Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
Kovariantní souřadnice vektoru
V rovině je dán vektor a. Vypočtěme skalární součin tohoto vektoru se souřadnicovými
vektory x i a označme je a i .
Můţeme tedy napsat a i = x i a a vyslovit definici:
Čísla a 1 a a 2 z předcházející rovnice nazýváme kovariantními souřadnicemi vektoru a. Z
obrázku 9.2 je patrný geometrický význam kovariantních souřadnic. Úhel, který svírá vektor a
s vektorem x označíme .
Při konstrukci obrázku 9.2 je patrné, ţe
a i
x
i
x
i
a cos
x
i
a cos
Lze odvodit vztahy, kterými jsou vázány kovariantní a kontravariantní souřadnice vektoru.
9.3 Tenzory na ploše. Tenzor nultého řádu
Zavedeme číslo , které bude v tečné rovině plochy s místní soustavou souřadnic [x 1 , x 2 ]
určovat tenzor nultého řádu. Jestliţe při přechodu od této soustavy souřadnic [ x 1 , x 2 ]
k druhé soustavě souřadnic [ x1 , x2 ], budeme toto číslo transponovat tak, aby platilo
.
Pro vztah mezi soustavami souřadnic platí
x
j
2
i 1
x
u
i
j
x
i
( j = 1, 2 ).
Tenzorem nultého řádu je "skalár". Na příklad: Označme P obsah čtverce v soustavě [ x 1 , x 2 ]
a P obsah čtverce vypočtený pomocí soustavy [ x1 , x2 ]. Zřejmě P = P .
Obsah čtverce je tedy tenzorem nultého řádu.
Nebo. Skalární součin dvou vektorů leţící v tečné rovině můţe být tenzorem nultého řádu.
Neznamená to však, ţe nahradíme-li dva vektory jedné místní soustavy jinými vektory jiné
místní soustavy, ţe úhly, které tyto dvojice vektorů (sobě odpovídající) svírají, budou stejné.
92