Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
r = r (u, v) (10.1)
a
u = u(t), v = v(t) (10.2)
budiţ rovnice křivky k na ploše .
Vektorová rovnice této křivky k je tedy
y = r( u(t), v(t) ).
Pomocí integrálního počtu (Lit. K.Havlíček: Integrální počet pro začátečníky) lze odvodit
vztah pro délku křivky mezi dvěma body Y(t 0 ) a Y(t) je dána vzorcem
s
t
t
0
2
2
2
y ( t)
y
( t)
y ( t)
dt
= y(
t)
y
( t)
dt
1 2
3
t
t
0
. (10.3)
9.5 Tečná rovina, normála plochy
Buď X libovolný bod (regulární) plochy . Kaţdým bodem X plochy procházejí dvě křivky
plochy u a v. Určíme tečny těchto křivek v bodě X.
Lze ukázat větu:
Všechny přímky procházející bodem X, jejichž vektor je lineární kombinací vektorů tečen
křivek u a v, vyplňují tečnou rovinu, která se plochy dotýká v bodě X plochy .
Přímka, která bodem X prochází a je na tuto rovinu kolmá se nazývá normála plochy .
Jsou-li vektory x u a x v tečnými vektory, je normálový vektor vektorovým součinem těchto
vektorů x u a x v .
Tedy n = x u x v .
Vektorovou rovnici tečné roviny k ploše v bodě X potom můţeme psát ve tvaru:
y = x + x u + x v ,
kde ( - , + ), a ( - , + ).
Vektorová rovnice příslušné normálové roviny je:
z = x + (x u x v ),
kde ( - , + ).
Vektory n sestrojené v kaţdém bodě dané plochy lze napsat jako vektorovou funkci n =
n(u,v). O této funkci budeme předpokládat, ţe je spojitá i se všemi svými derivacemi aţ do
druhého řádu.
Dále lze definovat tečné plochy.
94