Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
Jestliţe dvě plochy mají v bodě X společnou tečnou rovinu, potom se tyto plochy v bodě X
dotýkají - jsou tečné plochy.
Věty a definice (tečné roviny a normály plochy)
Z uvedené definice tečné roviny plochy má její vektorová rovnice tvar
y = x + x u + x v , (9.16)
kde ( - , + ), a ( - , + ).
Vektorová rovnice příslušné normálové roviny je
z = x + (x u x v ), (9.17)
kde ( - , + ).
Uvedeme další věty a tvary týkající se tečné roviny a normály plochy.
Věta 1. V regulárním bodě [ u 0 , v 0 ] plochy r = r(u,v) existuje právě jedna tečná rovina
a její rovnice v pravoúhlých souřadnicích X, Y, Z je
R r , r , r
0 u 0 v 0
X x Y y
x
u
x
v
0 0
y
u
y
v
Z - z 0
z
u
z
v
0 0 0
0 0 0
X x0 Y y0
Z - z 0
x y ( z ) = 0 (9.18)
u 0 u 0 u 0
x y z
v 0 v 0 v 0
kde R je průvodič běţného bodu roviny,
r
r
u
u 0
0
, r
r
v
v 0
0
.
Vektory r
u
r
u , r
v
r
v
jsou nekolineární, tj. lineárně nezávislé s počátečním
regulárním bodě plochy [u,v] a jsou tečnými vektory souřadnicových křivek u a v.
Věta 2.
Tečná rovina v regulárním bodě [ x, y, z ] plochy z = z(x, y) má rovnici
kde p
Věta 3.
z
x , q
(X - x) p + (Y - y) q - (Z - z) = 0, (9.19)
z
, X, Y, Z jsou souřadnice běţného bodu roviny.
y
Tečná rovina v regulárním bodě [x, y, z] plochy F(x, y, z) = 0 má rovnici
F
x
F
F
( X - x) ( Y - y) ( Z - z)
0 , (9.20)
y
z
95