Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
9.2 Kontravariantní a kovariantní souřadnice vektoru
Mějme dány tři libovolné nekomplanární vektory e 1 , e 2 , e 3 , které neleţí v jedné rovině.
Povaţujme tyto vektory za základní vektory
prostorové soustavy.
Potom lze kaţdý vektor a psát ve tvaru
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ,
kde a 1 , a 2 , a 3 jsou reálná čísla. (Obr. 9.6)
Tato čísla a 1 , a 2 , a 3 se nazývají kontravariantní
souřadnice vektoru a v soustavě (e 1 , e 2 , e 3 ).
Obecně tedy můţeme psát
a = e i a i , coţ je a e i a i .
Jsou-li e 1 , e 2 , e 3 jiné tři nekomplanární
vektory v prostoru, potom
stručně
1 2 3
e e e e e e e
1 1 1 1 2 1 3
1 2 3
e e e e e e e
2 2 1 2 2 2 3
1 2 3
e e e e e e e
3 3 1 3 2 3 3
e
i
e i
j
e
j
3
i 1
Obr. 9.6
( i, j = 1, 2, 3 ).
Matice A e i
j
(horní index je sloupcový, dolní řádkový) se nazývá matice přechodu od
soustavy souřadnic ( e 1 , e 2 , e 3 ) k soustavě ( e 1 , e 2 , e 3 ).
Na základě této definice lze vyslovit věty:
V1.: Determinant e i
j
matice přechodu je různý od nuly, takţe můţeme přejít od soustavy
souřadnic čárkované k nečárkované:
e
f i
j
e j
pro ( i, j = 1, 2, 3 ).
Přitom matice f i
j
je inverzní k matici e i
j
.
91