Çï³ñÏíáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ
ѳٳñ£ ì»ñÑÇß»Ýù ¹ñ³Ýùª
#a + #b = #b + #a, (#a + #b) + #c = #a + (#b + #c)£
ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ ÏáãíáõÙ »Ý ѳϳ¹Çñ, »Ã» Ýñ³Ýó »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý, ¨ Ýñ³Ýù ѳÏáõÕÕí³Í »Ý£
#a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ í»ÏïáñÁ, áñÇ ·áõÙ³ñÁ #b
í»ÏïáñÇ Ñ»ï ѳí³ë³ñ ¿ #a í»ÏïáñÇÝ£ #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ #a − #b ï³ñμ»ñáõ-
ÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É
#a − #b = #a + (−#b)
μ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ −#b-Ý #b í»ÏïáñÇ Ñ³Ï³¹ÇñÝ ¿£
60

î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç »ñÏáõëÇó ³í»ÉÇ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáõÙÁ ϳï³ñíáõÙ ¿
³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ£ ܳ˪ ³é³çÇÝ í»ÏïáñÁ ·áõÙ³ñíáõÙ
¿ »ñÏñáñ¹ÇÝ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ëï³óí³Í í»ÏïáñÁ »ññáñ¹ÇÝ ¨ ³ÛÉÝ£ ⎦
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõ٠ѳݹ»ë ¿ ·³ÉÇë ÙÇ Ýáñ ·³Õ³÷³ñ£ #a, #b ¨ #c »ñ»ù
í»ÏïáñÝ»ñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳѳñà (ÏáÙåɳݳñ), »Ã» ·á-
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ »ñ»ù í»ÏïáñÝ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝ£ (ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ
½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÁ ѳٳñíáõÙ ¿ ½áõ·³Ñ»é ó³Ýϳó³Í áõÕÕÇ, ³é³í»É ¨ë
ó³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛ³Ý)£
⎡²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, í»ÏïáñÝ»ñÁ ѳٳѳñà »Ý, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¹ñ³Ýó
ѳí³ë³ñ í»ÏïáñÝ»ñ, áñáÝù ÁÝÏ³Í »Ý ÙÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª
»Ã» ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ÏÇñ³é»Ýù (ï»Õ³¹ñ»Ýù) ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÙÇ Ï»ïÇó,
³å³ ¹ñ³Ýù ÏÁÝÏÝ»Ý ÙÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç£
ºñ»ù ï³ñ³Ñ³ñà í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõ-
Ù³ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ϳñ»ÉÇ ¿ û·ïí»É
Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÇó, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ-
·³Ñ»é³ÝÇëïÇ Ï³ÝáÝ£ ¸Çóáõù #a, #b ¨
#c-Ý ï³ñ³Ñ³ñà í»ÏïáñÝ»ñ »Ý£ î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý
Ï³Ù³Û³Ï³Ý O Ï»ïÇó ï»-
Õ³¹ñ»Ýù !O#A = #a, !O#B = #b ¨ !O#C = #c í»ÏïáñÝ»ñÁ
¨ ϳéáõó»Ýù ½áõ·³Ñ»é³-
ÝÇëïª ³ÛÝå»ë, áñ OA, OB ¨ OC ѳïí³ÍÝ»ñÁ
ÉÇÝ»Ý Ýñ³ ÏáÕ»ñÁ (ÝÏ. 39):
²Û¹ ¹»åùáõÙ ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ OD
³ÝÏÛáõݳ·Íáí ¿É Ñ»Ýó å³ïÏ»ñíáõÙ ¿
ÜÏ. 39
#a, #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª
!O#D = #a + #b + #c£
Æñáù,
!O#D = !O#E + !E#D = (!O#A + !A#E) + !E#D = !O#A + !O#B + !O#C = #a + #b + #c £
ÖÇßï ¿ Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÁª (»ñ»ù í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³-
ÝÇßÁ)£
àñå»ë½Ç #a, #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³Ñ³ñà ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ μ³í³ñ³ñ,
áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý x, y ¨ z Ãí»ñ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³í³ë³ñ ã»Ý
0, ³ÛÝå»ë, áñ
x ·#a + y ·#b + z ·#c = 0 (1)
²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ. ¸Çóáõù #a, #b ¨ #c-Ý Ñ³Ù³Ñ³ñà »Ý£ ÆÝãå»ë ³ñ¹»Ý
Ýß»óÇÝù, »Ã» ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÁ ï»Õ³¹ñ»Ýù ÙÇ Ï»ïÇó, ¹ñ³Ýù Ï·ïÝí»Ý ÙÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç£ ºÃ» ¹ñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ (ûñÇÝ³Ï #a-Ý) ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ïïáñ ¿,
³å³ í»ñóÝ»Éáí x = 5, y = 0, z = 0, Ïëï³Ý³Ýùª
5 ·#0 + 0 ·#b + 0 ·#c = 0,
61

³ÛëÇÝùÝ (1) å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ. ÙÝáõÙ ¿ ùÝݳñÏ»É ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ #a, #b, #c-Ý
ÙǨÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ »Ý£
ºÃ» ¹ñ³ÝóÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ (ûñÇÝ³Ï #a-Ý ¨ #b-Ý) ѳٳ·ÇÍ »Ý, ³å³ ÇÝãå»ë
·Çï»Ýù, ï»ÕÇ áõÝÇ #a = k ·#b, k ≠ 0 å³ÛÙ³ÝÁ. áõëïÇ í»ñóÝ»Éáí x = 1, y =−k, z = 0,
ëï³ÝáõÙ »Ýùª x ·#a + y ·#b + z ·#c = #a − k ·#b = 0, ³ÛëÇÝùÝ ÝáñÇó ï»ÕÇ áõÝÇ (1)
å³ÛÙ³ÝÁ£
ºí í»ñç³å»ë, »Ã» #a, #b, #c ÙǨÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ í»ÏïáñÝ»-
ñÇ Ù»ç ϳ ·áÝ» Ù»Ï áã ѳٳ·ÇÍ ½áõÛ· (ûñÇÝ³Ï #a ¨ #b), ³å³ ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù
ѳñóã³÷áõÃÛáõÝÇó, ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñ, Ù³ëݳíáñ³å»ë #c
í»ÏïáñÁ, ÙÇ³Ï Ó¨áí í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ Áëï ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñǪ
c =α·#a +β·#b
áõëïÇ í»ñóÝ»Éáí x =α, y =β, z = −1, ëï³ÝáõÙ »Ýùª α ·#a + β ·#b − 1 ·#c = 0, ³ÛëÇÝùÝ
(1) å³ÛÙ³ÝÁ ×Çßï ¿£
´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ. ¸Çóáõù ³ÛÅÙ ï»ÕÇ áõÝÇ (1) å³ÛÙ³ÝÁ£ àñáß³ÏÇáõ-
ÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýù x ≠ 0£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (1) å³ÛÙ³ÝÇó Ïëï³Ý³Ýùª
y z
#a = − −− #b − −− #c
x x
¨ ù³ÝÇ áñ ó³Ýϳó³Í m ¨ n Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ m ·#b + n ·#c í»ÏïáñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ #a
¨ #c í»ÏïáñÝ»ñÁ å³ñáõݳÏáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ #a, #b
¨ #c ÙÇ Ï»ïÇó ÏÇñ³éí³Í í»ÏïáñÝ»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³-
ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ Ñ³Ù³Ñ³ñà »Ý£ ∇⎦
6.9 »áñ»Ùª ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í
í»ÏïáñÁ »ñ»ù áã ѳٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñáí
Ý»ñϳ۳óÝ»Éáõ Ù³ëÇÝ
¸Çóáõù #a, #b ¨ #c-Ý »ñ»ù áã ѳٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, #m-Á ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý
Ï³Ù³Û³Ï³Ý í»Ïïáñ£ ²ñï³Ñ³Ûï»É #m í»ÏïáñÁ #a, #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»ñáí (³ÛÉ
Ï»ñå ³ë³Íª #m í»ÏïáñÁ í»ñÉáõÍ»É Áëï #a, #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»ñÇ) Ý߳ݳÏáõÙ ¿
·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ x, y ¨ z Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõݻݳ
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£
#m = x#a + y#b + z#c
62

»áñ»Ù 6.2 (ì»ÏïáñÇ í»ñÉáõÍÙ³Ý ÙdzÏáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ)
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñ ϳñáÕ ¿ í»ñ³Íí»É ïñí³Í »ñ»ù áã ѳ-
ٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñáí, Áݹ áñáõÙ ÙÇ³Ï Ó¨áí£
²å³óáõÛó. ¸Çóáõù #a, #b ¨ #c-Ý ïñí³Í »ñ»ù áã ѳٳѳñà í»ÏïáñÝ»ñÝ »Ý,
#m-Á ó³Ýϳó³Í í»Ïïáñ ¿£ γñáÕ »Ýù ѳٳñ»É,
áñ ³Û¹ ãáñë í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÁ
ÙǨÝáõÛÝ ú Ï»ïÝ ¿£ øÝݳñÏ»Ýù ëϽμáõÙ ³ÛÝ
¹»åùÁ, »ñμ #m í»ÏïáñÁ ãÇ å³ïϳÝáõÙ #a, ¨ #b,
#b ¨ #c, #c ¨ #a í»ÏïáñÝ»ñÇ ½áõÛ·»ñáí áñáßíáÕ
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áã Ù»ÏÇÝ£ M-áí Ý߳ݳϻÝù
#m í»ÏïáñÇ í»ñçݳϻïÁ£ γéáõó»Ýù ÙÇ ½áõ-
·³Ñ»é³ÝÇëï, áñÇ Ñ³Ù³ñ OM-Á ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍ
¿, ÇëÏ ÏáÕ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý #a, #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»-
ñÇÝ (ÝÏ. 40)£ Ü߳ݳϻÝù ³Û¹ ½áõ·³Ñ»é³-
ÜÏ. 40
ÝÇëïÁ OAKBCLMN£
Ü߳ݳϻÝù O#A = x#a, !O#B = !A#K = y#b, !K#M = !O#C = z#c£ àõëïǪ
#m = !O#M = !O#A + !A#K + !K#M = x#a + y#b + z#c £
²ÛëåÇëáí, ³å³óáõó»óÇÝù, áñ ó³Ýϳó³Í #m í»Ïïáñ ϳñáÕ ¿ Ý»ñϳ۳óí»É
#m = x#a + y#b + z#c ï»ëùáí£ ØÝáõÙ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ³Û¹åÇëÇ Ý»ñϳ۳óáõÙÁ
ÙdzÏÝ ¿£
ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (x 1 ; y 1 ; z 1 ) Ãí»ñÇ ³ÛÉ Ñ³í³ù³Íáõ,
áñÁ ï³ñμ»ñ ¿ (x; y; z)-Çó, áñÇ Ñ³Ù³ñ ÝáõÛÝå»ë ×Çßï ¿
#m = x 1 #a + y 1 #b + z 1 #c
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ #m í»ÏïáñÇ ÙÇ Ý»ñϳ۳óáõÙÇó ѳݻÉáí ÙÛáõëÁ, Ïëï³Ý³Ýùª
(x − x 1 )#a + (y − y 1 )#b + (z − z 1 )#c = 0:
ºÃ», ûñÇݳÏ, x ≠ x 1 , ³å³ í»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó #a í»ÏïáñÁ ϳñï³-
ѳÛïíÇ #b-áí ¨ #c-áíª
y − y 1 z − z
#a = − −−−−− #b − −−−−−
1
#c = k#b + p#c :
x − x 1 x − x 1
¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ #a í»ÏïáñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»ñáí áñáßíáÕ
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç, ³ÛëÇÝùݪ #a, #b ¨ #c-Ý Ñ³Ù³Ñ³ñà »Ý, áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ Ù»ñ »Ý-
ó¹ñáõÃÛ³ÝÁ£
⎡²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñμ #m å³ïϳÝáõÙ ¿, ûñÇݳÏ, #a, ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñáí áñáßíáÕ
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, ³å³, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóÇó, #m-Á ÙÇ-
63

³Ï Ó¨áí Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ¨ ѻ勉μ³ñ Ïëï³Ý³Ýù
#m = x#a + y#b + 0 ·#c
Ý»ñϳ۳óáõÙÁ£ ¸ñ³Ýáí ÇëÏ Ã»áñ»ÙÁ ÉÇáíÇÝ ³å³óáõóí³Í ¿£∇⎦
x, y, z Ãí»ñÁ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý #m í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ #a, #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»-
ñáí ïñíáÕ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£ ºÃ» #a, #b ¨ #c-Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷á-
ËáõÕճѳ۳ó Ùdzíáñ »ñϳñáõÃÛ³Ùμ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù ¹»-
ϳñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (Î³Ù³Û³Ï³Ý »ñ»ù áã ѳٳѳñÃ
í»ÏïáñÝ»ñáí ïñíáÕ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ ³ýÇݳϳÝ)£
¼áõÛ· ³é ½áõÛ· ÷áËáõÕճѳ۳ó Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñÇ »éÛ³ÏÁ Ý߳ݳϻÝùª #i,
#j, #k £ ⎡¸ñ³Ýù ÏáãíáõÙ »Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ í»ÏïáñÝ»ñ£⎦ سëݳíáñ³å»ë, »Ã»
(x, y, z)-Á M Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý ú ëϽμݳϻïáí ¨ #i, #j, #k »éÛ³Ïáí ïñíáÕ
¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ, ³å³
!O#M = x#i + y#j + z#k
ÆëÏ »Ã» M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 )-Á ¨ M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 )-Á ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ
Ï»ï»ñ »Ý, ³å³ !M! 1 #M 2 í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ (x 2 − x 1 ; y 2 −y 1 ;
z 2 − z 1 ) Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÁ, ⎡ù³ÝÇ áñ
!M!! 1 #M 2 = !O!#M 2 − !O!#M 1 £
²Ûë åݹáõÙÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ϳÝáÝÝ»ñÇó, áñáÝù ³å³óáõóíáõÙ »Ý
×Çßï ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ¹³ ³ñíáõÙ ¿ñ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ í»ÏïáñÝ»ñÇ
ѳٳñª
ºñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ (ï³ñμ»ñáõÃÛáõÝ) Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ïááñ¹ÇݳïÁ
ѳí³ë³ñ ¿ ³Û¹ í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ
(ï³ñμ»ñáõÃÛ³ÝÁ)£
²ÛëÇÝùÝ »Ã» #a(x 1 , y 1 , z 1 ) ¨ #b (x 2 , y 2 , z 2 ) ïñí³Í í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ #a ± #b
í»ÏïáñÝ áõÝÇ (x 1 ± x 2 , y 1 ± y 2 , z 1 ± z 2 ) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
ì»ÏïáñÇ ¨ ÃíÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ïááñ¹ÇݳïÁ ѳí³ë³ñ ¿
í»ÏïáñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ïááñ¹ÇݳïÇ ¨ ³Û¹ ÃíÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ£
²ÛëÇÝùÝ, »Ã» #a(x; y; z)-Á ïñí³Í í»Ïïáñ ¿, k-ݪ ïñí³Í ÃÇí, ³å³ k ·#a í»ÏïáñÝ
áõÝÇ (kx; ky; kz) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£⎦
64

ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. ¸Çóáõù A(0; 0; 1), B(3; 0; 2), C(−1; −1; −1), D(4; −3; 0)£ ï»ù Ñ»ï¨Û³É
»ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª !A#B + !C#D ¨ !A#B + 2!B#C + 3!C#D + 4!D#A£
2. гÛïÝÇ »Ý ABCA 1 B 1 C 1 åñǽٳÛÇ ãáñë ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
A (0; 0; 1), B(2; 1; 1), A 1 (3; 0; −2), C 1 (2; 2; −1)£
ï»ù Ùݳó³Í »ñÏáõ ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
3. гÛïÝÇ »Ý ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÇ ãáñë ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ-
¹ÇݳïÝ»ñÁª
³) A(1; 0; −1), B(2; −1; 1), C(3; 0; 0), C 1 (1; 2; 2),
μ) A(−2; 1; 0), C(0; 1; 2), B 1 (−3; 1; 0), D 1 (−3; 0; 2)£
ï»ù Ùݳó³Í ãáñë ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ
4. ܳËáñ¹ ËݹñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³) ¨ μ) »ÝóϻïÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É
!A#B + !C#D, !A#A 1 + !B#B 1 , !A#B + !B#C 1 + !C#D 1 + !D#A 1 í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹Çݳï-
Ý»ñÁ£
5. #a(1; 2; 3) í»ÏïáñÁ Ý»ñϳ۳óñ»ù #m(1; 1; 0), #n(1; 0; 1), #p(0; 1; 1) í»ÏïáñÝ»ñáí£
6. îí³Í ¿ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïÁ£
³) ²ñï³Ñ³Ûï»ù !A#B 1 , !B#D 1 , !C#A 1 , !D#B 1 í»ÏïáñÝ»ñÁ !A#B 1 , !A#D ¨ !A#A 1 -áí£
μ) ²ñï³Ñ³Ûï»ù !A#B 1 , !A#D ¨ !A#A 1 í»ÏïáñÝ»ñÁ !A#C 1 , !B#D 1 ¨ !C#A 1 -áí£
·) ²ñï³Ñ³Ûï»ù !A#C 1 , !A#D ¨ !A#A 1 í»ÏïáñÝ»ñÁ !A#B 1 , !A#D 1 ¨ !A#C-áí£
6.10 ì»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ
ÐÇß»óÝ»Ýù ѳñóã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ ïñí³Í »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñÇ
ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ£
¸Çóáõù #a-Ý ¨ #b-Ý »ñÏáõ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ϕ Ýñ³Ýóáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿£
²Û¹ ¹»åùáõÙª
#a ·#b = |#a| · |#b| = cos ϕ
²Ûëï»Õ #a ·#b-Ý #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿£
²Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ å³Ñå³ÝíáõÙ ¿ ݳ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ
ѳٳñ£
êϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ÙÇ ß³ï ϳñ¨áñ ѳïÏáõ-
ÃÛáõÝ, áñÁ Ñ³×³Ë û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ï³ñμ»ñ ËݹÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï.
65

ºñÏáõ áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÝ»ñ ÷áËáõÕճѳ۳ó »Ý ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ
¹»åùáõÙ, »ñμ Ýñ³Ýó ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 0-Ç£
êϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
1. #a ·#a = #a 2 = |#a| 2
2. |#a ·#b| ≤ |#a| · |#b|
3. a ·#b = #b ·#a
4. (x#a) ·#b = x(#a ·#b)
5. #a ·(b # + #c) = #a ·#b + #a ·#c
5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÇó μ³óÇ, μáÉáñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³ÏÝѳÛï »Ý£ гñóã³÷áõÃÛ³Ý
¹³ëÁÝóóáõÙ μ»ñí³Í 5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ ѳٳñÛ³
μ³é³óÇáñ»Ý å³Ñå³ÝíáõÙ ¿ ݳ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ£ ÐÇß»óÝ»Ýù ³ÛÝ£
¸Çï³ñÏ»Ýù ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñáõÙ Ox ³é³ÝóùÁ
áõÕÕí³Í ¿ #a í»Ïïáñáí, ³ÛëÇÝùݪ #a í»ÏïáñÁ ³Û¹ ѳٳϳñ·áõÙ áõÝÇ (|#a|; 0; 0)
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£ ¸Çóáõù ³Û¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ #b ¨ #c í»ÏïáñÝ»-
ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ áõÝ»Ý (x 1 , y 1 , z 1 ) ¨ (x 2 , y 2 , z 2 ) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» áñ¨¿ #m í»Ïïáñ ³Û¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ
áõÝÇ (x; y; z) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñ, ³å³ x = |m| # cosϕ, áñï»Õ ϕ-Ý #a ¨ #m í»ÏïáñÝ»-
ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿£ Ü߳ݳÏáõÙ ¿ª
#a ·#m = |#a| · |m| # · cos ϕ =|#a| · x£
²ÛëåÇëáí,
#a · #b = |#a|x 1 , #a · #c = |#a|x 2 , #a · (#b + #c) = #a · (x 1 + x 2 )
³ÛëÇÝùݪ
#a · (#b + #c) = #a · #b + #a · #c £
3, 4 ¨ 5 ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ëϳÉÛ³ñ μ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¹»åùáõÙ ÷³Ï³·Í»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ μ³ó»É ëáíáñ³-
Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñáí£ Ø³ëݳíáñ³å»ë, »Ã» #a ¨ #b í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ #i,
#j, #k í»ÏïáñÝ»ñáí ïñíáÕ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ (x 2 ; y 2 ; z 2 ) »éÛ³ÏÝ»ñÝ »Ý, áñï»Õ #i, #j, #k ½áõÛ· ³é
½áõÛ· ÷áËáõÕճѳ۳ó Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñ »Ý, ³å³ ¹Åí³ñ ã¿ ëï³Ý³É μ³Ý³Ó¨,
áñÁ ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ³ñï³Ñ³ÛïáõÙ ¿ í»ÏïáñÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáíª
#a · #b = (x 1 #i + y 1 #j + z 1 #k)·(x 2 #i + y 2 #j + z 2 #k) = x 1 x 2 #i 2 + x 1 x 2 #i#j + ... + z 1 z 2 #k 2 =
= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 £
²Ûëï»Õ Ù»Ýù û·ïí»óÇÝù Ýñ³ÝÇó, áñ
#i 2 =#j 2 = #k 2 = 1, #i#j = #i#k = #k#j = 0:£
²Ùñ³·ñ»Ýù ³Ûë μ³Ý³Ó¨Á, áñå»ë ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ¨ë Ù»Ï Ñ³ïÏáõÃÛáõݪ
6. #a · #b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , áñï»Õ (x 1 ; y 1 ; z 1 )-Á ¨ (x 2 ; y 2 ; z 2 )-Á #a ¨ #b í»Ïïáñ-
Ý»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ý ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£
66

ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1. ï»ù í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁª
³) #a (−3; 0) ¨ #b (5; 0; −12);
μ) #a (1; 2; 3) ¨ #b (2; 3; 4);
·) #a (−1; −2; 3) ¨ #b (1; −2; −3) £
2. (û) ²å³óáõó»ù, áñ #n (a; b; c) í»ÏïáñÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ax + by + cz + d = 0
ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ£
3. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇ ³ñ¹ÛáõÝùÇó, ·ï»ù ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í
³ÝÏÛáõÝÁ.
³) 3x − 2y + z = 3 ¨ 2x + y − z = 1 ,
μ) x + y + z + 1 = 0 ¨ x −2y − 3z = 0£
4. ABCDA 1 B 1 C 1 D ½áõ·³Ñ»é³ÝÇëïáõ٠ѳÛïÝÇ »Ýª AB = 2, AA 1 = 3, AD = 4,
∠BAD = 90°, ∠BAA 1 =60°, ∠DAA 1 = 45°£ ï»ù AC 1 -Á£
5 (Ï) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ëáñ³Ý³ñ¹áõÙ ·ï»ù AC 1 ¨ BD 1 , AB 1 ¨ BC 1 áõÕÇÕÝ»-
ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ£
6. ï»ù 1, 2 ¨ 3 ÏáÕ»ñ áõÝ»óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ μá-
Éáñ Ñݳñ³íáñ ½áõÛ·»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ£
7. ²å³óáõó»ù, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í A, B, C ¨ D Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ï»ÕÇ áõÝÇ !A#B · !C#D + !A#C · !D#B + !A#D · !B#C = 0 ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£
8. îí³Í ¿ A(1, 2, 3) Ï»ïÁ£ Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ·ï»ù K, N
¨ M Ï»ï»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ KA, NA ¨ MA áõÕÇÕÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷áËáõÕճѳ۳ó£
9. (¹Ï) î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ÙÇ Ï»ïÇó ¹áõñë »Ý ·³ÉÇë ãáñë ׳鳷³ÛÃÝ»ñ£ ²å³óáõó»ù,
áñ ׳鳷³ÛÃÝ»ñÇ μáÉáñ ½áõÛ·»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÏáëÇÝáõëÝ»-
ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÷áùñ ã¿ −2-Çó£
10 (¹) ²å³óáõó»ù, áñ ó³Ýϳó³Í ï»ïñ³»¹ñÇ μáÉáñ »ñÏÝÇëï ³ÝÏÛáõÝÝ»-
ñÇ ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ù»Í ã¿ 2-Çó£
11 (¹) ²å³óáõó»ù, áñ »é³ÝÇëï ³ÝÏÛ³Ý Ñ³ñà ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇëáñ¹Ý»ñáí
ϳ½Ùí³Í μáÉáñ »ñ»ù ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ï³Ù ëáõñ »Ý, ϳ٠μáõÃ,
ϳ٠áõÕÇÕ£
Èñ³óáõóÇã ËݹÇñÝ»ñ §Îááñ¹ÇݳïÝ»ñ ¨ í»ÏïáñÝ»ñ¦
μ³ÅÝÇó
1. îí³Í »Ý ABCD ½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ »ñ»ù ·³·³ÃÝ»ñÁª A(1; 0); B(2; 3); C(3; 2)£
ï»ù ãáññáñ¹ ·³·³ÃÇ ¨ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
2. ²å³óáõó»ù, áñ A(4; 1); B(0; 4); C(−3; 0); D(1; −3) ·³·³ÃÝ»ñáí ù³é³ÝÏÛáõÝÁ
ù³é³ÏáõëÇ ¿£
67

3. ï»ù A(−1; 2; 0) ¨ B(0; −3; 5) ͳÛñ³Ï»ï»ñáí ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÇ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£
4. ï»ù A(1; 2; 3), B(−2; 4; −1), C(−3; 5; −6) ·³·³ÃÝ»ñáí »é³ÝÏÛ³Ý ÙÇç-
ݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£ ï»ù ݳ¨ ³ÛÝåÇëÇ D Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ,
áñÇ Ñ³Ù³ñ ABCD-Ý ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿
5. ¸Çóáõù »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³Ýóù-
Ý»ñÇ íñ³£ ²å³óáõó»ù, áñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ³Û¹
»é³ÝÏÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý μ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ
Áݹ·ñÏõÕ áõÕÇÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ñ»ï£
6. ¸Çóáõù A, B ¨ C-Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï»ñ »Ý, ÇëÏ α, β, γ-Ý
³ÛÝåÇëÇ »ñ»ù Ãí»ñ, áñ α + β + γ = 1£ ¸Çóáõù !O#M = α· !O#A + β · !O#B + γ · !O#C,
áñï»Õ O-Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿£ ²å³óáõó»ù, áñ M Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ABC
ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ, Áݹ áñáõÙ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ !O#M-Á
ÙÇ³Ï Ó¨áí ¿ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ³Û¹ ï»ëùáí£
7. ï»ù A(5; 6; −7) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ 4x + 2y − 3z = 1 ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ½áõ·³-
Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
8. ²å³óáõó»ù, áñ 4x − 2y − 3z = 0 ¨ 4x − 2y − 3z = 1 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Çñ³ñ
½áõ·³Ñ»é »Ý ¨ ·ï»ù Ýñ³Ýó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£
9. ï»ù A(−1; 0; 1) ¨ B(−3; 2; 0) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ ¨ Ox ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³-
Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
10. Üß»ù μáÉáñ ³ÛÝ M(x; y; z) Ï»ï»ñÁ, áñáÝó ѳٳñ
√"(x"−" 2") "+" 2 ("y"−" 6") "+" 2 ("z"+"3 "$) 2 = 7
11. ï»ù 3x − 2z = 5 ¨ 4x + 3z = 1 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÍÇ ¨ A (1; −
2; 3) ¨ B(2; 5; −4) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ£
12. ï»ù A Ï»ÝïñáÝáí ¨ x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z = 0 ѳí³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ
ëý»ñ³ÛÇÝ ßáß³÷áÕ ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã»ª
³) A(9; −3; −3), μ) A(4; 0; 0), ·) A(1; 1; 0)
13. îí³Í ¿ x 2 + y 2 + z 2 − 6x + 4y − 2z = 11 ëý»ñ³Ý£ ï»ù ³Û¹ ëý»ñ³Ý ßáß-
³÷áÕ R ß³é³íÕáí ëý»ñ³ÛÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã»ª ³) R = 2, μ) R = 5, ·) R = 7£
14. ï»ù A(3; − 4; 5) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ 3x + 2y − z = 4, x − 4y − 3z = 7 ѳ-
ٳϳñ·áí áñáßíáÕ áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (áõÕÇÕÁ áñáßáÕ
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á)£
15. ºñ»ù í»ÏïáñÝ»ñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 3, 4 ¨ 5£ Üñ³Ýó
½áõÛ· ³é ½áõÛ· ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý£ ²Û¹ í»ÏïáñÝ»-
ñÇ ½áõÛ·»ñáí ϳ½Ùí³Í ٻͳ·áõÛÝ ³ÝÏÛáõÝÁ 120° ¿£ ï»ù ³ÛÝ ½áõ·³Ñ»é³-
ÝÇëïÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ, áñÇ ÏáÕ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñÇÝ ¨ ѳí³ë³ñ
Ýñ³Ýó »ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ£
16. ú·ï³·áñÍ»Éáí ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·³Õ³÷³ñÁ, ·ï»ù ϳÝáݳíáñ
ï»ïñ³»¹ñÇ Ñ³ñ¨³Ý ÝÇëï»ñÇ Ë³ãíáÕ ÙÇçݳ·Í»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£
68

6.11 Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÇ
ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñ
ÉáõÍ»ÉÇë
Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ù»Ãá¹Á ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ áã ÙdzÛÝ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¨
ÁݹѳÝñ³å»ë ٳûٳïÇϳÛÇ ³Ûɨ μݳ·ÇïáõÃÛ³Ý ¨ ï»ËÝÇÏ³Ï³Ý ß³ï
·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³Ù»Ý³áõÝÇí»ñë³É Ù»Ãá¹Ý»ñÇó Ù»ÏÁ, ë³Ï³ÛÝ, ³ÛÝáõѳÝ-
¹»ñÓ Ýñ³ ¹»ñÁ ãå»ïù ¿ ·»ñ³·Ý³Ñ³ï»É£
ÆѳñÏ», ß³ï ó³ÝϳÉÇ ÏÉÇÝ»ñ áõÝ»Ý³É Ù»Ï Ï³Ù »ñÏáõ Ù»Ãá¹Ý»ñ §ÏÛ³ÝùÇ
μáÉáñ ¹»åù»ñÇ Ñ³Ù³ñ¦£ ê³Ï³ÛÝ ³Û¹åÇëÇ Ù»Ãá¹Ý»ñ ãϳݣ úñÇݳÏ, Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á áõÝÇí»ñë³É ÙÇçáó ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý É»½íÇó ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý
É»½íÇ ³ÝóÝ»Éáõ ѳٳñ, ë³Ï³ÛÝ ³Û¹ ¹»åùáõ٠ͳ·³Í ѳÝñ³Ñ³ßí³-
Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ¿³å»ë ³í»ÉÇ ¹Åí³ñ ÉÇÝ»É, ù³Ý ëϽμÝ³Ï³Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
ËݹÇñÝ»ñÁ£
Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ
Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ù»Ãá¹áí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ËݹñÇ ÉáõÍÙ³Ý ³é³çÇÝ, ¨
Ñݳñ³íáñ ¿ ϳñ¨áñ³·áõÛÝ ÷áõÉÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³-
ϳñ·Ç ˻ɳÙÇï ÁÝïñáõÃÛáõÝÁ£ ²ÝÑñ³Å»ßï ¿, áñ ÁÝïñí³Í Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
ѳٳϳñ·Á μÝ³Ï³Ý Ó¨áí §Ï³å³Ïóí³Í¦ ÉÇÝÇ áõëáõÙݳëÇñíáÕ »ñÏñ³ã³-
÷³Ï³Ý å³ïÏ»ñÇÝ£
àñå»ë ûñÇݳÏ, ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ£
ÊݹÇñ 1£ îñí³Í ¿ ABCD ù³é³ÏáõëÇÝ£ AC ¨ BD ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ í»ñóí³Í
»Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ M ¨ K Ï»ï»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ CM · BK = AB 2 £
²å³óáõó»ù, áñ BM ¨ CK áõÕÇÕÝ»ñÝ Ñ³ïíáõÙ »Ý ³Û¹ ù³é³ÏáõëáõÝ ³ñï³·Íí³Í
ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ïáõÙ£
ÈáõÍáõÙ£ ø³é³ÏáõëÇÝ μÝ³Ï³Ý Ó¨áí
ï³ÉÇë ¿ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç
ÁÝïñáõÃÛ³Ý ÙÇ ù³ÝÇ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ£
γñ»ÉÇ ¿, ûñÇݳÏ, Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ
³é³ÝóùÝ»ñÁ ÁÝïñ»É ½áõ·³Ñ»é Ýñ³ ÏáÕ-
Ù»ñÇÝ, ϳ٠³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇÝ£
Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÁ ϳñ»ÉÇ
¿ ÁÝïñ»É ϳ٠Ýñ³ ·³·³ÃÝ»ñÇó Ù»ÏáõÙ
ϳ٠ϻÝïñáÝáõÙ£ ÀÝïñ»Ýù Ïááñ¹Çݳï-
Ý»ñÇ ëϽμݳϻïÁ ù³é³Ïáõëáõ Ï»Ýïñá-
ÝáõÙ, ÇëÏ ³é³ÝóùÝ»ñÁ áõÕÕ»Ýù ³ÝÏÛáõ-
ݳ·Í»ñáí£
¸Çóáõù ³Û¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³-
ϳñ·áõÙ B ¨ C ·³·³ÃÝ»ñÝ áõÝ»Ý Ñ³Ù³- ÜÏ. 41
69

å³ï³ë˳ݳμ³ñ (1; 0) ¨ (0; 1) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ÇëÏ M ¨ K Ï»ï»ñÁª (0; u) ¨
(υ; 0) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (ÝÏ. 41)£
ø³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ √$2 , ¨ ѻ勉μ³ñ, CM · BK = 2 å³ÛÙ³ÝÁ
Ï·ñíÇ ³Ûëå»ëª
(1 − u) · (1 − υ) = 2
ñ»Ýù B ¨ M Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ гí³Ý³μ³ñ, ïí³Í
»ñÏáõ Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ ³Ù»Ý³å³ñ½ (μ³Ûó áã
³Ù»Ý³Ï³ñ×) Ó¨Á ϳ۳ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝáõÙ, áñ ³Û¹ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ·ñíáõÙ ¿
y = kx + b ï»ëùáí ¨ ¹ñ³ Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Éáí ïñí³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹Çݳï-
Ý»ñÁ, ·ïÝáõÙ »Ý k-Ý ¨ b-Ý£ Ø»ñ ¹»åùáõÙ ëï³ÝáõÙ »Ýùª
0 = k + b
{ u = b
áñï»ÕÇóª b = u, k = −u£ ²ÛëåÇëáí, B ¨ M Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ
¿ª
y = −ux + u
ÖÇßï ÝáõÛÝ Ó¨áí ·ïÝáõÙ »Ýù C ¨ K Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£
1
²ÛÝ áõÝÇ y = − −− x + u ï»ëùÁ£
υ
²ÛÅÙ ·ïÝ»Ýù BM ¨ CK áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, ÉáõÍ»-
Éáí Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Áª
y = − ux + u
1
{y = − −− x + 1
υ
²Ûëï»ÕÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýùª
(u − 1)υ (υ − 1)u
x = −−−−−−−−;
y = −−−−−−−−:
uυ − 1 uυ − 1
ØÝáõÙ ¿ ëïáõ·»É, áñ ·ïÝí³Í Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí Ï»ïÁ, Çñáù å³ïϳÝáõÙ ¿
0 Ï»ÝïñáÝáí ¨ 1 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇÝ£ ²ÛëÇÝùÝ, å»ïù ¿ ³å³óáõó»É, áñ
(u − 1) 2·υ2 (υ − 1)
−−−−−−−−− + −−−−−−−−− 2·u2
= 1, »Ã» (1 − u)(1 − υ) = 2£
(uυ − 1) 2 (uυ − 1) 2
ê³ ³ñ¹»Ý Ù³ùáõñ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ËݹÇñ ¿£ Ü³Ë »ñÏñáñ¹ å³ÛÙ³ÝÇó
υ + 1
ëï³ÝáõÙ »Ýùª u = −−−−−−− ¨ ³Ûë ³ñÅ»ùÁ ï»Õ³¹ñ»Éáí x-Ç ¨ y-Ç ³ñï³Ñ³Ûïáõυ
− 1
ÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ç, ÏáõݻݳÝùª
υ + 1
(−−−−− − 1)·υ
υ − 1 2υ υ 2 − 1
x = −−−−−−−−−−−−−− = −−−−−; y = −−−−− :
υ + 1 υ 2 + 1 υ 2 + 1
−−−−− ·υ − 1
υ − 1
2
2υ υ 2 − 1 2
70

²ÛëåÇëáí, x 2 + y 2 = (−−−−−) + (−−−−−) = 1£ ∇
υ 2 + 1 υ 2 + 1
Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ù»Ãá¹Á Ñ³×³Ë Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»-
ÕÁ ·ïÝ»Éáõ í»ñ³μ»ñÛ³É ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë£ Èáõë³μ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñ-
Ï»Ýù Ñ»ï¨Û³É û·ï³Ï³Ý ËݹÇñÁ£
ÊݹÇñ 2£ гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý A ¨ B Ï»ï»ñÁ£ ²å³óáõó»É, áñ ³ÛÝ
M Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ AM £ BM = k, k ≠ 1, ѳݹÇë³ÝáõÙ
¿ ßñç³Ý³·ÇÍ, áñÇ Ï»ÝïñáÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ AB áõÕÕÇ íñ³£ (²Û¹ ßñç³Ý³-
·ÇÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ ²åáÉÉáÝÇ ßñç³Ý³·ÇÍ ÑÇÝ ÑáõÝ³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¨ ³ëï-
Õ³·»ï ²åáÉÉáÝÇ ³ÝáõÝáí, áñÁ ³åñ»É ¿ Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛáõÝÇó ³é³ç II-III ¹³ñ»ñáõÙ)£
ÈáõÍáõÙ£ ÀÝïñ»Ýù Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ³ÛÝå»ë, áñ A ¨ B Ï»ï»-
ñÁ ·ïÝí»Ý ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ íñ³,
ÇëÏ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻï ѳݹÇë³Ý³
AB ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÁ£ ¸Çóáõù
³Û¹ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ A ¨
B Ï»ï»ñÁ áõÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳμ³ñ
(a; 0) ¨ (−a; 0) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ (a > 0)£
àñáÝ»ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÇÝ å³ï-
ϳÝáÕ M Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Ý߳ݳ-
Ï»Ýù (x; y) (ÝÏ. 42)£ AM £ BM = k å³ÛÙ³-
ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ AM 2 = k 2 · MB 2 ѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ,
ϳ٠áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª
(x − a) 2 + y 2 = k 2·(x + a) 2 + k 2 y 2
ÜÏ. 42
ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ£
²Ûëï»ÕÇóª
(k 2 − 1)·(x 2 + y 2 ) + 2(k 2 + 1)ax + (k 2 − 1)a 2 = 0
´³Å³Ý»Éáí »ñÏáõ Ù³ëÁ k 2 − 1 ¨ x ÷á÷á˳ϳÝÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³Ýç³ï»Éáí
ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ, ëï³ÝáõÙ »Ýù
k 2 + 1
2
k 2 + 1 2
(x + −−−−−− · a) + y 2 = a 2 ·((−−−−−−) − 1
k 2 − 1 k 2 − 1
k 2 + 1
ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñÁ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ (− −−−−−− a; 0) Ï»ÝïñáÝáí ¨
k 2 − 1
R = a/(−−−−−)
"k" 2 +" 1" ""$ 2
− 1 = −−−−−−
2ka
ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ£
k 2 − 1 |k 2 − 1|
´áÉáñ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ëÏë³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ϳñ»ÉÇ ¿
ϳï³ñ»É ѳϳé³Ï ÁÝóóùáí, áõëïÇ ³Û¹ ßñç³Ý³·ÍÇ μáÉáñ Ï»ï»ñÁ å³ï-
ϳÝáõÙ »Ý áñáÝ»ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÇÝ£ ∇
71

²Ûë ËݹÇñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É Ý³¨ ³ÛÉ »Õ³Ý³Ïáí£
AMB »é³ÝÏÛ³Ý Ù»ç ï³Ý»Ýù M ·³·³Ãáí Ý»ñùÇÝ ¨ ³ñï³ùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»-
ñÇ ÏÇëáñ¹Ý»ñÁ£ ¸Çóáõù ³Û¹ ÏÇëáñ¹Ý»ñÁ ѳïáõÙ »Ý AB áõÕÇÕÁ M 1 ¨ M 2 Ï»ï»-
ñáõÙ (ÝÏ. 43): Àëï ÏÇëáñ¹Ç ѳïÏáõÃÛ³Ý AM 1 £ BM 1 = AM 2 £ BM 2 = AB £ BM =
k£ Ü߳ݳÏáõÙ ¿ M 1 ¨ M 2 Ï»ï»ñÁ ѳëï³ïáõÝ »Ý, ³ÛëÇÝùÝ ÙǨÝáõÛÝÝ »Ý ó³Ý-
ϳó³Í M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ£ ´³Ûó ∠M 1 MM 2 = 90°, ѻ勉μ³ñ M Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ
¿ M 1 M 2 ïñ³Ù³·Íáí ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³£ ØÝáõÙ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ßñç³Ý³·-
ÍÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ï å³ïϳÝáõÙ ¿ áñáÝ»ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ
M 1 M 2 ïñ³Ù³·Íáí ßñç³Ý³·ÍÇ ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ
AM £ BM = k£
àñå»ë ϳÝáÝ, ÝÙ³Ý ¹»åù»ñáõÙ û·ïíáõÙ »Ý ѳϳëáÕ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý Ù»-
Ãá¹Çó£ ºÝó¹ñ»Ýù, ßñç³Ý³·ÍÇ ÙÇ áñ¨¿ M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ AM £ BM ≠ k£ àñáß-
³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»ÝùªAM £ BM = k > 1 (ÝÏ. 44): ΔAMB-áõÙ ï³Ý»Ýù
M ·³·³Ãáí Ý»ñùÇÝ ¨ ³ñï³ùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇëáñ¹ÇÝ»ñÁ£ ¸Çóáõù ³Û¹ ÏÇëáñ¹ÇÝ»ñÁ
AB áõÕÇÕÁ ѳïáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ K 1 ¨ K 2 Ï»ï»-
ñáõÙ: M 1 Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù AM 1 £ BM 1 = k, ÇëÏ K 1 Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ AK 1 £ BK 1 > k,
áõëïÇ AK 1 > AM 1 £ M 2 ¨ K 2 Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý AB ѳïí³ÍÇ ß³ñáõݳÏáõ-
ÃÛ³Ý íñ³£ Àݹ áñáõÙ, ù³ÝÇ áñ AK 2 £ BK 2 > AM 2 £ BM 2 > 1, K 2 Ï»ïÁ ³í»ÉÇ Ùáï
¿ B-ÇÝ, ù³Ý M 2 -Á£ ²ÛëåÇëáí, K 1 ¨ K 2 Ï»ï»ñÁ M 1 M 2 ѳïí³ÍÇ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ
»Ý£ ê³Ï³ÛÝ ¹³ Ñݳñ³íáñ ã¿, ù³ÝÇ áñ ∠M 1 MM 2 ¨ ∠K 1 KK 2 -Çó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
ѳí³ë³ñ ¿ 90°£ êï³óí³Í ѳϳëáõÃÛáõÝÁ ³å³óáõóáõÙ ¿,áñ ¹Çï³ñÏíáÕ
ßñç³Ý³·ÍÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï å³ïϳÝáõÙ ¿ áñáÝ»ÉÇ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³-
Ï³Ý ï»ÕÇÝ£ ∇
ÜÏ. 43
72
ÜÏ. 44
²ÛëåÇëáí, Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Ç ³é³í»ÉáõÃÛáõÝÁ ϳ۳ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝáõÙ,
áñ ³ÛÝ Ñ³ñóÁ, û ·ïÝí³Í ßñç³Ý³·ÍÇ μáÉáñ ϻﻱñÝ »Ý å³ïϳÝáõÙ áñáÝ»-
ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÇÝ, ÉáõÍíáõÙ ¿ ÇÝùÝëïÇÝù۳ݣ ê³Ï³ÛÝ ÉáõÍÙ³Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
Ù»Ãá¹Ý ¿É áõÝÇ Çñ ³é³í»ÉáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³Û¹å»ë 㿱 ³ñ¹Ûáù£

¸Çï³ñÏ»Ýù ³ÛÅÙ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ç ÏÇñ³éÙ³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ£ ²é³ÝÓ-
ݳóÝ»Ýù ³Û¹ Ù»Ãá¹Ç »ñÏáõ ï³ñ³ï»ë³ÏÝ»ñ£
ì»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ç ³é³çÇÝ ï³ñ³ï»ë³ÏÁ£
²Ûëï»Õ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý í»ÏïáñÝ»ñÇ Ñ³Ù³·ÇÍ ÉÇÝ»Éáõ å³ÛÙ³ÝÁ, ѳñ-
ÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) ó³Ýϳó³Í í»ÏïáñÁ »ñÏáõ áã ѳٳ·ÇÍ (»ñ»ù ï³ñ³Ñ³ñÃ)
í»ÏïáñÝ»ñáí Ý»ñϳ۳óÙ³Ý ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ£
ÈáõÍ»Ýù, ûñÇݳÏ, Ñ»ï¨Û³É ËݹÇñÁ£
ÊݹÇñ 3£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ABCDE ÑÝ·³ÝÏÛáõÝÁ£ M, K, N ¨ L Ï»ï»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
BC, CD, DE ¨ EA ÏáÕÙ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÝ »Ý£ ²å³óáõó»ù,
áñ MN ¨ KL ѳïí³ÍÝ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÁ ÙdzóÝáÕ Ñ³ïí³ÍÁ ½áõ·³Ñ»é ¿
1
AB-ÇÝ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ −− AB£
4
ÈáõÍáõÙ£ Üϳï»Ýù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í O, P ¨ Q Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ï»ÕÇ áõÝÇ
1
!O#T =−−(!O#P+ !O#Q)
2
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ T-Ý PQ ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÝ ¿ (ÝÏ. 45)£
²Ûëï»ÕÇó ÏáõݻݳÝùª (ÝÏ. 46)
1 1
!A#M = −−(!A#B + !A#C), !A#K = −−(!A#C + !A#D)
2 2
1 1
!A#N = −−(!A#D + !A#E), !A#L = −−!A#E
2 2
ºÃ» F-Á ¨ G-Ý MN ¨ KL ѳïí³ÍÝ»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÝ »Ý, ³å³
1 1 1
!A#F = −−(!A#M + !A#N) = −−(!A#B + !A#C + !A#D + !D#E), !A#G = −−(!A#C + !A#D + !A#E):
2 4 4
²ÛëåÇëáí,
1
!G#F = !A#F − !A#G = −−!A#B: ∇
4
ÜÏ. 45 ÜÏ. 46
73

ì»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ç »ñÏñáñ¹ ï³ñ³ï»ë³ÏÁ
²Ûëï»Õ û·ï³·áñÍíáõÙ »Ý ëϳÉÛ³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£
øÝݳñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÁ£
ÊݹÇñ 4£ ¸Çóáõù A, B ¨ C-Ý ÙÇ áñ¨¿ »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý£
²å³óáõó»ù, áñ ×Çßï ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁª
3
cos A + cos B + cos C ≤ −−£
2
ÈáõÍáõÙ£ ABC »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñëáõÙ í»ñóÝ»Ýù ó³Ýϳó³Í M Ï»ï, ûñÇݳÏ,
Ýñ³Ý Ý»ñ·Í³Í ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝÁ,³Û¹ Ï»ïÇó ï³Ý»Ýù »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»-
ñÇÝ áõÕճѳ۳óÝ»ñ ¨ ¹ñ³Ýó íñ³ M Ï»ïÇó ï»Õ³¹ñ»Ýù #m, #n ¨ #p Ùdzíáñ
í»ÏïáñÝ»ñ (ÝÏ. 47)£ лßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ³Û¹ í»ÏïáñÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝ-
Ý»ñÁ Éñ³óÝáõÙ »Ý »é³ÝÏÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇÝ㨠180°£
àõëïÇ #m·#n = #m·#n cos(180° −A) = − cos A, #m·#p = − cos B, #n·#p = − cos C£
л勉μ³ñª
0 ≤ (#m + #n + #p) 2 = #m 2 + #n 2 + #p 2 + 2#m#n + 2#m#p + 2#n#p =
= 3 − 2 cos A − 2 cos B − 2 cos C,
áñï»ÕÇó ¨ ëï³óíáõÙ ¿ å³Ñ³ÝçíáÕ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ∇
180° - A
ÜÏ. 47
²Ûë »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É Ñ»ï³ùñùÇñ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ£
⿱ áñ å³ñï³¹Çñ ã¿ñ ¹Çï³ñÏ»É ÙdzÛÝ #m, #n ¨ #p Ùdzíáñ í»ÏïáñÝ»ñÁ£
Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ¨ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÁ ѳçáÕáõÃÛ³Ùμ ϳñ»ÉÇ ¿ ½áõ-
·³Ïó»É ݳ¨ ï³ñ³Í³ã³÷³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë£
øÝݳñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÁ£
ÊݹÇñ 5£ ÊݹÇñ 5£ ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 Ëáñ³Ý³ñ¹áõÙ M Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ AA 1 ÏáÕÇ íñ³,
Áݹ áñáõÙ AM : MA 1 = 3 : 1, ÇëÏ N Ï»ïÁ BC ÏáÕÇ ÙÇçݳϻïÝ ¿£ ï»ù MN ¨
DD 1 áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ£
74

ÈáõÍáõÙ£ î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý
ÁÝïñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. B Ï»ïÁ
ѳٳñ»Ýù Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμ-
ݳϻï, Ox ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³Ýóù
ѳٳñ»Ýù BA ׳é³-
·³ÛÃÁ Oy ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý Ïdzé³ÝóùÁª
BC ׳鳷³ÛÃÁ, ÇëÏ Oz
³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³ÝóùÁª
BB 1 ׳鳷³ÛÃÁ (ÝÏ. 48)£
Ü߳ݳϻÝù MA 1 = a, áõëïÇ
AM = 3a ¨ AA 1 = 4a£ л勉μ³ñ M,
N, D ¨ D 1 Ï»ï»ñÁ ÏáõݻݳÝ
ÜÏ. 48
Ñ»ï¨Û³É Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁª
M(4a; 0; 3a), N(0; 2a; 0), D(4a; 4a; 0), D 1 (4a; 4a; 4a)
Àëï »ñÏáõ Ï»ï»ñ ÙdzóÝáÕ í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ μ³Ý³Ó¨»ñǪ
!N#M(4a; −2a; 3a)
!D#D 1 (0; 0; 4a)
Ü߳ݳϻÝù ³Ûë í»ÏïáñÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁ ϕ-áí£ Àëï ëϳÉ-
Û³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³Ýٳݪ
!N#M · !D#D 1
4a · 0 − 2a · 0 + 3a · 4a
cos ϕ = −−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =
⎥!N#M⎥ · ⎥D#D ! 1 ⎥ √"(4"a) " 2 +" ("−2"a") 2 "+" ("3"a$) 2 · √"0 2 "+"0 2 "+""(4"a$) 2
12a 2 3
= −−−−−−−−−−−− = −−−−£ ∇
√"29$a 2 · √"16$a 2 √$29
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ, ѳñó»ñ
1.° гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý A ¨ B Ï»ï»ñÝ, Áݹ áñáõÙ AB = 2£ ï»ù
ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ AM 2 + BM 2 = 2
(ä³ï. AB-Ç ÙÇçݳϻïÁ Ï»ÝïñáÝ áõÝ»óáÕ ¨ /−− $1 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ)
2
2.° (û) îñí³Í ¿ ABCD áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ£ ²å³óáõó»ù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í
M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 å³ÛÙ³ÝÁ£
3.° ABC áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý AC ¨ BC ¿ç»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
ѳí³ë³ñ »Ý 1 ¨ 3£ ï»ù ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ M Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»-
ÕÁ, áñáÝó ѳٳñª
75

AM 2 + BM 2 = 2CM 2 £ (ä³ï. AB-Ç ÙÇçݳϻïáí ³ÝóÝáÕ ¨ Ýñ³Ý áõÕճѳ-
Û³ó áõÕÇÕ)
4. (¹) ABCD áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý A ·³·³Ãáí ï³ñí³Í áõÕÇÕÁ BD ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍÁ
ѳïáõÙ ¿ K Ï»ïáõÙ, ÇëÏ BC ¨ CD áõÕÇÕÝ»ñÁª ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ P ¨ M
ab
Ï»ï»ñáõÙ£ ï»ù AK-Ý, »Ã» AP = a, AM = b£ (ä³ï. −−−−−)
a + b
5. (û) îñí³Í ¿ l áõÕÇÕÁ ¨ Ýñ³ ÙÇ ÏáÕÙáõÙ ·ïÝíáÕ A ¨ B Ï»ï»ñÁ, áñáÝù l-Çó
·ïÝíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ a ¨ b Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³£ гñ-
ÃáõÃÛ³Ý íñ³ í»ñóÝ»Ýù M Ï»ïÝ ³ÛÝå»ë, áñ AM ¨ BM áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳï»Ý l
áõÕÇÕÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñáõÙ£ ï»ù ³ÛÝ M Ï»ï»ñÇ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ
MA MB
−−−− + −−−− = k, »Ã»
MA 1 MB 1
3
³) a = 3; b = 1; k = 2; μ) a = 5, b = 1, k = −−−; ·) a = 5; b = 1; k = 3£
2
(ä³ï. ³) B Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ l-ÇÝ || áõÕÇÕ, μ) l-ÇÝ || 2 áõÕÇÕÝ»ñ)£
6. гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý A ¨ B Ï»ï»ñÁ£ ï»ù ³ÛÝåÇëÇ C Ï»ï»ñÇ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ ΔABC-Ç BC ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í ÙÇçݳ-
·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿ BC ÏáÕÙÇÝ£
7. (û) Ødzíáñ ßñç³Ý³·ÍÇÝ ³ñï³·Íí³Í ¿ ù³é³ÏáõëÇ£ ï»ù ßñç³Ý³·-
ÍÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠ù³é³Ïáõëáõ ·³·³ÃÝ»ñÁ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£
8. (¹) гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý A ¨ B Ï»ï»ñÁ£ ï»ù ³ÛÝ C Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý
ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ ABC »é³ÝÏÛ³Ý BC ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í ÙÇç-
ݳ·ÇÍÁ ѳí³ë³ñ ¿ AB ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í μ³ñÓñáõÃÛ³ÝÁ£
9. (¹) O ·³·³Ãáí áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ í»ñóí³Í »Ý A ¨ B Ï»ï»ñÝ
³ÛÝå»ë, áñ OA = OB = 1£ O Ï»ïáí ï³ñí³Í ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý l áõÕÇÕ£ A 1 ¨ B 1
Ï»ï»ñÁ ѳٳã³÷ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A ¨ B Ï»ï»ñÇÝ l áõÕÕÇ
ÝϳïÙ³Ùμ£ A 1 Ï»ïáí ³ÝóÝáõÙ ¿ OA-ÇÝ áõÕճѳ۳ó áõÕÇÕ, ÇëÏ B 1 Ï»ïáíª
OB-ÇÝ áõÕճѳ۳ó áõÕÇÕ£ ²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý M Ï»ïáõÙ£ ï»ù
³Û¹åÇëÇ M Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ£
10. (¹) гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ï³ñí³Í »Ý Çñ³ñ Ñ»ï 45° ³ÝÏÛáõÝ Ï³½ÙáÕ »ñ-
Ïáõ áõÕÇÕÝ»ñ ¨ ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÇ íñ³ Ýßí³Í ¿ A Ï»ïÁ£ ¸Çóáõù M 1 -Á ¨ M 2 -Á ÙÇ
áñ¨¿ M Ï»ïÇ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷ Ï»ï»ñÝ »Ý£ ï»ù ³ÛÝ M
Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ M 1 M 2 áõÕÇÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A Ï»-
ïáí£
11. (¹) àõÕÕÇ íñ³ í»ñóí³Í »Ý A ¨ B Ï»ï»ñÁ£ ¸Çóáõù C-Ý ³Û¹ áõÕÕÇ Ï³-
Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿£ γéáõó»Ýù ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ AC ¨ BC ÏáÕÙ»ñáí
»ñÏáõ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñ, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹ áõÕÕÇ ÙÇ ÏáÕÙáõÙ£ ï»ù ³Û¹
ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ÙdzóÝáÕ μáÉáñ Ñݳñ³íáñ ѳïí³ÍÝ»ñÇ ÙÇç-
ݳϻï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ£
76

12. îí³Í ¿ ABCD ù³é³ÏáõëÇÝ£ ï»ù ù³é³Ïáõëáõ ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ ³ÛÝ
M Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ AM + CM = DM + BM£
13. (¹) îí³Í ¿ ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ£ ï»ù Ýñ³ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ M Ï»ï»ñÇ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ »é³ÝÏÛáõÝ, áñÇ
ÏáÕÙ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý ¨ ѳí³ë³ñ MA, MB ¨ MC ѳïí³ÍÝ»ñÇÝ£
14. (¹) ¸Çóáõù A, B ¨ C-Ý áñ¨¿ »é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ »Ý£ ²å³óáõó»ù, áñ
ó³Ýϳó³Í m, n ¨ p Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁª
2 mn cosA + 2 np cosB + 2 pm cosC ≤ m 2 + n 2 + p 2
⎡15. ²å³óáõó»É, áñ ë»Õ³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñáí ï³ñí³Í áõÕÇÕÝ
³ÝóÝáõÙ ¿ ëñáõÝùÝ»ñÝ Áݹ·ñÏáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáí£
16. ²å³óáõó»ù, áñ ë»Õ³ÝÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ ÙÇçݳϻï»ñÁ ÙdzóÝáÕ
ѳïí³ÍÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ ë»Õ³ÝÇ ÑÇÙù»ñÇ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ ¹ñ³Ýó ÏÇë³ï³ñμ»-
ñáõÃÛ³ÝÁ£
17. îñí³Í ¿ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ëáñ³Ý³ñ¹Á£ ï»ù DB ¨ AC 1 áõÕÇÕÝ»ñáí
ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛ³Ý ÏáëÇÝáõëÁ£
18. îñí³Í ¿ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïÁ, áñáõÙ AB = 1, BC = CC 1 = 2£
ï»ù DB 1 ¨ BC 1 áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£
19. îñí³Í ¿ ABCA 1 B 1 C 1 ϳÝáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝ åñǽٳÝ, áñáõÙ
AA 1 =√$2AB £ ï»ù AC 1 ¨ A 1 B áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£
1
20. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïáõÙ AB = BC = −−AA 1 £ ï»ù BD ¨
2
CD 1 áõÕÇÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£
21. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 áõÕÕ³ÝÏÛáõݳÝÇëïáõÙ ∠BAC 1 =∠DAC 1 = 60°£ ï»ù
A 1 AC 1 ³ÝÏÛáõÝÁ£ (ä. 45°)£
22. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ëáñ³Ý³ñ¹áõÙ M Ï»ïÁ BB 1 C 1 C ÝÇëïÇ Ï»ÝïñáÝÝ ¿£
ï»ù MD ¨ BB 1 áõÕÇÕÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£
23. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ëáñ³Ý³ñ¹áõÙ M Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ BB 1 ÏáÕÇ íñ³, Áݹ
áñáõÙ BM : MB 1 = 3 : 2, ÇëÏ N Ï»ïÁª AD ÏáÕÇ íñ³, Áݹ áñáõÙ AN : ND = 2 : 3£
гßí»ù ³ÛÝ ³ÝÏÛ³Ý ëÇÝáõëÁ, áñ ϳ½ÙáõÙ »Ý MN áõÕÇÕÁ ¨ DD 1 C 1 C ÝÇëïÇ
ѳñÃáõÃÛáõÝÁ£⎦
77

7
вðÂàôÂÚ²Ü ºì î²ð²ÌàôÂÚ²Ü
²ðî²ä²îκðàôØܺðÀ
²Ûë ·ÉËáõ٠ϹÇï³ñÏ»Ýù »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï³ñ¨áñ³·áõÛÝ Ã»Ù³Ý»ñÇó Ù»-
ÏÁª ѳñÃáõÃÛ³Ý ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÁ£ ²í»ÉÇ ×Çßï Ïßáß³-
÷»Ýù ³Û¹ ûٳÛÇ Ñ»ï ³éÝãíáÕ áñáß Ñ³ñó»ñ, áñáíÑ»ï¨ ³Ûë Ã»Ù³Ý ß³ï Ñ»-
éáõ ¿ ¹åñáó³Ï³Ý ٳϳñ¹³ÏÇ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝóóÇó£
Ò¨³÷áËáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ ųٳݳϳÏÇó ٳûٳïÇϳÛÇ ³é³ç³ï³ñ
·³Õ³÷³ñÝ ¿£ ²ÛÝ Ñ³çáÕáõÃÛ³Ùμ ÏÇñ³éáõÙ »Ý ٳûٳïÇϳÛÇ ³Ù»-
ݳï³ñμ»ñ μ³ÅÇÝÝ»ñáõÙ, ³å³óáõó»Éáí ½³ñٳݳÉÇ ¨ ¹Åí³ñÇÝ Ã»áñ»ÙÝ»ñ£
Ø»½ ÙdzÛÝ ÏÑ»ï³ùñùñ»Ý ѳñÃáõÃÛ³Ý ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»-
ñÁ, ¹ñ³ ѳٳñ ¿É Ïë³Ñٳݳ÷³Ïí»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ¨ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý
ë³ÑÙ³ÝáõÙáí£
γë»Ýù, áñ ïñí³Í ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ,
»Ã» Ýßí³Í ¿ »Õ³Ý³Ï, áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ѳñÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) ó³Ýϳó³Í
A Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñíáõÙ ÝáõÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý
(ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) A′ Ï»ï£ (¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí
A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇ)£ Àݹ áñáõÙ, A ¨ B ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ
»Ý A′ ¨ B′ ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñ£
7.1 гñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅáõÙÁ
гñÃáõÃÛ³Ý ï³ñμ»ñ ïÇåÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÝ»ñÇó ³é³ÝÓݳóÝ»Ýù ¨
³é³çÇÝ Ñ»ñÃÇÝ ùÝݳñÏ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅáõÙÁ£ ƱÝã μ³Ý ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý
ß³ñÅáõÙÁ£
гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ í»ñóÝ»Ýù ÙÇ áñ¨¿ »é³ÝÏÛáõÝ ¨ ëÏë»Ýù ³ÛÝ ï»Õ³ß³ñÅ»É
ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áñå»ë åÇݹ Ù³ñÙÇÝ (ÝÏ. 49)£ ²Û¹ ï»Õ³ß³ñÅÇ ßÝáñÑÇí,
áñáß³ÏÇ Ó¨áí Ïï»Õ³÷áËí»Ý ݳ¨ ³Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý μáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñÁ ¨ áã
78

ÙdzÛÝ ¹ñ³Ýù£ ºé³ÝÏÛ³Ý ï»-
ճ߳ñÅÁ ³é³ç³óÝáõÙ ¿ ѳñ-
ÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ ï»-
ճ߳ñÅ£ гñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í
Ï»ï ϳñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É
áñå»ë ³Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý Ñ»ï
Ïáßï Ùdzóí³Í Ï»ï£ Æٳݳ-
Éáí ѳñÃáõÃÛ³Ý áñ¨¿ Ï»ïÇ Ñ»-
é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ëϽμݳϳÝ
ÜÏ. 45
»é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÇó, Ù»Ýù
³é³Ýó ¹Åí³ñáõÃÛ³Ý Ïáñáß»Ýù ³ÛÝ Ï»ïÁ, áñÇ íñ³ ݳ ï»Õ³÷áËíáõÙ ¿ »é³ÝÏ-
Û³Ý ï»Õ³ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí£ Üϳï»Ýù, áñ »é³ÝÏÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ ï»Õ³ß-
³ñÅí»É áã ÙdzÛÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ íñ³Ûáí£ ²ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ßñçí»É ѳϳé³Ï
ÏáÕÙáí ¨ ï»Õ³ß³ñÅí»É ³Û¹ ï»ëùáí£ ºé³ÝÏÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí
³é³ç³ó³Í ѳñÃáõÃÛ³Ý ³Ûë Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ß³ñÅáõÙ£
´»ñ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý ³í»ÉÇ Ñëï³Ï ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ£
Þ³ñÅáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÁ ãÇ ÷áËáõÙ
Ï»ï»ñÇ ½áõÛ·»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» ß³ñÅÙ³Ý ³ñ¹-
ÛáõÝùáí A ¨ B Ï»ï»ñÁ ³ÝóÝáõÙ »Ý A′ ¨ B′ Ï»ï»ñÇ, ³å³ AB = A′B′£
Üß»Ýù ß³ñÅÙ³Ý ³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áÕ ÙÇ ³ÏÝѳÛï ѳïÏáõÃÛáõÝ.
»áñ»Ù 7.1 гñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ß³ñÅáõÙÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùÁ
ѳñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅáõÙ ¿£
²Ûë ûáñ»ÙÇ åݹáõÙÁ ³ÏÝѳÛï ¿£ Àëï ¿áõÃÛ³Ý, ÙdzÛÝ å»ïù ¿ å³ñ½³μ³Ý»É
Ýñ³ Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ£
¸Çóáõù ³é³çÇÝ ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇ, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹ ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáíª A′-Á ³ÝóÝáõÙ ¿ A′′ Ï»ïÇ£ ²Ûë »ñÏáõ ß³ñÅáõÙ-
Ý»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ÷á˳ñÇÝ»É ÙÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙáí, áñÁ A Ï»ïÁ ³ÝÙÇç³Ï³-
Ýáñ»Ý ï»Õ³÷áËáõÙ ¿ A′′ Ï»ïÇ íñ³£ Àݹ áñáõÙ, ѳñÃáõÃÛ³Ý ï³ñμ»ñ Ï»ï»-
ñÁ ϳñï³å³ïÏ»ñí»Ý ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñÇ íñ³, ³Û¹ ÇëÏ å³ï׳éáí, Çñáù,
Ù»Ýù ëï³ó³Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ£ ØÝáõÙ ¿ óáõÛó ï³É, áñ ³Û¹
Ó¨áí ϳéáõóí³Í ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ß³ñÅáõÙ£
¸Çï³ñÏ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý Çñ³ñÇó ï³ñμ»ñ »ñÏáõ A ¨ B Ï»ï»ñ, áñáÝù ³é³çÇÝ
ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí ï»Õ³÷áËí»É »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A′ ¨ B′
Ï»ï»ñ£ ¸Çóáõù A′ ¨ B′ Ï»ï»ñÁ »ñÏñáñ¹ ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí ï»Õ³÷áËí»É
»Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A′′ ¨ B′′ Ï»ï»ñ£ ø³ÝÇ áñ AB = A′B′ = A′′B′′, ³å³
A ¨ B Ï»ï»ñÁ A′′ ¨ B′′ Ï»ï»ñÁ ï»Õ³÷áËáÕ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
(⿱ áñ A-Ý ¨ B-Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñ »Ý)£
⎡»áñ»Ù »áñ»Ù 7.2 гñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõ٠ѳïí³ÍÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
¿ ѳïí³ÍÇ£
79

²å³óáõÛó. ¸Çóáõù ïñí³Í ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ
MN ѳïí³ÍÇ M ¨ N ͳÛñ³Ï»ï»ñÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
»Ý M 1 ¨ N 1 Ï»ï»ñÇ (ÝÏ. 50)£
²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÙμáÕç MN ѳïí³ÍÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
¿ M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ, ³ÛëÇÝùÝ
MN ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í P Ï»ï ³ñï³å³ï-
Ï»ñíáõÙ ¿ M 1 N 1 ѳïí³ÍÇÝ å³ïϳÝáÕ áñ¨¿
Ï»ïÇ ¨ M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ï ѳÝ-
¹Çë³ÝáõÙ ¿ MN ѳïí³ÍÇ áñ¨¿ Ï»ïÇ å³ï-
Ï»ñ£
¸Çóáõù P-Ý MN ѳïí³ÍÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï
¿, ÇëÏ P 1 -Á ³ÛÝ Ï»ïÝ ¿, áñÇÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
¿ P Ï»ïÁ£ òáõÛó ï³Ýù, áñ P 1 -Á ·ïÝíáõÙ ¿
ÜÏ. 50
M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ íñ³£ ø³ÝÇ áñ ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³Ñå³ÝíáõÙ
»Ý, ³å³
M 1 N 1 = MN, M 1 P 1 = MP ¨ N 1 P 1 = NP (1)
²Ûëï»ÕÇó ëï³óíáõÙ ¿, áñ
M 1 P 1 + P 1 N 1 = MP + NP = MN = M 1 N 1
¨ ѻ勉μ³ñ P 1 Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ íñ³ (ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙª »Ã»
P 1 -Á ÁÝÏ³Í ãÉÇÝ»ñ M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ íñ³, ³å³ ï»ÕÇ Ïáõݻݳñ M 1 P 1 + P 1 N 1 > M 1 N 1
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ)£ ²ÛëåÇëáí, MN ѳïí³ÍÇ μáÉáñ Ï»ï»ñÝ ³ñï³å³ï-
Ï»ñíáõÙ »Ý M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ Ï»ï»ñÇÝ£ ØÝáõÙ ¿ óáõÛó ï³É, áñ M 1 N 1 ѳïí³ÍÇ
ó³Ýϳó³Í P 1 Ï»ï ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ MN ѳïí³ÍÇ ÙÇ áñ¨¿ Ï»ïÇ å³ïÏ»ñ£
Æñáù, ѳñÃáõÃÛ³Ý ïñí³Í ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ P 1 Ï»ïÁ ϳñï³å³ïÏ»ñíÇ
ѳñÃáõÃÛ³Ý ÙÇ áñ¨¿ P Ï»ïÇ íñ³£ òáõÛó ï³Ýù, áñ ³Û¹ P Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ MN
ѳïí³ÍÇ íñ³£ Æëϳå»ë, (1) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ M 1 N 1 = M 1 P 1 + P 1 N 1
å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ MP + PN = MN£ лÝó ë³ ¿É ѳëï³ïáõÙ ¿, áñ P-Ý
ÁÝÏ³Í ¿ MN ѳïí³ÍÇ íñ³£ ∇
²å³óáõóí³Í ûáñ»ÙÇó û·ïí»Éáíª Ñ»ßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ
»é³ÝÏÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ Çñ»Ý ѳí³ë³ñ »é³ÝÏÛ³Ý, áõÕÇÕÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
¿ áõÕÕÇ, ׳鳷³ÛÃÁª ׳鳷³ÛÃÇ, ÇëÏ ³ÝÏÛáõÝÁª Çñ»Ý ѳí³ë³ñ
³ÝÏ۳ݣ ⎦
7.2 гñÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) Ï»ÝïñáݳÛÇÝ ¨
³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ
γë»Ýù, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) A ¨ A′ Ï»ï»ñÁ ѳٳã³÷ (ëÇ-
Ù»ïñÇÏ) »Ý ú Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ, »Ã» ú-Ý AA′ ѳïí³ÍÇ ÙÇçݳϻïÝ ¿£ Àݹ
áñáõÙ, ú-Ý ÏáãíáõÙ ¿ A ¨ A′ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ (ÝÏ. 51)£
80

A′
O
A
ÜÏ. 51
àõÕÕÇ íñ³ ·ïÝíáÕ ó³Ýϳó³Í ú Ï»ï áã ÙdzÛÝ áõÕÇÕÁ ïñáÑáõÙ ¿ »ñÏáõ
áõÕÕáñ¹í³Í ¨ Çñ³ñ ѳϳ¹Çñ ׳鳷³ÛÃÝ»ñÇ, ³Ûɨ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕ-
ÕÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ, ³ÛëÇÝùݪ áõÕÕÇ íñ³ ÇÝãåÇëÇ M Ï»ï ¿É áñ
í»ñóÝ»Ýù, ³Û¹ áõÕÕÇ íñ³ Ï·ïÝíÇ ³ÛÝåÇëÇ M′ Ï»ï, áñÁ ѳٳã³÷ ¿ M-ÇÝ ú
Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ£
ÆÝãå»ë ¨ áõÕÕÇ ¹»åùáõÙ, ѳñÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) ó³Ýϳó³Í Ï»ï
ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý (ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý) ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ£
àñå»ë½Ç ϳéáõó»Ýù A Ï»ïÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ïÁ ú Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ, å»ïù ¿ A
¨ O Ï»ï»ñáí ï³Ý»É áõÕÇÕ ¨ ³Û¹ áõÕÕÇ íñ³ í»ñÁ Ýßí³Í ϳÝáÝáí ϳéáõó»É A-Çݪ
ú Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷ A′ Ï»ïÁ£ ê³Ï³ÛÝ μ³óÇ Ï»ÝïñáݳÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÇó,
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¨ë Ù»Ï
ï»ë³Ïª ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ, áñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý μÝáõó·ñÇã ѳï-
ÏáõÃÛáõÝÝ ¿£
гïÏáõÃÛáõÝ 3. гñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í áõÕÇÕ Ýñ³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
³é³ÝóùÝ ¿£
ƱÝã ¿ ¹³ Ý߳ݳÏáõÙ£
ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, áõÕÇÕÁ »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍ ¿£ ²Ûëï»-
ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ùá¹»É Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÃÕÃÇ ÏïáñÁ ͳɻÉÇë ϳé³ç³Ý³
áõÕÇÕ ·ÇÍ£ ¸³ ³í»ÉÇ å³ñ½ Ϲ³éݳ, »Ã» ÷áùñ-ÇÝã ÁݹɳÛÝ»Ýù ÃÕ-
ÃÇ Ù³ë»ñÁ, áñáÝù ëï³óí»É ¿ÇÝ ÃáõÕÃÁ ͳɻÉÇë£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ïï»ëÝ»Ýù, áñ
ͳÉÙ³Ý ·ÇÍÁ »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý ·ÇÍ ¿£
ºÃ» ÃÕÃÇ Í³ÉÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí A ¨ A′ Ï»ï»ñÁ ÏѳÙÁÝÏÝ»Ý, ³å³ ϳë»Ýù,
áñ A ¨ A′-Á ѳٳã³÷ »Ý ÃÕÃÇ Í³ÉÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí ³é³ç³ó³Í a áõÕÕÇ
ÝϳïÙ³Ùμ ϳ٠Ýñ³Ýù ³ÝóÝáõÙ »Ý Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇÝ a áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
¹»åùáõÙ (ÝÏ. 52 ³, μ, ·)£
гñÃáõÃÛ³Ý »ñÏáõ å³ïÏ»ñÝ»ñ ϳ٠·Í»ñ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ѳٳã³÷
Ýñ³Ý å³ïϳÝáÕ a áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ, »Ã» ÙÇ å³ïÏ»ñÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇ
ѳٳñ Ï·ïÝíÇ a áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ Ýñ³Ý ѳٳã³÷ Ï»ï, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
ÙÛáõë å³ïÏ»ñÇÝ£
гëϳݳÉÇ ¿, áñ ѳٳã³÷ å³ïÏ»ñÝ»ñÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý£ ºÃ» a áõÕ-
ÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí å³ïÏ»ñÁ ãÇ ÷áËíáõÙ, ³ÛÉ ï»-
81

³) μ) ·)
ÜÏ. 52
Õ»ñáí ÷áËíáõÙ »Ý ÙdzÛÝ å³ïÏ»ñÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï»ñÇ áñáß ½áõÛ·»ñ,
³å³ ϳë»Ýù, áñ a áõÕÇÕÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ å³ïÏ»ñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý
³é³Ýóù£
»áñ»Ù 7.3 ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñ áõÕճѳ۳ó
»Ý, ³å³ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ÙÛáõë áõÕÇÕÝ
³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ÇÝùÝ Çñ íñ³£
²å³óáõÛó. гٳã³÷áõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó μËáõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í
b 1
b
a
a 2 ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
a 1
b 2
a 1 → a 2
b 1 → b 2
³é³Ýóù
ÜÏ. 53
å³ïÏ»ñ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ
³ÝóÝáõÙ ¿ Çñ»Ý ѳí³ë³ñ å³ïÏ»ñÇ£
àõëïÇ ³ÝÏÛáõÝÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ Çñ»Ý ѳí³ë³ñ
³ÝÏ۳ݣ ¸Çï³ñÏíáÕ áõÕÇÕ-
Ý»ñÁ Ý߳ݳϻÝù a ¨ b-áí£ ¸Çï³ñ-
Ï»Ýù Ýñ³Ýó ѳïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í
³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ£ ²Û¹ ³ÝÏÛ³Ý
ÏáÕÙ»ñ »Ý ѳݹÇë³ÝáõÙ a 1 ¨ b 1 ׳é³-
·³ÛÃÝ»ñÁ (ÝÏ. 53)£
Àëï å³ÛÙ³ÝÇ, ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ
¿ 90 0 £ a áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳ-
Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ³Û¹ ³ÝÏÛáõÝÁ
ϳÝóÝÇ Çñ»Ý ѳí³ë³ñ ³ÝÏ۳ݣ Àݹ áñáõÙ, a áõÕÕÇ íñ³ ·ïÝíáÕ ÏáÕÙÁ (a 1
׳鳷³ÛÃÁ) ÏÙݳ Çñ ï»ÕáõÙ£ л勉μ³ñ, ÙÛáõë ÏáÕÙÁ (b 1 ׳鳷³ÛÃÁ) ϳñï³å³ïÏ»ñíÇ
Çñ ß³ñáõݳÏáõÃÛ³Ý íñ³ª b áõÕÕÇ ÙÛáõë ׳鳷³ÛÃǪ b 2 -Ç
íñ³£∇
»áñ»Ù 7.4 Þñç³Ý³·ÍÇ Ï»ÝïñáÝáí ³ÝóÝáÕ ó³Ýϳó³Í áõÕÇÕ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ
¿ Ýñ³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù£
²Ûë ûáñ»ÙÇ åݹáõÙÁ ³ÏÝѳÛï ¿£ ²ÛÝ Ù»Ýù ϳå³óáõó»Ýù ÙdzÛÝ ³ÛÝ
82

å³ï׳éáí, áñ ϳñ¨áñ ÷³ëï»ñÁ (ÇëÏ ³Ûë
÷³ëïÁ ß³ï ϳñ¨áñ ¿) û·ï³Ï³ñ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É
ûáñ»ÙÝ»ñÇ ï»ëùáí, ÇëÏ Ã»áñ»ÙÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿
³å³óáõó»É£
²å³óáõÛó. Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ßñç³Ý³·ÇÍÁ
ϳ½Ùí³Í ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ μáÉáñ Ï»ï»ñÇó,
áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý Ýñ³ Ï»ÝïñáÝÇó ÙǨÝáõÛÝ
Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³£ Þñç³Ý³·ÍÇ ú Ï»Ýïñá-
Ýáí ï³Ý»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý a áõÕÇÕ£ ¸Çóáõù A-Ý
ßñç³Ý³·ÍÇ áñ¨¿ Ï»ï ¿ (ÝÏ. 54)£
ºÃ» A-Ý ·ïÝíáõÙ ¿ a áõÕÕÇ íñ³, ³å³ a áõÕ-
ÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ A-Ý ÏÙݳ Çñ ï»ÕáõÙ£
ÆëÏ »Ã» A-Ý ãÇ å³ïϳÝáõÙ a áõÕÕÇÝ, ³å³ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ
³ÛÝ Ï³ÝóÝÇ ÙÇ ÇÝã-áñ A° Ï»ïÇ, ÇëÏ OA ѳïí³ÍÁª OA° ѳïí³ÍÇ£ Àëï ѳ-
Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, OA = OA°, ¨ ѻ勉μ³ñ A° Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
ßñç³Ý³·ÍÇÝ£ ´³Ûó ÝáõÛÝ ³Û¹ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ A° Ï»ïÁ, Çñ Ñ»ñÃÇÝ,
ϳÝóÝÇ A-ÇÝ£ γñ× ³ë³Í, a áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ
ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³ ·ïÝíáÕ A ¨ A° Ï»ï»ñÁ ÷áËáõÙ »Ý Çñ»Ýó ï»Õ»ñÁ£ ¸ñ³ÝÇó
Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ³ÙμáÕç ßñç³Ý³·ÇÍÁ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ÇÝùÝ Çñ íñ³£
Þ³ñáõݳϻÝù ѳñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõëáõÙݳëÇñáõÃÛáõÝÁ.
ºñÏáõ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñ ѳñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý Ù³ëÇÝ
»áñ»Ù 7.5 гñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ß³ñÅáõÙ ÉÇáíÇÝ ïñíáõÙ ¿ Ýñ³ ÙÇ áõÕ-
ÕÇ íñ³ ã·ïÝíáÕ »ñ»ù Ï»ï»ñÇ ß³ñÅáõÙÝ»ñáí£ ²ÛÉ Ëáëù»ñáí, »Ã» A, B ¨ C-Ý ÙÇ
áõÕÕÇ íñ³ ã·ïÝíáÕ »ñ»ù Ï»ï»ñ »Ý ¨ Ýßí³Í »Ý A°, B° ¨ C° Ï»ï»ñÁ áñáÝó
Ýñ³Ýù ³ÝóÝáõÙ »Ý ÙÇ ÇÝã-áñ ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí, ³å³ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý
ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ÉÇáíÇÝ áñáßíáõÙ ¿ ³ÛÝ M° Ï»ïÁ, áñÇÝ Ý³ ³ÝóÝáõÙ
¿ ³Û¹ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ£
²å³óáõÛó£ ¸Çóáõù ABC »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÁ ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï¨³Ýùáí
³ÝóÝáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ A′, B′ ¨ C′ Ï»ï»ñÇÝ£
A°B°C° »é³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ABC »é³ÝÏÛ³ÝÁ (ÝÏ. 55)£
ì»ñóÝ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í M Ï»ï£ ¸Çóáõù ß³ñÅÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ
³ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ M′ Ï»ïÇ£ ø³ÝÇ áñ A′M′ =AM, B′M′ =BM, ³å³ M′-Á A′ ¨ B′
Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ¨ AM, BM ß³é³íÇÕÝ»ñáí ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇó
Ù»ÏÝ ¿£ ²Û¹ »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý áã ³í»ÉÇ, ù³Ý »ñÏáõ Ï»ïáõÙ£ ºí
M° Ï»ïÇ ¹ÇñùÁ ×ßï»Éáõ ѳٳñ ÙÝáõÙ ¿ ϳéáõó»É ¨ë Ù»Ï ßñç³Ý³·ÇÍ C′ Ï»ÝïñáÝáí
¨ CM ß³é³íÕáí£ ²é³çÇÝ »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñÇ ³ÛÝ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÁ,
áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ݳ¨ »ññáñ¹ ßñç³Ý³·ÍÇÝ, ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ Ñ»Ýó Ù»½ ³ÝÑñ³Å»ßï
M′ Ï»ïÁ£
83
ÜÏ. 54

ÜÏ. 55
²Ûëï»Õ ¿³Ï³Ý ¿ñ ³ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ A, B ¨ C ¨ ѻ勉μ³ñ A°, B° ¨ C° Ï»ï»-
ñÁ ã»Ý ·ïÝíáõÙ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³£ ºñ»ù ßñç³Ý³·Í»ñ áñáÝó Ï»ÝïñáÝÝ»ñÁ ã»Ý
·ïÝíáõÙ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³ áõÝ»Ý áã ³í»ÉÇ, ù³Ý ÙÇ ÁݹѳÝáõñ Ï»ï£ ÆëÏ ·áÝ» ÙÇ
ÁݹѳÝáõñ Ï»ï Ýñ³Ýù å»ïù ¿ áõݻݳÝ, áñáíÑ»ï¨ A°, B° ¨ C° Ï»ï»ñÇó ïñí³Í
Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ áõÝ»óáÕ M° Ï»ï ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ£ ∇
лï¨Û³É ûáñ»ÙÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ç³ï³ñ
¹»ñÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý ï³ñμ»ñ ï»ëùÇ ß³ñÅáõÙÝ»ñÇ Ù»ç£
»áñ»Ù 7.6
гñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ß³ñÅáõ٠ϳñáÕ ¿ ëï³óí»É áã ³í»-
ÉÇ, ù³Ý »ñ»ù ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ£
²å³óáõÛó.
´³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ áã ³í»ÉÇ, ù³Ý »ñ»ù ѳçáñ¹³-
Ï³Ý ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùμ ÙÇ áõÕÕÇ íñ³ ã·ïÝíáÕ
»ñ»ù A, B ¨ C Ï»ï»ñ ϳñ»ÉÇ ¿ ï»Õ³÷áË»É ó³Ýϳó³Í ³ÛÝåÇëÇ A′, B′ ¨ C′
Ï»ï»ñÇ, áñ A′B′ =AB, B′C′ =BC, C′A′ =CA£
àñå»ë ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³é³Ýóù í»ñóÝ»Ýù AA° ѳïí³ÍÇ ÙÇç-
ÝáõÕճѳ۳óÁ£
²Û¹ ¹»åùáõÙ A Ï»ïÁ ϳÝóÝÇ A′ Ï»ïÇÝ (ÝÏ. 56)£ ¸Çóáõù ³Û¹ ¹»åùáõÙ B-Ý
ϳÝóÝÇ B 1 Ï»ïÇÝ, C-ݪ C 1 Ï»ïÇÝ (»Ã» A-Ý Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ A′-Ç Ñ»ï, ³å³ ³Ûë
ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÁ ³í»Éáñ¹ ÏÉÇÝ»ñ)£ àñå»ë »ñÏñáñ¹ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
ÜÏ. 56 ÜÏ. 57 ÜÏ. 58
84

³é³Ýóù í»ñóÝ»Ýù B′B 1 ѳïí³ÍÇ ÙÇçÝáõÕճѳ۳óÁ (ÝÏ. 57)£ ø³ÝÇ áñ
A′B′= AB = A′B 1 , ³å³ ÁÝïñí³Í ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿
A′ Ï»ïÁ£
àõëïÇ »ñÏñáñ¹ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ A′ Ï»ïÁ ÏÙݳ Çñ ï»ÕáõÙ,
ÇëÏ B 1 Ï»ïÁ ϳÝóÝÇ B′-ÇÝ£ ²ÛëåÇëáí »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáí A Ï»ïÁ ³Ýó³í A′ Ï»ïÇÝ, B Ï»ïÁª B′ Ï»ïÇÝ£ ¸Çóáõù C-Ý
³Ýó»É ¿ C 2 Ï»ïÇÝ£
ø³ÝÇ áñ A′C 2 = AC = A′C′, B′C 2 = BC = B′C′ , ³å³ C 2 –Á ϳñáÕ ¿ ¿ ·ñ³í»É
»ñÏáõ Ñݳñ³íáñ ¹Çñù»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁª ϳ٠ϳñáÕ ¿ ѳÙÁÝÏÝ»É C′-Ç Ñ»ï, ¨
³Û¹ ¹»åùáõÙ »ññáñ¹ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÁ ϳï³ñ»ÉÝ ³í»Éáñ¹ ¿, ϳ٠³ÛÝ Ñ³-
Ù³ã³÷ ÏÉÇÝÇ C′-ÇÝ A′B′-Ç ÝϳïÙ³Ùμ (ÝÏ. 58)£ ²Ûë ¹»åùáõ٠ϳï³ñáõÙ »Ýù
ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ A′B′-Ç ÝϳïÙ³Ùμ£ ²ÛëåÇëáí, ϳï³ñí³Í »ñ»ù (ϳ٠³í»-
ÉÇ ùÇã) ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ A Ï»ïÁ ³Ýó³í A′-ÇÝ, B-ݪ B′-ÇÝ ¨
C-ݪ C′-ÇÝ£ àõëïÇ ³Û¹ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ÉÇë »Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ù»½ ³ÝÑñ³Å»ßï
ß³ñÅáõÙÁ£ (¸³ μËáõÙ ¿ 7.5 ûáñ»ÙÇó)£
7.3 гñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý ï»ë³ÏÝ»ñÁ
´Ý³Ï³Ý ѳñó ¿ Í³·áõÙª ÁݹѳÝñ³å»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ÇÝãåÇëDZ ß³ñÅáõÙ-
Ý»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݣ »áñ»Ù 7.6-Ç û·ÝáõÃÛ³Ùμ, ³Û¹ ѳñóÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëå³éÇã
å³ï³ëË³Ý ï³É£ Ø»Ýù ß³ñÅáõÙÁ ÏμÝáõó·ñ»Ýù ³ÛÝ ïíáÕ ³é³Ýóù³-
ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ý³Ïáí£
1°. Ü³Ë ³é³ÝÓݳóÝ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ÝáõÛÝ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ, áñÇ
¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï ÙÝáõÙ ¿ Çñ ï»ÕáõÙ£ гëϳݳÉÇ ¿,
áñ ³Û¹åÇëÇ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
2°. . ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ
⎡ê³ÑÙ³ÝáõÙ.
!A#A′ í»Ïïáñáí ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ѳñÃáõÃÛ³Ý
³ÛÝåÇëÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, áñÇ ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ M Ï»ï ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
¿ ÙÇ ³ÛÝåÇëÇ M 1 Ï»ïÇ, áñ !M#M 1 = !A#A′£
¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ
³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ Çñ íñ³, áñÁ å³Ñå³ÝáõÙ ¿ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£
²å³óáõó»Ýù ³Ûë åݹáõÙÁ£ ¸Çóáõù #a í»Ïïáñáí ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõ-
ÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ M ¨ N Ï»ï»ñÝ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ »Ý M 1 ¨ N 1 Ï»ï»ñÇÝ (ÝÏ. 59)£
ø³ÝÇ áñ !M!#M 1 = #a ¨ !N#N 1 = #a, ³å³ !M!#M 1 = !N#N 1 £ ¸ñ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
MM 1 N 1 N ù³é³ÝÏÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿£ л勉μ³ñ MN = M 1 N 1 , ³ÛëÇÝùÝ M
¨ N Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ M 1 ¨ N 1 Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³ÝÁ£
85

M
N
ÜÏ. 59
M 1
N 1
(²ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ M ¨ N Ï»ï»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í
»Ý #a í»ÏïáñÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ íñ³, ¹Çï³ñ-
Ï»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ)£ ∇ ⎦
ØÇ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ³Û¹å»ë
¿É ï³ÉÇë ¿ ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõ-
ÃÛáõÝ£ ²é³í»É Ñ»ï³ùñùÇñ ¿ »ñÏáõ ³é³Ýóù³-
ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùÁ£ ²Ûëï»Õ ϳ
»ñÏáõ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõݪ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
³é³ÝóùÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý ¨ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
³é³ÝóùÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý£ ²é³ÝÓÇÝ ùÝݳñ-
Ï»Ýù ³Û¹ ¹»åù»ñÁ£
»áñ»Ù 7.7 ¼áõ·³Ñ»é ³é³ÝóùÝ»ñáí »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í A Ï»ï ³ÝóÝáõÙ ¿ ³ÛÝåÇëÇ
A′ Ï»ïÇ, áñ AA′ í»ÏïáñÁ ѳëï³ïáõÝ ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ£
²ÛëÇÝùÝ ³Û¹ Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ ¿ AA′ í»Ïïáñáí£
Àëï áñáõÙª AA′ í»ÏïáñÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³é³Ýóù-
Ý»ñÇÝ, áõÕÕí³Í ¿ ³é³çÇÝ ³é³ÝóùÇó ¹»åÇ »ñÏñáñ¹Á ¨ Ýñ³ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ
»ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ³é³ÝóùÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÇó£
²å³óáõÛó. ¸Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ áñ¨¿ !A#B í»Ïïáñ, áñÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ
³é³ÝóùÝ»ñÇÝ (ÝÏ. 60)£
Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ѳٳã³÷áõ-
ÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿
ÝáõÛÝ »ñϳñáõÃÛ³Ùμ, μ³Ûó ѳ-
ϳé³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÝ áõÝ»óáÕ
í»ÏïáñÇ£ Ü߳ݳÏáõÙ ¿ »ñÏáõ
ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ïá
³ÛÝ Ï³ÝóÝÇ !A!′#B′=!A#B í»ÏïáñÇ,
áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ AB áõÕÕÇ
ÜÏ. 60
¼áõ·³Ñ»é
86

íñ³£ ²ÛëåÇëáí, !A!#A′=!B!#B′, ³ÛëÇÝùݪ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÇÝ áõÕÕ³-
ѳ۳ó áõÕÕÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ï »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇó
Ñ»ïá ï»Õ³ß³ñÅíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ í»Ïïáñáí£
ì»ñóÝ»Éáí A Ï»ïÁ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³, Ù»Ýù Ñ»ßïáõÃÛ³Ùμ
ѳÙá½íáõÙ »Ýù, áñ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÇ »ñϳñáõ-
ÃÛáõÝÁ, Çñáù, »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÇó ¨ áñ ³ÛÝ
áõÕÕí³Í ¿ ³é³çÇÝ ³é³ÝóùÇó »ñÏñáñ¹Á£ ∇
²å³óáõóí³Í ûáñ»ÙÇó Ù³ëݳíáñ³å»ë Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ í»ñóÝ»Éáí ó³Ýϳó³Í
»ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñ, áñáÝù áõÕճѳ۳ó »Ý ÙÇ ÇÝã-áñ #a í»ÏïáñÇ ¨ ·ïÝíáõÙ »Ý
1
Çñ³ñÇó ----- | #a | Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ ϳï³ñ»Éáí »ñÏáõ ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ
2
³Û¹ »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ѳٳå³ï³ëË³Ý Ñ»ñóϳÝáõÃÛ³Ùμ, Ïëï³Ý³Ýù
ѳñÃáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ #a í»Ïïáñáí£
3°. . äïáõÛï
⎡гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýß»Ýù O Ï»ï (åïáõÛïÇ Ï»ÝïñáÝÁ) ¨ α ³ÝÏÛáõÝ (åïáõÛïÇ
³ÝÏÛáõÝÁ)£
гñÃáõÃÛ³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ
¿ α ³ÝÏÛáõÝáí åïáõÛï O Ï»ïÇ ßáõñçÁ,
»Ã» ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í M Ï»ï ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ
¿ ³ÛÝåÇëÇ M 1 Ï»ïÇ, áñ
OM = OM 1 ¨ ∠MOM 1 =α(ÝÏ. 61), Áݹ áñáõÙ
ݳ˳å»ë å»ïù ¿ Ýß»É Ý³¨ åïïÙ³Ý áõÕ-
ÕáõÃÛáõÝÁ£
»áñ»Ù 7.8 äïáõÛïÁ ß³ñÅáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùݪ
ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ ³ñï³å³ï-
Ï»ñáõÙ ¿ Çñ íñ³, áñÇ ¹»åùáõÙ Ñ»é³íáñáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÁ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý£
²å³óáõÛó£ ¸Çóáõùª O-Ý åïáõÛïÇ Ï»ÝïñáÝÝ
¿, α-Ý ûñÇݳÏ, ųÙëɳùÇ Ñ³Ï³é³Ï
áõÕÕáõÃÛ³Ùμ åïáõÛïÇ ³ÝÏÛáõÝÁ£ ¸Çóáõù M
ÜÏ. 61
¨ N Ï»ï»ñÁ ³Û¹ åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ »Ý M 1 ¨ N 1 Ï»ï»ñÇ
(ÝÏ. 62)£
ΔOMN = ΔOM 1 N 1 , ù³ÝÇ áñ OM = OM 1 , ON = ON 1 ¨ ∠MON =∠M 1 ON 1 £ àõëïÇ
MN = M 1 N 1 £ (²é³ÝÓÇÝ ùÝݳñÏ»ù ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñμ O, M ¨ N Ï»ï»ñÝ ÁÝ-
Ï³Í »Ý ÙÇ áõÕÕÇ íñ³)£ ∇
87

ÜÏ. 62 ÜÏ. 63
Ð³×³Ë û·ï³Ï³ñ ¿ ݳ¨ å³ñ½»É, û ýÇùëí³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³-
ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ÇÝãå»±ë »Ý ÷á÷áËíáõÙ ïí³Í Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ
ëϽμݳϻïÇ ßáõñçÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïï»ÉÇë£ ¸Çóáõù M(x; y) Ï»-
ïÁ O Ï»ïÇ ßáõñçÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïï»ÉÇë ëï³óí»É ¿ M 1 (x 1 ; y 1 ) Ï»ïÁ (ÝÏ. 63)£
Ü߳ݳϻÝù OM = OM 1 = a, ÇëÏ OM ѳïí³ÍÇ ¨ Ox ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý áõÕ-
ÕáõÃÛ³Ý Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁª ϕ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙª a · cos ϕ = x, a · sin ϕ = y,
a · cos(α + ϕ) = x 1 , a · sin(α + ϕ) = y 1 £ àõëïǪ
x 1 = a · cos(α + ϕ) = a cos α · cos ϕ − a sin α · sin ϕ = x cos α−y sin α
y 1 = a · sin(α + ϕ) = a sin α · cos ϕ + a cos α · sin ϕ = x sin α +y cos α
²ÛëåÇëáí, M(x; y) Ï»ïÁ O Ï»ïÇ ßáõñçÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïï»Éáõó ëï³óí³Í
M 1 (x 1 ; y 1 ) Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ M(x; y) Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí ³ñï³-
ѳÛïíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáíª
x 1 = x · cos α − y sin α
y 1 = x · sin α + y cos α (1)
Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë μ³Ý³Ó¨»ñÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É åïáõÛïÁ ß³ñÅáõÙ ÉÇÝ»-
Éáõ ÷³ëïÇ ¨ë Ù»Ï ³å³óáõÛó£ Æñáù, ¹Çóáõù A(a, b) ¨ B(m, n) Ï»ï»ñÁ Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÇ O ëϽμݳϻïÇ ßáõñçÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïï»ÉÇë ëï³óí»É »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
A 1 (a 1 ; b 1 ) ¨ B 1 (m 1 ; n 1 ) Ï»ï»ñÁ£ Àëï (1) μ³Ý³Ó¨»ñǪ
a 1 = a cos α − b sin α, b 1 = a sin α + b cos α,
m 1 = m cos α − n sin α, n 1 = m sin α + n cos α
àõëïǪ
A 1 B 2 1 = (a 1 − m 1 ) 2 + (b 1 − n 1 ) 2 = [(a − m) cos α − (b − n) sin α] 2 +
+ [(a − m) sin α + (b − n) cos α] 2 = (a − m) 2 · (sin 2 α + cos 2 α) +
+ (b − n) 2 (sin 2 α + cos 2 α) = (a − m) 2 + (b − n) 2 = AB 2 ⇒ A 1 B 1 = AB⎦
²ÛÅÙ å³ñ½»Ýù, û ÇÝãåÇëÇ ß³ñÅáõÙ Ïëï³óíÇ »ñÏáõ ѳïíáÕ ³é³ÝóùÝ»-
ñáí ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ£ ²Û¹ ѳñóÇÝ å³ï³ë-
˳ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ.
88

»áñ»Ù 7.9 ¸Çóáõù ѳñÃáõÃÛ³Ý l 1 ¨ l 2 »ñÏáõ
áõÕÇÕÝ»ñ ѳïíáõÙ »Ý ú Ï»ïáõÙ ¨ Çñ³ñ Ñ»ï ϳ½-
ÙáõÙ »Ý α ³ÝÏÛáõÝ (α ≤90°)£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ l 1 ¨ l 2
áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳ-
Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³Ý³Ýù
ѳñÃáõÃÛ³Ý åïáõÛï ú Ï»ïÇ ßáõñçÁ 2α ³ÝÏÛáõ-
Ýáí£
Àݹ áñáõÙ, åïáõÛïÇ áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝÝ ¿, ÇÝã
l 1 áõÕÇÕÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïï»Éáí l 2 -ÇÝ μ»ñ»Éáõ áõÕ-
ÕáõÃÛáõÝÁ£
ä³ñ½³μ³Ý»Ýù, DZÝã ¿ åݹáõÙ ³Ûë ûáñ»ÙÁ£
ÜÏ. 64
ì»ñóÝ»Ýù ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í A Ï»ï£ ¸Çï³ñÏ»Ýù
ú Ï»ÝïñáÝáí ¨ OA ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ (ÝÏ. 64)£
²Û¹ ßñç³Ý³·ÇÍÁ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñÁ ѳïáõÙ ¿ ãáñë Ï»ï»-
ñáõÙ£ ÀÝïñ»Ýù ¹ñ³ÝóÇó »ñÏáõëÁª B 1 -Á l 1 áõÕÕÇ íñ³ ¨ B 2 -Á l 2 áõÕÕÇ íñ³, ³ÛÝå»ë,
áñ ∠B 2 OB 1 =α£ ²Û¹ »ñÏáõ Ï»ï»ñÁ ßñç³Ý³·ÍÇ íñ³ áñáßáõÙ »Ý ß³ñÅÙ³Ý
áõÕÕáõÃÛáõݪ B 1 -Çó B 2 α-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ÷áùñ ³Õ»Õáí£ l 1 ¨ l 2 áõÕÇÕ-
Ý»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ A
Ï»ïÁ ϳÝóÝÇ ßñç³Ý³·ÍÇ A′ Ï»ïÇÝ£ Àݹ áñáõÙ, Ýßí³Í áõÕÕáõÃÛ³Ùμ A-Çó A′
ß³ñÅí»ÉÇë Ù»Ýù Ïëï³Ý³Ýù ßñç³Ý³·ÍÇ ÷áùñ ³Õ»ÕÁ, áñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
˳ÝáõÙ ¿ 2α Ù»ÍáõÃÛ³Ùμ Ï»ÝïñáݳÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ£
²å³óáõÛó. B 1 Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ûáñ»ÙÇ åݹáõÙÁ ³ÏÝѳÛï ¿£ ÀݹѳÝáõñ
¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÇó Ñ»ïá AB 1 ³Õ»ÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ ÝáõÛÝåÇëÇ,
μ³Ûó ѳϳé³Ï áõÕÕí³ÍáõÃÛ³Ùμ ³Õ»ÕÇ£ (B 1 Ï»ïÁ ÙÝáõÙ ¿ Çñ ï»ÕáõÙ)£ ºñÏáõ
ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ïá AB 1 ³Õ»ÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ Çñ»Ý ѳí³ë³ñ ¨ ÝáõÛÝ
áõÕÕí³ÍáõÃÛ³Ùμ A′B′ 1 ³Õ»ÕÇ£ àõëïÇ ∠AOA′ = ∠B 1 OB′ 1 = 2α, Áݹ áñáõÙ, A ¨
A′ Ï»ï»ñÁ Çñ³ñ ѳçáñ¹áõÙ »Ý ÝáõÛÝ Ï»ñå, ÇÝãå»ë B 1 ¨ B′ 1 Ï»ï»ñÁ£ ∇
²Ûëï»Õ ³ÝÑñ»Å»ßï ¿ áõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¹³ñÓÝ»É ³ÛÝ μ³ÝÇ íñ³, áñ ÇÝãå»ë ¿É
áñ ú Ï»ïáí ï³Ý»Ýù Çñ³ñ Ñ»ï α ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï ѳïíáÕ »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñ,
³å³ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇó
Ñ»ïá Ù»Ýù Ïëï³Ý³Ýù ú Ï»ïÇ ßáõñçÁ 2α ³ÝÏÛáõÝáí åïáõÛï ѳٳå³ï³ë-
Ë³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùμ£
89

⎡7.6 7.6 î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ß³ñÅáõÙÁ
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ß³ñÅáõÙÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ×Çßï ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ѳñ-
ÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ£ ²ÛÝ ¿ª ß³ñÅáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ,
áñÇ ¹»åùáõÙ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ£ î³é³óÇáñ»Ý ÝáõÛÝ Ï»ñå, ÇÝãå»ë ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ³å³óáõóíáõÙ
¿, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ áõÕÇÕÝ»ñÁ ³ÝóÝáõÙ »Ý áõÕÇÕÝ»-
ñÇ, ׳鳷³ÛÃÝ»ñÁª ׳鳷³ÛÃÝ»ñÇ, ѳïí³ÍÝ»ñÁª ѳïí³ÍÝ»ñÇ ¨ å³Ñå³ÝíáõÙ
»Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ß³ñÅÙ³Ý Ýáñ ѳïÏáõÃÛáõÝ ¿ ѳݹÇë³ÝáõÙ ³ÛÝ, áñ
Þ³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ ѳñÃáõÃ۳ݣ
²å³óáõó»Ýù ³Ûë ѳïÏáõÃÛáõÝÁ£ ¸Çóáõù α-Ý ó³Ýϳó³Í ѳñÃáõÃÛáõÝ ¿ (ÝÏ.
65 ³)£ Üñ³ íñ³ Ýß»Ýù ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕÇ íñ³ ã·ïÝíáÕ A, B ¨ C Ï»ï»ñ£ Þ³ñÅÙ³Ý
¹»åùáõÙ Ýñ³Ýù ϳñï³å³ïÏ»ñí»Ý ÝáõÛÝ áõÕÕÇ íñ³ ã·ïÝíáÕ A′, B′ ¨ C′ Ï»-
ï»ñÇ£ ¸ñ³Ýóáí ï³Ý»Ýù α′ ѳñÃáõÃÛáõÝ ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ ¹Çï³ñÏíáÕ ß³ñÅ-
Ù³Ý ¹»åùáõÙ α ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ α′ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ (ÝÏ. 65 μ)£ ¸Çóáõù X-Á
α ѳñÃáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ï ¿£ ²Û¹ Ï»ïáí α ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ï³Ý»Ýù áñ¨¿
a áõÕÇÕ, áñÁ ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ ѳïáõÙ ¿ Y ¨ Z Ï»ï»ñáõÙ£ Þ³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ a
áõÕÇÕÁ ϳÝóÝÇ ÙÇ áñ¨¿ a′ áõÕÕÇ£ Y ¨ Z Ï»ï»ñÁ ϳÝóÝ»Ý A′B′C′ »é³ÝÏÛ³ÝÁ
å³ïϳÝáÕ Y′ ¨ Z′ Ï»ï»ñÇ ¨ ѻ勉μ³ñ Ïå³ïÏ³Ý»Ý α′ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ£
³) μ)
ÜÏ. 65
²ÛëåÇëáí, a′ áõÕÇÕÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ α′ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ áõëïÇ, a áõÕÕÇÝ å³ï-
ϳÝáÕ X Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ a′ áõÕÕÇÝ ¨ ѻ勉μ³ñ α ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ
X′ Ï»ïÇÝ, ÇÝãÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ñ ³å³óáõó»É£ ∇
²ÛÅÙ ùÝݳñÏ»Ýù ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝáõÙ ß³ñÅáõÙÝ»ñÇ Ï³ñ¨áñ ûñÇݳÏÝ»ñ£
². ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ
ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝáõÙ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷á-
ËáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý
ó³Ýϳó³Í (x; y; z) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí Ï»ïÁ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ (x + a; y + b;
90

z + c) Ï»ïÇ, áñï»Õ a, b ¨ c-Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, ³ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, ï³ñ³Íáõ-
ÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ï»ï ï»Õ³ß³ñÅíáõÙ ¿ ÙǨÝáõÛÝ í»Ïïáñáí£
²ÛëåÇëáí, ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñíáõÙ ¿
x′ =x + a, y′ =y + b, z′ =z + c
μ³Ý³Ó¨»ñáí, áñáÝù ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ
(x; y; z) Ï»ïÇ ¨ Ýñ³ (x′; y′; z′) å³ïÏ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ï³åÁ£
ÆÝãå»ë ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ¿ñ, ³å³óáõóíáõÙ »Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷á-
ËáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁª
1. ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
2. ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ï»ï»ñÁ ï»Õ³ß³ñÅíáõÙ »Ý ½áõ-
·³Ñ»é (ϳ٠ѳÙÁÝÏÝáÕ) áõÕÇÕÝ»ñáí ÝáõÛÝ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ùμ£
3. ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ áõÕÇÕ ³ÝóÝáõÙ ¿
Çñ»Ý ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ (ϳ٠ÇÝùÝ Çñ íñ³)£
4. ÆÝãåÇëÇÝ ¿É áñ ÉÇÝ»Ý A ¨ A′ Ï»ï»ñÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ½áõ·³Ñ»é
ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÇ ¹»åùáõÙ A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇ£
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ýáñ ѳïÏáõÃÛáõÝ ¿
ѳݹÇë³ÝáõÙ Ñ»ï¨Û³ÉÁª
5. î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõ٠ѳñÃáõÃÛáõÝÁ
³ÝóÝáõÙ ¿ Çñ»Ý ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÇÝùÝ Çñ»Ý£
²å³óáõÛó£ ¸Çóáõù α-Ý Ï³Ù³Û³-
Ï³Ý Ñ³ñÃáõÃÛáõÝ ¿ (ÝÏ. 66)£
²Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç ï³Ý»Ýù »ñÏáõ
ѳïíáÕ a ¨ b áõÕÇÕÝ»ñ£ ¼áõ·³Ñ»é ï»-
Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ a-Ý ¨ b-Ý
ϳÝóÝ»Ý Ï³Ù ÇÝùÝ Çñ»Ýó, ϳ٠Çñ»Ýó
½áõ·³Ñ»é a′ ¨ b′ áõÕÇÕÝ»ñÇ£ α ѳñÃáõ-
ÃÛáõÝÁ ϳÝóÝÇ a′ ¨ b′ áõÕÇÕÝ»ñÁ å³ñáõݳÏáÕ
ÙÇ áñ¨¿ α′ ѳñÃáõÃ۳ݣ ºÃ»
α-Ý ãÇ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ α′-Ç Ñ»ï, ³å³
α||α′, Áëï »ñÏáõ ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ½áõ-
·³Ñ»éáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ¨ åݹáõÙÝ
ÜÏ. 66
³å³óáõóí³Í ¿£ ∇
91

´. λÝïñáݳÛÇÝ, ³é³Ýóù³ÛÇÝ ¨ ѳۻɳÛÇÝ
ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ
10-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ëÁÝóóÇó ¹áõù ³ñ¹»Ý ͳÝáà »ù ³Ûë ·³Õ³÷³ñÝ»-
ñÇÝ ¨ Ýñ³Ýó áñáß Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ£ ²Ûëï»Õ Ù»Ýù ϳå³óáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É
åݹáõÙÝ»ñÁª
1°. λÝïñáݳÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
²å³óáõÛó£ гٳã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÁ Ý߳ݳϻÝù O-áí ¨ Ý»ñÙáõÍ»Ýù
Oxyz áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ³ÛÝå»ë, áñ O Ï»ïÁ ÉÇÝÇ Ýñ³
ëϽμݳϻïÁ£
²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ Ï»ï»ñª A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ
¹ñ³Ýó ѳٳã³÷ A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ AB-Ç£
ÆÝãå»ë ·Çï»ù, A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÝ »Ýª A 1 (−x 1 ; −y 1 ; −z 1 ) ¨ B 1 (−x 2 ;
−y 2 ; −z 2 ), áõëïÇ, Áëï »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Çª
AB = √"(x" 2 "−"x" 1 ") 2 "+"("y" 2 "−" y" 1 )"+"(z" 2 2 "−"z 1 $) 2 ,
A 1 B 1 =√"(−"x"+"x 2 ")" 2 1 "+"(−"y"+"y" 2 1 )" 2 "+"("−"z 2 "+"z 1 $) 2 £
²ÛëÇÝùÝ AB = A 1 B 1 , ÇÝãÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ñ ³å³óáõó»É£
2°. ²é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
²å³óáõÛó. Ü»ñÙáõÍ»Ýù Oxyz áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý
³ÛÝå»ë, áñ Oz ³é³ÝóùÁ ѳÙÁÝÏÝÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇÝ£ ¸Çï³ñ-
Ï»Ýù ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñª A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ B(x 2 ; y 2 , z 2 ) ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ
¹ñ³Ýó ѳٳã³÷ A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ AB-Ç£ ÆÝãå»ë
·Çï»Ýù, A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñÝ áõÝ»Ý A 1 (−x 1 ; −y 1 ; z 1 ) ¨ B 1 (−x 2 ; −y 2 ; z 2 ) Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÁ£ Àëï »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Çª
AB = √"(x" 2 "−"x" 1 ") 2 "+"("y" 2 "−" y" 1 ) 2 "+"(z" 2 "−"z 1 $) 2 ,
A 1 B 1 =√"(−"x 2 "+"x 1 ")" 2 "+"(−"y 2 "+"y" 1 )" 2 "+"("−"z 2 "+"z 1 $) 2 ,
³ÛëÇÝùݪ AB = A 1 B 1 £ ∇
3°. гۻɳÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
²å³óáõÛó. Ü»ñÙáõÍ»Ýù Oxyz áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý
³ÛÝå»ë, áñ Oxy ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ñ³ñÃáõÃÛ³ÝÁ£
¸Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ Ï»ï»ñª A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) ¨ B(x 2 ; y 2 , z 2 ) ¨ ³å³óáõó»Ýù, áñ ¹ñ³Ýó
92

ѳٳã³÷ A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ AB-Ç£ Àëï ѳۻ-
ɳÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, A 1 ¨ B 1 Ï»ï»ñÝ áõÝ»Ý A 1 (x 1 ; y 1 ; −z 1 ) ¨
B 1 (x 2 ; y 2 ; −z 2 ) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ£ Àëï »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý μ³Ý³Ó¨Çª
AB 2 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 ,
A 1 B 2 1 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 ,
³ÛëÇÝùݪ AB = A 1 B 1 £ ∇
. ²é³ÝóùÇ ÝϳïÙ³Ùμ åïáõÛï
¸Çóáõù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ïñí³Í ¿ l áõÕÇÕÁ£ ²Û¹ áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ
åïáõÛï ïñí³Í α ³ÝÏÛáõÝáí ÏѳëϳݳÝù ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙÁ.
¸Çóáõù M-Á ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ý-
ϳó³Í Ï»ï ¿£ ²Û¹ Ï»ïáí ï³Ý»Ýù l
áõÕÕÇÝ áõÕճѳ۳ó γ ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ¨
l áõÕÕÇ ¨ ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ñ³ïÙ³Ý O
Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ γ ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù»ç
M Ï»ïÁ åïï»Ýù α ³ÝÏÛáõÝáí (ïñí³Í
áõÕÕáõÃÛ³Ùμ) (ÝÏ. 67)£ Àݹ áñáõÙ
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý μáÉáñ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ
åïïÙ³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ,
»Ã» Ýßí³Í ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
åñáÛ»Ïï»Ýù l ³é³ÝóùÇÝ áõÕճѳ-
Û³ó ÙǨÝáõÛÝ §¿Ïñ³ÝǦ íñ³, ³å³
ï³ñμ»ñ Ï»ï»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳-
ÝáÕ Çñ³ñ ½áõ·³Ñ»é ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»-
ñáõÙ åïïÙ³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³Û¹
§¿Ïñ³ÝǦ íñ³ å»ïù ¿ ÝáõÛÝÁ ÉÇÝ»Ý (ÑÇß»Ýù, áñ ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕÇÝ áõÕճѳ۳ó
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ٠ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ϳ٠½áõ·³Ñ»é »Ý)£ l-Á ÏáãíáõÙ ¿ åïï-
Ù³Ý ³é³Ýóù£
î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ åïáõÛïÁ ß³ñÅáõÙ ¿£
²å³óáõÛó£ ¸Çóáõù A 1 -Á ¨ B 1 l áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ ïí³Í α ³ÝÏÛáõÝáí
åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙ (ïí³Í áõÕÕáõÃÛ³Ùμ) A ¨ B Ï»ï»ñÇ å³ïÏ»ñÝ»ñÝ »Ý£
²å³óáõó»Ýù, áñ A 1 B 1 = AB (ÝÏ. 68)£ î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Ç-
ݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ÁÝïñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. l áõÕÇÕÁ ѳٳñ»Ýù Oz
93
ÜÏ. 67

³é³ÝóùÁ, ÇëÏ xoy ѳñÃáõÃÛáõÝÁ l-
ÇÝ áõÕճѳ۳ó áñ¨¿ ѳñÃáõÃÛáõÝ ¿£
¸Çóáõù A(a, b, c) ¨ B(m, n, p) Ï»-
ï»ñÁ l ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ ïñí³Í áõÕ-
ÕáõÃÛ³Ùμ α ³ÝÏÛáõÝáí åïï»ÉÇë
ëï³óí»É »Ý A 1 (a 1 ; b 1 ; c 1 ) ¨ B 1 (m 1 ; n 1 ;
p 1 ) Ï»ï»ñÁ£ ܳË, Áëï åïáõÛïÇ
ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, c 1 = c, p 1 = p, ÙÛáõë ÏáÕ-
ÙÇó, »Ã» ¹Çï³ñÏ»Ýù A, A 1 , B, B 1 Ï»-
ï»ñÇ åñáÛ»ÏódzݻñÁ xOy ѳñÃáõ-
ÃÛ³Ý íñ³, ³å³ Áëï 7.6-Ç (1) μ³-
ݳӨ»ñǪ
ÜÏ. 68
a 1 = a cos α − b sin α, b 1 = a sin α + b cos α,
m 1 = m cos α − n sin α, n 1 = m sin α + n cos α:
àõëïǪ
A 1 B 2 1 = ((a − m) cos α − (b − n) sin α) 2 + ((a − m sin α + (b − n) cos α) 2 +
+ (c − p) 2 = (a − m) 2 · (sin 2 α+cos 2 α) + (b − n) 2 · (sin 2 α + cos 2 α) 2 +
+ (c − p) 2 = AB 2
²ÛëÇÝùݪ A 1 B 1 = AB£ ∇
л勉Ýù. ø³ÝÇ áñ åïáõÛïÁ ß³ñÅáõÙ ¿, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ï³ñ³-
ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç l ³é³ÝóùÇ ßáõñç åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙª
³) ѳïí³ÍÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ Çñ»Ý ѳí³ë³ñ ѳïí³ÍÇ,
μ) ׳鳷³ÛÃÁ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ׳鳷³ÛÃÇ,
·) å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ,
¹) ѳñÃáõÃÛáõÝÁ ³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ѳñÃáõÃ۳ݣ
²Ûë ÷³ëï»ñÇ ÑÇÙ³Ý íñ³ ϳñ»ÉÇ ¿ åïï³Ï³Ý Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙ-
Ý»ñÁ, áñå»ë ѳñà å³ïÏ»ñÝ»ñÇ åïïáõÙÝ»ñÇó ³é³ç³ó³Í Ù³ñÙÇÝÝ»ñ, ѳ-
Ù³ñ»É ÑÇÙݳíáñí³Í£ ⎦
94

⎡7.7 7.7 ³Õ³÷³ñ ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ 쨻é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ
гñÃáõÃÛ³Ý μ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ϳ½Ùí³Í ¿ O ëϽμ-
ݳϻïÇó, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ μ¨»é ¨ ³Û¹ Ï»-
ïÇó ï³ñí³Í l ׳鳷³ÛÃÇó, áñÁ ÏáãíáõÙ
¿ 쨻é³ÛÇÝ ³é³Ýóù (ÝÏ. 69)£
²Û¹å»ë ÁÝïñí³Í 쨻é³ÛÇÝ Ïááñ¹Ç-
ݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ѳñÃáõÃÛ³Ý
ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳-
Ý»óíáõÙ ¿ Ýñ³ 쨻é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»-
ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª 1) !O#M í»ÏïáñÇ ¨ l
³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ϕ ³ÝÏÛáõÝÁ (³ÛëÇÝùÝ
l-Çó ÙÇÝ㨠!O#M åïáõÛïÇ ³ÝÏÛáõÝÁ) 2) M
Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠O ëϽμݳϻïÁ »Õ³Í r Ñ»-
é³íáñáõÃÛáõÝÁ (³ÛëÇÝùÝ !O#M í»ÏïáñÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ)£
ϕ-Ý ÏáãíáõÙ ¿ M Ï»ïÇ μ¨»é³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝ Ï³Ù Ýñ³ ³é³çÇÝ μ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹Çݳï£
´¨»é³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý μáÉáñ M Ï»ï»ñÇ Ñ³-
Ù³ñ (0 ≤ ϕ < 2π), μ³óÇ O Ï»ïÇó, áñÇ Ñ³Ù³ñ ³ÛÝ ³Ýáñáß ¿£ r ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿
쨻é³ÛÇÝ ß³é³íÇÕ Ï³Ù M Ï»ïÇ »ñÏñáñ¹ 쨻é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï£ O-Çó ï³ñμ»ñ
ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇ μ¨»é³ÛÇÝ ß³é³íÇÕÁ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ O Ï»ïÇ Ñ³-
Ù³ñ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ 0-Ç£ ºñμ»ÙÝ Ýå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ï»ïÇ μ¨»é³ÛÇÝ ³ÝÏ-
ÛáõÝÁ ѳٳñ»É áñáßí³Í 2 kπ ·áõÙ³ñ»Éáõ ×ßïáõÃÛ³Ùμ, áñï»Õ k-Ý ó³Ýϳó³Í
³ÙμáÕç ÃÇí ¿, ³ÛëÇÝùÝ ϕ-Ç Ñ»ï Ù»Ïï»Õ ó³Ýϳó³Í ϕ +2kπ ï»ëùÇ ÃÇí ѳ-
Ù³ñ»É 쨻é³ÛÇÝ ³ÝÏÛ³Ý ³ñÅ»ù£ ²ÛëåÇëáí, »Ã» ïñí³Í ¿ ó³Ýϳó³Í r ¹ñ³-
Ï³Ý ÃÇí ¨ ó³Ýϳó³Í ϕ Çñ³Ï³Ý ÃÇí, ³å³ 쨻é³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ í»ñó-
Ý»Éáí r »ñϳñáõÃÛ³Ùμ !O#A í»ÏïáñÁ ¨ åïï»Éáí ³ÛÝ O Ï»ïÇ ßáõñçÁ ϕ ³ÝÏÛáõ-
Ýáí, Ïëï³Ý³Ýù !O#M í»ÏïáñÁ, áñÇ Í³Ûñ³Ï»ïÝ áõÝÇ ϕ ¨ r 쨻é³ÛÇÝ Ïááñ¹Ç-
ݳïÝ»ñÁ£ ºÃ» M Ï»ïÇ μ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ϕ ¨ r, ³å³
¹³ Ï·ñ³é»Ýù ³Ûëå»ëª M = (ϕ; r)£
ºÃ» ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ 쨻é³ÛÇÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·,
³å³ ¹ñ³Ýáí áñáßíáõÙ ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·ª ³Û¹ ѳ-
ٳϳñ·Ç Ù³ëßï³μÁ ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý
쨻é³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ù³ëßï³μÇ ¨ ëϽμݳϻïÇ Ñ»ï, 쨻é³ÛÇÝ ÏÇë³é³ÝóùÁ
(׳鳷³ÛÃÁ) ѳٳñáõÙ »Ýù ³μëóÇëÝ»ñÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³Ýóù, ¹ñ³-
Ýáí ÇëÏ ë³ÑٳݻÉáí ³μëóÇëÝ»»ñÇ ³é³ÝóùÁ, ÇëÏ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ
π
ëï³óíáõÙ ¿ ³μëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ åïï»Éáí −− -áí ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùμ (ųÙ.
2
ëɳùÇ åïïÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ)£ ²Ûë Ó¨áí ëï³óí³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ
95
ÜÏ. 69

Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿
ïñí³Í 쨻é³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áí ë³Ñ-
Ù³Ýí³Í ѳٳϳñ·£ ÖÇßï ¿ ¨ ѳϳé³-
ÏÁª »Ã» ïñí³Í ¿ áñ¨¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ-
¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·, ³å³ ¹ñ³Ýáí
ÙdzñÅ»ùáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ 쨻é³ÛÇÝ
ѳٳϳñ· Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª å³Ñå³ÝíáõÙ
¿ ïñí³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ëϽμ-
ݳϻïÁ ¨ Ù³ëßï³μÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿
áñ 쨻é³ÛÇÝ ÏÇë³³é³ÝóùÁ ѳÙÁÝÏÝÇ
³μëóÇëÝ»ñÇ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³³é³ÝóùÇ
Ñ»ï, ÇëÏ åïïÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ
ѳٳñíÇ ³ÛÝ åïáõÛïÁ, áñÁ ³μëóÇëÝ»ñÇ
ÜÏ. 70
³é³ÝóùÁ ï³ÝáõÙ ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³Ýóπ
ùÇÝ −− ³ÝÏÛáõÝáí åïï»ÉÇë (ÝÏ. 70)£ ²ÛëåÇëáí, Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³Ý-
2
ãÛáõñ 쨻é³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ÉÇáíÇÝ áñáß³ÏÇ áõÕ-
Õ³ÝÏÛáõÝ Ñ³Ù³Ï³ñ· ¨ ѳϳé³ÏÁ£
ä³ñ½ ¿, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý M Ï»ïÇ (x, y) ¨ (ϕ, r) Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ³ñï³-
ѳÛïíáõÙ »Ý ÙÇÙÛ³Ýóáí Ñ»ï¨Û³É μ³Ý³Ó¨»ñáíª
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ £
гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ áñ¨¿ ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 쨻é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñáí
ϳñáÕ ¿ ïñí»É r = r (ϕ), ϕ = ϕ(r), ϳ٠F(r, ϕ) = 0 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáí£ úñÇݳÏ
1) r =ϕ, ϕ≥ 0 ·ÇÍÁ, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ²ñùÇÙ»¹Ç ëåÇñ³É, áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁª
(ÝÏ. 71)£
ÜÏ. 71 ÜÏ. 72
96

úñÇÝ³Ï 2£ γéáõó»ù r = 1 − ϕ 2 ÏáñÁ£
ÈáõÍáõÙ£ ø³ÝÇ áñ r ≥ 0, ³å³ 1 − ϕ 2 ≥ 0 ⇒ ϕ [−1; 1] r-Ç Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ
Ïëï³óíÇ, »ñμ ϕ = 0 ¨ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1£ ÆëÏ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁª 0-Ý Ïëï³óíÇ
ϕ = 1 ¨ ϕ = −1 ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ£ гßíÇ ³éÝ»Éáí ݳ¨, áñ ϕ-Ý 0-Çó
1 ÷á÷áË»ÉÇë r-Á Ýí³½áõÙ ¿ 1-Çó 0, ëï³ÝáõÙ »Ýù Ýϳñ 72-áõÙ μ»ñí³Í ·ÇÍÁ
(ѳßíÇ ¿ ³éÝí³Í ݳ¨ áñ r-Á ϕ-Çó ϳËí³Í ½áõÛ· ýáõÝÏódz ¿)£⎦
ÊݹÇñÝ»ñ, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ ѳñó»ñ
1. ØÇ å³ïÏ»ñÇ »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ 10ëÙ-Çó, ÇëÏ
ÙÛáõë å³ïÏ»ñÇ áñáß Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ 10ëÙ-Çó£ γñá±Õ »Ý
³ñ¹Ûáõù ³Û¹ å³ïÏ»ñÝ»ñÁ ÉÇÝ»É Ñ³Ù³ã³÷ª
1) Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ 2) áõÕÕÇ ÝϳïÙ³Ùμ£
2. γéáõó»ù ³ÛÝ å³ïÏ»ñÁ, áñÇÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ Ýñ³ C ·³-
·³ÃÇ ßáõñçÁ 60° ³ÝÏÛáõÝáí åïï»ÉÇëª ³) ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý áõÕ-
ÕáõÃÛ³Ùμ, μ) ųٳóáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ£
3. γñá±Õ ¿ »é³ÝÏÛáõÝÁ áõÝ»Ý³É Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ£
4. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» ù³é³ÝÏÛáõÝÁ áõÝÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ,
³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿£
5. 1) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» »é³ÝÏÛáõÝÁ áõÝÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù,
³å³ ³ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ »é³ÝÏÛ³Ý ·³·³ÃÝ»ñÇó Ù»Ïáí£
2) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» »é³ÝÏÛáõÝÁ áõÝÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù,
³å³ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³ëñáõÝ ¿£
3) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» »é³ÝÏÛáõÝÁ áõÝÇ »ñÏáõ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý
³é³ÝóùÝ»ñ, ³å³ ³ÛÝ Ï³Ýáݳíáñ ¿£
6. ø³ÝDZ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ áõÝÇ »ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñÇó
ϳ½Ùí³Í å³ïÏ»ñÁ£ àñï»±Õ »Ý Ýñ³Ýù ¹³ë³íáñí³Í£
7. ø³ÝDZ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù áõÝÇ Ï³Ýáݳíáñ »é³ÝÏÛáõÝÁ£
8. îñí³Í »Ý »ñÏáõ ѳïíáÕ áõÕÇÕÝ»ñ ¨ Ï»ï, áñÁ ãÇ ·ïÝíáõÙ ³Û¹ áõÕÇÕÝ»-
ñÇ íñ³£ γéáõó»ù ³Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ íñ³ ͳÛñ³Ï»ï»ñ áõÝ»óáÕ Ñ³ïí³Í, áñÇ
ÙÇçݳϻïÁ ïñí³Í Ï»ïÝ ¿£
9. îñí³Í »Ý ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ѳïíáÕ a, b ¨ c áõÕÇÕÝ»ñ£ γéáõó»ù ѳïí³Í,
áñÁ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ b áõÕÕÇÝ, áñÇ ÙÇçݳϻïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ b áõÕÕÇ íñ³,
ÇëÏ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁª a ¨ c áõÕÇÕÝ»ñÇ íñ³£
10. гñÃáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç
¹Ý»Ýù Ýñ³ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ³Û¹ ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ ѳïϳÝáÕ ïñí³Í áõÕÕÇ íñ³£
ÖDZßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ¹ñ³Ýáí ÏïñíÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ£
97

11. гñÃáõÃÛ³Ý ù³ÝDZ ß³ñÅáõÙÝ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý, áñáÝó ¹»åùáõÙ ù³é³ÏáõëÇÝ
³ñï³å³ïÏ»ñíáõÙ ¿ ÇÝùÝ Çñ íñ³£ (ä³ï. 8)
12. Îááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý A(1; 2) ¨ B(5; 5) Ï»ï»-
ñÁ£ гñÃáõÃÛ³Ý ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõÙ ¹ñ³Ýù ³ÝóÝáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳμ³ñ
A′(2; 3) ¨ B′(7; 3) Ï»ï»ñÇÝ£ ²Û¹ ß³ñÅÙ³Ý ¹»åùáõ٠DZÝã Ï»ïÇ Ï³ñáÕ ¿
³ÝóÝ»É M(−2; −3) Ï»ïÁ£
17 26 17 4
(ä³ï. (− −−−; −−−) ϳ٠(− −−−; −−−) Ï»ï»ñÁ)£
5 5 5 5
13. гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý 45° ³ÝÏÛáõÝ£
²Û¹ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ »ñÏáõ ѳçáñ¹³Ï³Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñ¹-
ÛáõÝùáí A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇ, B Ï»ïÁª B′ Ï»ïÇ£ ï»ù AB ¨ A′B′ áõÕÇÕ-
Ý»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£ (ä³ï. 90°)
14. ²å³óáõó»ù, áñ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ß³ñÅáõ٠ϳñáÕ ¿ ïñí»É áã
³í»ÉÇ, ù³Ý ãáñë ѳۻɳÛÇÝ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí£
15. (Ï) гñÃáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ A Ï»ïÁ ³Ýó-
ÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇ, B Ï»ïÁª B′ Ï»ïÇ£ ï»ù B′ Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã» ѳÛï-
ÝÇ »Ý A, A′ ¨ B′ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ.
³) A(−1; , 3), A′(2; 4), B(1; −3), (å. (4; 2)
μ) A(2; −2), A′(0; 1), B (−1; −5), (å. (−3, 6)
·) A(−3; −2), A′(−5; −1), B (4; 7) (å. (2; 8)
16. (Ï) ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇ, l
áõÕÇÕÁª l′ áõÕÕÇ£ ñ»ù l′ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã»ª
³) A(−2; 5), A′(3; −4), l áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª 2x − 3y = 1 (å. 2x − 3y = 38)
μ) A(4; 7), A′(−3, 13), l áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª 3x + 4y = 5 (å. 3x + 4y = 8)
17. ï»ù ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÁ, »Ã» y = 3x − 2 ѳí³ë³ñáõÙáí
ïñíáÕ áõÕÇÕÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ y = 3x + 4 áõÕÕÇÝ, ÇëÏ 3x + 2y = 2 áõÕÇÕÁª
25 11
6x + 4y = 3 áõÕÕÇÝ£ (ä³ï. (− −−−; −−−))
18 6
18. (Ï) гñÃáõÃÛ³Ý åïïÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí, ÏѳëϳݳÝù
åïáõÛïª Å³Ù³óáõÛóÇ ëɳùÇ åïïÙ³Ý Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùμ£ ¸Çóáõù Ïááñ-
¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÝ ÁÝïñí³Í »Ý ³ÛÝå»ë, áñ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμ-
ݳϻïÇ ßáõñçÁ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛ³Ùμ 90° åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙ (0, 1) Ï»ïÁ ³Ýó-
ÝáõÙ ¿ (1, 0) Ï»ïÇÝ£ ï»ù ³ÛÝ Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, áñÇÝ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõ-
ÃÛ³Ùμ åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ (0, 1) Ï»ïÁ, »Ã» åïïÙ³Ý ³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ
¿ª 30°, 45°, 60°, 120°, 150°:
√$3 1 √$2 √$2 1 √$3 1 √$3 √$3 1
(ä³ï. (−−−; −−−), (−−−; −−−−), (− −−−; −−−−), (− −−−; −−−−), (− −−−; −−−))
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
98

19. (û) ²Ù»Ý³ùÇãÁ ù³ÝDZ ·³·³Ã ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ³ÛÝ μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ, áñÁ
áõÝÇ »ñÏáõ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ»ñ, áñáÝù ϳ½ÙáõÙ »Ýª ³) 30°, μ) 10°,
·) 87° ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ£ (ä³ï. 6), (ä³ï. 18), (ä³ï. 180)
20. (û) гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý AB ¨ A′B′ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ¨ áã ½áõ·³-
Ñ»é ѳïí³ÍÝ»ñ£ γéáõó»ù åïáõÛïÇ ³ÛÝåÇëÇ Ï»ÝïñáÝ, áñÇ ¹»åùáõÙ A Ï»-
ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ A′ Ï»ïÇÝ, ÇëÏ B Ï»ïÁ B′ Ï»ïÇÝ£ (ä³ï. AA′ ¨ BB′ ѳïí³Í-
Ý»ñÇ ÙÇçÝáõÕճѳ۳óÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÁ)£
21. гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í »Ý AB ¨ CD Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ѳïí³ÍÝ»ñ£
AC ¨ BD áõÕÇÕÝ»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý P Ï»ïáõÙ£ ¸Çóáõù ABP ¨ CDP »é³ÝÏÛáõÝÝ»-
ñÇÝ ³ñï³·Íí³Í ßñç³Ý³·Í»ñÁ ѳïíáõÙ »Ý P-Çó ï³ñμ»ñ ú Ï»ïáõÙ£ ²å³óáõó»ù,
áñ ú Ï»ïÇ ßáõñçÁ ∠AOC-áí åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙ A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ C
Ï»ïÇÝ, ÇëÏ B Ï»ïÁª D Ï»ïÇÝ£
22. (û) îñí³Í »Ý l áõÕÇÕÁ ¨ A Ï»ïÁ£ ï»ù ѳñÃáõÃÛ³Ý ³ÛÝ M Ï»ï»ñÇ
»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ, áñáÝó ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ l áõÕÕÇÝ å³ïϳÝáÕ
Ï»ï, áñÇ ßáõñçÁ 60° åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙ A Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ M Ï»ïÇÝ£ (ä³ï.
àñáÝ»ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ï»ÕÁ μ³Õϳó³Í ¿ »ñÏáõ áõÕÇÕÝ»ñÇó, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ
³ÝóÝáõÙ ¿ l áõÕÇÕÁ A Ï»ïÇ ßáõñçÁ 60° åïáõÛïÇ ¹»åùáõÙª »ñ-
Ïáõ áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí)
23. îñí³Í ¿ ϳÝáݳíáñ í»ó³ÝÏÛáõÝ£ ø³ÝDZ ï³ñμ»ñ ß³ñÅáõÙÝ»ñ ·áÛáõ-
ÃÛáõÝ áõÝ»Ý, áñáÝù ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ »Ý í»ó³ÝÏÛáõÝÁ ÇÝùÝ Çñ íñ³£ ¸ñ³Ýó
Ù»ç ù³ÝDZëÝ »Ý ѳٳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñ, ¨ ù³ÝDZëÁ åïáõÛïÝ»ñ£ (ä³ï. 6 ѳ-
Ù³ã. ¨ 6 åïáõÛï)
24. гñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýϳñ»ù Ï³Ù³Û³Ï³Ý »é³ÝÏÛáõÝ ¨ Ýß»ù ϳٳ۳ϳÝ
O Ï»ï£ Î³éáõó»ù O Ï»ïÇ ÝϳïÙ³Ùμ ³Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý Ñ³Ù³ã³÷ »é³ÝÏÛáõ-
ÝÁ£ ÜáõÛÝ μ³ÝÁ ϳï³ñ»ù ù³é³ÝÏÛ³Ý ¨ ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³Ù³ñ£
25. îñí³Í »Ý ï³ñμ»ñ Ï»ÝïñáÝÝ»ñáí ¨ ï³ñμ»ñ ß³é³íÇÕÝ»ñáí »ñÏáõ ßñç³Ý³·Í»ñ£
γéáõó»ù ³Û¹ ßñç³Ý³·Í»ñÇ Ñ³Ù³ñ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù
ѳݹÇë³óáÕ áõÕÇÕÁ£
26. (¹) ºé³ÝÏÛ³Ý Ù»ç í»ñóí³Í ¿ O Ï»ïÁ£ ²Û¹ »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ íñ³
ϳéáõó»ù »ñÏáõ A ¨ B Ï»ï»ñ ³ÛÝå»ë, áñ AB ѳïí³ÍÁ å³ñáõݳÏÇ O Ï»ïÁ
¨ ³Û¹ Ï»ïáí ÏÇëíÇ£
27. (¹) γñÏÇÝáí ϳéáõó»ù ßñç³Ý³·ÇÍ ¨ ßñç³ÝÇ Ù»ç í»ñóñ»ù áñ¨¿ A
Ï»ï£ A Ï»ïáí ÇÝãå»ë ï³Ý»É ßñç³Ý³·ÍÇ É³ñ, áñÇ Ñ³Ù³ñ A-Ý ÉÇÝÇ ÙÇçݳ-
Ï»ï£
28. (û¹) ²å³óáõó»ù, áñ μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É »ñÏáõ ѳٳã³-
÷áõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝ£
29. (¹) ´³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ áõÝÇ »ñÏáõ ѳٳã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù, áñáÝù Çñ³ñ
Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ »Ý 60° ³ÝÏÛáõÝ£ ²Ù»Ý³ùÇãÁ ù³ÝDZ ÏáÕ٠ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ³Û¹
μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ£ γñ»ÉDZ ¿ ³ñ¹Ûáù åݹ»É, áñ ³Û¹ μ³½Ù³ÝÏÛáõÝÁ áõÝÇ ³éÝí³½Ý
¨ë Ù»Ï Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³Ýóù£
99

30. ï»ù ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý í»ÏïáñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã»
ѳÛïÝÇ ¿, áñ ³Û¹ ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ A(1; 0; 2) Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿
A′(2; 1; 0) Ï»ïÇÝ£
31. ¼áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ A(2; 1; −1) Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿
A′(1; −1; 0) Ï»ïÇÝ£ ƱÝã Ï»ïÇ ¿ ³ÝóÝáõÙ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽμݳϻïÁ£
32. áÛáõÃÛáõÝ áõÝDZ ³ñ¹Ûáù ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÇ ¹»åùáõÙ A
Ï»ïÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ B Ï»ïÇÝ, ÇëÏ C Ï»ïÁª D Ï»ïÇÝ, »Ã»ª
³) A(2; 1; 0); B(1; 0; 1); C(3; −2; 1); D(2; −3; 0)
μ) A(−2; 3; 5); B(1; 2; 4); C(4; −3; 6); D(7; −2; 5)
·) A(0; 1; 2); B(−1; 0; 1); C(3; −2; 2); D(2; −3; 1)
¹) A(1; 1; 0); B(0; 0; 0); C(−2; 2; 1); D (1; 1; 1)
⎡33. ï»ù A Ï»ïÁ Oz ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïïáõÙÇó ëï³óí³Í
A 1 Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã»
³) A (1; 2; 3), α = 45°; μ) A (−2; 0; 1), α = 60°; ·) A (3; −1; 2), α = −120°:
34. ÈáõÍ»ù ÝáõÛÝ ËݹÇñÁ, »Ã» åïáõÛïÁ ϳï³ñí»É ¿
³) Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ, μ) Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ£
35. A Ï»ïÁ Oz ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ α ³ÝÏÛáõÝáí åïïáõÙÇó ëï³óí»É ¿ A 1 Ï»-
ïÁ£ ï»ù A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ, »Ã»
³) A 1 (4; −2; 1), α = 30°; μ) A 1 (0; 2; 3), α = 150°; ·) A 1 (−1; 1; 1), α = −60°£
36. ÈáõÍ»ù ÝáõÛÝ ËݹÇñÁ, »Ã» åïáõÛïÁ ϳï³ñí»É ¿
³) Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ, μ) Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ£
37. ´¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ ³ñï³Ñ³Ûï»ù ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹Çݳï-
Ý»ñáí£
38. γéáõó»ù Ñ»ï¨Û³É Ïáñ»ñÁ.
π
³) r = 5 μ) ϕ = −− ·) r = 2 sin ϕ ¹) r = cos 2 ϕ ⎦
4
100